高三数学一轮复习第五篇平面向量第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课件理

夯基自测
D
No
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2.(2014高考全国大纲卷)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b) ·b等于( B )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
数量积 模
夹角
a⊥b 的 充要条件 |a·b|与 |a||b|的
关系
定义及性质 a·b=|a||b|cos θ
|a|= a a
考点一 平面向量数量积运算 【例1】 (1)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:(1)因为a=(1,2),2a-b=(3,1), 所以b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3), 所以a·b=(1,2)·(-1,3)=1×(-1)+2×3=5. 故选D.
【即时训练】 (2016 江西省临川区一中高三上期中)在△ABC 中,已知 ∠BAC=90°,AB=6,若 D 点在斜边 BC 上,CD=2DB,则 AB · AD 的值为( ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)48
4.平面向量数量积的运算律 已知向量a,b,c和实数λ ,则: (1)交换律:a·b=b·a ; (2)结合律:(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b) ; (3)分配律:(a+b)·c= a·c+b·c . 5.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解 决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题. 6.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与 向量的 加法和减法 相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力F与位移s的数量积.即 W=F·s=|F||s|cos θ (θ 为F与s的夹角).
a
42
2
则 B= π ,由余弦定理得(4 4
解得 c=1.
2 )2=52+c2-2×5c×(- 3 ), 5
故向量 BA 在 BC 方向上的投影为
| BA |cos B=ccos B=1× 2 = 2 .
2
2
解析:设△ABC 为 AB=AC=2 的等腰直角三角形,建立坐标系如图,
则 A(0,0),B(2,0),C(0,2),设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
反思归(1纳)利用数量积求解长度的处理方法
①|a|2=a2=a·a;
②|a±b|2=a2±2a·b+b2;
【典例】 (2015 高考天津卷)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,
∠ABC=60°.动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 BE =λ BC , DF =
知识梳理
No
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(2)范围
向量夹角θ 的范围是 [0,π ] 夹角θ = π .
,a与b同向时,夹角θ = 0 ;a与b反向时,
(3)垂直关系 如果非零向量a与b的夹角是 90° ,我们说a与b垂直,记作 a⊥b .
2.平面向量的数量积
(1)数量积的定义
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ ,则向量a与b的数量积是数
cos θ = a b ab
a·b=0 |a·b|≤|a||b| (当且仅当 a∥b
时等号成立)
坐标表示 a·b=x1x2+y1y2
|a|= x12 y12
cos θ = x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
x1x2+y1y2=0
≤
|x1x2+y1y2|
x12 y12
3
解析:两向量的数量积是个实数,①为假命题;b在a方向上的投影是个数 量,②为假命题;a·b>0,则a,b夹角可能为0,a·b<0,则a,b夹角可能为π,③ 为假命题;两向量夹角范围是[0,π],④为假命题;a·b=0时,可能a⊥b,不 为零向量,⑤为假命题. 答案:①②③④⑤
考点专项突破 在讲练中理解知识
3
PA +
2PB
+
PC
=0,3 QA +4
QB
+5
QC
=0,则
S ∶S △PAB
△QAB
为(
)
(A)1∶2 (B)2∶5
(C)5∶2 (D)2∶1
③若 a=(x,y),则|a|= x2 y2 .
解析:(3)因为 AB · AC =| AB || AC |·cos A =| AB |·| AC |·(- 1 )=-2,所以| AB |·| AC |=4,
量 |a||b|cos θ
,记作a·b,即
|a||b|cos θ
a·b=
.
(2)向量的投影
|a|cos θ
设θ 为a与b的夹角,则向量a|在b|bc方os向θ上的投影是
;向
量b在a方向上的投影是
.
(3)数量积的Leabharlann 何意义b在a的方向上的投影|b|cos θ
数量积a·b等于a的长度|a|与
的乘
积.
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量a,b的夹角.
(291)求DC两,个则非A零E · 向A 量F的的 夹最 角小时值要为注意
.
①向量的数量积不满足结合律;
②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说
明两个向量的夹角为直角;数量积小于0且两个向量不能共线时两个向
量的夹角就是钝角.
【即时训练】 (2015 江西上饶三模)P,Q 为三角形 ABC 中不同的两点,若
9
9
cos 120°
=1+ + 2 - 1 2 9 18
≥ 17 + 2 18 3
= 29 (当且仅当 = 2 时等号成立).
18
2 9
答案: 29 18
解:②由正弦定理,得 a = b , sin A sin B
则 sin
B= b sin
A=
5 4 5
=
2 ,因为 a>b,所以 A>B,
由 3 PA +2 PB + PC =0, 得 3(-x1-y1)+2(2-x1,-y1)+(-x1,2-y1)=(0,0),
得 2-6y1=0,y1= 1 ,则 S = △PAB 1 S△CAB.由 3 QA +4 QB +5 QC =0 得
3
6
3(-x2,-y2)+4(2-x2,-y2)+5(-x2,2-y2)=(0,0),10-12y2=0,y2= 5 , 6
2 又 BC = AC - AB , 所| BC |2=| AC - AB |2=| AB |2+| AC |2-2 AB · AC =4+| AB |2+| AC |2≥4+2| AB |·| AC |=12, 所以| BC |≥2 3 , 所以| BC |的最小值为 2 3 .故选 C.
答案:(1)D
考点三 平面向量的应用 解析:法一 由题意,得到 AD=BC=CD=1,
所以 AE · AF =( AB + BE )·( AD + DF )
=(
AB
+λ
BC
)·(
AD
+
1
9
DC
)
=
AB ·
AD +λ BC ·
AD +
1
9
AB · DC + 1 BC 9
· DC
=2×1×cos 60°+λ×1×1×cos 60°+ 1 ×2×1×1+ 1 ×1×1×
(A)2 (B) 3 (C)-2 (D)- 3
2
2
考点二 平面向量的夹角与模
③解有关向量夹角问题或两向量垂直问题的思路是直接运用夹角公式 cos<a,b>= a b 或向量垂直的充要条件求解.
ab
解析:(1)因为(a+b)⊥(2a-b), 所以(a+b)·(2a-b)=0, 所以2|a|2+a·b-|b|2=0, 所以a·b=|b|2-2|a|2=2-2=0, 所以<a,b>=90°.故选C.
的最大值为( )
(A)4 2 (B)3 2 (C)4 (D)3
解析： (2)依题意,
因为|a+b|=|a-b|=2|a|.
所以 a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2=4a2,
所以 a⊥b,b2=3a2,
所以 cos<a+b,a-b>=
a2 b2
=- 1 .
a b a b
2
所以向量 a+b 与 a-b 的夹角是 2π . 3
5.下列命题中,假命题有
(填上正确的序号).
①两个向量的数量积是一个向量;
②b 在 a 方向上的投影是向量;
③若 a·b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a·b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角;
④两个向量的夹角的范围是[0, π ]; 2
⑤a·b=0,则 a=0 或 b=0.
(3)(2015 甘肃二诊)在△ABC 中,∠A=120°, AB · AC =-2,则| BC |的最小
3 5 x2 y2 2
3 5 x2 y2 2
故|c|=2 5 .
【例 2】 (1)(2015 东北三校第一次联合模拟)向量 a,b 满足|a|=1,
|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量 a 与 b 的夹角为( )
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°