线性规划应用举例
线性规划应用举例
连续投资问题
例：人力资源分配的问题
例．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人 员数如下： 班次 时间 所需人数 1 60 6：00 —— 10：00 2 70 10：00 —— 14：00 3 60 14：00 —— 18：00 4 50 18：00 —— 22：00 5 20 22： —— 2：00 6 30 2：00 —— 6：00 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续 工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能 满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面8种方案下料的原材料根数。这样我们建立 如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 + 3x7 ≥ 100 3x1 + x2 + 2 x3 + 3x5 + x6 + 4x7 ≥ 100 x1,x2,x3,x4,x5 x6,x7 x8 ≥ 0
例：配料问题
例．某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不 同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂 应如何安排生产，使利润收入为最大？
产品名称 甲 乙 丙 原材料名称 1 2 3 规格要求 单价（元/kg） 50 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 不限 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划的实际应用举例
线性规划的实际应用举例即两为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(的实际应用举例加以说明。
个变量的线性规划)1 物资调运中的线性规划问题万个40万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运1 A，B两仓库各有编织袋50例/元万个、180/万个到乙地。
已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元到甲地，20元／万个。
问如何调运，能150/万个、万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元? ?总运费的最小值是多少使总运费最小仓库调Bz元。
那么需从x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为解：设从A仓库调运40-x万个到甲地，调运运万个到乙地。
20-y从而有。
z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+70001)(图，即可行域。
作出以上不等式组所表示的平面区域z'=z-7000=20x+30y. 令：20x+30y=0，作直线l且与原点距离最小，0)，，l的位置时，直线经过可行域上的点M(30l把直线向右上方平移至l y=0时，即x=30，亦取得最小值，取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000z'=20x+30y 元)。
30+30×z=20×0+7000=7600(min万个到乙地，可使总万个到甲地，20B30万个到甲地，从仓库调运10A答：从仓库调运元。
运费最小，且总运费的最小值为76002 产品安排中的线性规划问题吨，麦麸0.4吨需耗玉米某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料2例1O.4吨，其余添加剂0.2．吨甲种1吨，其余添加剂0.2吨。
每吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3元。
可供饲料厂生产的玉米供应500元，每1吨乙种饲料的利润是饲料的利润是400吨。
问甲、乙300吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过量不超过600 ? ?最大利润是多少两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大1。
线性规划应用案例
线性规划应用案例线性规划是一种在约束条件下寻找最优解的数学优化方法。
它在实际应用中广泛使用，涉及许多领域和行业。
本文将介绍两个典型的线性规划应用案例：运输问题和产能规划问题。
一、运输问题运输问题是线性规划最早发展起来的一个领域，它是指如何在各个供应地和需求地之间运输商品，以使得总运输成本最小。
一个典型的运输问题可以描述为：有m个供应地和n个需求地，每个供应地和需求地之间有一个固定的运输成本和一个固定的供应和需求量。
问题是如何确定每对供需地之间的运输量，以使得总运输成本最小。
举例来说，假设有三个供应地A、B、C，三个需求地X、Y、Z。
运输成本如下表所示：\begin{array}{ c c c c c c }&X&Y&Z&供应量\\A&10&12&8&100\\B&6&8&7&200\\C&9&10&11&300\\需求量&150&175&125&\\\end{array}求解此问题的线性规划模型如下：目标函数：minimize \quad Z = 10x_{11} + 12x_{12} + 8x_{13} + 6x_{21} + 8x_{22} + 7x_{23} + 9x_{31} + 10x_{32} + 11x_{33}约束条件：x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 100x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 200x_{31} + x_{32} + x_{33} \leq 300x_{11} + x_{21} + x_{31} \geq 150x_{12} + x_{22} + x_{32} \geq 175x_{13} + x_{23} + x_{33} \geq 125x_{ij} \geq 0, i = 1,2,3 \quad j = 1,2,3其中x_{ij}表示从供应地i到需求地j的运输量。
线性规划运用举例
线性规划运用举例线性规划是一种经济学和数学领域中的数学优化技术，其主要目的是将某些目标函数在满足一定的约束条件下最大或最小化。
线性规划在现代经济学、决策科学、制造业和生产管理等领域都有广泛的应用。
下面将举例说明线性规划在实际生产和管理中的应用。
1. 生产计划方案优化生产计划方案优化是一个很复杂的问题。
企业的目标是尽可能地减少生产和仓储成本，同时保证所生产的产品能满足市场需求。
线性规划可以帮助企业找到一个最优的计划方案，使得成本最小化，并能够满足市场需求。
例如，生产一种食品有两个不同的发酵温度可以选择。
这个决策需要考虑到提高产量的同时也要保证产品质量。
通过将这个问题转化为线性规划问题，可以确定最佳的温度条件，以最小化生产成本并且保证产品质量。
2. 资源分配问题企业在日常运营中需要管理各种资源，如员工，机器等。
为了确保资源的有效利用，企业需要通过资源分配来确保生产能力最优化。
线性规划可以帮助企业分配资源，使得资源利用更加高效，成本更加低廉和运营更加有效。
例如，在生产线上，可以通过线性规划算法来优化设备的分配和维护计划，使得设备的维护和使用更加平滑，减少因设备故障造成的损失和停机时间。
3. 市场销售策略线性规划也可以帮助企业确定最优的市场营销策略。
在一个竞争激烈的市场中，企业需要考虑产品的定价，销售渠道和营销推广策略等因素。
通过将这些因素转化为线性规划问题，企业可以找到最优的市场营销策略。
例如，在销售一种产品时，企业可以通过确定最优价格来最大化销售收入。
总之，线性规划在生产和管理中的应用非常广泛。
通过线性规划算法可以解决非常复杂的问题，帮助企业做出最优的决策，从而实现成本最小化和收益最大化。
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
线性规划应用举例
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工 的数量。建立如下的数学模型: s.t. 5x111 + 10x211 7x112 + 6x121 + 4x122 7x123 8x221 ≤ 6000 （ 设备 A1 ） （ 设备 A2 ） （ 设备 B1 ） （ 设备 B2 ） （ 设备 B3 ） 9x212 + 12x312 ≤ 10000 ≤ 4000 + 11x322 ≤ 7000 ≤ 4000
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 x312
- x322 = 0 （Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等） = 0 （Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）
xijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
表 4 --6 表 4 7 ---
标准汽油 辛烷数 1 2 3 4 飞机汽 油 1 2 107.5 93.0 87.0 108.0 辛烷数 不小于91 不小于 不小于 100
蒸汽压力(g/cm2) 蒸汽压力 7.11×10-2 × 11.38 ×10-2 5.69×10-2 ×
目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为： 利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 （每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。 这样得到目标函数：
Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 – (2(2 300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)200/4000(7x123).
线性规划问题应用举例
表5.19
5
6
1根
0根
5根
6根
0.12
0.32
巩固知识 典型例题
设采用第j种截法的钢管数为xj根(j=1,2,…6). 建立线性规划模型： 目标函数
min Z x j ,
利润为11250单位.
巩固知识 典型例题
案例3 环境保护问题 某河流旁设置有甲、乙两座化工厂，如图 5-11 所 示 ， 已 知 流 经 甲 厂 的 河 水 日 流 量 为 500×104m3, 在两厂之间有一条河水日流量为 200×104m3的支流. 甲、乙两厂每天生产工业 污水分别为2×104m3和1.4×104m3 ，甲厂排出 的污水经过主流和支流交叉点 P后已有20%被 自然净化 . 按环保要求，河流中工业污水的含 量不得超过 0.2% ，为此两厂必须自行处理一 部分工业污水，甲、乙两厂处理每万立方米污 水的成本分别为1 000元和800元.问：在满足 环保要求的条件下，各厂每天应处理多少污水， 才能使两厂的总费用最少？试建立规划模型， 并求解.
满足
利用Excel软件求解： 结果为：xA=0, xB=4, xC=16 总费用最少为44.
巩固知识 典型例题
案例 5 运输问题 设有两座铁矿山 A 、 B ，另有三个炼铁厂甲、 乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对 应的运价（元）如表5.18给出，问怎样调运送矿 石才能使总费用最小？ 表5.18 铁矿山 A B 矿石需求量
0 x5 0 1 0
1 2
1 4 5 4
bi 8000 6000 0 5000 1500 7500 2500 250 11250
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线性规划研究的主要问题
一类是已有一定数量的资源（人力、物质、 时间等），研究如何充分合理地使用它们，才能 使完成的任务量为最大。
另一类是当一项任务确定以后，研究如何统 筹安排，才能使完成任务所耗费的资源量为最少。
—— 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同 的方面，都是求问题的最优解（ max 或 min ）。
例2 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线 的货运量、货运成本如下表所示：问：应如何编队，才能既完 成合同任务，又使总货运成本为最小？
航线 船队 号 类型
1 1
2 3 2 4
编队形式
拖轮
A型 驳船
B型 驳船
1
2
—
1
—
4
2
2
4
1
—
4
货运成本 （千元／队）
36 36 72 27
货运量 （千吨）
25 20 40 20
船只种类 拖轮 A型驳船 B型驳船
船只数 30 34 52
航线号 1 2
合同货运量 200 400
解：设 xj 为第 j 号类型船队的队数( j = 1,2,3,4 ), z 为总货运 成本, 则：
min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
x1 + x2 + 2x3 + x4≤ 30
2 1 1 1 00 00 0 2 1 0 32 10 1 0 1 3 02 34
7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6.0 0.1 0.3 0.9 0.0 1.1 0.2 0.8 1.4
方案 长度m
2.9 2.1 1.5 合计 料头
ⅠⅡ Ⅲ ⅣⅤ Ⅵ ⅦⅧ
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
例4 某厂生产三种药物， 解：
这些药物可以从四种不同的 原料中提取。下表给出了单 位原料可提取的药物量
1. 决策变量：设四种原料的使
用量分别为：x1、x2 、x3 、x4
药物
单位成本
原料
A B C (元／吨)
甲 123
5
2. 目标函数：设总成本为z， 则有：
min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4
2. 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约 束；
3. 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确 是max 还是 min。
三、建模案例
例1 某工厂生产A、B两种产品，有关资料如下表所示：
工序
产品
A
工序1
2
工序2
3
单位利润
（百元）
4
B
பைடு நூலகம்
C
销售
报废
工时限制
3
—
—
12
4
—
—
24
10
3
－2
注：每生产单位产品B可得到4单位副产品C，据预测，市场上产品C的 最大销量为5单位，若产品C销售不出去，则报废。
例3 合理利用线材问题 现要做100套钢架，每套用长2.9m，2.1m，1.5m，的圆钢
各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省？ 解：所有下料方案如下表：（xj - 第j种方案所用原材料的根数）
方案 长度m
2.9 2.1 1.5 合计 料头
ⅠⅡ Ⅲ ⅣⅤ Ⅵ ⅦⅧ
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
2x1 x2 x3 x4 0x5 0x6 0x7 0x8 100
0x1 2x2 x3 0x4 3x5 2x6 1x7 0x8 100
x1 0x2 x3 3x4 0x5 2x6 3x7 4x8 100
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8 0
211 1 00 00 021 0 32 10 101 3 02 34 7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6.0 0.1 0.3 0.9 0.0 1.1 0.2 0.8 1.4
min z 0.1x1 0.3x2 0.9x3 0x4 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8
线性规划应用举例
一、建模条件
一般讲，一个经济、管理问题满足以下条件时，才能 建立线性规划模型
1. 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为 线性函数；
2. 存在着多种方案； 3. 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些 约束条件可用线性等式或不等式来描述。
二、建模步骤
1. 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。 一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量。
解：设总利润为z， max z = 4 x1 + 10 x2 + 3 x3 － 2 x4
A、B产品销量为x1、x2， 产 品 C 的 销 售 量 为 x3 ， 报废量为x4，则：
2 x1 + 3x2
≤ 12
3x1 + 4x2
≤ 24
－4x2 +x3 + x4 = 0
x3 ≤ 5
x1、x2 、x3 、x4≥ 0
2x1
+ 2x3
≤ 34
4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52
25x1 + 20x2
＝ 200
40x3 + 20x4＝ 400
xj ≥ 0 j = 1,2,3,4
用单纯形法可求得：x1 = 8，x2 = 0 ，x3 = 7， x4 = 6 最优值： z = 954，即：四种船队类型的队数分别是8、0、7、6，此时可 使总货运成本为最小，为954千元。
线性规划问题求解程序设计要求
1. 线性规划问题的数学模型
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ，)b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn ( ，)b2
am1 x1
am2 x2
amn xn
乙 201
6
3. 约束条件：
丙 141
7
丁 122
8
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
要求：生产A种药物至少 160单位；B种药物恰好200单 位，C种药物不超过180单位， 且使原料总成本最小。
2x1
+4 x3 +2 x4 ＝200
3x1 ＋ x2 + x3 +2 x4 ≤180
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
( ，)bm
x1，x2， ，xn 0 (无约束)
2. 线性规划问题的求解方法 采用两阶段法求解
3. 求解程序的输入与输出
变量个数n= ( ) 约束条件个数m= ( )
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ，) b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn ( ，) b2
am1 x1 am2 x2 amn xn ( ，) bm