2-1 一维随机变量及其分布
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[理学]青岛大学概率论课件概率第二章
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i 1
i 1
随机变量的数学期望。
(i 1,2,)
(1)
29
例3 设 为离散型随机变量，其分布列为
P{
(1)k
2k } k
1 2k
k 1,2,
试问: 的数学期望是否存在？
30
二、常用分布的数学期望
1） 单点分布
E c
2）两点分布
E p
3）二项分布 ~ B(n, p) E np
4）普阿松分布 ~ P( ) 5）几何分布 ~ G( p)
2）几何分布的无记忆性
定理：设 服从几何分布 G( p) ，m为任意整数，则
P( m k m) P( k) pqk1
6. 超几何分布
P(
k)
C
k M
C
nk N -M
CnN
注：背景
, k 0,1,,min( n, M )
9
§2.2 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布
1. 定义
0, 1, 2，3 1
定义1：设（, F, P）是概率空间, =()是 定义在上的实值函数， 如果x R, 有
{ () x} F
则称为随机变量。
定义2（离散型随机变量）
随机变量
离散型 非离散型奇连异续型型
2
二、离散型随机变量的分布列
1. 定义
定义3: 设离散型随机变量的可能取值为 xi (i 1,2,)
例5 已知随机变量和的分布列为：
~
1 1
0 1
11
4 2 4
~
0 1
1 1
2 2
且P{ =0}=1 (1)求和的联合分布列 (2)问和是否独立？为什么？
19
一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B （n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（）及其应用。
3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（）、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布E（）的概率密度为会求随机变量函数的分布。
本章导读本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、随机变量1概念随机试验的每一个可能的结果（即每一基本事件），对应样本间的集合中每一元素，我们都可以设令一个实数来表示该元素，显然，为实值单值函数，称为随机变量。
对，我们试验前无法确定，也就无法事先确定的值，只有在试验后才会知道的值，但取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。
比如：将一枚硬币抛三次，以表示三次投掷中出现正面的总次数，那么，对于样本空间中的每一个样本点，都有一个值与之对应，即二、随机变量的分布函数2.1 随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量）陈氏第2技随机变量的分布函数的全新揭秘。
● 分布函数定义形式的渊源一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率由于当所以，我们只须定义一个形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。
《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节-精品文档
X
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
2019/3/16
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
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例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有
一维随机变量
2. 二项分布 在伯努利试验中，事件A在一次试验中发生的概率为
P，则在n次试验中A发生的次数X是一个随机变量，且
P { X k } C n p (1 p )
k k n k
, k 0 ,1, 2 , , n
则称 X 服从参数为 n，p的二项分布，记作
X ~ B (n, p )
特别当 n=1时，二项分布为
1, X X ( ) 0,
1 2
2.2 离散型随机变量
如果随机变量的所有可能取值为有限个或无 限可列个，这样的随机变量称为离散型随机变量．
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为
p
X p
1/6
-2 1/6
2/6
0 1/6
-1/6
1 1/6
3/6
2 1/6
1/6
3 1/6
分布列具有如下性质：
（1）非负性： pi ≥ 0 （2）规范性： （i=1,2，…）
i 1
pi 1
例2 已知随机变量X的概率分布为：
p k P{ X k } ak ( k 1, 2 ,3, 4 ,5 ) , 求常数a.
399
] 0.997
n k
X ~ B (n, p )
P { X k } C n p (1 p )
3. 泊松分布
X ~ B (n, p )
P { X k } C n p (1 p )
k k
n k
, k 0 ,1, 2 , , n
当n很大（n≥10）p很小（p≤0.1）时，令np＝λ
概率第二章
且P{ξη =0}=1 P{ξη
0 1 1 1 η ~ 2 2
(1)求ξ和η的联合分布列 (1)求 (2)问 (2)问ξ和η是否独立？为什么？ 是否独立？为什么？
19
§2.3
随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数 问题：已知随机变量ξ的分布， f(ξ 问题：已知随机变量ξ的分布，令η=f(ξ), 的分布。 求η的分布。 定理1 设ξ是(Ω，F，P)的一个随机变量，f(x)是一个 P)的一个随机变量 f(x)是一个 的一个随机变量， 定理1 可测函数， f(ξ 也是( P)上的的一个随机量 上的的一个随机量. 可测函数，则η=f(ξ)也是(Ω，F，P)上的的一个随机量.
引例3 引例 掷一枚硬币 ， Ω = {ω1,ω2} 引例4 掷一枚硬币 ， 10件产品，5件次品任取 件，其 引例 件产品， 件次品任取3件 件产品 件次品任取 中的次品数ξ=0。 中的次品数ξ=0。1，2，3
1
定义1 ,P）是概率空间, 是定义在Ω 定义1：设（ Ω, F,P）是概率空间, ξ=ξ(ω)是定义在Ω 上的实值函数， 上的实值函数，如果 ∀x∈ R 有：{ω ξ (ω) < x}∈ F ∈ 则称ξ 随机变量。 则称ξ为随机变量。 定义2 离散型随机变量） 定义2：（离散型随机变量）
x1
x2
p2
x2 L p2 L
L
L
P p1
x1 p 1
或：
3
假设有10种同种电器元件，其中有2只废品， 10种同种电器元件 例5 假设有10种同种电器元件，其中有2只废品，装配仪 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 直到取出正品， 表示取出正品之前已取出的废品个 取出正品之前已取出的废品个， 直到取出正品，令ξ表示取出正品之前已取出的废品个， 数求ξ的分布列。 数求ξ的分布列。 例6 n=5的Bernoulli试验中 试验中， P(A)=p， 表示5 在n=5的Bernoulli试验中，设P(A)=p，令ξ表示5次
0 1 1 1 η ~ 2 2
(1)求ξ和η的联合分布列 (1)求 (2)问 (2)问ξ和η是否独立？为什么？ 是否独立？为什么？
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§2.3
随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数 问题：已知随机变量ξ的分布， f(ξ 问题：已知随机变量ξ的分布，令η=f(ξ), 的分布。 求η的分布。 定理1 设ξ是(Ω，F，P)的一个随机变量，f(x)是一个 P)的一个随机变量 f(x)是一个 的一个随机变量， 定理1 可测函数， f(ξ 也是( P)上的的一个随机量 上的的一个随机量. 可测函数，则η=f(ξ)也是(Ω，F，P)上的的一个随机量.
引例3 引例 掷一枚硬币 ， Ω = {ω1,ω2} 引例4 掷一枚硬币 ， 10件产品，5件次品任取 件，其 引例 件产品， 件次品任取3件 件产品 件次品任取 中的次品数ξ=0。 中的次品数ξ=0。1，2，3
1
定义1 ,P）是概率空间, 是定义在Ω 定义1：设（ Ω, F,P）是概率空间, ξ=ξ(ω)是定义在Ω 上的实值函数， 上的实值函数，如果 ∀x∈ R 有：{ω ξ (ω) < x}∈ F ∈ 则称ξ 随机变量。 则称ξ为随机变量。 定义2 离散型随机变量） 定义2：（离散型随机变量）
x1
x2
p2
x2 L p2 L
L
L
P p1
x1 p 1
或：
3
假设有10种同种电器元件，其中有2只废品， 10种同种电器元件 例5 假设有10种同种电器元件，其中有2只废品，装配仪 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 直到取出正品， 表示取出正品之前已取出的废品个 取出正品之前已取出的废品个， 直到取出正品，令ξ表示取出正品之前已取出的废品个， 数求ξ的分布列。 数求ξ的分布列。 例6 n=5的Bernoulli试验中 试验中， P(A)=p， 表示5 在n=5的Bernoulli试验中，设P(A)=p，令ξ表示5次
一维随机变量
正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件； 随机变量就是“其值随机会而定”的变量。其机会表现为 试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪 一个要看机会，即有一定的概率。
如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以 取1，…，6这6个值中的1个，到底是哪一个，要等掷了 骰子后才知道。因此，随机变量是试验结果的函数。
P(X k) C5k0.45k0.555k k 0,1,2,3,4,5
(2)求恰有3人反映为阳性的概率:
P(X 3) C350.4530.552 0.276
(3)求至少有2人反映为阳性的概率：
P(X 2) 1 P(X 1) 1 P(X 0) P(X 1) 1 C50 0.4500.555 C15 0.4510.554 1 0.555 5 0.45 0.554 0.744
离散型随机变量的分布函数F(x)的图象为阶梯状， 点x1,x2,…,xn都是F(x)的第一类(跳跃)间断点。
•随机试验１：接连进行两次射击，０表示未击中目标， １表示击中目标。样本空间：
1 0, 0, 2 0, 1, 3 1, 0, 4 1, 1
现在我们设定随机变量X表示击中目标的次数，则
•随机试验２：观察某电话交换台单位时间内接到的呼唤 次数。样本空间Ω={0,1,2,…}，以X表示接到的呼唤次数， 那么，X=X(ω)=ω，ω∈Ω是离散型随机变量。
例3 设射手进行计分打靶练习，有如下规定：射入区域e1 得2分，射入区域e2得1分，否则就得0分）。一射手进行一 次射击的得分是随机变量，其可能取得的值为0，1，2。不 同的射手在射击之前，他们进行一次射击的得分值都是不 可预知的，他们进行一次射击的得分的概率不同。 射手甲在一次射击中得分X的概率分布为：
事件{30≤X＜50}={w30, w31, …, w49}
如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以 取1，…，6这6个值中的1个，到底是哪一个，要等掷了 骰子后才知道。因此，随机变量是试验结果的函数。
P(X k) C5k0.45k0.555k k 0,1,2,3,4,5
(2)求恰有3人反映为阳性的概率:
P(X 3) C350.4530.552 0.276
(3)求至少有2人反映为阳性的概率：
P(X 2) 1 P(X 1) 1 P(X 0) P(X 1) 1 C50 0.4500.555 C15 0.4510.554 1 0.555 5 0.45 0.554 0.744
离散型随机变量的分布函数F(x)的图象为阶梯状， 点x1,x2,…,xn都是F(x)的第一类(跳跃)间断点。
•随机试验１：接连进行两次射击，０表示未击中目标， １表示击中目标。样本空间：
1 0, 0, 2 0, 1, 3 1, 0, 4 1, 1
现在我们设定随机变量X表示击中目标的次数，则
•随机试验２：观察某电话交换台单位时间内接到的呼唤 次数。样本空间Ω={0,1,2,…}，以X表示接到的呼唤次数， 那么，X=X(ω)=ω，ω∈Ω是离散型随机变量。
例3 设射手进行计分打靶练习，有如下规定：射入区域e1 得2分，射入区域e2得1分，否则就得0分）。一射手进行一 次射击的得分是随机变量，其可能取得的值为0，1，2。不 同的射手在射击之前，他们进行一次射击的得分值都是不 可预知的，他们进行一次射击的得分的概率不同。 射手甲在一次射击中得分X的概率分布为：
事件{30≤X＜50}={w30, w31, …, w49}
第二章 一维随机变量及其分布
x ® x0 - 0
公式。 由于上式中根本不可能出现 F ( x + 0 ) 的形式， F ( x + 0 ) = F ( x ) 对上述 5 种关系没有任何影响，即
F ( x ) 右连续，即 F ( x0 + 0 ) = F ( x0 ) ; F ( x0 - 0 ) ¹ F ( x0 ) 。当然，由于连续型在一点的概率恒为零，
ì P { x1 < ï P { x1 £ 当e ® 0 Þ ï í ï P { x1 £ ïP x < î { 1
X £ x2 } = P { X £ x2 } - P { X £ x1} X £ x2 } = P { X £ x2 } - P { X £ x1 - e } X < x2 } = P { X £ x2 - e } - P { X £ x1 - e } X < x2 } = P { X £ x2 - e } - P { X £ x1}
连续型的密度函数不一定连续，例如 X ~ ( a, b ) ，则 f ( x ) 在 x = a 或 b 两个端点处不连续，所以，
ì 1 ì 1 , a< x<b , a£ x£b ï ï 一般把均匀分布密度函数写成 f ( x ) = í b - a ，而不写成 f ( x ) = í b - a ，这一 ï ï other other î0, î0,
显然，我们只须定义一个 P { X £ x} 形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。 于是定义 F ( x ) = P { X £ x} 为 X 的普适分布函数。它就是 X 落在任意区间 ( -¥, x ] 上的概率，本质上 是一个累积函数，对于离散点，采用叠加，对于连续点，使用一元积分。 引入随机变量的目的是从数量上来研究随机现象的统计规律，即把随机试验的不同结果用一个变量 来表示，由于试验出现的结果是偶然的，因而随机变量的取值方式也是偶然的，试验前只能知道它的取 值范围 X £ x ，试验后才能确定它的具体值 x 。另外，对于随机变量 X ，我们不仅要知道它取各种可能 值的概率，更重要的是要知道 X 在任意区间 [ x1 , x2 ] 内的取值分布规律，这正是分布函数所反映的内容 -----求事件的概率。 随机变量和分布函数共同架起了随机现象和高等数学之间的桥梁。 2.2 分布函数的 4 个重要性质
公式。 由于上式中根本不可能出现 F ( x + 0 ) 的形式， F ( x + 0 ) = F ( x ) 对上述 5 种关系没有任何影响，即
F ( x ) 右连续，即 F ( x0 + 0 ) = F ( x0 ) ; F ( x0 - 0 ) ¹ F ( x0 ) 。当然，由于连续型在一点的概率恒为零，
ì P { x1 < ï P { x1 £ 当e ® 0 Þ ï í ï P { x1 £ ïP x < î { 1
X £ x2 } = P { X £ x2 } - P { X £ x1} X £ x2 } = P { X £ x2 } - P { X £ x1 - e } X < x2 } = P { X £ x2 - e } - P { X £ x1 - e } X < x2 } = P { X £ x2 - e } - P { X £ x1}
连续型的密度函数不一定连续，例如 X ~ ( a, b ) ，则 f ( x ) 在 x = a 或 b 两个端点处不连续，所以，
ì 1 ì 1 , a< x<b , a£ x£b ï ï 一般把均匀分布密度函数写成 f ( x ) = í b - a ，而不写成 f ( x ) = í b - a ，这一 ï ï other other î0, î0,
显然，我们只须定义一个 P { X £ x} 形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。 于是定义 F ( x ) = P { X £ x} 为 X 的普适分布函数。它就是 X 落在任意区间 ( -¥, x ] 上的概率，本质上 是一个累积函数，对于离散点，采用叠加，对于连续点，使用一元积分。 引入随机变量的目的是从数量上来研究随机现象的统计规律，即把随机试验的不同结果用一个变量 来表示，由于试验出现的结果是偶然的，因而随机变量的取值方式也是偶然的，试验前只能知道它的取 值范围 X £ x ，试验后才能确定它的具体值 x 。另外，对于随机变量 X ，我们不仅要知道它取各种可能 值的概率，更重要的是要知道 X 在任意区间 [ x1 , x2 ] 内的取值分布规律，这正是分布函数所反映的内容 -----求事件的概率。 随机变量和分布函数共同架起了随机现象和高等数学之间的桥梁。 2.2 分布函数的 4 个重要性质
1-2一维随机变量
记作
X ~ Exp( )
指数分布的应用场合 若一个元器件（或一台设备、或一个系 统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击 来到的时间 X（寿命）服从指数分布。 如： 无线电元件的寿命X 动物的寿命Z 指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似
随机服务系统中的服务时间 X 设备两次故障的间隔时间 X
电话问题中的通话时间 Y
若 X 的密度函数为
x 1e x , x 0 p ( x ) ( ) 0 , x0
定理 设X ~ N ( , 2) , 则
U X
~ N (0,1)
正态分布相关事件概率的计算
a X b P ( a X b ) P b a ; X a P ( X a ) P a 1 .
每天从北京站下火车的人数 Y ；
昆虫的产卵数 Z ； 每天进入某超市的顾客数 ; 购买商品的件 数; 顾客排队等候付款的时间 等等.
(2)、在有些试验中，试验结果看起来与数值 无关，但我们可以引进一个变量来表示它的 各种结果. 也就是说，把试验结果数值化. 例如：检测一件产品可能出现的两个结果 , 可以用一个离散变量来描述
0.4 0.3 0.2 0.1
-3
-2
-1
1
2
3
0.4
常用计算公式—只对 N(0,1) 适用
0.3 0.2 0.1
(0) 0.5
(u ) 1 (u)
P(| U | c) 2(c) 1
-3 -2
-3 -2 -1
1
2
3
0.4 0.3 0.2 0.1
-u
X ~ Exp( )
指数分布的应用场合 若一个元器件（或一台设备、或一个系 统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击 来到的时间 X（寿命）服从指数分布。 如： 无线电元件的寿命X 动物的寿命Z 指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似
随机服务系统中的服务时间 X 设备两次故障的间隔时间 X
电话问题中的通话时间 Y
若 X 的密度函数为
x 1e x , x 0 p ( x ) ( ) 0 , x0
定理 设X ~ N ( , 2) , 则
U X
~ N (0,1)
正态分布相关事件概率的计算
a X b P ( a X b ) P b a ; X a P ( X a ) P a 1 .
每天从北京站下火车的人数 Y ；
昆虫的产卵数 Z ； 每天进入某超市的顾客数 ; 购买商品的件 数; 顾客排队等候付款的时间 等等.
(2)、在有些试验中，试验结果看起来与数值 无关，但我们可以引进一个变量来表示它的 各种结果. 也就是说，把试验结果数值化. 例如：检测一件产品可能出现的两个结果 , 可以用一个离散变量来描述
0.4 0.3 0.2 0.1
-3
-2
-1
1
2
3
0.4
常用计算公式—只对 N(0,1) 适用
0.3 0.2 0.1
(0) 0.5
(u ) 1 (u)
P(| U | c) 2(c) 1
-3 -2
-3 -2 -1
1
2
3
0.4 0.3 0.2 0.1
-u
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P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)
因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
说明
(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.
(2) 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我 们可以用高等数学的工具来研究 随机变量.
xk x
xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk
xk x
例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时,
当0 x 1时，P{X x} P{X 0} q 当x 1时，P{X x} P{X 0} P{X 1} 1
0, x 0
F (x) q, 0 x 1
1, x 1
例3 设 X 的分布律为
X
2
2
3
pk
1 4
1 2
1 4
求（1） X 分布函数，(2)P{X 1}, (3)P{3 X 5},
{X a} {a X b} , 所以 P{ X b} P{ X a} P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a).
二、例题讲解
例1 已 知 随 机 变 量X在 整 个 实 轴 上 取 值,其 分 布
函数为
A Bex , x 0
F(x) {
0,
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母,
,η, ζ,….等表示.
2.说明
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数).
(2)随机变量的取值具有一定的概率规律
X (e)
0 X (e1 ) 0
e2 (正面朝上) 即 X (e) 是一个随机变量.
1 X (e2 ) 1
实例 2 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:
e1 (男,男), e2 (男,女), e3 (女,男), e4 (女,女). 若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有 X (e1 ) 0, X (e2 ) 1, X (e3 ) 1, X (e4 ) 2,
2. 随机变量的分类:离散型,非离散型（以 连续性为主）.
第2.3节 随机变量的分布函数
一.分布函数的概念 二.例题讲解
为了对离散型和连续型随机变量r.v
（random variable）以及更广泛类型的
r.v给出一种统一的描述方法，下面引进 了分布函数的概念.
一.分布函数的定义 设 X 是一个 r.v，称
P{ X x}是不可能事件,
于是F ( x) P{ X x} 0;
当 0 x 2时, P{0 X x} kx2 ,k是常数.
由P{0 X 2} 1, 得4k 1, 即 k 1 .
因而P{0 X x} x2 .
4
4
于是
F(x) P{X x}
x2
P{X 0} P{0 X x} .
x0
其 中 0为 常 数,求 常 数A, B的 值.
解 由分布函数的性质知
F () A 1. 由分布函数的右连续性
F (0) A B 0 于是有A 1, B 1.
例2 设 X 服从参数为p的二项分布.
P{X 1} p, P{X 0} q,0 p 1, p q 1
求 X 分布函数. 解：当x 0时，P{X x} 0
2.分布函数的性质
(1) 0 F ( x) 1, x (,);
(2) F ( x1) F ( x2 ), ( x1 x2 ); (单调不减性)
证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 }, 得 P{X x1} P{X x2},
又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
可得随机变量 X(e),
0, X (e) 1,
2,
e e1, e e2, e e3, e e4 .
二、小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的, 因此为了方便有力地研究随机现象, 就需 将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件 用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念. 因此 随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数.
2
2
2
(4)P{2 X 3}.
解（：1）当x 2时，P{X x} 0
当-2 x 2时，P{X x} P{X 2} 1
当2
x
3时，P{X
x}
P{X
2}
4
P{X
2}
3
P{X
2}
P{X
2}
P{X
4 3} 1
0, x 2
1
,
2 x2
F
(
x)
4 3
,
2 x3
4
1, x 3
（2）P{X
1}＝F (1 22
)=
1 4
(3)
P{3 2
X
5} 2
F(5 2
)-F ( 3 2
)=
3 4
-
1 4
=
1 2
(4) P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 1 3 1 3 42 4
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk P(X xk ).
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
实例 1 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种 情况: e1 (反面朝上),
e2 (正面朝上), 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
第二章
随机变量及其函数的概率分布
第2.1节 随机变量
一、随机变量的概念 二、小结
一、随机变量的概念
1. 随机变量的定义
定义
设 E 是随机试验,它的样本空间是 {e}. 如 果对于每一个e , 有一个实数X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在上的单值实值函数X (e),
称X (e)为随机变量. 简记为r.v X.(random var iable)
F(x) P(X x)
( x )
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布 函数F(x)的值就表示X落在区间（-, x]的概 率.
——X —x |——> x
F( x) P( X x), x
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为：
1 p2 p1
•
•
o x1
x2
x
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴
别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a), (2) P{X a} 1 F(a). 证明 因为 { X b} { X a} {a X b},
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F ( x) 1;
x
x
证明 F( x) P{X x}, 当 x 越来越小时,
P{ X x}的值也越来越小, 因而当 x 时,有
lim F( x) lim P{X x} 0
x
x
o
x
同样,当 x 增大时P{X x}的值也不会减小,而
X (, x]当 x 时, X 必然落在(, )内.
o
x
所以 lim F( x) lim P{X x} 1.
x
x
(4)
lim
x x0
F(x)
F ( x0
),
( x0 ).
即任一分布函数处处右连续. F( x)
0,
F
(
x)
p1 , p2 ,
1,
x 0, 0 x x1, x1 x x2 , x x2.
当 x 2时,
4
F( x) P{X x} 1.
故 X 的分布函数为
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, x 2.
其图形为一连续曲线
因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
说明
(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.
(2) 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我 们可以用高等数学的工具来研究 随机变量.
xk x
xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk
xk x
例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时,
当0 x 1时，P{X x} P{X 0} q 当x 1时，P{X x} P{X 0} P{X 1} 1
0, x 0
F (x) q, 0 x 1
1, x 1
例3 设 X 的分布律为
X
2
2
3
pk
1 4
1 2
1 4
求（1） X 分布函数，(2)P{X 1}, (3)P{3 X 5},
{X a} {a X b} , 所以 P{ X b} P{ X a} P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a).
二、例题讲解
例1 已 知 随 机 变 量X在 整 个 实 轴 上 取 值,其 分 布
函数为
A Bex , x 0
F(x) {
0,
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母,
,η, ζ,….等表示.
2.说明
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数).
(2)随机变量的取值具有一定的概率规律
X (e)
0 X (e1 ) 0
e2 (正面朝上) 即 X (e) 是一个随机变量.
1 X (e2 ) 1
实例 2 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:
e1 (男,男), e2 (男,女), e3 (女,男), e4 (女,女). 若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有 X (e1 ) 0, X (e2 ) 1, X (e3 ) 1, X (e4 ) 2,
2. 随机变量的分类:离散型,非离散型（以 连续性为主）.
第2.3节 随机变量的分布函数
一.分布函数的概念 二.例题讲解
为了对离散型和连续型随机变量r.v
（random variable）以及更广泛类型的
r.v给出一种统一的描述方法，下面引进 了分布函数的概念.
一.分布函数的定义 设 X 是一个 r.v，称
P{ X x}是不可能事件,
于是F ( x) P{ X x} 0;
当 0 x 2时, P{0 X x} kx2 ,k是常数.
由P{0 X 2} 1, 得4k 1, 即 k 1 .
因而P{0 X x} x2 .
4
4
于是
F(x) P{X x}
x2
P{X 0} P{0 X x} .
x0
其 中 0为 常 数,求 常 数A, B的 值.
解 由分布函数的性质知
F () A 1. 由分布函数的右连续性
F (0) A B 0 于是有A 1, B 1.
例2 设 X 服从参数为p的二项分布.
P{X 1} p, P{X 0} q,0 p 1, p q 1
求 X 分布函数. 解：当x 0时，P{X x} 0
2.分布函数的性质
(1) 0 F ( x) 1, x (,);
(2) F ( x1) F ( x2 ), ( x1 x2 ); (单调不减性)
证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 }, 得 P{X x1} P{X x2},
又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
可得随机变量 X(e),
0, X (e) 1,
2,
e e1, e e2, e e3, e e4 .
二、小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的, 因此为了方便有力地研究随机现象, 就需 将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件 用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念. 因此 随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数.
2
2
2
(4)P{2 X 3}.
解（：1）当x 2时，P{X x} 0
当-2 x 2时，P{X x} P{X 2} 1
当2
x
3时，P{X
x}
P{X
2}
4
P{X
2}
3
P{X
2}
P{X
2}
P{X
4 3} 1
0, x 2
1
,
2 x2
F
(
x)
4 3
,
2 x3
4
1, x 3
（2）P{X
1}＝F (1 22
)=
1 4
(3)
P{3 2
X
5} 2
F(5 2
)-F ( 3 2
)=
3 4
-
1 4
=
1 2
(4) P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 1 3 1 3 42 4
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk P(X xk ).
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
实例 1 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种 情况: e1 (反面朝上),
e2 (正面朝上), 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
第二章
随机变量及其函数的概率分布
第2.1节 随机变量
一、随机变量的概念 二、小结
一、随机变量的概念
1. 随机变量的定义
定义
设 E 是随机试验,它的样本空间是 {e}. 如 果对于每一个e , 有一个实数X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在上的单值实值函数X (e),
称X (e)为随机变量. 简记为r.v X.(random var iable)
F(x) P(X x)
( x )
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布 函数F(x)的值就表示X落在区间（-, x]的概 率.
——X —x |——> x
F( x) P( X x), x
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为：
1 p2 p1
•
•
o x1
x2
x
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴
别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a), (2) P{X a} 1 F(a). 证明 因为 { X b} { X a} {a X b},
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F ( x) 1;
x
x
证明 F( x) P{X x}, 当 x 越来越小时,
P{ X x}的值也越来越小, 因而当 x 时,有
lim F( x) lim P{X x} 0
x
x
o
x
同样,当 x 增大时P{X x}的值也不会减小,而
X (, x]当 x 时, X 必然落在(, )内.
o
x
所以 lim F( x) lim P{X x} 1.
x
x
(4)
lim
x x0
F(x)
F ( x0
),
( x0 ).
即任一分布函数处处右连续. F( x)
0,
F
(
x)
p1 , p2 ,
1,
x 0, 0 x x1, x1 x x2 , x x2.
当 x 2时,
4
F( x) P{X x} 1.
故 X 的分布函数为
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, x 2.
其图形为一连续曲线