概率论与数理统计课件 2.2第二章 一维随机变量及其分布
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概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
概率论与数理统计图文课件最新版-第2章-随机变量及其分布
一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数，存在非负
函数 f ( x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
机
多，而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举，而是充满一个区间
例如，“电视机的寿命”，实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x)，
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量，它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间，则：
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
函数 f ( x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
机
多，而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举，而是充满一个区间
例如，“电视机的寿命”，实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x)，
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量，它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间，则：
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布
解：
6 6 X ~ ( ), 且 P X 0 e 即 e e 6
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
6 6 1 e 6 e 0 . 9826
A={X=1}，B={X=2}，C={X=0}
② 设Y为进行5次试验中成功的次数，则 D={Y=1}，F={Y1},G={Y3}
随机变量的分类
离散型随机变量 随机变量 连续型 非离散型 奇异型（混合型）
§2 离散型随机变量的分布律(P27)
定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … ，且取这些 值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。 可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或…
k k n
k 0 , 1 , , n
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数， P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~b(n,p), 其分布律为：
P { X k } p ( 1 p ), ( k 0 , 1 ... n ) C n
kk
n k
例2 掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概率？ （2）“3”点出现两次的概率？ 解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2） 6 6 10 6 6 10 1 1 1 所求概率： P ( X 6 ) C ( ) ( ) C ( ) 10 10 2 2 2 (2) 设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6） 2 1258 所求概率为： P ( Y 2 ) C () () 10
6 6 X ~ ( ), 且 P X 0 e 即 e e 6
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
6 6 1 e 6 e 0 . 9826
A={X=1}，B={X=2}，C={X=0}
② 设Y为进行5次试验中成功的次数，则 D={Y=1}，F={Y1},G={Y3}
随机变量的分类
离散型随机变量 随机变量 连续型 非离散型 奇异型（混合型）
§2 离散型随机变量的分布律(P27)
定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … ，且取这些 值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。 可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或…
k k n
k 0 , 1 , , n
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数， P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~b(n,p), 其分布律为：
P { X k } p ( 1 p ), ( k 0 , 1 ... n ) C n
kk
n k
例2 掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概率？ （2）“3”点出现两次的概率？ 解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2） 6 6 10 6 6 10 1 1 1 所求概率： P ( X 6 ) C ( ) ( ) C ( ) 10 10 2 2 2 (2) 设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6） 2 1258 所求概率为： P ( Y 2 ) C () () 10
概率论与数理统计--第二章
变量 X 如下：
X
1, 0,
w 合格品； w 不合格品.
例2 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分， 未中目标记为0分.设X表示该射手在一次射击中的得 分，它是一个随机变量，可以表示为
1, w 击中； X 0, w 未中.
例3 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接 到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数， 那么 {X k} (k 0,1,2, )表示一随机事件， 显然 {X k} (k 0,1,2, )也表示一随机事件．
第二章 一维随机变量及其分布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
定义 设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函
数，称X ＝X (w )为随机变量.
随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．
第二节 离散型随机变量
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机 变量.
一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
xk (k 1,2, )
X 取各个可能值的概率，即事件{X xk }, 2,L 称（1）式为离散型随机变量X的分布律 .
与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X 表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律．
解 设Ai表示事件“第i台机器发生故障”，i 1,2
P{X 0} P( A1 A2 ) 0.9 0.8 0.72
P{X 1} P(A1 A2 ) P(A1A2 ) 0.1 0.8 0.9 0.2 0.26 P{X 2} P(A1A2 ) 0.1 0.2＝0.02
X
1, 0,
w 合格品； w 不合格品.
例2 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分， 未中目标记为0分.设X表示该射手在一次射击中的得 分，它是一个随机变量，可以表示为
1, w 击中； X 0, w 未中.
例3 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接 到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数， 那么 {X k} (k 0,1,2, )表示一随机事件， 显然 {X k} (k 0,1,2, )也表示一随机事件．
第二章 一维随机变量及其分布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
定义 设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函
数，称X ＝X (w )为随机变量.
随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．
第二节 离散型随机变量
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机 变量.
一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
xk (k 1,2, )
X 取各个可能值的概率，即事件{X xk }, 2,L 称（1）式为离散型随机变量X的分布律 .
与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X 表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律．
解 设Ai表示事件“第i台机器发生故障”，i 1,2
P{X 0} P( A1 A2 ) 0.9 0.8 0.72
P{X 1} P(A1 A2 ) P(A1A2 ) 0.1 0.8 0.9 0.2 0.26 P{X 2} P(A1A2 ) 0.1 0.2＝0.02
《概率论与数理统计》第二章 随机变量及其分布
两点分布或（0-1）分布
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个
元素，即Ω={ω1,ω2}，我们总能在Ω上定义一个服从 (0-1)分布的随机变量
来描述这个随机X试验X的(结)果 。10,,当当
1, 2.
例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量 是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多 次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0-1)分布的随 机变量来描述。(0-1)分布是经常遇到的一种分布。
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 P{X＝k}＝pk(1-p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)， 则称X服从(0-1)分布或两点分布。
(0-1)分布的分布律也可写成
X
0
1
pk
1-p
p
二项分布与伯努利试验
考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。 以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个 随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为o， 1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，故在n次试 验中，事件A发生k次的概率为
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
在离散型随机变量的概率分布中，事件 “X=x1”， “X=x2”....“X=xk”,...构成一个完备事件 组。因此，上述概率分布具有以下两个性质：
(1) pk 0, k 1, 2,L
(2) pk 1
k
满足上两式的任意一组数 pk , k 1, 2,L 都可以成为 离散型随机变量的概率分布。对于集合xk , k 1, 2,L
P{ X
k}
20 k
(0.2)k
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第二章PPT课件
7/28/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
分布列的基本性质
(1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
第10页
7/28/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
注 意 点 (1)
第11页
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第5页
注 意 点 (1)
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件.
0,
F
(
x)
0 .4 ,
0
.8
,
1 ,
x0 0 x1 1 x2 2 x
解：
X0 1 2 P 0.4 0.4 0.2
7/28/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第15页
2.1.4 连续随机变量的密度函数
➢ 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b).
➢ 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续 随机变量X的分布.
例2.1.1 已知 X 的分布列如下：
第13页
X0 1 2 P 1/3 1/6 1/2
求 X 的分布函数.
解：
0,
F
(
x)
1 / 1 /
3, 2,
《概率论与数理统计教程》课件
2-7
随机变量的分类
仅可能取得有限个或 可数无穷多个数值
离散型随机变量 随机变量 连续型随机变量
2-8
§2.2 离散随机变量
一. 概率分布
二. 概率函数及其性质 三. 几何分布 四. 频率分布表
2-9
概率分布
定义 随机变量X一切可能值为x1, x2, ... , xn, ... , 而取 得这些值的概率分别为p(x1), p(x2), ... , p(xn) , ... , 称为离散型随机变量的概率分布或分布律。 可以列出概率分布表如下：
1. 当一批产品总数 N很大，而抽取样品的个 数 n 远小于 N 时，可用二项分布来近似地 计算超几何分布的概率，即 m n m C M C N M M m m n m Cn p q , p n N CN
2. 实际应用中，当n/N10%时，不放回抽样（样品 中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品 中的次品数服从二项分布）区别不大。
2 - 13
课堂练习
1. P{ X i } 2a i ,i 1,2 , , 求常数a. 2. 下面给出的数列能否成为某一随机变量的 分布列: 0.1,0.2,0.3,0.4.
3. 设随机变量X的概率分布为
X P 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 a
求:(1)a的值; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3) 4. 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每 次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概 2 - 14 率分布.
P(X=n)=qn-1p, (n=1,2,...)
几何分布
2 - 15
频率分布表
频率分布表
X
f n ( xi )
x1
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离散型随机变量的分布列
X p
或
x1 , x2 , , xn , p1 , p2 , , pn ,
x1 x2 xk p1 p2 pk
性质
(1) pi 0, i1,2,
(2) pi 1. i 1
注：此时分布函数为 F(x)P(Xx)pi
且 P(aXb)pi
xix
axib
分布律确定概率
b(2)k
b2 3
k1
k1 3
1 2
2
b
3 1
2b
1
3
3
b 1. 2
几种常见的离散型分布
0-1分布(二点分布 ) △定义： 若随机变量X的分布律为:
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
如：上抛一枚硬币。
例 设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中
A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,
n=5 p=1/4 记X为共抽到的次品数，则
X ~ B(5, 1) 4
P {X2}C 5 2 1 4 2 11 4 52
例 一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.
求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不 小于8粒发芽的概率。
解 记X为发芽的种子数，则
特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了
对应关系
随机变量的定义
随机变量 设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一
个样本点 ，均有唯一的实数 X ( ) 与
之对应，称 X X() 为样本空间Ω上
的随机变量(样本点的函数)。
随机变量的两个特征:
1) 它是一个变量，它的取值随试验结果而改变 2) 随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件
由定义，显然有
•
分布函数的这三个性质称为随机变量 分布函数的特征性质。
柯尔莫哥洛夫存在性定理：
1 F(x) 1 x2
是不是某一随机变量的分布函数？
不是
因为 lim F(x) 0 x
1
函数
G(
x)
1
x2
1
(x 0) (x 0)
可作为分布函数
• P(Xk)b(k;n,p). X~B(n,p)
P(aXb)akbb(k;n,p)akbknpk(1p)nk P(Xb)kbb(k;n,p)kbknpk(1p)nk.
例从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地
抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.
解有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验
随机变量的实例
例
➢ 某个灯泡的使用寿命X。 X 的可能取值为 [0,+)
➢ 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y. Y 的可能取值为 0，1，2，3，...,
➢ 在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X. X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。
随机变量的严格定义
•
•
随机变量的分布函数
•
X～B（10, 0.9）
(1) P(X=8)= C1800.980.120.1937
(2) P(x8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
C 1 8 00 .9 8 0 .1 2 C 1 9 00 .9 9 0 .1 C 1 1 0 00 .9 1 0 0 .9 2 9 8
例 已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概
故
P(X≥1)=
P(X=1)+P(X=2)
51 3 5427 19019019095
实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达 事件的方式变了
例 从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到
次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。
解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且
第二章 一维随机变量及其分布
随机变量的概念及其分布函数 一维离散型随机变量 一维连续型随机变量 一维随机变量函数的分布
试验结果的数量化
例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白 如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。 此时， “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 {X=2} “一红一白”记为 {X=1}, “两只白球”记为 {X=0}
分布函数是一种分析性质良好的函数， 便于处理，而且给定了分布函数就可以算出 各种事件的概率，因而引进分布函数使许多 概率问题得以简化为函数的运算，这样就能 利用数学分析的许多结果，这就是引入随机 变量的好处之一。
一维离散型随机变量
离散型随机变量
若随机变量的取值只有有限个或可列多个(可数)， 则称它为离散型随机变量。
X -1 1 2
P 1/3 1/2
1/6
解
求分布律举例
例1 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任
意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量 X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。
解：X的可能取值为 0，1，2
P(X=0)
C 127
C
2 20
136 190
=P({抽得的两件全为正品})
( X=k )对应着事件 A1A2Ak1Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,…
P(X=k)= P(A1A2 Ak1Ak)(1-p)k-1p ,k=1,2,…
例 设随机变量X的分布律为
P X k b( 2)k , k 1, 2,3,
3
试确定常数b.
解
由分布律的性质,有
P(X k)
随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，
并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得
白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型
随机变量
1 X 0
（取得红球） （取得白球）
其概率分布为 P(X 1) 3 10
P(X 0) 7 10
即X服从两点分布。
二项分布
P{ X k} Cnk pk qn k ,其中, q 1 p, k 0,1,2,, n
率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保 证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?
P(X=1)
C
31C
1 17
C
2 20
51 190
=P({只有一件为次品})
P(X=2)
C
2 3
C
2 20
3 190
=P({抽得的两件全为次品})
故 X的分布律为
X0 1 2
pk
136 190
51
3
190
190
而{至少抽得一件次品}={X≥1} = {X=1}{X=2}
注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！