一维随机变量及其分布题目
第二章一维随机变量习题答案
第二章 一维随机变量2.1 以下给出的是不是某个随机变量的分布列？(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.03.05.0531 (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1.01.07.0321(3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ n n 312131213121212102 (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2221212121n 解 〔1〕是〔2〕11.01.07.0≠++，所以它不是随机变量的分布列。
〔3〕43312131213121212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ n,所以它不是随机变量的分布列。
〔4〕,021>⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 为自然数，且1211=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=n n，所以它是随机变量的分布列。
2.2 设随机变量ξ的分布列为：5,4,3,2,1,15)(===k kk P ξ，求(1))21(==ξξ或P ;(2)2521(<<ξP ) ； (3) )21(≤≤ξP 。
解 (1) 51152151)21(=+===ξξ或P ;(2) 51)2()1()2521(==+==<<ξξξP P P ;(3) )21(≤≤ξP 51)2()1(==+==ξξP P .2.3 解 设随机变量ξ的分布列为3,2,1,32)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==i C i P iξ。
求C 的值。
解 132323232=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+C ，所以3827=C。
2.4 随机变量ξ只取正整数N ，且)(N P =ξ与2N 成反比，求ξ的分布列。
解 根据题意知2)(NC N P ==ξ，其中常数C 待定。
由于16212=⋅=∑∞=πC NC N ，所以26π=C ，即ξ的分布列为226)(N N P πξ==，N 取正整数。
2.5 一个口袋中装有m 个白球、m n -个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停顿。
设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。
一维随机变量及其概率分布习题课 PPT课件
P65T25,28,31 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4
只球,以X表 示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.
(1)求X,Y的联合分布律
(2)求(X,Y)的边缘分布律
(3)X,Y是否相互独立.
解: (1) Y X 0 1
2
3
0 0 0 3/35 2/35
1 0 6/35 12/35 2/35
2
1
2
或 P0 X 2 f xdx 2xdx 0dx 1
0
0
1
CH2 随机变量
T17已知r.vX的概率密度为:
x , 0 x1
f ( x) 2 x , 1 x 2 , 求其分布函数F(x) .
0 , 其它
解: F( x) P{X x} x f (u)du
f
(
x)
1000 x2
,
x 1000
0,
其他
现有一大批此种电子元件 (是否损坏相互独立),
从中任取5只,求至少取得2只其寿命大于1500小时的概率.
解:此相当于5重贝努利试验，用Y表示寿命大于1500小时的只数
PX 1500 1 PX 1500 1
3. 常见的重要分布
A . 二项分布, X服从b(n,p)
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
(k
0,1,, n) 其 中p
P( A)
B. Poisson分布, X服从()
P{ X k} ke ,
k!
k 0,1,2,( 0)
n较
大
第二章一维随机变量及其分布
第⼆章⼀维随机变量及其分布第⼆章⼀维随机变量及其分布⼀、填空题1.已知F （x ）=P {}X x ≤,则P {}a2.设随机变量 X 的分布函数为,()0,x A Be F x -?+=?00x x >≤ 则A= ,B= （A,B 均为常数）3.设X 的分布函数为0,11,116()1,1221,2x x F x x x <--≤≤则{}1P X <= ，{}12P X <<= . 4.当常数C= 时，{},1,2,(1)CP X n n n n ===+ 为X 的分布律.5.设X 的密度函数为2,()0,x ke f x -?=??00x x >≤则{}12P X -<<= . 6.设X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}122p X P X ===，则{}3P X == . 7.设(1,4)X N ，则{}1P X <= .8.设X 的分布律为101211114436X -??，则2X 的分布律为 .9.设X 服从[]0,1上的均匀分布，则21Y X =-的密度函数为 .10.设X 的密度函数为f(x)，则XY e-=的密度函数为 .⼆、选择题1.设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，分布函数为F （x ），则下列结论正确的是（）<+=()D 当12x x <时，12()()F x F x <2.设X 的分布函数为F(x)，则下列函数中，仍为分布函数的是( )()(21)A F x - ()(1)B F x -3()()C F x ()1()D F x --3.设X 的分布函数为20,()F x x b c ??=-，，x a a x x ≤<≤>则常数a,b,c 的值为( )()A -1,1,1. ()B 1,1,1. ()C 1,0,1. ()D 1,1,0.4.设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,kP X k b k λ=== ，则常数b,λ应满⾜( )()A b>0 ()B 0<λ<1 ()C b=11λ-- ()D 以上都应满⾜5.设X 服从参数为λ的泊松分布，s 表⽰X 取偶数的概率，t 表⽰X 取奇数的概率，则有( )()A s=t ()B st ()D s 与t 的⼤⼩关系不定6.某公司汽车站从上午6点起，每15分钟有⼀班车⽤过，若某乘客到达该站的时间在 8:00到9:00服从均匀分布，则他候车的时间少于5分钟的概率是( )()A 13 ()B 23 ()C 14 ()D 127.设2X N(0,)σ，则对任⼀实数λ，下列结论正确的是( ){}{}()1A P X P x λλ<=-<- {}{}()B P X P X λλ<=> 22()X (0,)C N λλσ 22()(,)D X N λλλσ++8.设22()x xf x CeB ()C ()D9.设X 在[],a b 上服从均匀分布，,λµ的任意两实数，则下列命题正确的是( )()A X 服从均匀分布 ()B 2X 服从均匀分布()C 2(1)X λµ++服从均匀分布 ()D 2(1)X λµ-+服从均匀分布10.设X 为⼀随机变量，Y 为X 的单值函数，则下列命题不正确的是( )()A 若X 为连续型时，Y 未必为连续型 ()B 若X 为连续型时，Y 未必为离散型 ()C 若X 为离散型时，Y 未必为连续型 ()D 若X 为离散型时，Y 未必为离散型三、解答题1．盒中有4只⽩球1只⿊球，现⼀只⼀只地将球取出来，取出后不放回，设X 表⽰取到⿊球的取球次数，求X 的分布律. 2.设甲，⼄，丙三⼈同时向⼀⽬标射击⼀次，命中率分别为0.4，0.5，0.7，设X 表⽰击中，⽬标的⼈数，求X 的分布律. 3.设1cos ,0221()sin ,0220,x x f x x x ππ-≤其它试问f(x)是否为某随机变量X 的密度函数？如果是，求X 的分布函数. 4.设X 的密度函数为2(),0,k xf x Ae k x -=>-∞<<+∞,试求：(1)常数A (2){}(1,0)P X ∈- (3)X 的分布函数()F x5.设X 服从参数为1的泊松分布，{}{}2,50Y X P Y k P Y k ===+≠，k 为某⾮负整数.求{}{}5P Y k P Y k =-=+.⾍卵是否发育成幼⾍是相互独⽴的.证明昆⾍所产的幼⾍数η服从参数为p λ的泊松分布.7.设X 是[]0,1上的连续型随机变量， {}0.290.75,1P X Y X ≤==-，试决定y ，使得{}0.25P Y y ≤=.8.某班有40名学⽣，某次考试的成绩()72,64X N ,已知⼀学⽣成绩为80分.问该学⽣在全班⼤概排到多少位？9.某⼚⽣产的电⼦管寿命()()2N 1600X σ以⼩时计，，若电⼦管寿命在1200⼩时以上的概率不⼩于0.96，求σ的范围.10.已知某电⼦管元件的寿命(X ⼩时）的概率密度为110001,0()10000,0e xf x x -?>?=??≤?求 (1)这种元件能使⽤1200⼩时以上的概率； (2)5个这种元件中⾄少有3个能使⽤1200⼩时以上的概率.11.已知测量误差N 7.5,100X （⽶）（），问必须测量多少次才能使⾄少有⼀次误差的绝对值不超过10⽶的概率⼤于0.9？12设13,3X B ??，Y 服从[]0,3上的均匀分布，且X 与Y 独⽴，问⾏列式1102011X X Y -->的概率是多少？ 13.设连续型随机变量X 的密度函数为(),()0,x a x b e f x -?-=??00x x >≤期中,a b 为常数，已知曲线()y f x =在2x =时取得拐点. (1)求,a b 的值;(2)设{}()1(0)g t P t X t t =<<+>，问t 为何值时，()g t 取得最⼤值？ 14.(1)设ξ服从参数为λ的泊松分布，证明当[]k λ=时，{}P k ξ==最⼤； (2)设(,)B n p ξ，证明当[](1)k n p =+时，{}P k ξ=最⼤. 15.设X 服从指数分布，证明当,0s t >时，{}{}P X s t X s P X t >+>=>.16.设连续型随机变量X 的密度函数()f x 为偶函数，()F X 为X 的分布函数，证明()(),02x F x f t dt x -=->?.17.设X 的分布律为{}1,1,2,2k P X k k === ，求sin 2Y X π=的分布律.18对圆⽚直径进⾏测量，测量值X 在[]5,6上服从均匀的分布，求圆⽚⾯积Y 的概率密度()Y f y .19.设2(,)X N µσ ,求Y X =的概率密度()Y f y .20.设X 在[]0,2π上服从均匀分布，求Y sinX =的密度函数()Y f y21.设X 在[],a b 上服从均匀分布，Y cx d =+(0)c ≠，证明Y 仍服从均匀分布. 22.设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，若对任意{},(),(,)0a b a b P X a b <∈>，证明()Y F X =服从[]0,1上的均匀分布.23.设Z 为连续型随机变量，分布函数为()Z F z ，且对任意{},(),(,)0a b a b P Z a b <∈>，X 服从[]0,1上的均匀分布，证明1()Z Y F X -=与Z 同分布.24.设X 与Y 独⽴，X 的密度函数为()f x ，1ab Y p p ?? ?-??，证明X Y +的密度函数为()()(1)()h x p x a p f x b =-+--.第⼆章习题答案⼀、填空题1.(0)(),()(0)F b F a F b F a ----.2.1,1A B ==-.3.由题意可得X 的分布律为112111632X -??，故116P X ??<=，{}120X <<=4.由111(1)n cc n n ∞==?=+∑ 5.由20()12x f x dx ke dx k +∞+∞12()21x P X f x dx e dx e ---<<===-??6.12211!2!e e λλλλλ--=?=.{}1136P X e -==7.{}{}111110(0)(1)2X P X P X φφ-?<=-<<==-<<=--[]1111(1)(1)0.84130.3413222φφ=--=-=-= 8.24011176412X ?? ? ?9.2(1)Y X =-服从[]0,2上的均匀分布，故有：1, 02()20,Y y f y ?≤≤?=其他10.1(ln ),0()0,0Y f y y yf y y ?->?=??≤?⼆、选择题1.C6.A7.A8.B9.C 10.D 三、解答题 1.设A i 表⽰第i 次取到⿊球，1,2,3,4,5.i ={}111()5P X P A ==={}{}()()()()()()112112341213124123512344112()()()545543211154325P X P A A P A A A P X P A A A A AP A P A A P A A A P A A A A P A A A A A ====?======所以X 的分布律为X 1 2 3 4 5P15 15 15 15 152.设,,A B C 分别表⽰甲，⼄，丙击中⽬标，由题意知,,A B C 相互独⽴，则{}{}{}{}00.50.30.091230.40.50.70.14P X P ABC P A P B P C P X P ABC ABC ABC P X P ABC ABC ABC P X P ABC ==??===++==+==??=（）=（）（）（）=0.6(）=0.36（+）=0.41（）=所以X 的分布律为X 0 1 2 3 P 0.06 0.36 0.41 0.143.显然()f x ⾮负可积，且2201111()cos sin 12222f x dx xdx xdx ππ+∞故()f x 可为某随机变量X 的密度函数220202()()(),210cos ,022110cos sin ,022210,2xx x x xF x f t dtf t dt x dt tdt x dt tdt tdt x dt x ππππππππ-∞-∞--∞---∞-+∞=?<-+-≤-≥0,21sin ,0221cos ,021,2x x x x x x ππ<-+?-≤4.(1)由()1f x dx +∞-∞=?，得21k xAAedx k+∞--∞==?，所以A k =(2){}0022111(1,0)()(1)2k xk P X f x dx kedx e ----∈-===-??(3)20220,0()(),x kt xxktkt ke dt x F x f t dtp ke dt ke dt x -∞-∞--∞=??+≥221,0211,0kx e x e x -?-≥5.由题意知2k m =，25k n +=，,m n 为两个⾮负整数，225m n -=.()()5n m n m +-=.进⽽得5,1n m n m +=-=.解得3n =，2m =.即有4k =. {}{}{}{}{}{}54923P Y k P Y k P Y P Y P X P X =-=+==-===-=2311111112!3!33e e e e---=-==. 6.{},0,1,2!rP r e r r λλξ-==={}(1),0k k r k r P k r C p p r k ηξ-===-≥≥由全概率公式可得{}{}{}(1)!rk k r k r r kr kP k P r P k r e C p p r λληξηξ∞∞--========-∑∑(1)!(1)!!()!!()!r k rk k r k k r kr kp r e p p e p r k r k k r k λλλλλ-∞∞---==??-??=-=--∑∑(1)()(),0,1,2,!!k k p p p p e e e k k k λλλλλ---===即η服从参数为p λ的泊松分布.7.{}{}{}110.25P Y y P X y P X y ≤=-≤=≥-=.有对⽴事件的概率公式8.{}72807287280111888X P X P P --->=>==-≤1(1)10.84130.1587φ=-=-=400.1587 6.348?= 因此该学⽣在全班排在⼤约第七位.9.{}16001200160040012000.96X P X P σσσ--??>=>=-≥?16004004000.04,()0.04X P φσσσ-??≤-≤-≤?，即得400400400()0.96,1.75228.61.75φσσσ≥≥?≤≈ 10.(1){}6100051200112000.30121000x P X e dx e --+∞>==≈?(2)5个元件中⾄少有3个能使⽤1200⼩时以上的概率为6618612555555553()(1)101560.1674iiii C ee ee e -----=??-=-+≈∑ 11.设测量n 次，则有{}1(17.510)0.9n P X ---≤>解得2n >，故n ⾄少取3.12.{}1120(1)(2)0101XX P Y P X Y ?-->=-->{}{}{}{}{}{}223300333310,2010,201212121112223(()())()()333333381P X Y P X Y P X P Y P X P Y C C C =->->+-<-<=>>+<<=++=13.(1)当0x >时，()(1),()(2)x x f x a b x e f x a x b e --'''=+-=--，由当2x =时，()y f x =取得拐点知(2)0f ''=，得0b =.⼜()11x f x a xe dx a +∞+∞--∞=?==?，即 1a =所以,0,()0,0.x xe x f x x -?>=?≤?(2)111()()()t t t x tttg t f x dx f x dx xe dx +++-===?[](1)(1)()(1)1(1)tt tg t t e t e ee t -+--+'=+-=-- 令()0g t '=，得11t e =-，且易知当11t e =-时，()g t 取得最⼤值.14.{}{}11,(1)1,!(1)!11,kk k P k ee k k k P k k k λλλξλλλλξλ--->?表明{}P k ξ=随着k 的增⼤，由递增变成递减，若λ为整数，则k λ=及1λ-时，{}P k ξ=最⼤；若λ不为整数，则[]k λ=时，{}P k ξ=最⼤. (2)⽅法同上.15.设X 的密度函数为,()0,x e f x λλ-?=??00x x >≤{}{}{}{}{},P X s t X s P X s t P X s t X s P X s P X s >+>>+>+>==>>()x s t t s t s x se dxe e e e dxλλλλλλλ+∞--+-++∞--===??{}x t tP X t e dx e λλλ+∞-->==?所以{}{}P X s t X s P X t >+>=> 16.(1)()()()x xF x f t dt t uf u du --∞+∞-==---?()1()1()x xf u du f t dt F x +∞-∞==-=-?所以 ()()1F x F x +-=(2)01()()()()()2xx xF x f t dt f t dt f t dt f t dt --∞-∞--==-=-?17.由于1,sin 0,21,n π-??=??412241n m n m m =-==+故Y 只取1,0,1-三个值.{}{}{}{}{}41121121412151102232181115315m m mm P Y P X m P Y P X m P Y ∞-=∞==-==-=========--=∑∑所以Y 的分布律为Y 1- 0 1P215 13 81518.2224X Y X ππ??==,且X 在[]5,6上服从均匀分布.{}2()4Y F y P Y y P X y π??=≤=≤.当254y π<时，()0Y F y =；当9y π>时，()1Y F y =；当2594y ππ<<时，()55Y F y P X P X =-≤≤=≤≤=??2594()()0,Y Y y f y F y ππ<<'==?其他19.{}{}{}()X Y F y P Y y P y P y X y =≤=≤=-≤≤ 当0y ≤时，()0Y F y =；当0y >时，()Y y X y y y F y P µµµµµσσσσσ-------=≤≤=Φ-Φ?? ? ???????，1,0()()0,0Y Y y y y f y F y y µµ??σσσ??---?+>? ? ???'==???≤20.{}{}()sin Y F y P Y y P X y =≤=≤. 当1y ≤-时，()0Y F y =；当1y ≥时，()1Y F y = 当1a y ≤<时，arcsin 20arcsin 111()(2arcsin )222yY y F y dx dx y ππππππ-=+=+?；当10y -<<时，2arcsin arcsin 11()(2arcsin )22yY yF y dx y πππππ+-==+?.11()()0,Y Y y F y F y -<<'==?其他22.由(){},0P X a b ∈>知，()F x 单增，进⽽有反函数.由于0()1F x ≤≤，故当0y <时，()0Y F y =；当1y >时，()1Y F y =；01y ≤≤时，{}11()()(()).Y F y P X F y F F y y --=≤==1,01()()0,Y y y F y F y ≤≤?'==?其他23.本题只须证明Z ()()Y F y F y =.{}{}{}1Z ()(X)()()Y Z Z F y P Y y P F y P X F y F y -=≤=≤=≤=.24.{}{}{},,P X Y x P Y a X Y x P Y b X Y x +≤==+≤+=+≤{}{}{}{}{}{},,()(1)()x a x bP Y a X x a P Y b X x b P Y a P X x a P Y b P X x b p f t dt p f t dt ---∞-∞==≤-+=≤-==≤-+=≤-=+-?求导便得X Y +的密度函数为()()(1)()h x pf x a p f x b =-+--.。
一维随机变量及其分布
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分布函数 F (x) 与密度函数 f (x) 的几何意义: 建立坐标系,给出f(x)的图像。
f (x)
F (x)
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
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f ( x )的性质：
1、 f (x) 0
2
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2 离散型随机变量
一、离散型随机变量的分布律
定义 若随机变量X的可能取值是有限多个或
无穷可列多个 x1, x2, ，则称X为离散型随机变量.
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或称分布律，即
P( X xk ) pk , k 1,2, 概率分布的性质
❖ pk 0, k 1,2,
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离散型 取值为有限个和至多可列个 的随机变量. 连续型 可以取区间内一切值的随机变量.
例1 (1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点,
ω：
X(ω): 1 2 3 4 5 6 (2)某人买彩票直至买中为止，ω表示买入次数，则
ω ：买1次 买2次 ...... 买n次 ...... X(ω)：1 2 ...... n ...... (3) 记录下午两点到晚上12点电话呼入时间,则
(2) X(ω)某人买彩票直至买中为止的次数，讨论
{X＝1} {X 1} {X 3} {X 0} {1 X 5}
(3) X(ω)表示记录下午两点到晚上12点电话呼入 时间对应的随机变量 X () [0,10] ，讨论
{X 10},{X 5} {2 X 8}
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二、随机变量的分布函数
第二章一维随机变量及其分布
第二章 一维随机变量及其分布1. 将3个球随机地投到编号为1，2，3的三个盒子中，试求空盒数ξ的分布列.2. 设随机变量ξ的分布列为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8141214321 a ，试求：（1）常数a ；（2）P （42≤ξ＜）；（3）P （ξ＞1）.3. 有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数ξ的分布列.4. 设随机变量ξ的分布密度为p （x ）＝ ⎩⎨⎧≤≤ 其他 0102x x ，求P （ξ21≤）与P （241≤ξ＜）. 5. 已知某校学生英语四级的考试成绩服从正态分布),60(2σN ，现随机从该校学生中抽取3名，求下列事件的概率：(1)三名学生都通过了四级考试；(2) 三名学生中只有两名学生通过了四级考试.（达到60分予以通过）6. 学生完成一道作业的时间（单位：小时）ξ是一随机变量，它的密度函数为p(x)= 其他 ，⎩⎨⎧≤≤+,05.00 2x x cx ,(1)确定常数c ;(2)求分布函数；（3）求20分钟内完成一道作业的概率；（4）10分钟以上完成一道作业的概率.7. 某校电器（3）班学生期末考试的数学成绩x （分）近似服从正态分布N （75，102），求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？ 8. 已知随机变量ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101 ， （1） 求η＝2－ξ的分布列； （2）求η＝3＋ξ2分布列.9. 已知随机变量ξ的分布密度为)(x p ξ＝ ， 其他， ⎪⎩⎪⎨⎧<<0412ln 21x x ，且η＝2－ξ，试求η的分布密度.10. 设随机变量X 服从正态分布),(211σμN ，Y 服从正态分布),(222σμN ，且}1{}1{21<-><-μμY P X P ，试比较1σ和2σ的大小.。
概率论与数理统计第二章测习题
第 2 章一维随机变量及其分布一、选择题1．设 F(x)是随机变量X的分布函数，则以下结论不正确的选项是（A）若 F(a)=0 ，则对任意 x≤a 有 F(x)=0（B）若 F(a)=1 ，则对任意 x≥a 有 F(x)=1（C）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≤a)=1/2（D）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≥a)=1/22．设随机变量 X 的概率密度 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x) ，则（A）F(x)是偶函数（B）F(x) 是奇函数（C）F(x)+F(-x)=1（D）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量 X1, X 2的分布函数、概率密度分别为 F1 (x) 、F2 (x) ，f 1 (x)、f 2 (x) ，若 a>0, b>0, c>0，则以下结论中不正确的选项是（A）aF (x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=11（B）cF1(x) F 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1（C）af 1(x)+bf2(x)是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1（D）cf 1(x) f 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=14．设随机变量 X1, X2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x) ，则（A）f 1 (x) +f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度（B）f 1(x) f 2(x)必为某一随机变量的概率密度（C）F1(x)+F 2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F1(x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数5．设随机变量 X 遵从正态分布N (1,12)，Y遵从正态分布N (2,22) ，且P(|X1| 1) P(|Y 2| 1) ，则必有（A）1 2（B）1 2（C）1 2（D）1 26．设随机变量 X 遵从正态分布N ( ,2 ) ，则随σ的增大，概率P(|X|)（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定7．设随机变量 X1,X2的分布函数分别为 F1 (x) 、F2(x) ，为使 aF1 (x) －bF2 (x)是某一随机变量分布函数，在以下给定的各组数值中应取（A）a3 , b2（B）a2 , b2（C）a1 , b3（D）a1 , b3 553322228．设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)必然是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数9．以下陈述正确的命题是（A）若P(X1) P(X 1), 则 P(X 1)12（B）若 X~b(n, p),则 P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,,n（C）若 X 遵从正态分布 , 则 F(x)=1-F(-x)（D）lim [ F (x) F ( x)]1x10．假设随机变量X遵从指数分布，则随机变量Y=min{X,2} 的分布函数（A）是连续函数（B）最少有两其中止点（C）是阶梯函数（D）恰好有一其中止点二、填空题1．一实习生用同一台机器连接独立的制造了 3 个同种零件，第i个零件不合格的概率为 p i1个零件中合格品的个数，则 P X2i 1,2,3 ，以 X 表示3i12．设随机变量X的概率密度函数为 f x2x0 x 1以 Y 表示对 X 的三次重复观察中0其他事件 X 1出现的次数，则 P Y2 23．设连续型随机变量X的分布密度为 f x axe 3x x 0，则 a，X的分布0x0函数为4．设随机变量的分布函数b , x0, 则 a =， b =，cF ( x)ax) 2(1c,x 0,=。
一维随机变量函数的分布
fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)
FY
(
y
)
y
FX
y FX
y
y
.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)
2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y
1 4
e
(
y3 4
)
,
0
练习二(一维随机变量及其分布)--1_参考答案
【参考答案】
A 7.设随机变量ξ 服从 0-布,又知ξ 取 1 的概率为它取 0 的概率的一半,则p{ξ = 1} 是( )。
1 密 A. 3
B.0 1
C. 2 D.1 【参考答案】
A
8.离散型随机变量ξ 的分布律为P (ξ = k) = bλk ,(k = 1,2,⋯),的充分必要条件是( )。
A.b >0且0 < λ <1
)。 【参考答案】 空（1）: 0.0455
3.设随机变量ξ
的分布函数为F (x) =
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪
1−
k2 x2 + 2kx + 2 2
e −kx,x
≥0
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0,
x <0
,则p
⎧ ⎪⎪⎨⎪− ⎪ ⎩
1 k
≤ξ
≤
1 k
⎫ ⎮ ⎮ ⎬ ⎮ ⎮ ⎭
=
( )。 【参考答案】
空（1）:
线
【参考答案】
ξ 的概率密度为φ (x) =
1
− (x −1) 2
e8
2 2π
【参考答案】
ξ 的概率密度φ (x) =
⎧ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎩
λe −λx 0
x >0 x ≤0
y = 1 x3+2的反函数x = h (y) = 3 3(y−2) 3
⎧⎪
1
⎪
h '(y) =
−2
(3y−6) 3
,φ
⎥
⎦
x 0
= 1 − 1 e −x+ 1 =1− 1 e −x
22
2
2
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ex
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一、单项选择题
1
则c =A.
81 B. 41 C. 31 D. 2
1 2．某学习小组有4名男生2名女生共6个同学，从中任选2人作为学习小组长，设随机变
A B C D
3．下列各函数可作为随机变量分布函数的是 （ ）
A .⎩⎨⎧≤≤=其他0102)(1x x x F
B .⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F
C .⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<-=111111)(3x x x x x F
D .⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=121020
0)(4x x x x x F
4．设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量21X X 与的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是
某一个随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （ ） A .52,53-==
b a B .32,32==b a C .23,21=-=b a D .2
3
,21-==b a 5．设随机变量X 具有对称的概率密度，即)()(x f x f =-，则对任意0>a ，=>)|(|a X P
（ ） A .)(21a F - B .1)(2-a F C .)(2a F - D .)](1[2a F -
6．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2
μN X ，)5,(~2
μN Y ，记
}2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则 （ ） A .对任何实数μ，都有21p p = B .对任何实数μ，都有21p p < C .只对μ的个别值才有21p p = D .对任何实数μ，都有21p p >
.7 设随机变量X 的密度函数为4,01,
()0,cx x f x ⎧<<=⎨⎩其它
，则常数c =（ ）.
A. 51
B. 4
1
C. 4
D. 5
8 设2
~(1,)X N σ-且(31)0.4P X -<<-=，则(1)P X ≥= （ ）.
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.5
二、填空题
1．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布)(λπ，1
}0{-==e X P ，则=λ
2．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪
⎨⎧<<--=其他
111)(2
x x C x f ，则常数=C
3．设离散型随机变量X 的分布列为k
A k X P )2/1(}{==（ ,2,1=k ），则常数=A
4．已知随机变量X 的密度为⎩
⎨⎧<<=其它01
0)(x x a x f ，则=a
5
三、计算题
1；一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机抽取3个，以X 表示取出的3个球中最大的号码，求X 的分布列．
2 对某一目标进行射击，直至击中为止. 如果每次射击命中的概率为p ，试求射击次数X 的分布律.
3 （书P46第3）一批产品共100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布律
4 P46 4,6，7
5．某港区每天到达的万吨轮数量服从参数为2的泊松（Poission ）分布。
（1）求到达万吨轮不超过2条的概率；
（2）若Y 表示五天内到达万吨轮不超过2条的天数，写出Y 的概率分布。
6 下列函数为随机变量的分布函数，求参数a 和b
7 P50 2和4，5
9设随机变量X 的密度函数为|
|)(x Ae
x f -=（+∞<<∞-x ），求：
（1）系数A ；
（2）}11{≤≤-X P ； （3）分布函数)(x F ； （4）已知||X Y =，写出它的密度函数)(y f Y 。
0,1,(),1 1.
1, 1.x G x ax b x x ≤-⎧⎪
=+-<≤⎨⎪>⎩
()tan ()
F x bar x a x =+-∞<<∞
8 设随机变量X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他0
2
24||)(x x x f X ，
（1）求X 的分布函数)(x F X ；（2）令2X Y =，求Y 的概率密度)(y f Y 。
例 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率
例 设随机变量X ~ U ( 0, 5 ) , 求方程4 r 2 + 4X r + X + 2 = 0 有实根的概率 p
例（等待时间）公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率.
例：设随机变量
，
且二次方程 无实根的概率为0.5，则
例：在电源电压不超过200伏，在200-240伏，和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.0001,0.2。
假设电源电压服从正态分布
，试求（1）该电子元件损坏的概率 （2）该电子元件
损坏时电源电压在200-240伏的概率
2~(,)(0)X N μσσ>240y y x ++=2(220,250)N 0,
,()arcsin ,,
1,
.:(1),;
(2){};
2
(3).
X x a x F x A B a x a a x a A B a
P a X X ≤-⎧⎪⎪
=+-<≤⎨⎪>⎪⎩-<<设连续型随机变量的分布函数为
求系数的值随机变量的概率密度
书P57 6和7题
10 设X 的概率密度函数为,0,
()0,.x e x f x -⎧>=⎨⎩其他 试求2Y X =的概率密度.
书P61 1和3、5、6
四、综合应用题
．某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20﹪，以X 表示在随机抽查
的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。
（1）试写出随机变量X 的概率分布；
（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值。
（()()()9987.0)3(9938.05.29772.029332.05.1=Φ=Φ=Φ=Φ，，，）。