线性规划模型及其举例
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
线性规划基本模型
n
max z c j x j j 1
n
aij x j bi
s.t.
j 1
xj
e
j
x
j
d
j
i 1, 2,L , m
j 1, 2,L , n j 1, 2,L , n
13
山西大学经济与管理学院 范建平
2020年6月18日星期四
2、产品配套模型
例1.2某厂生产一种部件，由3个A零件和5个B零件配套 组装成品。该厂有甲、乙、丙三种机床可加工A，B两种 零件，每种机床的台数，以及每台机床每个工作日全部 用于加工某一种零件的最大产量（即生产率：件/日）见 表1-2。则应如何安排生产？试建立其数学模型。
单耗/（工时/件）
甲
乙
1
0
0
2
C
2
3
利润/（1×100元/件） 3
2
设 x1, x2 分别为甲、乙产品的周产量（决策变量）
最大生产能力 /(工时/周)
6 8 18
z为这两种产品每周的总利润，则 z 3x1 2x2 0
式（0）称为目标函数，z为目标值
由于，z取值受限于x1, x2 ，而x1, x2 受限于A，B，C三个车
间的生产能力，则
1x1 0x2 6 0x1 2x2 8 2x1 3x2 18
①
②
约束条件
③
6
山西大学经济与管理学院 范建平
2020年6月18日星期四
1、资源分配模型
又因产量x1, x2 取值不能为负，则
x1 0, x2 0 ④ 非负性约束
上述函数约束和非负性约束，统称为约束条件或约束方程， 简称约束。
某企业拟将现有的 m 种资源（用 i =1,2，···，m 表示）投 入 n 项生产或商务活动（用 j=1，2，···，n表示）。其中第 i 种资源的数量为 bi，项目 j 每经营1个单位所创造的利润 （或价值）为 cj，所消耗的第 i 种资源的数量为aij。为履行 合同，项目 j 的经营数量至少为 ej；而市场调查，其最高需 求量为dj。试建立其数学模型。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划模型
j 1
i 1
将目标函数和约束条件放在一起，即得指派问题的数学模型.
第i人花费在第j项工作的时间用cijxij表示，在所有的工作中，第i人干仅干一项工作，
若第i人被分配去干第j0项工作，则当j0≠j时，cijxij=0，所以花费的总时间为T
nn
cij xij
.
i1 j 1
n
n
对于第i人，应有 xij 1 ；对于第j项工作，应有 xij 1 .
cT x
Ax b
A
eq
x beq
l b x u b
Matlab中求解线性规划的命令为：
[x，fval]=linprog(c，A，b，Aeq，beg，lb，ub)
其中，x返回的决策变量x的取值，fvla返回的是目标函数的最优值.
注：若没有某种约束，则相应的系数矩阵赋值为空矩阵，如没有等式约束，则令Aeq=[]， beq=[].
（7）模型的分析与评价
在建立线性模型是，总是假定aij，bi，cj都是常数，但实际上这些系数往往是估计值 和预测值，如市场条件一变，aij值就会变化；bi往往因工艺条件的改变而改变；cj是根据 资源投入后的经济效果决定的一种决策选择.因此，这些参数在什么范围内变化时，线 性规划问题的最优解不变.
2.整数规划模型
3. 0-1整数模型
在部分规划问题中，每个需要做的决策只有两种时，可以使用0-1整数规划建模，它的 变量xi仅取值0或1.此类模型可用Lingo和Matlab求解.Matlab中规定0-1整数规划模型中的标准形 式为：
min cT x Ax b
s.t. Aeq x beq
Matlab中求解0-1规划的命令为： [x，fval]=bintprog(c，A，b，Aeq，beq)
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
线性规划模型的四种示例
高 中数 学 新 教 材 中 的 简 单 线 性 规 划 问 题 ，可 以 让 学 生 更 好 地 了 解 近 代 数 学 的发 展 现 状 ， 单 线 性 规 划 体 简 现 了 数 学 的 工 具 性 与 实 用 性 ． 么 我 们 能 用 其 解 决 哪些 实 那 际 问题 呢？ 笔者 结 合 自己多年 的教 学 经验 ， 归 纳如 下 ： 现
例 如 ： 工 厂 生 产 ， 两 种 产 品 ， 某 日 已知 生 产 ４ 产 品 一 千 克
次 ， 型卡 车 ３次 ， 辆 车 往 返 的 成 本 费 用 是 型 卡 车 ３ ０元 ， Ｂ 每 ２ Ｂ ∑ Ａ
¨
要 用 煤 ９吨 ． 力 ４千 瓦 ， 人 ３名 ； 产 曰 产 品一 千 克 要 用 煤 电 工 生
定 数量 的人 力物 力 资源 ， 如何 安排使 用 它们 ， 使得 完 成任 务最 多．
【 键 词 】线 性 规 划 ； 输 问题 ； 局 问题 ； 产 组 织 与 计 划 关 运 布 生
问题 ： 配 问题 分
设 为 土地 种 植 作 物 亩数 （＝１２ … ， ，， ｍｊ＝１２ … ， ，， ｎ ， 么 作 物 布 局 问题 数 学 模 型 为 ： ）那 求 一 组 变 量 粕（ １２ … ， ＝１２ … ， ） ，， ｍ ， ， ｎ 的值 ， 得 满 足 约 使
例 如 ： 生 产 队 要 在 Ｂ ， ， ， 这 ｎ块 地 上 ， 植 ＡＩ 某 曰： … 种 ，
ｃ 的值最大．
Ｊ＝ １ ｉ＝ ｌ
三 、 产 组 织 与 计 划 问 题 生
以很 多 ，应 如 何 组 织 调 运 ， 才 能 使 总 的 运 费 或 运 输 量 （ 的运行 公 里数 ） 少 ？ 总 最
第五节 线性规划建模举例
第五节线性规划建模举例线性规划是一种操作研究的数学方法，广泛应用于商业、经济、工程领域中的优化问题。
线性规划建模是将实际问题描述为线性规划模型的过程。
本节将介绍几个线性规划建模的典型例子。
例1：混合饲料配方问题某饲料厂要生产一种混合饲料，需包括以下六种饲料成分：大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉、牛粉，并且要求这种混合饲料包含不少于25%的蛋白质和不多于15%的纤维素。
每吨饲料的生产成本和含量如下：| 饲料成分 | 成本（元/吨） | 蛋白质含量（%） | 纤维素含量（%） || -------- | ------------- | -------------- | -------------- || 大豆粉 | 200 | 45 | 10 || 面粉 | 100 | 10 | 2 || 玉米 | 150 | 8 | 5 || 鱼粉 | 300 | 60 | 0 || 鸡粉 | 280 | 50 | 2 || 牛粉 | 320 | 70 | 5 |问如何使得生产的混合饲料成本最小，同时满足蛋白质含量不少于25%和纤维素含量不超过15%的要求。
自变量：混合饲料中每种成分的含量。
目标函数：最小化混合饲料的成本。
约束条件：1. 蛋白质含量不少于25%：0.45×x1 + 0.1×x2 + 0.08×x3 + 0.6×x4 + 0.5×x5 + 0.7×x6 ≥ 0.25。
2. 纤维素含量不超过15%：0.1×x1 + 0.02×x2 + 0.05×x3 + 0×x4 + 0.02×x5 + 0.05×x6 ≤ 0.15。
3. 非负性：x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0。
其中，x1，x2，x3，x4，x5，x6 分别表示大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉和牛粉的含量，单位为吨。
高中线性规划
高中线性规划线性规划是运筹学中的一种优化方法，用于在给定的约束条件下寻觅一个线性目标函数的最优解。
在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，它可以匡助我们解决一些实际问题，例如资源分配、生产计划等。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是我们要优化的线性函数，通常表示为最大化或者最小化某个变量。
约束条件是限制目标函数变量的取值范围的条件，可以是等式或者不等式。
可行解是满足所有约束条件的解。
二、线性规划的数学模型线性规划可以通过数学模型来表示。
设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ...,gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)为线性函数，g1(x1, x2, ..., xn)≤b1,g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm为线性不等式。
三、线性规划的求解方法线性规划可以使用图形法、单纯形法等方法进行求解。
其中，图形法适合于二维问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解。
而单纯形法适合于多维问题，通过构造初始单纯形表，不断迭代求解，找到最优解。
四、线性规划的应用举例1.资源分配问题：某工厂生产两种产品A和B，每天可用的资源有限，产品A和B的生产所需资源不同，且每种产品的利润也不同。
如何合理分配资源，使得利润最大化？2.生产计划问题：某工厂需要生产多种产品，每种产品的生产时间、所需资源和利润不同。
如何安排生产计划，使得产量最大化同时资源利用率最高？3.投资组合问题：某投资者有多种投资标的可选，每种标的的收益率、风险和投资额不同。
如何合理选择投资标的，使得收益最大化同时风险最小化？五、线性规划的局限性线性规划方法在解决一些实际问题时可能存在一些局限性。
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线性规划模型及其举例摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。
关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。
如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。
一.背景介绍如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式：1()ni ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1)若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为：OPT. 1()nj j j f x c x ==∑ST. 1nij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2)0,j x ≥ 1,2,,j n =…（2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。
将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。
1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。
决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。
2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都应考虑是否符合实际，有没有可行性，因而要构造基于科学预测的综合性约束（或限定）条件。
3．目标函数（Objective Function,OF ）人们有目的活动，总是希望获得最满意的目标值，该目标值可以表达成决策变量的一个函数，即目标函数。
根据需要，目标函数可以取极大化，极小化两种类型，即求最优解。
4．影子价格（Shadow Price ），用线性规划方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。
用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为资源的经济评价，表现为影子价格。
二．建模的基本步骤1. 确定目标函数（按照模型所需要解决的问题，用数学函数来描述目标）2. 确定决策变量（目标的实现与那些变量有关，这里有主要变量和次要变量，在建模的初期可以进考虑主要变量对目标的影响，随后可以逐步增加变量的个数）3. 确定约束条件（这是优化模型建模过程中最重要，也是最难的，在很多情况下，是否能够得到最优解，最优解是否合理，都是取决于约束条件的建立）4. 模型求解（使用数学工具或数学软件求解）5. 结果分析（分析结果的合理性、稳定性、敏感程度等） 三．线性规划的一般模型一般地，假设线性规划数学模型，有m 个约束，有n 个决策变量j x （1,2,,j n =…），目标函数的变量系数用j c 表示，j c 称为价值系数。
约束条件的变量系数用ij a 表示，ij a 称为工艺系数。
约束条件右端的常数用i b 表示，i b 称为资源限量。
则线性规划数学模型的一般表达式可写成：1max(min)nj j j z c x ==∑S ．T. 1(,)nij j i j a x b =≤≥=∑, 1,2,,i m =…0j x ≥, 1,2,,j n =… 四．线性规划模型处理1. 图解法就是在平面直角坐标系上画出各个约束条件所容许变化的范围，通过图上作业法求到最优解和目标函数极值。
图解法只适用于求解两个决策变量的Lp （线性规划）问题。
2. 单纯形法01 给定一般的Lp 问题：{min |,0}z cx Ax b x =≤≥。
02 建立Lp 问题的典式： {min |0;,0}N N B B N B N B z c c c x Nx Bx b x x =++=≥≥。
03 计算检验数：1N N B c c B N σ-=-。
利用N σ进行基可行解B x 的最优性检验（i ）0N σ≤，人工变量0R =，判定0B x ≥，0N x =为最优解，输出最优解*[,]T B N X x x =，*z 。
（ii ）N σ>0 (至少有一个k σ>0，且k p >0)转下步。
04 选择进基变量:max{,k N N x σσ>0}=k σ，k 列的k x 为进基变量。
05 选择退基变量:min{,il i i ikb x a θθ=>0}=l θ,l 行的l B x x ≤退基。
06 确定主元lk a >0，根据主元进行行换基：01B B ∇−−→（∇意为初等变换）。
07利用新基B 对N ，b ，z 进行基变换：1N B N -=；1B b B b x -==，B B z c x =再转第三步。
3. 对偶单纯形法（为求影子价格作准备）01 确定0B 为Lp 问题的一个初始基，其对应的变量为0x 。
02 判断0x 的可行性：若010Bx B b -=≥，0N σ≤，则0x 是Lp 问题的最优解，这时计算停止，输出最优解。
否则进行第03步。
03 若存在(1,2,,)r r i m ∈=，使得1()r B b -<0，且在单纯形表中与1()r B b -对应行的非基变量的系数'rj a 全部非负，则Lp 问题无可行解；否则进行第04步。
04 确定基变量：令111()max{|()|,()l r r B b B b B b ---=<0}，对应的基变量为l x 为出基变量。
05 确定进基变量：计算''min{|jk ljlja a σθ=<0}='klka σ 。
选择k θ对应的非基变量k x 为进基变量。
l 行k 列交叉的元素'lka 为主元。
06以'lk a 为主元，按单纯形法换基迭代运算，得到一个新的基可行解，仍记为0x ，返回到02O ABCDx1x2321123x3=0x4=0x1=0x2=0五．线性规划举例例1．（图形解）1212212max23.1,0z x xx xst xx x=++≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩这个问题的图解如图1所示。
引进松弛变量x3，x40，问题变成为标准形式max z= x1+2x2. x1+x2+x3=3 (1)x2+x4=1 (2)x1x2x3x41234123412341234min2356232233,,,0x x x xx x x xx x x xx x x xω=++++++≥⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩引入多余变量x5、x6把约束化为等式，然后再给两边同乘以（-1）后约束变为：-x1-2x2-3x3-x4+ x5=-2-2x1+x2- x3+ 3x4+x6=-3得对偶单纯形表：此时基本解为X=（0，0，0，0，-2，-3），不可行。
所以进行第二步。
因为min{-3，-2}=-3，所以x 6为换出变量；又因为min{-2/-2 ，-5/-1}=1，所以x 1为换入变量，就是要将x 1下的系数列向量由变换成形式（和以前学过的单纯形法中的线性变换完全一致）。
做行线性变换， 行（2）×（-1/2）；行（1）+行（2）后得出另一个基本解为：X=（3/2，0，0，0，-1/2）此时单纯形表如下：C j → 2 3 5 6 0 0 C B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 0 x 5 -2 -1 -2 -3 -1 1 0x 6 -3 -21 -1 3 0 1 Z j 0 0 0 0 0 0 Z j -C j-2-3-5-6 0C j → 2 3 5 6 0 0 C B X Bbx 1 x 2x 3x 4x 5 x 6 0 x 5 -1/2 0 -5/2 -5/2 -5/2 1 -1/2 2 x 1 3/21-1/2 1/2-3/2-1/2Z j 2 -1 1 -3 0 -1 Z j -C j-4-4-9-1仍然不是可行解，还要继续求解。
因为-1/2 < 0,所以x 5为换出变量；由因为4491min ,,,55512222⎧⎫⎪⎪----⎨⎬⎪⎪----⎩⎭=8/5，所以x 2和x 3都可以作为换入变量，任选其中一个x 2 ，做线性变换： 行（1）×（-2/5）；行（2）+行（1）×（1/2）得到一个基本解为X=（8/5，1/5，0，0，0），因解是可行的，所以是满足最优检验下的基本可行解因而也是最优解。
此时单纯形表如下为了实现缩短作出最优方案的时间，运用MATLAB 编程，运用计算机模拟计算处理。
MATLAB 是MATrix LABoratory 的缩写，它将计算可视化和编程功能集成在非常便于使用的环境中，是一个交互式的，以距阵计算为基础的科学和工程计算软件。
MATLAB 的特点可以简要地归纳如下：编程效率高，计算功能强，使用简便，易于扩充等特点。
参考文献：1. 沈继红等 《数学建模》 哈尔滨工程大学出版社 2003年2. 胡富昌 《线性规划》 中国人民大学出版社 2004年3. 谷源盛 《运筹学》 重庆大学出版社 2003年4. 姜启源等 《数学模型》 高等教育出版社 2005年。