2013年西城区期末高三数学试题(理科)
北京2013西城高三数学一模理科试题及答案
北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科） 2013.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U=R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð（A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|1x2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）23．执行如图所示的程序框图．若输出y ==θ（A ）π6 （B ）π6- （C ）π3 （D ）π3-4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种 （B ）72种 （C ）84种 （D ）96种 5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视 图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（A ）6 （B ）12（C ）12+ （D ）24+6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（A ）1(0,]4 （B ）1[,)4+∞ （C ）1(0,]8 （D ）1[,)8+∞ 8．如图，正方体1111ABCD ABC D -中，P 为底面ABCD上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（A ）线段 （B ）圆弧 （C ）椭圆的一部分 （D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y =⎧⎨=+⎩αα（α为参数），则曲线C 的直角坐标方程为 ．10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．12．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =， 则圆O 的半径长为______；BP =______．13．在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称． 点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c a t b c a b =⋅,}b c c a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t=______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．16．（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测． （Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？ 证明你的结论． 18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒． （Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别 交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点） 的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)nn i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n n B b b b S =∈ ，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---； 1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ= ，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使AB BC λ=？说明理由； （Ⅲ）记(1,1,,1)n IS =∈ ．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．A ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．22230x y y +--=； 10．5； 11．32-12．152，5； 13．1 14．1，1[1,2． 注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， ………………1分 即ππsincos 04422a -=-=， ………………3分 解得 1a =． ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cos f x x x =-． ………………6分()()()cos g x f x f x x x =⋅-+(sin cos )(sin cos )x x x x x =--- ………………7分22(cossin )x x x =- ………………8分cos2x x = ………………9分 π2sin(2)6x =+． ………………10分由 πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得 ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -+，k ∈Z ． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (35):(22)2:1++=， ……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．………2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ………………3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528．………5分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分 所以，随机变量X 的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=，所以 BC AC ⊥． ………………2分 又因为AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ． ………………4分 （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………5分 所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． ………………6分 在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =． 设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),(,,0),(,,1)2222C A BDE --． 所以)1,21,23(-=CE ，)0,0,3(=CA ，)0,1,0(=CB ． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 10,20.x y z -+== 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n 所以 BC 与平面EAC 所成角的正弦值为552． ………………9分 （Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t CQ -=． 设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以0,10.2b b tc =⎧-+= 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ， ………………13分 即002110⨯+⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………1分且11()ax f x a x x-'=-=． ………………2分① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………3分② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(0,)a ；单调增区间为(,)a +∞．从而)(x f 的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值． ………………5分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为R ，且 ()e 3ax g x a '=+． ………………6分③ 当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增． 由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意． ………………8分④ 当0a =时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……9分⑤ 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． ()g x 和()g x '的情况如下表：当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞ ． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设 (,0)F c -，则tan60bc︒=．………………2分将 b 代入 222a b c =+，解得 2a c =．………………3分 所以椭圆的离心率为 12c e a ==． ………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c+=． ………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． ………………7分则 2122843ck x x k -+=+，121226(2)43cky y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ck G k k -++． ………………8分因为 GD AB ⊥，所以 2223431443Dck k k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． ………………9分 因为 △GFD ∽△OED ，所以 2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ ………………11分 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分 所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||7iii d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=． 由 *5a ∈N ，得 51a =，或55a =． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = ，12(,,,)n C c c c = ．因为 0∃>λ，使 AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=--- λ,,， 即 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n = ．所以 ii b a -与(1,2,,)i i c b i n -= 同为非负数或同为负数． ………………5分所以 11(,)(,)||||n n iiiii i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)niiiii b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． ………………6分（ⅱ）解：设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0∃>λ，使得AB BC λ=． ………………7分反例如下：取(1,1,1,,1)A = ，(1,2,1,1,,1)B = ，(2,2,2,1,1,,1)C ，则 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．因为(0,1,0,0,,0)AB = ，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在>0λ，使得AB BC λ=． ………………8分（Ⅲ）解法一：因为 1(,)||niii d A B b a ==-∑，设(1,2,,)ii b a i n -= 中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m = 时0i i b a -≥；1,2,,i m m n =++ 时，0i i b a -<．所以 1(,)||niii d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以11(1)(1)nniii i a b ==-=-∑∑， 整理得 11nn iii i a b ===∑∑．所以 12121(,)||2[()]niimm i d A B b a b b ba a a ==-=+++-+++∑ ．……………10分因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++ ()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121ma a a m m +++≥⨯= ，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++ 2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤．…12分 对于 (1,1,,1,1)A p =+ ，(1,1,1,,1)B p =+ ，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分 解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+． 证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+． 所以 11(,)|||(1)(1)|n niiiii i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)niii b a =≤-+-∑11|1||1|2nni i i i a b p ===-+-=∑∑． ……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)2d A B p ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,1)A p =+ ，(1,1,1,,1)B p =+ ，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分。
北京市西城区2012-2013学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
（A）充分而不必要条 （B）必要而不充分条
件
件
·3·
（C）充分必要条件
HLLYBQ 整理 供“高中试卷网（）”
（D）既不充分也不必 要条件
6．已知 a,b 是正数，且满足 2 a 2b 4．那么 a2 b2 的取 值范围是（ ）
（
( 4 ,16)
A
） （B） (4 ,16) 5
cos 3
4．执行如图所示的程序框图．若输出 S 15 ， 则框 图中
① 处可以填入（ ）
（A） k 2 （B） k 3 （C） k 4 （D） k 5
5 ． 已 知 函 数 f (x) x bcos x ， 其 中 b 为 常 数 ． 那 么
“b 0”是“ f (x) 为奇函数”的（ ）
55
（C） (1,16)
（D） (16 , 4) 5
7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的 六条棱的长度中，最大的是（ ）
（A） 2 5 （B） 2 6 （C） 2 7 （D） 4 2
8．将正整数1,2,3,4,5,6,7 随机分成两组，使得每组至 少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是
·4·
（）
分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合 A {x R | 0 x 1}， B {x R | (2x 1)(x 1) 0}，则
AB （ ）
（A） (0, 1) 2
（B） (1,1)
（C） (, 1) (1 , ) 2
（D） (, 1) (0, )
2．在复平面内，复数 5i 的对应点位于（ ） 2i
北 京 市 西 城 区 2012-2013 学 年 度第一学期期末试卷高三数学 (理科)
西城区高三二模数学(理科)参考答案
北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．>； 10．80； 11．3； 12．125； 13．21n +，4(1)n n +； 14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin ==α． ………………3分所以 211cos()cos 3226x π-=+==αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α． 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整理得 cos20=α． ………………11分因为 62ππ<<α， 所以 23π<<πα， 所以 22π=α， 即 4π=α． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===， 222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===，3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分 所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分） 【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥． ………………1分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ． ………………5分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =． ………………6分在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ， 所以1AB =，AD =又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =． 所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ． ………………8分 因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分 因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． 所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t ． 要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||3||||AM BN AM BN ⋅=， ………………12分 所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分 故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分 【方法二】（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥的空间直角坐标系xyz D -．在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=因为 2=BD ， 所以1AB =， AD =由俯视图和左视图可得：)4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ．所以 )0,3,3(-=BC ，)0,1,3(=DB ．因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅，所以BD BC ⊥． ………………2分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分 所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有 0,0.PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n因为 )0,3,3(-=BC ，)4,4,0(-=PC ，所以440,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取1=y ，得=n )1,1,3(． ………………6分因为 )3,0,3(-=AM ， 所以 ⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分 设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以 )3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t ． 要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 43||||=⋅BN AM ， ………………12分 所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分 故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以 点M 的坐标为2(,)55．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分 解得 47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………7分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分 所以00111622(2)82m x x =+≤-++-+， ………………12分 当且仅当02x =-时，上式等号成立． 所以 m的取值范围是1(0,2． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即 6350x y +-=． ………………4分 （Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得 11x =，或21x =． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1-+．………………8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33f x a =--． ………………11分 因为 14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a --73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a --723a -； 当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分 （Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''． 从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k kb b '≠． 所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． 所以 1212()()nn b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++- 22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n =，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-=， 即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ………………13分。
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合A=x x+1<3,x∈R，B=0,1,2，则A∩B= A. x0<x<2B. x−4<x<2C. 0,1,2D. 0,12. 已知复数z满足z=2i1+i，那么z的虚部为______A. −1B. −iC. 1D. i3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos A+B=13，则c= ______A. 4B.C. 3D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为______A. 34B. 45C. 56D. 15. 已知圆C：x+12+y−12=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是______A. y=x+2−B. y=x+12C. y=x−2+D. y=x+1−6. 若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足______A. a2>b2B. 1a <1bC. 0<a<bD. 0<b<a7. 定义域为R的函数f x满足f x+1=2f x，且当x∈0,1时，f x=x2−x，则当x∈−2,−1时，f x的最小值为______A. −116B. −18C. −14D. 08. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为23，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈1,5时，函数y=f x的值域为______A. 26,66B. 26,18C. 36,18D. 36,66二、填空题（共6小题；共30分）9. 在平面直角坐标系xOy中，点A1,3，B−2,k，若向量OA⊥AB，则实数k= ______．10. 若等差数列a n满足a1=12，a4+a6=5，则公差d= ______；a2+a4+a6+⋯+a20= ______．11. 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12. 甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______．（用数字作答）13. 如图，B，C为圆O上的两个点，P为CB延长线上一点，PA为圆O的切线，A为切点．若PA=2，BC=3，则PB= ______；ACAB= ______．14. 在平面直角坐标系xOy中，记不等式组x+y≥0,x−y≤0,x2+y2≤2所表示的平面区域为D．在映射T：u=x+y,v=x−y的作用下，区域D内的点x,y对应的象为点u,v．（1）在映射T的作用下，点2,0的原象是______；（2）由点u,v所形成的平面区域的面积为______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=3cosωx，g x=sin ωx−π3ω>0，且g x的最小正周期为π．（1）若fα=62，α∈−π,π，求α的值；（2）求函数y=f x+g x的单调增区间．16. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（3）当a=2时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（3）求二面角H−BD−C的大小．18. 已知函数f x=x+a e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f x的单调区间；（2）当a<1时，试确定函数g x=f x−a−x2的零点个数，并说明理由．19. 已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为1,1，直线AB的斜率为k，O为坐标原点．（1）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（2）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求 OD 的最小值．20. 设无穷等比数列a n的公比为q，且a n>0n∈N∗，a n表示不超过实数a n的最大整数（如2.5=2），记b n=a n，数列a n的前n项和为S n，数列b n的前n项和为T n．（1）若a1=4，q=12，求T n；（2）若对于任意不超过2014的正整数n，都有T n=2n+1，证明：2312012<q<1．（3）证明：S n=T n n=1,2,3,⋯的充分必要条件为a1∈N∗，q∈N∗．答案第一部分1. D2. C3. D4. B5. A6. C7. A8. D第二部分9. 410. 12；5511. 2312. 2413. 1；214. 1,1；π第三部分15. （1）因为g x=sin ωx−π3ω>0的最小正周期为π，所以2πω=π，解得ω=2．由fα=62，得3cos2α=62，即cos2α=22，所以2α=2kπ±π4，k∈Z．因为α∈−π,π，所以α∈ −7π8,−π8,π8,7π8．（2）y=f x+g x=3cos2x+sin2x−π3=3cos2x+sin2x cosπ3−cos2x sinπ3 =12sin2x+32cos2x=sin2x+π3,由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12．所以函数y=f x+g x的单调增区间为 kπ−5π12,π+π12k∈Z．16. （1）依题意，得1388+92+92=1390+91+90+a，解得a=1．（2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，依题意a=0,1,2,⋯,9，共有10种可能．由（1）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当a=2,3,4,⋯,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P A=810=45．（3）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：88,90，88,91，88,92，92,90，92,91，92,92，92,90，92,91，92,92，则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0，1，2，3，4．因此P X=0=29，P X=1=29，P X=2=13，P X=3=19，P X=4=19．所以随机变量X的分布列为：X01234P2929131919所以X的数学期望E X=0×29+1×29+2×13+3×19+4×19=53．17. （1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以ED⊥AC．因为ED∩BD=D，所以AC⊥平面BDEF．（2）设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON．因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，所以ON∥ED．又因为ED⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD，由AC⊥BD，得OB,OC,ON两两垂直．O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，BF=3，所以A 0,−3,0，B1,0,0，D−1,0,0，E−1,0,3，F1,0,3，C 0,3,0，H12,32,32．因为AC⊥平面BDEF，所以平面BDEF的法向量AC=0,23,0．设直线DH与平面BDEF所成角为α，由DH=32,32,32，得sinα=cos DH,AC=DH⋅ACDH AC=32×0+32×23+32×021×23=77,所以直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为77．（3）由（2），得BH= −12,32,32，DB=2,0,0．设平面BDH的法向量为n=x1,y1,z1，所以n⋅BH=0,n⋅DB=0,即−x1+3y1+3z1=0,2x1=0,令z1=1，得n=0,−3,1．由 ED ⊥平面ABCD ，得平面 BCD 的法向量为 ED= 0,0,−3 ，则cos n ,ED =n ⋅EDn ED=0×0+ − 3 ×0+1× −3 2×3=−12.由图可知二面角 H −BD −C 为锐角，所以二面角 H −BD −C 的大小为 60∘． 18. （1） 因为 f x = x +a e x ，x ∈R ， 所以 fʹ x = x +a +1 e x ． 令 fʹ x =0，得 x =−a −1．当 x 变化时，f x 和 fʹ x 的变化情况如下：x−∞,−a −1 −a −1 −a −1,+∞ fʹ x −0+f x ↘↗故 f x 的单调减区间为 −∞,−a −1 ；单调增区间为 −a −1,+∞ ． （2） 结论：函数 g x 有且仅有一个零点．理由如下： 由 g x =f x −a −x 2=0，得方程 x e x−a =x 2， 显然 x =0 为此方程的一个实数解． 所以 x =0 是函数 g x 的一个零点． 当 x ≠0 时，方程可化简为 e x−a =x ．设函数 F x =e x−a −x ，则 Fʹ x =e x−a −1，令 Fʹ x =0，得 x =a ． 当 x 变化时，F x 和 Fʹ x 的变化情况如下：x−∞,a a a ,+∞Fʹ x−0+F x ↘↗即 F x 的单调增区间为 a ,+∞ ；单调减区间为 −∞,a ．所以 F x 的最小值 F x min =F a =1−a ． 因为 a <1，所以 F x min =F a =1−a >0， 所以对于任意 x ∈R ，F x >0， 因此方程 e x−a =x 无实数解．所以当 x ≠0 时，函数 g x 不存在零点． 综上，函数 g x 有且仅有一个零点． 19. （1） 抛物线 y =x 2 的焦点为 0,14 ． 由题意，得直线 AB 的方程为 y −1=k x −1 ，令 x =0，得 y =1−k ，即直线 AB 与 y 轴相交于点 0,1−k ． 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方， 所以 1−k >14，解得 k <34．（2） 由题意，设 B x 1,x 12 ，C x 2,x 22 ，D x 3,y 3 ，联立方程 y −1=k x −1 ,y =x 2, 消去 y ，得x 2−kx +k −1=0，由韦达定理，得 1+x 1=k ，所以 x 1=k −1． 同理，得 AC 的方程为 y −1=−1k x −1 ，x 2=−1k −1． 对函数 y =x 2 求导，得 yʹ=2x ，所以抛物线y=x2在点B处的切线斜率为2x1，所以切线BD的方程为y−x12=2x1x−x1，即y=2x1x−x12．同理，抛物线y=x2在点C处的切线CD的方程为y=2x2x−x22．联立两条切线的方程y=2x1x−x12,y=2x2x−x22,解得x3=x1+x22=12k−1k−2，y3=x1x2=1k−k，所以点D的坐标为12 k−1k−2,1k−k ．因此点D在定直线2x+y+2=0上．因为点O到直线2x+y+2=0的距离d=22+12=255,所以 OD ≥255，当且仅当点D的坐标为−45,−25时等号成立．由y3=1k −k=−25，得k=1±265，验证知符合题意．所以当k=1±265时， OD 有最小值255．20. （1）由等比数列a n的a1=4，q=12，得a1=4，a2=2，a3=1，且当n>3时，0<a n<1．所以b1=4，b2=2，b3=1，且当n>3时，b n=a n=0．即T n=4,n=1, 6,n=2, 7,n≥3.（2）因为T n=2n+1n≤2014，所以b1=T1=3，b n=T n−T n−1=22≤n≤2014．因为b n=a n，所以a1∈3,4，a n∈2,32≤n≤2014．由q=a2a1，得q<1．因为a2014=a2q2012∈2,3，所以q2012≥2a2>23，所以23<q2012<1，即231<q<1．（3）（充分性）因为a1∈N∗，q∈N∗，所以a n=a1q n−1∈N∗，所以b n=a n=a n对一切正整数n都成立．因为S n=a1+a2+⋯+a n，T n=b1+b2+⋯+b n，所以S n=T n．（必要性）因为对于任意的n∈N∗，S n=T n，当n=1时，由a1=S1，b1=T1，得a1=b1；当n≥2时，由a n=S n−S n−1，b n=T n−T n−1，得a n=b n．所以对一切正整数n都有a n=b n．由b n∈Z，a n>0，得对一切正整数n都有a n∈N∗，所以公比q=a2a1为正有理数．假设q∉N∗，令q=pr，其中p,r∈N∗，r>1，且p与r的最大公约数为1．因为a1是一个整数，所以必然存在一个整数k k∈N，使得a1能被r k整除，而不能被r k+1整除．又因为a k+2=a1q k+1=a1p k+1，且p与r的最大公约数为1．r所以a k+2∉Z，这与a n∈N∗（n∈N∗）矛盾．所以q∈N∗．因此a1∈N∗，q∈N∗．。
北京市西城区2013届高三第二次模拟数学理科
2013北京西城区高三二模数学理科一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 在每题给出的四个选项中，选出符合要求的一项 1. 设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则C U ()AB 等于A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,4,5} √C ．{1,2,5}D ．{3}2. “ln 1x >”是“1x >”的A ．充分不必要条件 √B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 假设0b a <<，则以下不等式中正确的选项是A ．11a b> B ．a b >C ．2b aa b+> √ D ．a b ab +>4. 如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其正〔主〕视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧〔左〕视图的面积为AB． √ C． D ．45. 数列{}n a 满足11a =，23a =，1(2)n n a n a λ+=-〔1,2,n =〕，则3a 等于A ．15 √B ．10C ．9D ．56. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图〔如下列图〕，则图中判断框〔1〕处合适的语句是A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥ √D ．11i ≥正〔主〕视图ABCA 1B 1C 17. 设集合{129}S =，，，，集合123{,,}A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为A ． 78B ．76C ．84D ．83 √8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB AD =. 设DAB θ∠=，(0,)2πθ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则A ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 为定值B ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 为定值 √C ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 也增大D ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 也减小二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 9. 某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如下列图的频率分布直方图.则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有______名.10. 在261()x x+的展开式中，常数项是______.〔结果用数值表示〕11. 如图，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .假设60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC ∠=________,PA=________.12. 圆1,:2x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩〔θ为参数〕的半径为______, 假设圆C 与直线0x y m -+=相切，则m =______.13. 设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则()++⋅a b c c 的最大值为_____.B14. 已知函数()e ln xf x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出以下命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是_____．〔写出所有正确命题的序号〕②、④三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.〔本小题总分值13分〕如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2AD BC CD ===，60A =. 〔Ⅰ〕求sin ABD ∠的值； 〔Ⅱ〕求BCD ∆的面积.16.〔本小题总分值13分〕一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.〔Ⅰ〕假设从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；〔Ⅱ〕假设从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望.17.〔本小题总分值13分〕如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =.〔Ⅰ〕求证：1//C D 平面11ABB A ；〔Ⅱ〕求直线1BD 与平面11AC D 所成角的正弦值； 〔Ⅲ〕求二面角11D AC A --的余弦值.ADD 1A 1B 1C 1A BCD18.〔本小题总分值13分〕已知0a ≥，函数2()f x x ax =+．设1(,)2a x ∈-∞-，记曲线()y f x =在点11(,())M x f x 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是2(,0)N x ，O 为坐标原点．〔Ⅰ〕证明：21212x x x a=+；〔Ⅱ〕假设对于任意的1(,)2a x ∈-∞-，都有916aOM ON ⋅>成立，求a 的取值范围．19.〔本小题总分值14分〕如图，椭圆22:14y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，.〔Ⅰ〕假设CE FD =，求直线l 的方程；〔Ⅱ〕设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，假设12:2:1k k =，求k 的值.20.〔本小题总分值14分〕在数列{}n a 和{}n b 中，n n a a =，(1)n b a n b =++，1,2,3,n =，其中2a ≥且a ∈*N ，b ∈R .〔Ⅰ〕假设11a b =，22a b <，求数列{}n b 的前n 项和；〔Ⅱ〕证明：当2,a b =={}n b 中的任意三项都不能构成等比数列；〔Ⅲ〕设123{,,,}A a a a =，123{,,,}B b b b =，试问在区间[1,]a 上是否存在实数b 使得C A B =≠∅.假设存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；假设不存在，试说明理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷〔理科〕2010.5一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A C B A C D B二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9.4010.1511.60，312.，3或1-13.114. ②④注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.14题②④选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.三、解答题：〔本大题共6小题，共80分.假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.〕15、解：〔Ⅰ〕已知60A =，由余弦定理得2222cos7BD AB AD AB AD A=+-⋅=，解得BD=…………………3分由正弦定理，sin sinAD BDABD A=∠，所以sin sinADABD ABD∠=. …………………5分7==. …………………7分〔Ⅱ〕在BCD∆中，2222cosBD BC CD BC CD C=+-⋅，所以744222cos C=+-⨯⨯，1cos8C=，…………………9分因为(0,)C∈π，所以sin C=…………………11分所以，BCD∆的面积1sin2S BC CD C=⋅⋅=…………………13分16、解：〔Ⅰ〕设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，A BCD由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25， …………………2分 则2232336()()55125P A C =⨯=. …………………5分 〔Ⅱ〕依题意，X 的可能取值为1,2,3,4. …………………6分2(1)5P X ==， …………………7分 323(2)5410P X ⨯===⨯， …………………9分3221(3)5435P X ⨯⨯===⨯⨯， …………………10分3211(4)54310P X ⨯⨯===⨯⨯， …………………11分所以X 的分布列为X 1 2 3 4P25 310 15 110 …………………12分2311()12342510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………13分17、〔Ⅰ〕证明：四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，又1CC ⊄面11ABB A ，所以1//CC 平面11ABB A ， …………………2分ABCD 是正方形，所以//CD AB ，又CD ⊄面11ABB A ，所以//CD 平面11ABB A ， …………………3分 所以平面11//CDD C 平面11ABB A ，所以1//C D 平面11ABB A . …………………4分 〔Ⅱ〕解：ABCD 是正方形，AD CD ⊥，因为1A D ⊥平面ABCD ， 所以1A D AD ⊥，1A D CD ⊥，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，. …………………5分在1ADA ∆中，由已知可得1A D ，所以11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A A C -，11(0,1,3),(1(1,1,0)B D B -， 1(2,1BD =--， ………6分因为1A D ⊥平面ABCD ， 所以1A D ⊥平面1111A B C D ，111A D B D ⊥，又1111B D A C ⊥，所以11B D ⊥平面11AC D ，…………………7分所以平面11AC D 的一个法向量为(1,1,0)=n ， …………………8分设1BD 与n 所成的角为β， 则113cos 42BD BD β⋅-===-n n ， …………………9分所以直线1BD 与平面11AC D 所成角的正弦值为34. …………………10分 〔Ⅲ〕解：设平面11A C A 的法向量为(,,)a b c m=，则1110,0AC A A ⋅=⋅=m m , 所以0ab -+=，0a -=，令c =m =， …………………12分 设二面角11D AC A --的大小为α， 则cosα⋅===m n m n 所以二面角11D AC A --. …………………13分 18、解：〔Ⅰ〕对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，故切线l 的斜率为12x a +， …………………2分由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-． …………………4分令0y =，得22111211122x ax x x x x a x a+=-+=++. …………………5分1〔Ⅱ〕由2211111(,),(,0)2x M x x ax N x a ++，得3112x OM ON x a⋅=+. …………6分 所以0a =符合题意， ………………7分当0a >时，记3111()2x g x x a=+，1(,)2a x ∈-∞-．对1()g x 求导数，得211121(43)()(2)x x a g x x a +'=+, …………………8分 令1()0g x '=，得13(,)42a a x =-∈-∞-. 当1(,)ax ∈-∞-时，1()g x '的变化情况如下表：所以，函数1()g x 在(,)4-∞-上单调递减，在(,)42--上单调递增，……10分 从而函数1()g x 的最小值为2327()432a g a -=. …………………11分依题意22793216a a >， …………………12分 解得23a >，即a 的取值范围是2(,)3+∞. …………………13分综上，a 的取值范围是2(,)3+∞或0a =.19、解：〔Ⅰ〕设1122(,),(,)C x y D x y ，由2244,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得22(4)230k x kx ++-=， 222412(4)1648k k k ∆=++=+，12224k x x k -+=+，12234x x k -=+， …………………2分 由已知1(,0),(0,1)E F k -，又CE FD =，所以11221(,)(,1)x y x y k---=- …………………4分 所以121x x k --=，即211x x k+=-， …………………5分所以2214k k k-=-+，解得2k =±， …………………6分 符合题意，所以，所求直线l 的方程为210x y -+=或210x y +-=. …………………7分 〔Ⅱ〕2121y k x =+，1211y k x =-，12:2:1k k =， 所以2112(1)2(1)1y x y x -=+， …………………8分平方得22212212(1)4(1)y x y x -=+， …………………9分又221114y x +=，所以22114(1)y x =-，同理22224(1)y x =-，代入上式， 计算得2112(1)(1)4(1)(1)x x x x --=++，即121235()30x x x x +++=，…………………12分所以231030k k -+=，解得3k =或13k =， …………………13分 因为2112(1)2(1)1y x y x -=+，12,(1,1)x x ∈-，所以12,y y 异号，故舍去13k =，所以3k =. …………………14分20、解：〔Ⅰ〕因为11a b =，所以1a a b =++，1b =-， …………………1分由22a b <，得2210a a --<，所以11a <<+ …………………3分 因为2a ≥且a ∈*N ，所以2a =， …………………4分 所以 31n b n =-，{}n b 是等差数列， 所以数列{}n b 的前n 项和2131()222n n n S b b n n =+=+. …………………5分〔Ⅱ〕由已知3n b n =3m +3n，3t 成等比数列，其中,,m n t ∈*N ，且彼此不等，则2(3(3n m t +=+， …………………6分所以29292n mt ++=+++，所以233(2n mt m t n -=+-，假设20m t n +-=，则2330n mt -=，可得m t =，与m t ≠矛盾； ………7分假设20m t n +-≠，则2m t n +-为非零整数，(2m t n +- 所以233n mt -为无理数，与233n mt -是整数矛盾. …………………9分 所以数列{}n b 中的任意三项都不能构成等比数列. 〔Ⅲ〕设存在实数[1,]b a ∈，使C AB =≠∅，设0m C ∈，则0m A ∈，且0m B ∈，设0()t m a t =∈*N ，0(1)()m a s b s =++∈*N ，则(1)ta a sb =++，所以1t a bs a -=+，因为,,a t s ∈*N ，且2a ≥，所以ta b -能被1a +整除. …………………10分 〔1〕当1t =时，因为[1,]b a ∈， [0,1]a b a -∈-，所以1a bs a -=∉+*N ； …………………11分 〔2〕当2()t n n =∈*N 时，22212[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b -=+--=++-++-，由于[1,]b a ∈，所以1[0,1]b a -∈-，011b a ≤-<+，所以，当且仅当1b =时，ta b -能被1a +整除. …………………12分 〔3〕当21()t n n =+∈*N 时，212121121[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b ++++-=+--=++++--，由于[1,]b a ∈，所以1[2,1]b a +∈+，所以，当且仅当11b a +=+，即b a =时，ta b -能被1a +整除. ……13分 综上，在区间[1,]a 上存在实数b ，使C AB =≠∅成立，且当1b =时，2{,}n C y y a n ==∈*N ；当b a =时，21{,}n C y y a n +==∈*N . …………14分。
导数专题复习题
导数专题复习一、求下列函数的导数1．（08浙江）()()f x x x a =-2．（07天津）2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． 3．（08陕西）21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ） 4．（06山东） ()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥- 5．（08安徽）1()(01)ln f x x x x x=>≠且6．（09全国）()()21f x x aIn x =++ 7．（07海南）2()ln(23)f x x x =++． 8．（07海南理） 2()ln()f x x a x =++ ．*9．（09辽宁）f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a > 10．（07四川） 已知函数()()22ln 0f x x a xx x=++>，11．（08山东）1()1ln(1),(1)ng x x x x =-----其中n ∈N*,a 为常数. 12．（09陕西）1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > 13．08辽宁设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． 14．（11全国）h (x )＝2ln x ＋k －1x 2－1x (x >0)，15．（07安徽）a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.16．（05全国）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，17.（11北京）kx e k x x f 2)()(-=18．（08重庆）2333()()422x g x x x e -=+- ,19．（09重庆）2()(0)xe g x k x k =>+20．（06全国）()11axx f x e x-+=- 21.（13年一模）2()=(1)x a f x x ，2()()e xf x x ax a -=++，2()xax x a f x e++=，()ln 1a f x x x =+-，x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=，1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R二、导数的几何意义1．（2010全国卷2文数）（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 2．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是【 A 】.A ．B ．C ．D ．3．如图，已知函数()y f x =的图象，画出()f x '的图象 ~ab ab axyy y ）b4．如图，已知函数()y f x '=的图象，画出()y f x =的图象5．（2010辽宁文数）（12）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ6．（11山东理科）函数2sin 2xy x =-的图象大致是|A ．B ．C ．D ．7.(2011石景山一模文8)．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ ）A ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞8. （2013届北京丰台区一模理科）已知函数1()f x x a=+，2()3g x x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；；9. （2013届房山区一模理科数学）已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++ ,.（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；10. （2013届门头沟区一模理科）已知函数2()xax x af x e ++=．（Ⅰ）函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； 11. （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=xyOO yx(Ⅰ)若2=a ，求函数)(x f 在（1，)1(f ）处的切线方程；12. （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数()()()12,03123-+=>-=b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; 13. （【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；}三、利用导数研究函数的性质（一）单调性与导数的符号1．已知函数2()2ln 1f x x a x =--(0)a ≠，求函数()f x 的单调区间 2.求函数()ln f x a x x =+的单调区间3.求函数2()ln f x a x x =+，a ∈R ，的单调区间 4.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >，讨论函数()f x 的单调性。
北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题
北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，则 ______A. B.C. D.2. 在复平面内，复数的对应点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是______A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中①处可以填入______A. B. C. D.5. 已知函数，其中为常数．那么“ ”是“ 为奇函数”的______A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知，是非负数，且满足．那么的取值范围是______A. B. C. D.7. 某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是______A. B. C. D.8. 将正整数，，，，，，随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是______A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知向量，，那么 ______．10. 如图，中，，，．以为直径的圆交于点，则______； ______．11. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则______．12. 已知椭圆的两个焦点是，，点在该椭圆上．若，则的面积是______．13. 已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．14. 已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：①；②；③．其中，具有性质的函数的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在中，已知．（1）求角的值；（2）若，，求的面积．16. 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为棱的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值．17. 生产，两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件元件（1）试分别估计元件，元件为正品的概率；（2）生产一件元件，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元；生产一件元件，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元．在（1）的前提下，（i）记为生产件元件和件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（ii）求生产件元件所获得的利润不少于元的概率．18. 已知函数，其中．（1）求的单调区间；（2）设．若，使，求的取值范围．19. 如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，．（1）求的值；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为．证明：为定值．20. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．（1）请写出一个，使得；（2）是否存在，使得 ?说明理由；（3）给定正整数，对于所有的，求的取值集合．答案第一部分1. D2. B3. A4. C5. C6. B7. C8. B第二部分9.10. ；11.12.13. ；14. ①③第三部分15. （1）解法一：因为，所以．因为，所以，从而，所以．解法二：依题意得，所以，即．因为，所以，所以，所以．（2）解法一：因为，，根据正弦定理得，所以．因为，所以，所以的面积．解法二：因为，，根据正弦定理得，所以．根据余弦定理得，化简为，解得．所以的面积为．16. （1）如图，连接，与相交于点，连接．为正方形，所以为中点．因为为棱中点．所以．因为平面，平面，所以直线 平面．（2）因为平面，所以．因为四边形为正方形，所以，而，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（3）解法一：如图，在平面内过作直线．因为平面平面，所以平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．，则，，，，．所以，．设平面的法向量为，则有所以取，得．易知平面的法向量为．所以，，由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．解法二：如图，取中点，中点，连接，．为正方形，所以．由（2）可得平面．因为，所以．由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，．所以，．设平面的法向量为，则有所以取，得．易知平面的法向量为．所以，，由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．17. （1）元件为正品的概率约为．元件为正品的概率约为．（2）（i）随机变量的所有取值为，，，．；；；．所以，随机变量的分布列为：．（ii）设生产的件元件中正品有件，则次品有件．依题意，得，解得．所以，或．设“生产件元件所获得的利润不少于元”为事件，则．18. （1）（i）当时，．故的单调减区间为，；无单调增区间．（ii）当时，．令，得，．和的情况如下：极小值极大值故的单调减区间为，；单调增区间为．（iii）当时，的定义域为．因为在上恒成立，故的单调减区间为，，；无单调增区间．（2）因为，，所以等价于，其中．设，在区间上的最大值为．则“ ，使得”等价于．所以，的取值范围是．19. （1）依题意，设直线的方程为．将其代入，消去，整理得．从而．（2）设，．则．设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．所以．同理可得．故．由（1）得，为定值．20. （1）答案不唯一，如图所示数表符合要求．（2）不存在，使得．证明如下：假设存在，使得．因为，，所以，，，，，，，这个数中有个，个．令．一方面，由于这个数中有个，个，从而另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为），也表示，从而相矛盾，从而不存在，使得．（3）记这个实数之积为．一方面，从“行”的角度看，有；另一方面，从“列”的角度看，有．从而有注意到．下面考虑，，，，，，，中的个数：由知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以．对数表：，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．依此类推，将数表中的由变为，得到数表．即数表满足：，其余．所以，．所以．由的任意性知，的取值集合为．。
北京市最新2013年5月西城区高三二模数学理科试题及答案评析-含答案
北京市高三数学西城区2013年高三二模试卷 （理科）2013.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()U A B =ð（A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4} （D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1 （B ）2（C ）i -（D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是 （A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ （C ）2cos =ρθ （D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则 （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）c a b <<6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A （B （C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243--（C ）111[,)(,1]342--（D ）111(,][,1)342--第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据 的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”）10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______．14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值．已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列； （Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．>； 10．80； 11．3； 12．125； 13．21n +，4(1)n n +； 14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin ==α． ………………3分所以 211cos()cos 3226x π-=+==αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α． 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整理得 cos20=α． ………………11分因为 62ππ<<α， 所以 23π<<πα， 所以 22π=α， 即 4π=α． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===， 222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===，3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分 所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分） 【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥． ………………1分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ． ………………5分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =． ………………6分在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ， 所以1AB =，AD =又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =． 所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ． ………………8分 因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分 因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． 所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t ． 要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||3||||AM BN AM BN ⋅=， ………………12分 所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分 故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分 【方法二】（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥的空间直角坐标系xyz D -．在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=因为 2=BD ， 所以1AB =， AD =由俯视图和左视图可得：)4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ．所以 )0,3,3(-=BC ，)0,1,3(=DB ．因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅，所以BD BC ⊥． ………………2分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分 所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有 0,0.PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n因为 )0,3,3(-=BC ，)4,4,0(-=PC ，所以440,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取1=y ，得=n )1,1,3(． ………………6分因为 )3,0,3(-=AM ， 所以 ⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分 设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以 )3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t ． 要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 43||||=⋅BN AM ， ………………12分 所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分 故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以 点M 的坐标为2(,)55．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分 解得 47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………7分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分 所以00111622(2)82m x x =+≤++-+， ………………12分 当且仅当02x =-时，上式等号成立． 所以 m的取值范围是1(0,2． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即 6350x y +-=． ………………4分 （Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得 11x =，或21x =． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1)2-∞-，(1)2++∞；单调减区间为(1)22-+．………………8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =--． ………………11分 因为 14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分 综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a --73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a --723a -； 当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分 （Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''． 从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k kb b '≠． 所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． 所以 1212()()nn b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++- 22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n =，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-=， 即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ………………13分。
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北京市西城区2012～2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1
(0,)2
（B ）(1,1)-
（C ）1(,1)(,)2
-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞
2．在复平面内，复数5i
2i
-的对应点位于（ ） （A ）第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
3．在极坐标系中，已知点(2,)6
P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ） （A ）sin 1=ρθ
（B
）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ
（D
）cos =ρθ
4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =，则框图中 ① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k <
（C ）4k < （D ）5k <
5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么2
2
a b +的取值范围是（ ） （A ）416
(,)55
（B ）4(,16)5
（C ）(1,16) （D ）16(
,4)5
k=k +1S=S +k 2k=S 开始结束
7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的 六条棱的长度中，最大的是（ ） （A
）（B
）（C
）（D
）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等 的概率是（ ） （A ）221
（B ）
463
（C ）
121
（D ）
263
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，
则实数k =_____．
10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒
∠=，3AC =，
4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；CD =______．
11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，
则k =______．
12．已知椭圆22
142
x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则12PF F ∆的面积是______． 13．已知函数π()sin(2)6f x x =+
，其中π[,]6x a ∈-．当3
a π
=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1
[,1]2
-
，则a 的取值范围是______． 14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，
则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：
①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3
()f x x x =-．
其中，具有性质P 的函数的序号是______．
2
俯视图侧(左)视图
正(主)视图
2
C
B
D
A
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
在ABC ∆
21cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4
A π
=，求ABC ∆的面积．
16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，
E 为棱PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PB //平面EAC ；
（Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．
17．（本小题满分13分）
生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，
若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布
列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．
P E D
C
B
A
18．（本小题满分13分）
已知函数2
()x
f x x b
=
+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）设0b >．若13
[,]44
x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围． 19．（本小题满分14分）
如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，
22(,)B x y 两点，直线AF 、BF 分别与抛物线交于点M 、N ．
（Ⅰ）求12y y ⋅的值；
（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .
证明：
1
2
k k 为定值． 20．（本小题满分13分）
如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-．记(,)S n n 为所有这样的数表构成的 集合．
对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之 积．令1
1
()()()n
n
i j
i j l A r A c
A ===
+∑∑．
（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．。