近世代数复习试题2009级
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（c ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1 ，元a 的逆元是1-a 。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
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近世代数期末考试题库世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
设A = B = R （实数集），如果 A 到B 的映射：x^x + 2, x € R, 满射而非单射B 单射而非满射一一映射 D 既非单射也非满射设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么， 2 1、 AC 2、 A 、则是从A 到B 的（c ） A 与B 的积集合A^B 中含有（d D 、10 ）个元素。
3、在群G 中方程A 、不是唯一4、当G 为有限群， A 、不相等 B 、5 ax=b , ya=b , a,b € G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的（两方程解一样）子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） 0 C 、相等 D 、不一定相等。
） 5、 n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共设集合；，则有。
若有元素e € R 使每a € A 都有 ae=ea=a , 环的乘法一般不交换。
如果环偶数环是整数环的子环。
30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 9、则e 称为环R 的单位元。
R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。
一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全。
每一个有限群都有与一个置换群同构。
全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么 --------- 。
一个除环的中心是一个 -域-----。
三、解答题（本大题共 3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。
近世代数,第一章,基本概念,练习题
第一章 基本概念 练习题一、填空：1、若A 中有个m 元素,B 中有个n 元素,则A ×B 中有 个元素.2、设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A .3、D B A 到⨯的映射叫做D B A 到⨯的一个 .4、 若A A A 到是⨯ 的代数运算，则称 是A 的 ，也称A 对 是封闭的.5、设 是A 的代数运算.若对任意A c b a ∈，，，有)()(c b a c b a =，则称 适合 .6、A 到A 的映射φ叫做A 的一个 .7、建立实数集R 到正实数集R +的映射，:2x x σ，R 的运算为数的加法，R +的运算为数的乘法，该映射 （是或不是）R 到正实数集R +的一个同态映射．8、建立正实数集R +到实数集R 的映射，:ln xx σ，R +的运算为数的乘法，R 的运算为数的加法，该映射________（是或不是）R +到R 的一个同态映射．9、若存在映射φ是A 到A 的一个 时，则对于 ， 来说，称A 与A 同态．10、集合上满足反身性、对称性和 的一个关系叫做等价关系．二、判断题1、A={所有不等于零的实数}， 是普通除法,则这个代数运算 不适合结合律．( )2、A={所有实数}，定义代数运算 ：2a b a b =+，则这个代数运算不适合结合律．( )3、设,Z A =“ ”是整的减法，则“ ”在Z 中不满足结合律． ( )4、设,Z A =“ ”规定如下：3a b b =，则该代数运算不满足结合律． ( )5、设,Z A =“ ”规定如下：2a b b =，则该代数运算不满足结合律． ( )6、一个有限集与它的真子集之间不可能有一一映射。
( )7、当A 与A 是无限集时，它们之间可能存在一一映射。
( ) 8、设 ， 分别是集合A A ,的代数运算，A A →:φ是一个映射。
若A b a ∈∀,，有 )()()(b a b a φφφ =，则称φ是A 到A 的一个同构映射。
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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分.1、设A＝B＝R(实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（)A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有（）个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是( )乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
1、设集合；，则有--—--———-。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--—--———.3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换,则称R是一个-——--—。
4、偶数环是—-—-———-—的子环。
5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个--———--—。
6、每一个有限群都有与一个置换群--—————-。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是————--—.8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么------—-—。
9、一个除环的中心是一个——-—---。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积.2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
(完整版)近世代数复习
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1、设集合{}1,0,1A =-；{}1,2B =，则有B A ⨯= 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的 。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个 。
4、偶数环是 的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个 。
6、每一个有限群都有与一个置换群 。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 ，元a 的逆元是 。
8、设I 和S 是环R 的理想且I S R ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么 。
9、一个除环的中心是一个 。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：1234567864173528σ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234567823187654τ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
【大学课程】近世代数大题复习题及答案
三、基本方法与技能掌握。
（四）计算题1．设为整数加群, ,求?ZH:][=解在 Z中的陪集有:, , ,, ,所以, 5Z.H][=:2、找出S的所有子群。
3解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。
同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。
3．求Z的所有子群。
18解Z的子群有;18;;;;4．将表为对换的乘积.解.容易验证: (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).5．设按顺序排列的13张红心纸牌A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K经一次洗牌后牌的顺序变为3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?解每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为则3次同样方式的洗牌所对应的置换为6．在Z中, 计算:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .6解 (1) ;(2) ;(3) ;(4) .7．试求高斯整环的单位。
解设() 为的单位, 则存在, 使得, 于是因为, 所以. 从而, , 或. 因此可能的单位只有8． 试求12Z 中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素. 解 由定理可知: (1) 为 12Z 的全部零因子.(2)为 12Z 的全部可逆元. 直接计算可知, 相应的逆元为,,,.9、找出模6的剩余类环6Z 的所有理想。
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错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。
2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。
4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。
5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。
6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。
7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。
8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。
9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。
10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。
11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。
12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。
13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。
（ ）14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。
（ ）15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
（ ）三．证明题1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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《近世代数》复习试题
一 填空题
1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ，
则称12,,
n A A A 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射.
3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________.
4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______.
5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= .
6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: .
7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: .
8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a .
9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________.
10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________.
二 解答、证明题
1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定：
.,,2Z b a b a b a ∈∀-+=
证明：),( Z 是一个交换群.
2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并.
3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数.
4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群.
5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =⇔≤.
6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤.
7.证明:每个素数阶的群都是循环群.
8.设N 是群G 的子群，N 的阶是r
（1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.
（2）若N 是G 的唯一的r 阶子群，证明N 是G 的正规子群.
9.设C(G)为G 中心, 且G/C(G)为循环群,证明G 为交换群.
10.设G=)(a 是24阶循环群，试列举出G 的8阶子群的所有生成元。
11.设H ，K 都是群G 的正规子群，且K H ⊆，则
/(/)/(/)G H G K H K ≅
12.设G 是群，()C G 是G 的中心，N G ≤，且()N C G ⊆，证明：
（1）N G ；
（2）若/G N 是循环群，则G 是交换群.
13.设),,(⋅+R 是有单位元1的环,在R 上又定义
b a b a b a 1b a b a ⋅-+=-+=⊕⊕ :,:
证明:),,( ⊕R 也是一个有单位元的环.
14. 设R 是有单位元的环,R b a ∈,
(1) 若a, b ,a+b 都可逆, 证明11b a --+也可逆.
(2) 求111b a ---+)(
15. 证明:除环的中心是一个域.
16. 设2n ≥为正整数,证明:
(1) 环n Z 中元素][a 可逆⇔1n a =),(,即a 与n 互素;
(2) 若p 是素数,则p Z 是域;若2n ≥不是素数,则n Z 不是整环.
17.求出模6剩余类环6Z 的所有理想.
18.求整数环Z 上一元多项式][x Z 的理想),(x 2, 并证明),(x 2不是主理想.
19. 在整数环Z 中,若)(),(b a 是Z 的两个理想,则)()()(d b a =+,)()()(c b a = ,其中d 是a 与b 的最大公因数,c 是a 与b 的最小公倍数.
20. 设R 是一个有单位元的有限交换整环,证明:R 的每一个非零素理想都是R 的极大理想.
21. 求下列剩余类环的素理想和极大理想：6Z ，12Z ，13Z ，16Z
22.][x R 是实数域R 上的一元多项式环, 证明: C 1x x R 2≅+)/(][.。