线性规划应用举例及软件

集合部分
model: ！开始 sets: ！定义集合 ve/1..3/:c,x; co/1..3/:b; ma(co,ve):a; endsets ！注：集表达式：名称/成员/：属性 名称（初始集）：属性
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定义数据
data:！定义数据 c=3 5 4; b=1500 800 2000; a=2 3 0 0 2 4 3 2 5; Enddata ！注：数据的大小与集合定义中一致，分量中间 用空格或逗号分开，数据结束后用分号；
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A1每台时的设备费用
整理即可得出所求的线性规划数学模型为：
Max Z 0.37 x1 0.31x2 0.40 x3 0.34 x4 0.34 x5 0.43x6 0.65 x7 0.86 x8 0.68 x9 A1台时约束 5( x1 x2 x3 ) 10 x7 6000 A2台时约束 7( x4 x5 x6 ) 9 x8 12 x9 10000 B1台时约束 6( x1 x4 ) 8( x7 x8 ) 4000 B2台时约束 4( x2 x5 ) 11x9 7000 B3台时约束 7( x3 x6 ) 4000 决策变量的非负约束 x j 0
工时 A B 总工时
第1工序
第2工序
2
3 4
3
4 10
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12
24
利润 (百元／吨)
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例：某种产品由4个1号零件，3个2号零件组 成，这些零件可由三个工厂生产。生产1号， 2号零件需A，B两种原料，现有300公斤原 料A，500公斤原料B。问：如何安排生产 使产品产量最大。
每天用料量 A B 8 6
合理下料问题
棒料或板材按规格要求剪裁成一定毛坯， 已知所需毛坯的数量，问如何合理下料使 原材料最省？ 处理方法：制定下料方案，根据方案决定 决策变量，列出规划模型，有时可删去明 显不合理的下料方案，简化模型。

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例：某车间接到制作100套钢架的 订单，每套钢架用长为2.9米，2.1 米，1.5米的圆钢各一根。已知原 料长7.4米。问应如何下料，使原 材料最省。
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产品 设备 A1 A2 B1 B2 B3 I 5 7 6 4 7
产 II 10 9 8 — —
品 III — 12 — 11 —
设备有 满负荷时的 效台时 设备费用(元) 6000 10000 4000 7000 4000 300 321 250 783 200
原料费(元/件) 0.25 0.35 0.50 单价(元/件) 1.25 2.00 2.80
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结 果
Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 2675.000 Variable Value Reduced Cost C( 1) 3.000000 0.000000 C( 2) 5.000000 0.000000 C( 3) 4.000000 0.000000 X( 1) 375.0000 0.000000 X( 2) 250.0000 0.000000 X( 3) 75.00000 0.000000
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目标函数应为：
max Z (1.25 0.25)( x1 x2 x3 x4 x5 x6 ) (2.00 0.35)( x7 x8 ) (2.80 0.5) x9 300 [5( x1 x2 x3 ) 10 x7 ] A1设备实际 6000 使用的总台时 321 [7( x4 x5 x6 ) 9 x8 12 x9 ] 10000 250 [6( x1 x4 ) 8( x7 x8 )] 4000 783 [4( x2 x5 ) 11x9 ] 7000 200 [7( x3 x6 )] 4000
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例 1 max
z 0.4 x1 0.28 x 2 0.32 x3 0.72 x 4 0.64 x5 0.6 x6 0.01x1 0.01x 2 0.01x3 0.03 x 4 0.03 x5 0.03 x6 850 0.02 x1 0.05 x 4 700 0.02 x 2 0.05 x5 100 0.03 x3 0.08 x6 900 xj 0 j 1,2, 6
5 9
工厂1 工厂2
产量 1号 2号 7 5
6 9
工厂3
3
8
8
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4
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有配套约束的资源优化问题
某厂生产三种产品I、II、III，每种产品要经过A 、B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成 A 工序，它们以 A1、A2 表示；有三种规格的设备能完 成 B 工序，它们以 B1、B2 、B3 表示。产品I可在A、B 任何一种规格设备上加工；产品II可在任何规格的 A 设备上加工，但在完成 B 工序时，只能在 B1 设备上加 工；产品III只能在 A2与 B2 设备上加工。已知在各种 机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各 种设备的有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用 如下表所示，要求安排最优的生产计划，使该厂的利 润为最大。 石媛昌
s.t.
解 编写M文件如下：
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 石媛昌 中国农业大学理学院
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3、模型：min z=cX s.t. AX b Aeq X beq VLB≤X≤VUB
命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） [2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束: Aeq X beq , 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.
线性规划应用举例
2013-9-23
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线性规划的求解软件
LINDO LINGO (www.lindo.com) Excel Matlab Mathematica SAS CPLEX

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LinDo
输入模型 求解 点击求解按钮 结果

即可
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调用函数
max=@sum(ve(j):c(j)*x(j)); @for(co(i):@sum(ve(j):a(i,j)*x(j))<= b(i)); 主要函数： @for(set(set_index_list)|condition:expressio n) @sum(set(set_index_list)|condition:expressi on) @min(max)(set(set_index_list)|condition:expr ession)
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输入模型
!注释内容，可用中文 !目标函数：最大-max,最小-min,大小写不分 max 3 x1+5 x2+4 x3 !约束，以subject to开始 subject to 2 x1+3 x2<=1500 2 x2+4 x3<=800 3 x1+2 x2 +5 x3<=2000 end
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B( 1) 1500.000 0.000000 B( 2) 800.0000 0.000000 B( 3) 2000.000 0.000000 A( 1, 1) 2.000000 0.000000 A( 1, 2) 3.000000 0.000000 A( 1, 3) 0.000000 0.000000 A( 2, 1) 0.000000 0.000000 A( 2, 2) 2.000000 0.000000 A( 2, 3) 4.000000 0.000000 A( 3, 1) 3.000000 0.000000 A( 3, 2) 2.000000 0.000000 A( 3, 3) 5.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2675.000 1.000000 2 0.000000 1.050000 3 0.000000 0.6250000 4 0.000000 0.3000000
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用MATLAB优化工具箱解线性规划
1、模型： min z=cX s.t. AX b 命令：x=linprog（c，A，b）
2、模型：min z=cX s.t. AX b Aeq X beq 命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）
AX 注意：若没有不等式： b 存在，则令A=[ ]，b=[ ].
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注意与LinDo的区别

目标函数中加等号

变量与系数之间用“*” Model:-end可省略

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LinGo 模 式
Model: Sets: !定义集合 Endsets Data: ！定义数据 Enddata 调用函数与计算 end
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注意事项

变量以字母开头，下标写在后面，系数与变 量之间加空格 不等号为:<= ( <),>=( >) , =, <=与 <等同 变量非负约束可省略 结束时以end标示
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结 果
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2675.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 375.000000 0.000000 X2 250.000000 0.000000 X3 75.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.050000 3) 0.000000 0.625000 4) 0.000000 0.300000
产品计划问题
m种资源可生产n种产品，问如何安排各种 产品数量，可获最大利润。 处理方法：以各种产品的数量为决策变量。

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例 某工厂生产产品A，B，要经过两道工序。每 生产1吨B可得到2吨副产品C，如能销售出，每吨 获利300元，否则损失200元。据预测，每天最多 可卖出5吨C。问如何安排生产可获最大利润。
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LinGo
输入模型 LinDo模式 LinGo模式 求解 点击求解按钮 结果

即可
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LinGo 输 入 模 式
model: MAX=3*x1+5*x2+4*x3; 2*x1+3*x2<=1500; 2*x2+4*x3<=800; 3*x1+2*x2+5*x3<=2000; end
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设按方案i(i=Ⅰ,Ⅱ,…,Ⅴ)下料的原材料根数为Xi， 则可以列出下面模型
由计算得到的最优下料方案为: 按方案I下料 30根, 按方案II下料 10根, 按方案IV下 料50根. 即需要 90根原料可以制造100套钢架 .
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解：首先列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合 形式，并假设按各种工序的组合形式进行生产的产量 具体如下： 按(A1，B1)组合方式生产产品I，其产量设为 x1 ; 按(A1，B2)组合方式生产产品I，其产量设为 x 2; 按(A1，B3)组合方式生产产品I，其产量设为 x3; 按(A2，B1)组合方式生产产品I，其产量设为 x 4; 按(A2，B2)组合方式生产产品I，其产量设为 x5; 按(A2，B3)组合方式生产产品I，其产量设为 x6; 按(A1，B1)组合方式生产产品II，其产量设为 x7 ; 按(A2，B1)组合方式生产产品II，其产量设为 x8 ; 按(A2，B2)组合方式生产产品III，其产量设为x9 ;