第二章 一维随机变量及其分布
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题
(A) P{X ≤ 0} = P{X ≥ 0} = 0.5
(B) f (x) = f (−x)
(C) P{X ≤ 1} = P{X ≥ 1} = 0.5
(D) F (x) = 1 − F (−x)
5. 设随机变量 X 的密度函数为ϕ(x) ，且ϕ(−x) = ϕ(x) ， F (x) 是 X 的分布函数，
一元件损坏仪器即停止工作，求仪器正常工作 1000 小时以上的概率。
解：设 Ai 表示第 i 个元件的寿命( i = 1,2,",5 )，则 Ai 相互独立，且
{ } P
Ai
> 1000
=
∫+∞
1000
f
(x)dx
=
∫+∞
1000
1 1000
e −x 1000 dx
=
−e −x 1000
+∞ 1000
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题第二章第二章第二章一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一内容提要与大纲要求一内容提要与大纲要求内容提要内容提要1
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第二章
第二章 一维随机变量及其分布
一、内容提要与大纲要求
内容提要
1. 随机变量及其概率分布； 2. 随机变量分布函数的概念及性质； 3. 离散型随机变量的分布； 4. 连续型随机变量的概率密度； 5. 常见随机变量的概率分布； 6. 随机变量函数的概率分布。
= 1 − 0.98400 − 400 × 0.02 × 0.98399 ≈ 0.997165 。
或：用泊松近似， λ = np = 8 ，
P{X ≥ 2} = 1− P{X < 2} = 1− (P{X = 0}+ P{X = 1})
概率统计第二章 一维随机变量及其分布
第二章 一维随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
P{X xi} pi ， i 1, 2, ．
就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
14
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同，且可能为有限个 x1, x2 , , xn ．
P{X 2} C42 0.62 0.42 0.3456 ，
P{X 3} C43 0.63 0.41 0.3456 ，
P{X 4} C44 0.64 0.40 0.1296 。
O 1234 x
例 2.5 设某机械产品的次品率为 0.005，试分别求任意1000 个产品中恰有10个次品的概率和不多于 5 个次品的概率．
所以 X 取奇数的概率为
1
i 1
P{X
2i 1}
1 2
1 23
2 2． 1 (1)2 3
20
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
第二章 一维随机变量及其分布1
两点分布（贝努里分布）
若随机变量只有两个可能的取值 0和1，其概率分布为
01
则称X服从参数为p的两点分布.
应用： 0-1分布 只有“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努 利试验；伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数——成功的概率， ——失败的概率．例如产品抽样验收：抽到不合格品——成功，抽到合 格品──失败；射击：命中──成功，脱靶──失败……
查泊松分布表可得，，于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就 能以95%以上的把握保证下月该商品不会脱销.
例5 在500个人组成的团体中，恰有5个人的生日是元旦的概率是多 少？
解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是，则该团体中生 日为元旦的人数，恰有5个人的生日是元旦的概率为
泊松定理：设随机变量序列服从二项分布（这里概率与n有关），若 满足（为常数），则有：
x 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 0.53 0.579 0.655 0.726 0.788 0.841 0.885 0.919
解：设A1={ 电压不超过200伏}，A2={ 电压在200伏~240伏}，A3={电 压超过240伏}，B={电子元件损坏} 由于 所以， 又知： 所以 Ⅲ、典型例题分析
则的分布密度为 例3 设随机变量的概率密度为
求：的分布密度函数. 解：由分布函数的定义 当时， 当时， 当即时， 当即时， 因此 分布密度为
例４. 已知Ｘ服从区间[0,1]上的均匀分布, 求Ｘ的函数Ｙ=3Ｘ+1的概率分 布. 解: 根据题意知Ｘ的概率密度为： 则Ｙ的分布函数为 对其求导得Ｙ的概率密度与Ｘ的概率密度间的关系为 即Y服从在区间[1,4]上的均匀分布. 例５. 已知Ｘ～, , 求Ｙ的概率密度. 解: Ｙ的分布函数 因ey总大于0, 而当y大于0时FX(x)为 因此有: 则Y的概率密度为其分布函数的求导:
一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B （n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（）及其应用。
3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（）、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布E（）的概率密度为会求随机变量函数的分布。
本章导读本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、随机变量1概念随机试验的每一个可能的结果（即每一基本事件），对应样本间的集合中每一元素，我们都可以设令一个实数来表示该元素，显然，为实值单值函数，称为随机变量。
对，我们试验前无法确定，也就无法事先确定的值，只有在试验后才会知道的值，但取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。
比如：将一枚硬币抛三次，以表示三次投掷中出现正面的总次数，那么，对于样本空间中的每一个样本点，都有一个值与之对应，即二、随机变量的分布函数2.1 随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量）陈氏第2技随机变量的分布函数的全新揭秘。
● 分布函数定义形式的渊源一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率由于当所以，我们只须定义一个形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。
第二章一维随机变量及其分布
第⼆章⼀维随机变量及其分布第⼆章⼀维随机变量及其分布⼀、填空题1.已知F （x ）=P {}X x ≤,则P {}a2.设随机变量 X 的分布函数为,()0,x A Be F x -?+=?00x x >≤ 则A= ,B= （A,B 均为常数）3.设X 的分布函数为0,11,116()1,1221,2x x F x x x <--≤≤则{}1P X <= ，{}12P X <<= . 4.当常数C= 时，{},1,2,(1)CP X n n n n ===+ 为X 的分布律.5.设X 的密度函数为2,()0,x ke f x -?=??00x x >≤则{}12P X -<<= . 6.设X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}122p X P X ===，则{}3P X == . 7.设(1,4)X N ，则{}1P X <= .8.设X 的分布律为101211114436X -??，则2X 的分布律为 .9.设X 服从[]0,1上的均匀分布，则21Y X =-的密度函数为 .10.设X 的密度函数为f(x)，则XY e-=的密度函数为 .⼆、选择题1.设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，分布函数为F （x ），则下列结论正确的是（）<+=()D 当12x x <时，12()()F x F x <2.设X 的分布函数为F(x)，则下列函数中，仍为分布函数的是( )()(21)A F x - ()(1)B F x -3()()C F x ()1()D F x --3.设X 的分布函数为20,()F x x b c ??=-，，x a a x x ≤<≤>则常数a,b,c 的值为( )()A -1,1,1. ()B 1,1,1. ()C 1,0,1. ()D 1,1,0.4.设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,kP X k b k λ=== ，则常数b,λ应满⾜( )()A b>0 ()B 0<λ<1 ()C b=11λ-- ()D 以上都应满⾜5.设X 服从参数为λ的泊松分布，s 表⽰X 取偶数的概率，t 表⽰X 取奇数的概率，则有( )()A s=t ()B st ()D s 与t 的⼤⼩关系不定6.某公司汽车站从上午6点起，每15分钟有⼀班车⽤过，若某乘客到达该站的时间在 8:00到9:00服从均匀分布，则他候车的时间少于5分钟的概率是( )()A 13 ()B 23 ()C 14 ()D 127.设2X N(0,)σ，则对任⼀实数λ，下列结论正确的是( ){}{}()1A P X P x λλ<=-<- {}{}()B P X P X λλ<=> 22()X (0,)C N λλσ 22()(,)D X N λλλσ++8.设22()x xf x CeB ()C ()D9.设X 在[],a b 上服从均匀分布，,λµ的任意两实数，则下列命题正确的是( )()A X 服从均匀分布 ()B 2X 服从均匀分布()C 2(1)X λµ++服从均匀分布 ()D 2(1)X λµ-+服从均匀分布10.设X 为⼀随机变量，Y 为X 的单值函数，则下列命题不正确的是( )()A 若X 为连续型时，Y 未必为连续型 ()B 若X 为连续型时，Y 未必为离散型 ()C 若X 为离散型时，Y 未必为连续型 ()D 若X 为离散型时，Y 未必为离散型三、解答题1．盒中有4只⽩球1只⿊球，现⼀只⼀只地将球取出来，取出后不放回，设X 表⽰取到⿊球的取球次数，求X 的分布律. 2.设甲，⼄，丙三⼈同时向⼀⽬标射击⼀次，命中率分别为0.4，0.5，0.7，设X 表⽰击中，⽬标的⼈数，求X 的分布律. 3.设1cos ,0221()sin ,0220,x x f x x x ππ-≤其它试问f(x)是否为某随机变量X 的密度函数？如果是，求X 的分布函数. 4.设X 的密度函数为2(),0,k xf x Ae k x -=>-∞<<+∞,试求：(1)常数A (2){}(1,0)P X ∈- (3)X 的分布函数()F x5.设X 服从参数为1的泊松分布，{}{}2,50Y X P Y k P Y k ===+≠，k 为某⾮负整数.求{}{}5P Y k P Y k =-=+.⾍卵是否发育成幼⾍是相互独⽴的.证明昆⾍所产的幼⾍数η服从参数为p λ的泊松分布.7.设X 是[]0,1上的连续型随机变量， {}0.290.75,1P X Y X ≤==-，试决定y ，使得{}0.25P Y y ≤=.8.某班有40名学⽣，某次考试的成绩()72,64X N ,已知⼀学⽣成绩为80分.问该学⽣在全班⼤概排到多少位？9.某⼚⽣产的电⼦管寿命()()2N 1600X σ以⼩时计，，若电⼦管寿命在1200⼩时以上的概率不⼩于0.96，求σ的范围.10.已知某电⼦管元件的寿命(X ⼩时）的概率密度为110001,0()10000,0e xf x x -?>?=??≤?求 (1)这种元件能使⽤1200⼩时以上的概率； (2)5个这种元件中⾄少有3个能使⽤1200⼩时以上的概率.11.已知测量误差N 7.5,100X （⽶）（），问必须测量多少次才能使⾄少有⼀次误差的绝对值不超过10⽶的概率⼤于0.9？12设13,3X B ??，Y 服从[]0,3上的均匀分布，且X 与Y 独⽴，问⾏列式1102011X X Y -->的概率是多少？ 13.设连续型随机变量X 的密度函数为(),()0,x a x b e f x -?-=??00x x >≤期中,a b 为常数，已知曲线()y f x =在2x =时取得拐点. (1)求,a b 的值;(2)设{}()1(0)g t P t X t t =<<+>，问t 为何值时，()g t 取得最⼤值？ 14.(1)设ξ服从参数为λ的泊松分布，证明当[]k λ=时，{}P k ξ==最⼤； (2)设(,)B n p ξ，证明当[](1)k n p =+时，{}P k ξ=最⼤. 15.设X 服从指数分布，证明当,0s t >时，{}{}P X s t X s P X t >+>=>.16.设连续型随机变量X 的密度函数()f x 为偶函数，()F X 为X 的分布函数，证明()(),02x F x f t dt x -=->?.17.设X 的分布律为{}1,1,2,2k P X k k === ，求sin 2Y X π=的分布律.18对圆⽚直径进⾏测量，测量值X 在[]5,6上服从均匀的分布，求圆⽚⾯积Y 的概率密度()Y f y .19.设2(,)X N µσ ,求Y X =的概率密度()Y f y .20.设X 在[]0,2π上服从均匀分布，求Y sinX =的密度函数()Y f y21.设X 在[],a b 上服从均匀分布，Y cx d =+(0)c ≠，证明Y 仍服从均匀分布. 22.设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，若对任意{},(),(,)0a b a b P X a b <∈>，证明()Y F X =服从[]0,1上的均匀分布.23.设Z 为连续型随机变量，分布函数为()Z F z ，且对任意{},(),(,)0a b a b P Z a b <∈>，X 服从[]0,1上的均匀分布，证明1()Z Y F X -=与Z 同分布.24.设X 与Y 独⽴，X 的密度函数为()f x ，1ab Y p p ?? ?-??，证明X Y +的密度函数为()()(1)()h x p x a p f x b =-+--.第⼆章习题答案⼀、填空题1.(0)(),()(0)F b F a F b F a ----.2.1,1A B ==-.3.由题意可得X 的分布律为112111632X -??，故116P X ??<=，{}120X <<=4.由111(1)n cc n n ∞==?=+∑ 5.由20()12x f x dx ke dx k +∞+∞12()21x P X f x dx e dx e ---<<===-??6.12211!2!e e λλλλλ--=?=.{}1136P X e -==7.{}{}111110(0)(1)2X P X P X φφ-?<=-<<==-<<=--[]1111(1)(1)0.84130.3413222φφ=--=-=-= 8.24011176412X ?? ? ?9.2(1)Y X =-服从[]0,2上的均匀分布，故有：1, 02()20,Y y f y ?≤≤?=其他10.1(ln ),0()0,0Y f y y yf y y ?->?=??≤?⼆、选择题1.C6.A7.A8.B9.C 10.D 三、解答题 1.设A i 表⽰第i 次取到⿊球，1,2,3,4,5.i ={}111()5P X P A ==={}{}()()()()()()112112341213124123512344112()()()545543211154325P X P A A P A A A P X P A A A A AP A P A A P A A A P A A A A P A A A A A ====?======所以X 的分布律为X 1 2 3 4 5P15 15 15 15 152.设,,A B C 分别表⽰甲，⼄，丙击中⽬标，由题意知,,A B C 相互独⽴，则{}{}{}{}00.50.30.091230.40.50.70.14P X P ABC P A P B P C P X P ABC ABC ABC P X P ABC ABC ABC P X P ABC ==??===++==+==??=（）=（）（）（）=0.6(）=0.36（+）=0.41（）=所以X 的分布律为X 0 1 2 3 P 0.06 0.36 0.41 0.143.显然()f x ⾮负可积，且2201111()cos sin 12222f x dx xdx xdx ππ+∞故()f x 可为某随机变量X 的密度函数220202()()(),210cos ,022110cos sin ,022210,2xx x x xF x f t dtf t dt x dt tdt x dt tdt tdt x dt x ππππππππ-∞-∞--∞---∞-+∞=?<-+-≤-≥0,21sin ,0221cos ,021,2x x x x x x ππ<-+?-≤4.(1)由()1f x dx +∞-∞=?，得21k xAAedx k+∞--∞==?，所以A k =(2){}0022111(1,0)()(1)2k xk P X f x dx kedx e ----∈-===-??(3)20220,0()(),x kt xxktkt ke dt x F x f t dtp ke dt ke dt x -∞-∞--∞=??+≥221,0211,0kx e x e x -?-≥5.由题意知2k m =，25k n +=，,m n 为两个⾮负整数，225m n -=.()()5n m n m +-=.进⽽得5,1n m n m +=-=.解得3n =，2m =.即有4k =. {}{}{}{}{}{}54923P Y k P Y k P Y P Y P X P X =-=+==-===-=2311111112!3!33e e e e---=-==. 6.{},0,1,2!rP r e r r λλξ-==={}(1),0k k r k r P k r C p p r k ηξ-===-≥≥由全概率公式可得{}{}{}(1)!rk k r k r r kr kP k P r P k r e C p p r λληξηξ∞∞--========-∑∑(1)!(1)!!()!!()!r k rk k r k k r kr kp r e p p e p r k r k k r k λλλλλ-∞∞---==??-??=-=--∑∑(1)()(),0,1,2,!!k k p p p p e e e k k k λλλλλ---===即η服从参数为p λ的泊松分布.7.{}{}{}110.25P Y y P X y P X y ≤=-≤=≥-=.有对⽴事件的概率公式8.{}72807287280111888X P X P P --->=>==-≤1(1)10.84130.1587φ=-=-=400.1587 6.348?= 因此该学⽣在全班排在⼤约第七位.9.{}16001200160040012000.96X P X P σσσ--??>=>=-≥?16004004000.04,()0.04X P φσσσ-??≤-≤-≤?，即得400400400()0.96,1.75228.61.75φσσσ≥≥?≤≈ 10.(1){}6100051200112000.30121000x P X e dx e --+∞>==≈?(2)5个元件中⾄少有3个能使⽤1200⼩时以上的概率为6618612555555553()(1)101560.1674iiii C ee ee e -----=??-=-+≈∑ 11.设测量n 次，则有{}1(17.510)0.9n P X ---≤>解得2n >，故n ⾄少取3.12.{}1120(1)(2)0101XX P Y P X Y ?-->=-->{}{}{}{}{}{}223300333310,2010,201212121112223(()())()()333333381P X Y P X Y P X P Y P X P Y C C C =->->+-<-<=>>+<<=++=13.(1)当0x >时，()(1),()(2)x x f x a b x e f x a x b e --'''=+-=--，由当2x =时，()y f x =取得拐点知(2)0f ''=，得0b =.⼜()11x f x a xe dx a +∞+∞--∞=?==?，即 1a =所以,0,()0,0.x xe x f x x -?>=?≤?(2)111()()()t t t x tttg t f x dx f x dx xe dx +++-===?[](1)(1)()(1)1(1)tt tg t t e t e ee t -+--+'=+-=-- 令()0g t '=，得11t e =-，且易知当11t e =-时，()g t 取得最⼤值.14.{}{}11,(1)1,!(1)!11,kk k P k ee k k k P k k k λλλξλλλλξλ--->?表明{}P k ξ=随着k 的增⼤，由递增变成递减，若λ为整数，则k λ=及1λ-时，{}P k ξ=最⼤；若λ不为整数，则[]k λ=时，{}P k ξ=最⼤. (2)⽅法同上.15.设X 的密度函数为,()0,x e f x λλ-?=??00x x >≤{}{}{}{}{},P X s t X s P X s t P X s t X s P X s P X s >+>>+>+>==>>()x s t t s t s x se dxe e e e dxλλλλλλλ+∞--+-++∞--===??{}x t tP X t e dx e λλλ+∞-->==?所以{}{}P X s t X s P X t >+>=> 16.(1)()()()x xF x f t dt t uf u du --∞+∞-==---?()1()1()x xf u du f t dt F x +∞-∞==-=-?所以 ()()1F x F x +-=(2)01()()()()()2xx xF x f t dt f t dt f t dt f t dt --∞-∞--==-=-?17.由于1,sin 0,21,n π-??=??412241n m n m m =-==+故Y 只取1,0,1-三个值.{}{}{}{}{}41121121412151102232181115315m m mm P Y P X m P Y P X m P Y ∞-=∞==-==-=========--=∑∑所以Y 的分布律为Y 1- 0 1P215 13 81518.2224X Y X ππ??==,且X 在[]5,6上服从均匀分布.{}2()4Y F y P Y y P X y π??=≤=≤.当254y π<时，()0Y F y =；当9y π>时，()1Y F y =；当2594y ππ<<时，()55Y F y P X P X =-≤≤=≤≤=??2594()()0,Y Y y f y F y ππ<<'==?其他19.{}{}{}()X Y F y P Y y P y P y X y =≤=≤=-≤≤ 当0y ≤时，()0Y F y =；当0y >时，()Y y X y y y F y P µµµµµσσσσσ-------=≤≤=Φ-Φ?? ? ???????，1,0()()0,0Y Y y y y f y F y y µµ??σσσ??---?+>? ? ???'==???≤20.{}{}()sin Y F y P Y y P X y =≤=≤. 当1y ≤-时，()0Y F y =；当1y ≥时，()1Y F y = 当1a y ≤<时，arcsin 20arcsin 111()(2arcsin )222yY y F y dx dx y ππππππ-=+=+?；当10y -<<时，2arcsin arcsin 11()(2arcsin )22yY yF y dx y πππππ+-==+?.11()()0,Y Y y F y F y -<<'==?其他22.由(){},0P X a b ∈>知，()F x 单增，进⽽有反函数.由于0()1F x ≤≤，故当0y <时，()0Y F y =；当1y >时，()1Y F y =；01y ≤≤时，{}11()()(()).Y F y P X F y F F y y --=≤==1,01()()0,Y y y F y F y ≤≤?'==?其他23.本题只须证明Z ()()Y F y F y =.{}{}{}1Z ()(X)()()Y Z Z F y P Y y P F y P X F y F y -=≤=≤=≤=.24.{}{}{},,P X Y x P Y a X Y x P Y b X Y x +≤==+≤+=+≤{}{}{}{}{}{},,()(1)()x a x bP Y a X x a P Y b X x b P Y a P X x a P Y b P X x b p f t dt p f t dt ---∞-∞==≤-+=≤-==≤-+=≤-=+-?求导便得X Y +的密度函数为()()(1)()h x pf x a p f x b =-+--.。
2一维随机变量及其分布
注 ： 后 两 条 性 质 做 直 观 理 解 即 可 ！
M.T.
例1:设随机变量的有分布为 X -1 2
3
pk
1 4
1 2
1 4
求 X的分布函数，并求
P(X
1 ),
P(3
X
5), P(2
X
3)
22
2
解: X的分布函数为 0
1
F
(x)
1
4
1
4 2
x 1 1 x 2 2 x3
X ~ B(n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布 M.T.
例2 一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15 件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的15件产品中恰有2件次品 }
C={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
解：由于从一大批产品中取15件产品，故可近 似看作是15重Bernoulli试验．
P p 1–p
0<p<1
或写成 P( X k) pk (1 p是试验的目的只考虑两个可能的结果，
常用0 – 1分布描述，如考试是否及格、产品是否格、
人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负
荷等等.－－简单且普便
M.T.
(2) 二项分布 B(n, p)
X ~ U (a,b)
0,
X 的分布函数为
F
(x)
-10
-5
a
5
x
M.T.
例1 设随机变量 具X 有概率密度函数
试确定常数A，
以及 X的分布函数.
Ae3x , x 0; f (x)
概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布
分布函数的性质：
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
0 F ( x) 1 且
x
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
F ( x ) 右连续，即
F ( x 0) lim F (t ) F ( x)
一、离散型随机变量的概念
定义: 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称 X 为离散型随机变量. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即
P( X xk ) pk , k 1,2,
概率分布的性质
pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
第二章
一维随机变量及其分布
一、随机变量及其分布 二、离散型随机变量的分布函数 三、离散型随机变量的概率函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布
2.1
2.1.1 2.1.2
随机变量及其分布
随机变量的概念 随机变量的分布函数
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学 工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的 不同结果．
请 填 空
P(a X b) F (b 0) F (a) P(a X b) F (b 0) F (a 0)
例2.1.1 设随机变量的 分布律为 :
x
pk
-1
1 4
2
1 2
3
1 4
1 求 X 的分布函数，并求: P ( X ), P ( 3 X 5 ), P (2 X 3) 2 2 2
k
1k
(2) 离散型均匀分布
概率第二章
0 1 1 1 η ~ 2 2
(1)求ξ和η的联合分布列 (1)求 (2)问 (2)问ξ和η是否独立？为什么？ 是否独立？为什么？
19
§2.3
随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数 问题：已知随机变量ξ的分布， f(ξ 问题：已知随机变量ξ的分布，令η=f(ξ), 的分布。 求η的分布。 定理1 设ξ是(Ω，F，P)的一个随机变量，f(x)是一个 P)的一个随机变量 f(x)是一个 的一个随机变量， 定理1 可测函数， f(ξ 也是( P)上的的一个随机量 上的的一个随机量. 可测函数，则η=f(ξ)也是(Ω，F，P)上的的一个随机量.
引例3 引例 掷一枚硬币 ， Ω = {ω1,ω2} 引例4 掷一枚硬币 ， 10件产品，5件次品任取 件，其 引例 件产品， 件次品任取3件 件产品 件次品任取 中的次品数ξ=0。 中的次品数ξ=0。1，2，3
1
定义1 ,P）是概率空间, 是定义在Ω 定义1：设（ Ω, F,P）是概率空间, ξ=ξ(ω)是定义在Ω 上的实值函数， 上的实值函数，如果 ∀x∈ R 有：{ω ξ (ω) < x}∈ F ∈ 则称ξ 随机变量。 则称ξ为随机变量。 定义2 离散型随机变量） 定义2：（离散型随机变量）
x1
x2
p2
x2 L p2 L
L
L
P p1
x1 p 1
或：
3
假设有10种同种电器元件，其中有2只废品， 10种同种电器元件 例5 假设有10种同种电器元件，其中有2只废品，装配仪 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 直到取出正品， 表示取出正品之前已取出的废品个 取出正品之前已取出的废品个， 直到取出正品，令ξ表示取出正品之前已取出的废品个， 数求ξ的分布列。 数求ξ的分布列。 例6 n=5的Bernoulli试验中 试验中， P(A)=p， 表示5 在n=5的Bernoulli试验中，设P(A)=p，令ξ表示5次
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 0≤F(x) ≤1 ，且
lim F x F 0
x
lim F x F 1
x
(3) 右连续性 对任意实数 x0 ，有
Fx0 0 Fx0
其中F
x0
0
lim
x x0
F
x
❖ 如某实函数具有上述3个性质，则它可作为某
随机变量的分布函数
2.2 一维离散型随机变量
离散型随机变量
如随机变量的取值只有有限个或可列多个 （可数），则称它为离散型随机变量。
pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1
非负性 规范性
2.2.1 二项分布
二项概率公式
设在一次试验中，事件Ａ出现的概率为p (0<p<1)，则在n重伯努利试验中，事件Ａ出现 次数ξ的分布律为 P{X k} Cnk pkqnk ,其中,q 1 p, k 0,1,2,, n
随机变量X所服从的分布称为二项分布。
PX
k0
k!
k
k e
e
k
ee
1
k0
k0 k!
k0 k!
即泊松分布的分布律，具备概率函数两性质。
在实际问题中，有很多随机变量都近似服从泊松分 布。例如:
▪ 在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施
（公共汽车站、商店、电话交换台等）要求给予 服务的顾客个数；
▪ 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数；
2 1 n
k 1 n
1
lim
n
kn
lim
n
npn
k
k
lim1
n
n k
lim1
n
n n
n
1
n
k
e
1
e
n n
n n
n
故得
lim
n
C
k n
pnk
1
pn
nk
k e ,
k!
k 0, 1, 2,
在应用中，当ｎ很大（n≥10 ），ｐ很小 (≤0.1) ，我们有下面的泊松近似公式
条，
因此(80+1)×100/N=2
由此解得 N=4050（条）
2.2.2泊松分布
若离散型随机变量X的分布律为
PX k k e
k!
k 0, 1, 2,
其中λ>0是常数，则称X服从泊松分 布。 记 为X～P(λ) ，λ称为参数。
因为λ>0 ，故有P(X=k)>0 。(k=0,1,2, …)
又e x xk
PX
k
Cnk
pkqnk
k
k!
e ,
k 0, 1, 2, n
其中λ=np
例 设有同类设备８０台，各台工作相互独立
的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的 故障可由一个人来处理，试求
P( X 1) 1 b(0;n, p) 1 qn
例1 已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的
概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能 保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?
解 设需要发射n枚导弹，则击中敌机的导弹数是随机
变量X～B（n，0.96） 由题意有P（X≥1）=1-(1-0.96)n >0.999
kq
kq
1 (n 1) p k kq
例 鱼塘中鱼的条数。先从塘中网起100条鱼
做上记号后放回塘里，过一段时间（使其均 匀）再从中网起80条，发现其中有记号者为2 条，求鱼的总数N。
解 设有记号的鱼的条数为ξ，则ξ服从二
项分布B(80，100/N)。 由定理，捞起的鱼最有可能是Int((n+1)p)
第二数 2.2 一维离散型随机变量 2.3 一维连续型随机变量 2.4 一维随机变量函数的分布
2.1 随机变量的概念及其分布函 数
• 2.1.1 随机变量的概念 • 2.1.2 随机变量的分布函数
随机变量的概念
定义 称定义在样本空间Ω上的实函数
▪ 落在显微镜片上的某种细菌个数
泊松定理
设随机变量Xn服从二项分布B(n,pn) (n=1,2, …)， 其中概率pn与ｎ有关，并且满足
lim
n
npn
0
则
lim
n
C
k n
pnk
1
pn
nk
k e ,
k!
k 0, 1, 2,
由定理知：泊松分布是二项分布的极限分布
证明 ： 令npn n
即pn
以X～B(n，p) 表示。
定理1 若X～B(n，p) ，则有下式成立：
1) 事件A发生的次数在k1与k2之间的概率是
k2
P(k1 X k2 ) b(k;n, p)
k k1
2) 事件A发生的次数至少为r的概率是
r 1
P( X r) 1 b(k;n, p)
k0
3) 事件A发生的次数至少为1次的概率是
X=X(ω)，ω∈Ω，是随机变量，如对任意实
数x ，集合{ω∣ X(ω) ≤x} 都是一随机事件。
注：一般X(ω) 简单记为X，
{ω∣X(ω) ≤ x} 记为{X ≤ x}
2.1.2 一维随机变量的分布函数
分布函数
设X是一个随机变量，x是任意实数，函 数F(x)=P{ω∣X(ω) ≤ x}称为随机变量X的分 布函数，记作FX(x)或F(x)。 ➢ X 的分布函数也常简记为FX(x)= P{X≤x}
故
n>lg0.001/lg0.04=2.15
取n=3，即需要发射3枚导弹。
定理2
设X~B(n,p)，令k0=Int[(n+1)p]
则k=k0时，b(k;n,p)的值最大。
若 (n+1)p为整数，则b(k0;n,p)= b(k0－1;n,p)
证明：令r＝
bk;n, p bk 1;n, p
则r (n k 1) p 1 (n k 1) p kq
n
n
C
k n
pnk 1
pn nk
nn 1n 2n
k!
k
1
n
n
k 1
n
n
nk
1
1 n
1
2 n
1
k
n
1
nk
n
k
1
n
nk
k!
n n
1
1 n
1
2 1 n k!
k
n
1
kn
1
n
n
nk
对任意固定的非负整数ｋ，有
其中ｋ为一个定数。
lim1 n
1 1 n
离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量ξ的全部取值为 x1,x2,…xn,…,且P(X=xi)=pi，i=1,2,…
则称上式为X的概率分布律。也可写作：
X p
x1 , p1 ,
x2 , p2 ,
, ,
xn, pn ,
称为ξ的 分布列
或
X~
x1 x2 xk p1 p2 pk
分布律的性质
分布函数的性质
任一随机变量X的分布函数F(x)，x∈(－∞， ＋∞)，具有下列性质：
(1) 0≤ F(x) ≤ 1 (2) 若x1<x2，则 F(x1) ≤ F(x2)
证明： 若x1<x2 ，则有 X x2 X x1
根据概率的性质，得P{X<x2} ≥P{X<x1} 即 F(x2) ≥F(x1)