优品课件之2016届九年级数学上第四章图形的相似导学案
九年级数学上册第四章图形的相似复习学案2
第四章图形的相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．2．能根据相似比进行计算．3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．四、知识点、概念总结1. 相似：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． 若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a （或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。
北师大版2016年九年级数学上册第四章《相似多边形》课件
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课堂小结
概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做 类似多边形.
类似多边形
性质：类似多边形的对应角相等，对应边成比例.
类似比：类似多边形对应边的比叫做类似比.
A
D
∴
.
∴EF2=AD·BC=3×4=12,
E
F
∴EF= .
∵四边形AEFD∽四边形EBCF,
B
C
∴AE:EB=AD:EF=3: = :2.
当堂练习
1.下列命题中，正确的是（ C ） A.所有的等腰三角形都类似 B.所有的直角三角形都类似 C.所有的等边三角形都类似 D.所有的矩形都类似
2、若△ABC∽△ A′B′C′，且AB：A′B′=1:2
a2
a3
an
同理，任意两个正方形都类似.
归纳：任意两个边数相等正多边形都类似.
问题：任意的两个菱形是否形似？
二 类似多边形的应用
例：如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，EF将四
边形ABCD分成两个类似四边形AEFD和EBCF.若AD=3，BC=4， 求AE:EB的值.
解：∵四边形AEFD∽四边形EBCF,
第四章 图形的类似
4.3 类似多边形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.了解类似多边形和类似比的概念. 2.会根据条件判断两个多边形是否为类似多边形.（重点） 3.掌握类似多边形的性质,能根据类似比进行相关的计算.（难点）
导入新课 视察与思考
想一想:下面概念及基本性质
多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的,而多边形A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.
A1 F1
九年级数学上册第4章《图形的相似》教案
第四章图形的相似1.了解线段的比.成比例线段，掌握比的性质及平行线分线段成比例的基本事实.2.了解相似多边形和相似比.3.探索并理解三角形相似的条件和性质.4.了解相似三角形判定定理的证明.5.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.6.探索并了解多边形的各顶点坐标(有一个顶点为原点，有一条边在横轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.7.了解黄金分割的意义，以及相似图形在现实生活中的应用.在研究与图形相似有关的问题中，经历观察.操作.类比.归纳.交流等过程，进一步发展几何直观和推理能力，发展发现问题.提出问题.解决问题的能力，积累数学活动经验.在探索问题.合作交流的过程中，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系和数学的价值，增强应用意识.基于《标准》的要求和学生的基础，本章设计的总体思路是以数形结合为基本方法，以合情推理能力与演绎推理能力的培养为主线，在生动的问题情境和丰富的数学活动中，了解比例的基本性质.线段的比.成比例线段;掌握平行线分线段成比例的基本事实;类比三角形全等，探索三角形相似的条件;了解相似三角形的判定定理和性质定理;了解图形的位似，体会多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系;会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.第1节“成比例线段”.第2节“平行线分线段成比例”，教科书从观察生活中的图案到观察几何图形，进而认识形状相同的图形.通过引导学生思考如何描述形状相同的图形的不同之处，引出学习线段的比的必要性和线段的比的概念，在此基础上，结合图形引出成比例线段.比例的性质，以及平行线分线段成比例等内容，从而为后面研究相似三角形做好准备.第3节“相似多边形”，教科书结合具体的形状相同的图形，明确对应角.对应边的概念，继而给出相似多边形.相似比的概念，接着通过若干具体活动进一步巩固对相似多边形概念的理解.第4节“探索三角形相似的条件”，根据相似多边形的定义，顺势引出相似三角形的概念，接着，类比三角形全等条件的探索，展现三角形相似条件的探索，明确给出相似三角形的三个判定定理，另外，本节借助相似三角形，介绍了黄金分割.黄金比及其计算过程.考虑到相似三角形判定定理的证明是《标准》规定的选学内容，教科书在得出三角形相似的条件之后，设计了第5节“相似三角形判定定理的证明”，将相似三角形判定定理的证明单独成节，是为了方便教师在教学中根据学情灵活安排.在相似三角形判定定理之后，设计了一节活动课，即第6节“利用相似三角形测高”，介绍了利用相似三角形测量旗杆高度的几种方法.第7节“相似三角形的性质”，研究相似三角形对应高的比.对应中线的比.对应角平分线的比与相似比的关系，以及周长比.面积比与相似比的关系.第8节“图形的位似”，介绍位似图形的概念，利用位似图形将一个图形放大或缩小，研究多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.【重点】1.成比例线段的性质.2.相似三角形的判定和性质.3.相似形知识在生活中的应用.【难点】1.比例的性质.2.相似多边形的判定.1.数学教学是数学活动的教学，因此建议设置丰富的问题情境，展现知识的发生.发展过程.因此，本章在研究的过程中应注重知识内容与研究方法上的联系与区别，应关注“对应”关系的确定(对应边的关系.对应角的关系等)，注重基本模型的识别与应用.2.应注重站在系统的高度，突显类比的方法，梳理相关知识，帮助学生建立知识体系;重视渗透研究几何图形的基本问题和方法，进一步把握“特殊与一般”的关系，进一步明确“性质定理与判定定理”的互逆关系，进一步发展学生合情推理与演绎推理的能力.3.注重数学思想的教学，关注对证明思路的启发，学会数学的思考，提倡证明方法的多样性;关注数学教学的生活意义与模型价值，培养学生应用意识，提倡采用数学实践活动的方式让学生用数学，感受数学的应用价值.8图形的位似2课时1成比例线段通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念，理解并掌握比例的性质.通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题.分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然.社会的密切联系.学会与他人合作交流，通过有关比的计算，让学生懂得数学的作用，从而增强学生学习数学的信心.【重点】线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质.【难点】比例线段的基本性质的运用.第课时1.了解线段的比和成比例线段的概念.2.理解比例线段的基本性质.通过生活情境理解相关概念.增强学生对数学知识来源于生活的认识.【重点】成比例线段的概念.【难点】比例线段的基本性质.【教师准备】课堂教学用的投影图片.【学生准备】测量长度的直尺，放大镜等.导入一:出示如图所示的两面大小不同的国旗，让学生比较这两面国旗有什么不同.[设计意图]以接近学生生活实际的国旗为背景，对学生进行爱国主义教育，同时提出国旗中蕴含着数学知识，激发学生的学习积极性，从而自然引入本节课内容.导入二:埃及法老阿美西斯想要测量金字塔的实际高度，可是没有一个埃及人能测出来.古希腊学者泰勒斯对法老阿美西斯说:“我只需找一个特殊的时刻，就能测出金字塔的高度.”泰勒斯在金字塔前竖立一根1 m长的木棒，他不断测量木棒的影长，当木棒的影子的长正好是1 m时，特殊时刻来了，如图所示，设金字塔的塔基宽为2b m，在塔外的影长为a m，落在塔内的影长恰为塔基宽的一半，这意味着金字塔的影长为a+b，因为木棒的高度与影长的比为1∶1，所以在同一时间同一地点的金字塔的高度与影长之比也应为1∶1，所以金字塔的高度为(a+b)m.一.两条线段的比(1)学生测量两面国旗对角线的长度后，教师总结:描述两面国旗大小之间的关系，我们可以借助于两条线段的比来说明.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成.其中线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值k，那么=k，或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图所示，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形就是线段AB和线段A'B'状相同，AB=5 cm，A'B'=3 cm，AB∶A'B'=5∶3，53的比，这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.(2)问题思考:AB∶A'B'=5∶3，这时线段A'B'与线段AB的比是多少呢?[知识拓展](1)求线段的比时，线段的长度单位要统一.(2)线段的比没有单位，所以线段的比与所采用的长度单位无关.(3)两条线段的比有先后顺序，前项和后项不能颠倒.二.成比例线段思路一如图所示，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上.(1)AB，AD，EF，EH的长度分别是多少?(2)，，，的值相等吗?【总结】四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.【思考】上图中还有哪些线段是比例线段?[知识拓展]在理解比例线段时，应注意三点:(1)比例线段是特指四条线段之间的关系，两条线段不能是比例线段，三条线段中的任意一条线段都不能重复使用时，三条线段也不能是比例线段，而五条或五条以上的线段中，只能判断其中的某四条线段能否是成比例线段.(2)成比例线段是有顺序的.即若a，b，c，d是成比例线段，则a∶b=c∶d，而不能写成a∶b=d∶c.(3)为了讨论问题方便，我们再给出两个相关的定义:①比例的内项与外项:如果四条线段a ，b ，c ，d 是比例线段，那么把线段b ，c 叫做比例内项，把线段a ，d 叫做比例外项.②第四比例项:如果四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，那么线段d 叫做线段a ，b ，c 的第四比例项.下列四组线段中，是成比例线段的是 ( )A.5 cm ，6 cm ，7 cm ，8 cmB.3 cm ，6 cm ，2 cm ，5 cmC.2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmD.12 cm ，8 cm ，15 cm ，10 cm〔解析〕 ∵5≠，∴不是成比例线段，故选项A 错误;∵3≠ 5，∴不是成比例线段，故选项B 错误;∵≠，∴不是成比例线段，故选项C 错误;∵1151，∴是成比例线段，故选项D 正确.故选D . 思路二【活动1】 建立比例线段的概念.【投影图片】 如图所示，AB =50，BC =25，A'B'=20，B'C'=10，求证.证明:∵55=2，1=2，∴. 引导学生分析得出四条线段AB ，BC ，A'B'，B'C'是成比例线段. (1)题目的已知中共有几条线段?分别是哪几条?(2)其中的线段AB ，BC 的比是多少?线段A'B'，B'C'的比是多少?其中线段AB 与BC 的比与线段A'B'与B'C'的比有何关系?(3)我们称AB ，BC ，A'B'，B'C'这四条线段是成比例线段，简称比例线段.(4)请同学们根据这个例子想一想，什么样的四条线段叫做成比例线段?(5)学生叙述，教师板书比例线段的定义:在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.【活动2】熟悉比例线段的概念.(1)定义告诉我们判定四条线段是成比例线段的方法:(其中的一个比例式)⇒a，b，c，d四条线段成比例;(2)定义告诉我们若已知四条线段成比例，则一定有比例式:a，b，c，d四条线段成比例⇒(唯一的一个比例式).与比例线段有关的概念:(1)项.内项.外项.第四比例项.a，b，c，d叫做组成比例的项，b，c叫做比例内项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的第四比例项.(2)比例中项.若作为比例内项的是两条相同的线段，即或a∶b=b∶c，那么线段b 叫做线段a，c的比例中项.三.探索比例线段的基本性质计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积.(1)5115;(2).通过计算，同学们发现了什么规律?【学生活动】两个内项的积与两个外项的积相等.【教师活动】我们把上面成比例的四个数用字母表示，即，用什么方法来说明两个内项的积与两个外项的积相等?【学生活动】学生独立思考1分钟后，分组交流探讨“如果，那么ad=bc”.【教师活动】教师巡视指导，特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】 各组汇报交流讨论的结果，教师板书出现的解决方案，由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:(1)等式 两边同时乘bd.(2)设=k ，则a =bk ，c =dk ，因此ad =(bk )d =b (dk )=bc.【教师活动】 我们又如何把乘积的形式化成比例的形式? 【学生活动】 学生共同回答“等式两边同时除以bd ”.【教师活动】 我们把以上两个方面综合起来，就是比例线段的基本性质.比例线段的基本性质:如果，那么ad =bc ;如果ad =bc (a ，b ，c ，d 都不为0)，那么. [设计意图] 从特殊情况出发，使学生对比例线段的基本性质有一个直观的认识，再让学生以一般的形式探索和推导，让全体学生充分参与，一步一步得出比例线段的基本性质，体现了“从特殊到一般”的教学思想.【教师活动】 根据上面的方法你能由推导出下列比例式吗? (1);(2);(3);(4);(5);(6) ;(7) . (教材例1)一块矩形绸布的长AB =a m ，宽AD =1 m ，按照如图所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a 的值应当是多少?解:根据题意可知，AB =a m ，AE =13a m ，AD =1 m .由 ，得131 1， 即13a 2=1，∴a 2=3.开平方，得a = 3(a =- 3舍去).【问题思考】 如果换成，那么a 的值应当是多少?1.在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称.在a∶b=c∶d中，a，d叫做比例，b，c叫做比例.如果四条线段a，b，c，d 是成比例线段，那么线段d叫做线段a，b，c的.答案:c与d的比比例线段外项内项第四比例项2.如果选用量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n，其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的和.答案:同一个长度单位前项后项3.如果，那么;如果ad=bc(a，b，c，d都不为0)，那么.答案:ad=bc第1课时1.两条线段的比2.成比例线段3.比例线段的基本性质一.教材作业【必做题】教材第79页习题4.1的1，2题.【选做题】教材第79页习题4.1的3题.二.课后作业【基础巩固】1.下列说法中错误的是 ()A.线段的比就是指它们的长度之比B.只要两条线段的长度采用同一单位，那么两条线段的比与所采用的单位无关C.求两条线段的比，一定要用同一单位，如果单位不同，应先化成同一单位，再求它们的比D.两条线段的比与两个数的比一样有正有负2.一根旗杆长6 m，在正午的阳光下，其影长为80 cm，则旗杆的长与它的影子的长度之比为()A.3B.3 C.15D.153.下列四组线段中，成比例的是()A.a=3，b=6，c=2，d=5B.a=1，b=c=d=5C.a=4，b=8，c=5，d=10D.a=2，b=5，c=d=24.一条线段的长度是另一条线段长度的3，则这两条线段的比为.5.四条线段a，b，c，d成比例，且a=14 cm，b=16 cm，c=13 cm，则d=. 【能力提升】6.下列各组线段中，能成比例的是()A.3，6，7，9B.2，5，6，8C.3，6，9，18D.1，2，3，47.已知线段a，b，c，d是比例线段，其中a=6 cm，b=4 cm，c=12 cm，求线段d的长.【拓展探究】8.已知三个数，a=1，b=2，c=请你再添一个数d，使它们能构成比例式，写出这个比例式.(至少写两个)【答案与解析】1.D2.D3.C或34.35.16.C(解析:由比例的基本性质可知，若四条线段成比例，则必有两条线段长度之积等于另两条线段长度之积，所以判断时只需看最小数与最大数之积是否等于另两数之积便可作出判断.如3×9≠ × ， × ≠5× ，3×1 = ×9，1× ≠ ×3，故选C.)7.解:因为a，b，c，d是比例线段，所以a∶b=c∶d，即d= 1 =8，所以线段d的长为8 cm.3，比例式为或.答案不唯一.8.解:如:d=23或3本课时的知识要点是强调线段对应成比例，这一点在教学的过程中得到了有效的贯彻.在理解比例线段的基础上，由特殊上升到一般，接着探讨了比例线段的基本性质.理解比的意义和比例线段，是灵活运用比例线段的基本性质的前提.在知识的讲解和例题.习题的讲练过程中，都渗透着对这个问题的处理.比例线段的比不是固定不变的.比例线段强调的是比例的大小，随着比的顺序的变化，比值也会随之变化，这一点在教学中没有特别地强调.这一点不强调，不利于学生今后理解图形的相似比.以国旗的长和宽为例，强调长和宽是一对比例线段，它们的比值是不变的.以一面国旗来讲，这里强调的是长和宽的比.从两面国旗的角度看，小国旗和大国旗的长和宽是四条对应成比例的线段.随堂练习(教材第79页)1.提示:在地图上，图上长度与实际长度的比叫比例尺.如:用同一张洗出的不同尺寸的两张照片上对应线段的比相同，按照图纸严格建造的楼房的窗户的长与宽与图纸上相应的长与宽的比相同等.2.解:长线段∶短线段=5∶1.3.解:因为a，b，c，d是成比例线段，所以a∶b=c∶d，即3∶ = ∶d，所以d=4(cm).习题4.1(教材第79页)1.解:因为在ΔABC中，∠B=9 °，AB=BC=10 cm，所以AC=10 cm.因为ED=EF=12 cm，DF=8 cm，所以 115， 1 5.2.解:∵，∴1 -5.解得AD=11.∴AD的长为11cm.3.解:由题意可知，∵AE=1AB，∴1，即AB2=2AD2，∴=2，∴ ，即原来矩形的长边与短边的比是 ∶1.关于成比例线段应注意以下两点:(1)线段的比是指两条线段长度之间的比的关系，而成比例线段是指四条线段长度之间的比的关系.(2)线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如是线段a，b，c，d成比例，而不是线段a，c，b，d成比例.通常成比例的四条线段a，b，c，d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c，d的单位一致也可以，为什么?解:例如:a=30 cm，b=50 cm，c=3 m，d=5 m，我们可以把四条线段的长度单位都化成厘米，即a=30 cm，b=50 cm，c=300 cm，d=500 cm，则3 5 35， 3535，因此;我们也可以求出 3535，35，所以.第课时理解等比的性质.通过具体数字和证明领会等比性质.鼓励和培养学生的探索精神.【重点】等比的性质.【难点】等比性质的变形及灵活运用.【教师准备】等比性质的推导过程和课堂小结的投影图片.【学生准备】复习比例线段和比例的性质.导入一:小明给小刚提出一个很有意思的问题.他说:“数学来源于生活.因此，数学中的许多定理都可以用生活中的常识来解释，请你利用一个生活常识来解释:若=…=(b+d+…+n≠0)，则…….”小刚想了想说:“若有含糖a kg的糖水b kg，含糖c kg的糖水d kg，含糖e kg的糖水f kg……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变，表示方法为:…….”小刚所举的例子有什么数学根据呢?导入二:如图所示，已知=2，你能求出的值吗?【学生活动】学生独立思考1分钟后，分组交流探讨.【教师活动】教师巡视指导，特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果，教师板书出现的解决方案，由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:因为=2，所以AB=2EF，BC=2FG，CD=2GH，DA=2HE.所以=2.【猜想】用数字验证:11 ，111531，故成立.【教师活动】用数字验证的结论可靠吗?【学生活动】学生独立思考1分钟后，分组交流探讨.【教师活动】教师巡视指导，特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果，教师板书出现的解决方案，由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:设=…==k，∴a=bk，c=dk，…，m=nk.∴………………=k=.【结论】等比性质:如果=…=(b+d+…+n≠0)，那么…….(教材例2)在ΔABC与ΔDEF中，已知3，且ΔABC的周长为18 cm，求ΔDEF的周长.解:∵3，∴3.∴ AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD)，即DE+EF+FD=3(AB+BC+CA).又∵ΔABC的周长为18 cm，即AB+BC+CA=18 cm，∴DE+EF+FD=3(AB+BC+CA)=3×1 = cm ，即ΔDEF的周长为24 cm.【思考】(1)3吗?(2)3吗?(3)如果AB+BC=10 cm，DE+EF等于多少?[设计意图]学到的知识要会应用升华，通过学生练习，使学生掌握运用比例的基本性质.等比性质来求值和说理的方法;通过归纳学生的各种解题方法，达到一题多解的目的，培养学生多角度的开放性思维能力.[知识拓展](1)将比例式转化为乘积式是有规律的，并不是比例式的四个字母中任意两个字母的乘积都等于另外两个字母的乘积，这个规律是:比例的外项乘积等于内项乘积.(2)用等比性质时，要注意b+d+…+n≠0这个条件.(3)比例的其他性质:合比性质:如果，那么.更比性质:如果，那么或.反比性质:如果，那么.1.已知2a=3b，则=.答案:32.若3x-5y=0，则=.答案:353.若3(b+d≠0)，则的值为.答案:3=.4.已知5，则33答案:5，且ΔABC的周长为36 cm，则ΔADE5.在ΔABC和ΔADE中，1的周长为.答案:21 cm第2课时1.等比性质2.等比性质的证明一.教材作业【必做题】教材第81页习题4.2的1，2题.【选做题】教材第81页习题4.2的3题.二.课后作业【基础巩固】1.已知5，那么下列等式中不一定正确的是()A.2a=5bB.5C.a+b=7D.2.若-3，则等于()A.13B.3C.3D.533.若35，则的值是()A.5B.3C.5D.54.已知直角三角形的两条直角边长的比为a∶b=1∶ ，斜边长为45 cm，那么这个三角形的面积是()A.32 cm2B.16 cm2C.8 cm2D.4 cm25.若2x-5y=0，则y∶x=，=.6.已知35，b+d+f=50，那么a+c+e=.7.如果5，那么--=.【能力提升】8.如果成立，那么下列各式一定成立的是()A. B.C.11D.9.若-，则=.10.若3，则-=.11.已知3，求-.【拓展探究】12.设a，b，c是ΔABC的三条边，且---，判断ΔABC为何种三角形，并说明理由.【答案与解析】1.C2.D3.D4.B5. ∶56.307.58.D9.1110.511.解法1:由3，得3，-3-，所以9-1，即-=9.解法2:设3=k，则x=2k，y=3k，z=4k，显然k≠0，否则x=y=z=0，分式-无意义.所以-33-=9.12.解:ΔABC为等边三角形.理由如下:设a，b，c是ΔABC的三条边，∴a+b+c ≠0.∵---，∴------=0，∴a=b=c，∴ΔABC为等边三角形.等比的性质及其变形是本课时的知识难点，为了突破这个难点，必须让学生领会等比性质的推导过程.在推导等比性质的过程中，放手让学生用自己的方法去证明和推导等比性质，加上老师恰到好处的提示和点拨，使学生深刻领会等比性质的推导过程.等比性质的变形是在课堂练习和习题当中体现的内容，是学生课后探究尝试的内容，在本课时的教学过程中，过早地交代和涉及了相关的知识，加大了本课时的课时容量，也会给学生造成知识掌握上的困难.在引导学生探究等比性质的时候，应该遵循从特殊到一般的认识规律，先让学生选择具体的数字或者任意的线段长度进行尝试，有了一定的感性认识之后，最终探索等比性质的一般形式，并适时强调等比性质成立的条件.随堂练习(教材第80页)解:由于3(b+d≠0)，因此根据等比性质得3.习题4.2(教材第81页)1.解:由于3且b+d+f≠0，因此根据等比性质得3.2.解:AB=25，DE=5，BC=2DC=AC=2EC=.CΔABC∶CΔEDC=(25+2 1 +213 ∶ 5 1 13 = ∶1.3.解:正确.设=k，则a=bk，c=dk，所以=k+1，=k+1，所以.同理，--.(1)有关比例的证明题.已知--，求证11.〔解析〕这是一道有关比例的证明题，利用比例的基本性质证明.证明:因为--，所以a(c-b)=b(a-c)，即ac-ab=ab-bc，所以ac+bc=2ab，两边同时除以abc，得11.[解题策略]解此题时，要注意a≠0，b≠0，c≠0这个隐含条件，所以在等式两边可以同时除以abc.(2)用代换思想解比例问题.若c≠0，3a=5b+2c，3a+1b=4c，求a∶b∶c.〔解析〕上面两个等式可看成方程，两个方程中有三个未知数，无法直接求解，应把其中一个字母看成已知数，用含有这个字母的式子表示另两个字母.解:由题意得35，31，解得3，，所以a∶b∶c=3b∶b∶b= ∶3∶3.(2014·牡丹江中考)若x∶y=1∶3，2y=3z，则-的值是()A.-5B.-13C.13D.5〔解析〕∵x∶y=1∶3，∴设x=k，y=3k，∵ y=3z，∴z=2k，∴-3-3=-5.故选A.若2a=3b=4c，且abc≠0，则-的值是()A.2B.-2C.3D.-3〔解析〕设2a=3b=4c=12k(k≠0)，则a=6k，b=4k，c=3k，所以-3-1-5=-2.故选B.2平行线分线段成比例1.理解平行线分线段成比例基本事实及其推论，初步熟悉平行线分线段成比例的应用.2.通过有关比的计算，激发学生学习数学.探索问题的兴趣，培养学生进行一定的问题研究的能力.通过教学，培养学生的观察.分析.概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.学会与他人合作交流.【重点】理解平行线分线段成比例基本事实及其推论.【难点】成比例的线段中对应线段的确认.【教师准备】教材图4-6，图4-7的投影图片.【学生准备】复习两条线段的比.比例线段的概念及比例的性质，并预习新课内容.导入一:如图(1)所示，梯子是施工过程中经常使用的工具，因为它的实用性和稳定性都很好，所以梯子的应用非常广泛，大到施工工地，小到日常家居，都能看到梯子的身影.如图(2)所示的梯子在生产过程中因为工作失误导致“左右不对称”，不过AB=BC=…，AD∥BE∥CF∥…，这些都符合要求，那么DE和EF相等吗?导入二:我们已经学习了成比例线段，请同学们回忆一下，什么叫成比例线段?能不能举几个例子说一说?这里给出四条线段，我们需要计算才能知道它们成不成比例，这节课我们将要学习不用计算，就知道它们成不成比例的方法，你们想知道是什么吗?【探索活动一】平行线分线段成比例的基本事实.出示教材图4-6.在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A1，A2，A3，B1，B2，B3.问题1计算线段A1A2，A2A3，B1B2，B2B3的长度.问题21 3等于13吗?问题31 13等于113吗?问题4将l2向下平移到如图4-7所示的位置，直线m，n与l2的交点分别为A2，B2，你在问题1，2，3中发现的结论还成立吗?如果将l2平移到其他位置呢?问题5在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗?(问题提示:经过计算，在图4-6中，A1A2=A2A3=4B1B2=5，B2B3=45，利用此数据可得问题2，问题3中的两条线段的比均相等.对于问题4的探索，可同样采取前3个问题的办法)[设计意图]学生对于理解“平行线分线段成比例”这一基本事实有一定的困难，这里的体验活动正好让他们对这一基本事实有一个直观理解.利用直观的操作培养学生大胆猜测.从实践中得出结论的能力，充分体现了教师为主导，学生为主体的教学原则.基本事实的总结:【文字叙述】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.【符号表述】如图所示，直线l1，l2，l3截直线a，b，且l1∥l2∥l3，则.[知识拓展](1)理解“对应”的含义:对应线段成比例，是指所得的对应位置的线段成比例，如左上左下右上右下，左上右上左下右下，左上左全右上右全，左下左全右下右全.(2)平行线分线段成比例定理与平行直线和被截两直线的交点位置无关.如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是 ()A. B.C. D.〔解析〕，AD和BC对应(同为上)，DF和CE对应(同为下)，根据平行线分线段成比例定理可知选项A正确;，BC和DF不对应(一上一下)，CE和AD不对应(一下一上)，故选项B错误;，CD和BC不对应，EF和BE。
北师大版九年级数学上第四章图形的相似相似三角形的性质导学案
北师大版九年级数学上第四章图形的相似相似三角形的性质导学案4.7.相似三角形的性质(1)学习目的：1、探求相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质处置有关的效果；2、开展先生合情推理，和有条理的表达才干教学重点：相似三角形的性质教学难点：有条理的表达与推理先生阅读1分钟，明白学习目的。
二、预习导学：〔一〕知识链接：〔4分钟〕1.相似三角形的定义是怎样的？2.相似三角形有哪些性质？〔二〕自主学习，不议不讲. 〔10分钟〕互动探求一：探求相似三角形对应高的比.在生活中，我们经常应用相似的知识处置修建类效果.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A/B/C/，CD和C/D/区分是它们的立柱。
（1）试写出△ABC与△A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2）△ACD与△A/C/D/相似吗？为什么？假设相似，指出它们的相似比。
（3）假设CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（4）据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？1回忆旧知．一方面温习前面相似三角形的知识点，另一方面引出新的知识点。
(三)协作探求展现交流。
〔10分钟〕跟踪训练：如图 3-32，AD 是△ABC 的高，AD = h，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD，垂足为E.当SR = BC 时，求DE 的长．假设SR = BC 呢？(四〕．知识梳理：谈谈你本节课的收获？〔3分钟〕本节课学到了哪些知识? 学到了那些处置效果的方法？〔五〕板书设计：〔六〕教学反思：4.7(1)当堂检测：〔15分钟〕姓名：等级:1．△ABC ∽△A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应角平分线． AD = 8 cm，A′D′= 3 cm，那么△ABC 与△A′B′C′对应高的比 .2.如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为 15 cm．他预备了一支长为 20 cm 的蜡烛，想要失掉高度为 5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的中央？经过当堂测试，教员批阅，了解先生的掌握状况。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似回顾与思考导学案
九年级数学上第四章图形的相似回顾与思考导学案一、学习目标1.掌握成比例线段、平行线分线段成比例、黄金分割的概念.2.掌握相似三角形的性质与判定，并会利用性质判定进行计算或证明.3.能够熟练运用上述的概念和性质解决实际问题. 二、温故知新，1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．3.在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：（1）''''AB BC A B B C =；（2）''''BC ACB C A C =；（3）∠A=∠A ′；（4）∠C=∠C ′． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有多少组（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 三、本章知识总结： （一）成比例线段：1.对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果ab＝ ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（二）比例的基本性质：1.如果a b ＝cd，那么 ，反之也成立．其中a 与d 叫做比例外项，b与c 叫做比例内项． 特殊地，a b ＝bc ⇔b 2＝ac.2.比例的合比性质 如果a b ＝cd ，那么3.比例的等比性质如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么 ＝a b .（三）平行线分线段成比例定理1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段2.几何语言叙述如图，当l 3∥l 4∥l 5时，有AB BC ＝DE EF ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EFDF等．C EA BD3.平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的 成比例．（四）黄金分割如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，AC>BC ，如果 ，则称线段AB 被点C 黄金分割， 点C 叫做AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，AC AB＝5－12≈0.618. 注意：一条线段有两个黄金分割点．(五）相似三角形1.定义：如果两个三角形的各角对应 ，各边对应 ，那么这两个三角形相似．2.相似三角形的性质(1）相似三角形的对应角 ，对应边 ．(2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于 ． （3）相似三角形的周长之比等于 ，面积之比等于 ． 3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他两边的延长线)相交，所构成的三AB C EF角形与原三角形相似．（2）两边对应 ，且夹角 的两个三角形相似．（3） 角对应相等的两个三角形相似 4）三边对应 的两个三角形相似． （六）位似图形的定义及性质1．定义：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线相交于 ，对应边互相 ，像这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比．2．性质 ：(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ． (2)在平面直角坐标系中，如果是以原点为位似中心，位似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 .（3）利用位似可以将一个图形放大或缩小． 四、达标检测 ：1.如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为_________．2.在Rt ABC ∆中, C ∠为直角, AB CD ⊥于点D ,5,3==AB BC ,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比.第1题 第2题 第3题3.如图，在△ABC 中,若DE ∥BC,ADDB＝2,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( )A.8cmB.12cmC.6cmD.10cm4.如图，五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，且PA 1=23PA ，则AB ׃A 1B 1等于( )A ．23B ．32C ．35D ．535.如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，则下列等式成立的是( )A.DE CB ＝AD DB B. AE CB ＝AD BD C. DE CB ＝AE AB D. AD AB ＝AEAC（5题） （6题）6.如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BFFD = ．7.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（ ）8.我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m ，则这棵树的高度约为 m ．9.若0234x y z ==≠，则23x y z+= ．10.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE BC ＝23，△ADE 的面积是8，则△ABC 的面积为.FD A BCE(10题） （11题A ．B ．C ．D ．ABC11. 如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AB 边上，且71=AB AE ，CE 交AD 于F ，△ABC 的面积为12，则△AEF 的面积为 12. 在13×13的网格中，已知△ABC 和点M(1,2)．(1)以点M 为位似中心，位似比为2∶1，画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′； (2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标．13.如图，△ABC 是一块面积为2700cm 2的三角形木板，其中BC=90cm ，现在要将这块木板加工成一个正方形的桌面，如图所示，正方形DEFM 即是要加工成的桌面，点D 、M 分别在AB 、AC 边上，点E 、F 在BC 边上，根据以上数据求出这个正方形桌面的边长.PEAB CDMF第13题 第14题14.如图，AB ∥FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，分别延长FD 和CB 交于点G.(1)求证：△ADE ≌△CFE ；(2)若GB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，求AB 的长．15.如图，直线分别y=673+-x 与x 轴y 轴交于点D 、A ，CD ⊥x 轴，且CD=4，点P 在线段OD 上运动，（1） 求出点A 和点D 的坐标.（2） 是否存在这样的点P 使△AOP 与PCD 相似，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由。
九年级数学《图形的相似》导学案
九年级数学《图形的相似》导学案学习目标1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，理解相似图形概念．学习重点：相似图形的概念。
自主学习一、课前准备（预习教材P24~ P25练习，找出疑惑之处）细读课本，试解答P25练习.二、新课导学※互动探究探究任务一：观察图片，体会相似图形【问题1】请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？归纳：叫做相似图形。
两个图形相似，其中一个图形可以看作是另一个图形放大或缩小得到。
思考：如图27.1－3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?右图呢？通过观察思考，我的结论是。
学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a～f中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？课后作业1、下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B．商店新买来的一副三角板是相似的. C．所有的课本都是相似的. D．国旗的五角星都是相似的.2、下列图形中，不是相似图形的是( )A. B. C. D.3、下列各组多边形每一组中各取两个大小不同的多边形，一定相似的是(只填序号).①三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦梯形；⑧直角三角形.4、观察下列每组图形，相似图形是（）5．在下面的图形中，形状相似的一组是( )A B C D(1) (b)(a)(2)(d) (e)(c)(f)6、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A B C D。
九年级数学上册图形的相似全章导学案
九年级数学上册图形的相似全章导学案一、相似基础知识1. 定义相似的概念是指两个图形的形状相同，但大小不同的关系。
如果说两个图形相似，那么它们的对应边长成比例，对应角度相等。
2. 相似的判定条件两个多边形相似的充分必要条件是：它们的对应角度相等（形状相同）并且对应边长成比例（大小不同）。
3. 相似比例相似多边形的相似比例是指对应边长的比。
例：以下两个图形相似，它们的相似比例是 1:2。
┌─┐┌──┼─┼──┐│ │└─────┘┌──┐┌──┼─┼─────┐│ │└─────┘4. 相似的性质•相似图形的面积和周长的比例等于相似比例的平方。
•相似三角形的高与底边的比例相等。
•相似三角形的中线和垂线与底边的比例等于相似比例。
•在平面直角坐标系中，直线段平移、旋转、镜面对称和等比例伸缩，都不改变它们之间的相似关系。
二、相似的应用1. 图形的放缩•在平面直角坐标系中，用直线段起点为定点，将直线段伸长或缩短一个相似比例，则新直线段与旧直线段相似。
•直线段和平面图形的等比例伸缩，也不改变相似关系。
2. 三角形的性质•如果对于两个三角形，其对应的角度和边长都相等，则这两个三角形相似。
•三角形的相似关系可以用三角形对边比的形式来表示。
3. 勾股定理勾股定理是三角形的基本定理之一，它指出：在直角三角形中，直角边的平方等于斜边两段与斜边的乘积。
勾股定理公式：c² = a² + b²其中，c 表示斜边，a 和 b 表示直角三角形的两条直角边。
三、相似的概念是数学中常用的一种概念，其应用很广泛。
我们学习了相似的基础定义、判定条件、相似比例和相似的性质，还学习了相似关系在图形的放缩、三角形的性质和勾股定理中的具体应用。
要牢记相似的定义和判定条件，学会使用相似比例来求解问题。
在解决问题时，我们应该注意用图形来进行辅助和推导，具体应用时还要注意数据的单位和标准化。
北师大版初中数学九年级上册《第四章 图形的相似 3 相似多边形》 公开课导学案_1
第四章 图形的相似第三节相似多边形教学目标：（1）经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义（2）在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归 纳、类比等多方面的能力，提高学生的数学思维水平。
（3）使学生体会团队合作精神，充分认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满探索与创造。
重点：相似多边形性质与判定 难点：相似多边形性质与判定 的应用教学过程第一环节 课前准备活动内容：图片收集（提前布置） 以小组为单位，开展收集活动：学生收集的图片内容丰富多彩，涉及面广,来源方式也是多种多样，有的查阅报纸杂志，有的上网查询，有的自己动手制作等等。
这些都充分展现了学生从生活中感受数学和小组团结合作的精神。
第二环节 情境引入（获取信息，体会特点）教师展示课件（播放动画）A 1B 1C 1D 1E 1F 1ABCDEF培养学生从图片直观地获得信息的读图能力，并通过亲身体验归纳总结相似图形的共同特点。
而且由此自然引出课题：“相似多边形”通过前面的展示和播放两个五边形的对应内角相等及图形的放大缩小动画，提出问题：(1)在上图两个多边形中,你认为有相等的内角吗?如果有，请你把他一一表示出来？(2)在上图两个多边形中, 你认为相等内角的两边是否成比例? 如果有，请你把他一一表示出来？（3）在上述两问题中，你如何描述这些你所列的角和边的关系？三个问题串的设置逐步引发学生对相似多边形的思考，对于这3个问题可让学生各抒己见，畅所欲言，体现学生学习的主动性。
第三环节：例题讲解例：下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？（1）正三角形ABC与正三角形DEF（2）正方形ABCD与正方形EFGH（一）例题讨论及讲解1．要求学生根据题目提出的问题结合所学的知识,画出图形、小组讨论,得出结果。
(组内互相交流协商、教师给予适当帮助)2．各小组派出代表将自己的结论进行相互比较，从而得出正确的结论。
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2016届九年级数学上第四章图形的相似导学案
第四章图形的相似 4.1成比例线段第1课时线段的比和比例的基本性质 1.了解线段的比、比例线段的概念. 2.掌握比例的基本性质，会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题. 阅读教材P76-78，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似；自学反馈学生独立完成后集体订正 1.线段的比:如果选用同一个长度单位量
得两条线段AB,CD的长度分别是m，n ,那么就说这两条线段的比（ratio）AB:CD=m:n,或写成其中,AB,CD分别叫做这个线段比的和 .如果把表示成比值k,那么 ,或AB=k•CD.两条线段的比实际上就是
两个数的比. 2.四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称 . 3.比例的基本性质如果 ,那么 = . 如果a d=bc(a,b,c,d都不等于零)，那么 = . 研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形. 活动1 小组讨论例如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a的值应当是多少？
解：根据题意可知，AB=a m，AE= a m，AD=1 m. 由，得即 . 开平方，得a= 两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( ) A. ∶2 B. ∶1 C.2∶ D.1∶ 2.把写成比例式，写错的是（） A． B． C． D． 3.下列各组线段（单位：�M）中，成比例线段的是（） A.1，2，3，4 B.1，2，2，4 C.3，5，9，13 D.1，2，2，3 4.如果，则下列成立的等式是（） A． B． C． D． 5.在比例尺为1：900000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4cm，这两地的实际距离是（） A.2250厘米 B.3.6千米 C.2.25千米 D.36千米 6.若a=3,b=4,c=6，四条线段a、b、c、d成比例，则d的长是 . 7.如果，那么． 8.A、B两地之间的高速公路为120km，在A、B间有C、D两个收费站，已知AD∶DB=11∶1，AC∶CD=2∶9，则C、D间的距离是 km. 9.已知= ≠0，求代数式的值．
10.如图，已知 = ，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长．活动3 课堂小结 1 .线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k；
2.两条线段的比是有序的;与采用的单位无关，但要选用同一长度单位；
3.两条线段的比在实际生活中的应用. 教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分. 【预习导学】自学反馈 1.前项后项 2. 比例线段 3.ad bc 【合作探究】活动2 跟踪训练 1.C 2.D 3.B
4.C
5.D
6.8
7.
8.90
9.∵ = ≠0，∴2b=3a.∴ = = = ．10.∵ = ，∴ = .解得AE=5.6cm．则AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8cm．
优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。