第1章 线性规划与单纯形法 第6节举例应用
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第1讲线性规划及单纯形法
21
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
运筹学线性规划
主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
4
例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油 提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购 的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该 如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下， 使购买成本最小。 油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30
4
例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油 提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购 的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该 如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下， 使购买成本最小。 油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
第一章 线性规划及单纯形法
37
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
第1章 线性规划-应用举例
9
解：(1)确定变量：设xiA, xiB , xiC , xiD (i 1, 2,3, 4,5)分别表示第i年 年初给项目A, B,C, D的投资额。
项目 年份
1
2
3
4
5
A
x1A
x2A
x3A
x4A
B
x3B
C
x2C
D
x1D
x2D
x3D
x4D
x5D
10
(2)投资额应等于手中拥有的资金额，手中不应当有剩余的呆滞资金。 第一年：该部门年初拥有100000元，所以有
1000x1 2000x2 1500x3 2500x4 300x5 50000
3）电视广告播放次数的限制。
x1 x2 10
6
4）电视广告投入资金的限制。
1500x1 3000x2 18000
5）媒体最高使用次数约束
x1 15 x2 10 x3 25 x4 4 x5 30
（3）确定目标函数
1.15
x1A
1.06x2D
x3 A
x3B
x3D
0
1.15x2A 1.06x3D x4A x4D 0
1.15x3A 1.06x4D x5D 0
x3B 40000
x2C
30000
xiA, xiB , xiC , xiD 0, i 1,L , 5.
12
(5)用单纯形法计算结果得到 第一年：x1A 34783元，x1D 65217元 第二年：x2A 39130元，x2C 65217元,x2D 0元 第三年：x3A 0元, x3B 40000元,x3D 0元 第四年：x4A 45000元, x4D 0元 第五年：x5D 0元 到第五年末该部门拥有资金总额为143750元，即盈利43.75%.
解：(1)确定变量：设xiA, xiB , xiC , xiD (i 1, 2,3, 4,5)分别表示第i年 年初给项目A, B,C, D的投资额。
项目 年份
1
2
3
4
5
A
x1A
x2A
x3A
x4A
B
x3B
C
x2C
D
x1D
x2D
x3D
x4D
x5D
10
(2)投资额应等于手中拥有的资金额，手中不应当有剩余的呆滞资金。 第一年：该部门年初拥有100000元，所以有
1000x1 2000x2 1500x3 2500x4 300x5 50000
3）电视广告播放次数的限制。
x1 x2 10
6
4）电视广告投入资金的限制。
1500x1 3000x2 18000
5）媒体最高使用次数约束
x1 15 x2 10 x3 25 x4 4 x5 30
（3）确定目标函数
1.15
x1A
1.06x2D
x3 A
x3B
x3D
0
1.15x2A 1.06x3D x4A x4D 0
1.15x3A 1.06x4D x5D 0
x3B 40000
x2C
30000
xiA, xiB , xiC , xiD 0, i 1,L , 5.
12
(5)用单纯形法计算结果得到 第一年：x1A 34783元，x1D 65217元 第二年：x2A 39130元，x2C 65217元,x2D 0元 第三年：x3A 0元, x3B 40000元,x3D 0元 第四年：x4A 45000元, x4D 0元 第五年：x5D 0元 到第五年末该部门拥有资金总额为143750元，即盈利43.75%.
运筹学考试重点
运筹学考试重点题型概述：单选、判断、填空、建模、计算分析第一章线性规划与单纯形法例1．某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的示利润，X1、X2表示产量，该计划问题的数学模型可以表示为：目标函数maxZ=2X1+3X2满足约束条件｛X1+2X2<=8{4X1 <=16 X1,X2>=0{ 4X2<=12最优解是唯一的，但对于一般线性规划问题，求解结果还可能出现以下几种情况：1.无穷多最优解（多重最优解）2.无界解3.无可行解线性规划问题的标准形式为：(M1) maxZ=c1x1+c2x2+…….+cnxn下面讨论如何变换为标准型的问题。
（1）若要求目标函数实现最小化，即minZ=CX。
这时只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化，即令Z’=-Z,于是得到maxZ’=-CX.（2）约束方程为不等式。
这里有两种情况：一种是约束方程为“<=”不等式，则可在“<=”不等式的左端加上非负松弛变量，把原“<=”不等式变为等式；另一种是约束方程为“>=”不等式，则可在“>=”不等式的左端减去一个非负剩余变量（也可称松弛变量），把不等式变为等式。
例将例1的数学模型化为标准型。
解. maxZ=2x1+3x2｛X1+2X2<=8{4X1 <=16 X1,X2>=0{ 4X2<=12在各不等式中分别加上一个松弛变量x3,x4,x5,使不等式变为等式，这时得到标准型：maxZ=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5｛X1+2X2+x3 =8{4X1 +x4 =16 X1,X2>=0{ 4X2 +x5 =12 X3,X4,X5>=0其中松弛变量x3,x4,x5表示没有被利用的资源，当然也没有利润。
（3）若存在取值无约束的变量Xk，可令Xk=X’k-X’’k,其中X’k,X’’k>=0。
线性规划问题解的概念1.可行解2.基3.基可行解4.可行基线性规划问题的几个定理：定理1 若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集。
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
四运筹学研究的基本特点?系统的整体优化?多学科的配合?模型方法的应用五五运筹学研究的基本步骤运筹学研究的基本步骤?分析与表述问题?建立数学模型?对问题求解?对模型和模型导出的解进行检验?建立对解的有效控制?方案的实施第一章线性规划及单纯形法linearprogrammingandsimplexmethodggp11一般线性规划问题的数学模型11问题的提出例1用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容器应如何裁剪可使做成的容器的容积最大
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
运筹学第1章
（第三版）《运筹学》教材编写组编清华大学出版社运筹学第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型二.线性规划与目标规划第1章线性规划与单纯形法第2章对偶理论与灵敏度分析第3章运输问题第4章目标规划第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例第1节线性规划问题及其数学模型•1.1 问题的提出•1.2 图解法•1.3 线性规划问题的标准形式•1.4 线性规划问题的解的概念第1节线性规划问题及其数学模型线性规划是运筹学的一个重要分支。
线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。
特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。
从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。
它已是现代科学管理的重要手段之一。
解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。
1.1 问题的提出从一个简化的生产计划安排问题开始例1某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源产品ⅠⅡ拥有量设备 1 2 8台时原材料A40 16kg原材料B0 4 12kg续例1该工厂•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?如何用数学关系式描述这问题，必须考虑称它们为决策变量。
产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。
即有量的限制的数量多少，受资源拥生产021≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。
最大如何安排生产，使利润,∙数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0124164823221212121x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数例2. 简化的环境保护问题靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
线性规划及单纯形法详解演示文稿
收集 数据 和 建立 模型
求解 模型 和 优化 方案
检验 模型 和 评价 方案
方案 实施 和 不断 改进
制定决策
第1章 线性规划与单纯形法
运筹学的一个主要的分支是数学规划。
数学规划研究：在一些给定的条件（约束条件）下， 求所考察函数（目标函数）在某种意义下的极值（极 小或极大）问题。 例如：在经济决策中，经常会遇到诸如在有限的资源 （人、原材料、资金等）情况下，如何合理安排生产， 使效益达到最大；或者给定具体的任务，如何统筹安 排现有资源，能够完成给定的任务，使花费最小这类 问题。 在这章，我们重点介绍的是应用最为广泛的线性规划 问题。
自己动手试一试【解】 两种新产品的有关数据如表：
车间
1 2 3
单位利润 （元）
单位产品的生产时间 （小时）
门
窗
1
0
0
2
3
2
每周可获得的生产时间 （小时）
4 12 18
300
500
自己动手试一试【解】 设x1为每周门的产量（扇），x2为每周窗的产量 （扇）。 线性规划模型如下：
maxz 300x1 500x2
仅仅生产II产品，设备的生产能力还有剩余。结论是 两种产品都要进行生产。 （4）两种产品的产量会受到什么限制条件呢？ 各种设备的生产能力，即占用各种设备的工时。 （5）要决策的问题是：I产品生产多少？II产品生产多 少？才能实现利润最大化呢？
一、线性规划模型实例（问题的提出）
按工艺资料规定，
生产例每1件-产1【品解I需】占：用各设备分别为2、1、4、0h；
二、线性规划问题的数据模型
1、线性规划模型的一般表达形式 （1）一般形式
min或（max）z c1x1 c2 x2 ... cn xn a11x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1
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max z 15x1 25x2 15x3 30x4 10x5 40x7 10x9
产品计划问题 某厂生产I，II，III三种产品，都分别经A，B 两道工序加工。设A工序可分别在设备A1或A2上 完成， B工序可在B1，B2，B3三种设备上完成。 已知产品I可在A，B任何一种设备上加工；产品 II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序 时，只能在B1设备上加工，产品III只能在A2与 B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及 其他各项数据如表格所示，试安排最优生产计 划，使该厂获利最大。
max z [ Si yij C i xij C x ] H i ij
i 1 j 1 / i / ij i 1 j 1
5
6
5
5
连续投资问题
某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并 于次年末回收本利115%； 项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本 利125%，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本 利140%，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还， 并加利息6%。 该部门现有资金 10 万元，问它应如何确定给这些 项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的 本利总额为最大?
第6节
应 用 举 例
一般讲，一个经济、管理问题凡满足以下条件 时，才能建立线性规划的模型。 (1) 要求解问题的目标函数能用数值指标来表示， 且Z=f(x)为线性函数； (2) 存在着多种方案； (3) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的； 这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。
合理利用线材问题
解 设xij, xij/分别为该工厂第i种产品在 第j个月在正常时间和加班时间内的生产量； yij为第i种产品在第j月的销售量， ωij为第i种产品第j月末的库存量。
(1) 各种产品每月的生产量不能超过允许 的生产能力，表示为：
a x
i 1 5 i i 1
5
i
rj ,
j 1,,6 j 1,,6
/ / a x r i i i,
(2) 各种产品每月销售量不超过市场最大需求量
yij dij , (i 1,, 6, j 1,, 6)
(3) 每月末库存量等于上月末库存量加上该月产量 减掉当月的销售量
ij i , j 1 x ij x yij
/ ij
产品名称 A B D
规 格 要 求 单价（元/kg） 原材料 C 不少于 50% 50 原材料 P 不超过 25% 原材料 C 不少于 25% 35 原材料 P 不超过 50% 不限 25
原材料名称 每天最多供应量（kg） 单价/(元/kg) C 100 65 P 100 25 H 60 35
解 以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P 的成分，依次类推，根据原材料比例限制
0 0 0 0 100 100 x9 60
目标函数为产品收入减去原材料成本
产品收入为：50A+35B+25D，即 50(x1+x2+x3)——产品A 35(x4+x5+x6)——产品B 25(x7+x8+x9)——产品D 原材料成本为：65C+25P+35H ，即 65(x1+x4+x7)——原材料C 25(x2+x5+x8)——原材料P 35(x3+x6+x9)——原材料H 所以，目标函数为
设按Ⅰ方案下料的原材料根数为x1,Ⅱ方案为x2， Ⅲ方案为x3，Ⅳ方案为x4,Ⅴ方案为x5。可列出以 下数学模型：
m in z 0 x1 0.1 x 2 0.2 x 3 0.3 x4 0.8 x5 x4 100 x1 2 x 2 2 x 3 2 x4 x5 100 3 x5 100 3 x1 x 2 2 x3 x1 , x 2 , x3 , x4 , x5 0
1 AC A, 2 1 1 1 AP A, BC B, BP B (1 39) 4 4 2
AC AP AH A, BC BP BH B (1 40)
将(1-40)逐个代入(1-39)并整理得到 1 1 1 AC AP AH 0 2 2 2 1 3 1 AC AP AH 0 4 4 4 3 1 1 BC BP BH 0 4 4 4 1 1 1 BC BP BH 0 2 4 2
设备 A1 A2 B1 B2 B3
产品 I 5 7 6 4 7 II 10 9 8 11 12 III
设备有效台时 设备加工费(元/h) 6000 10000 4000 7000 4000 0.05 0.03 0.06 0.11 0.05
原料费(元/件) 0.25 0.35 0.50 售 价(元/件) 1.25 2.00 2.80
(2) 投资额应等于手中拥有的资金额 由于项目D每年都可以投资，并且当年末即能回收 本息。所以该部门每年应把资金全部投出去，手 中不应当有剩余的呆滞资金。因此
第一年：该部门年初拥有100000元，所以有 x1A+x1D=100000 第二年：因第一年给项目A的投资要到第二年末才 能回收。所以该部门在第二年初拥有资金额仅为 项目 D 在第一年回收的本息 x1D(1+6%) 。于是第二 年的投资分配是 x2A+x2C+x2D=1.06x1D
根据原材料供应数量的限额
AC BC DC 100 AP BP DP 100 AH BH DH 60
9个变量分别用x1,…,x9表示，则约束条件可 表示为：
1 1 1 2 x1 2 x 2 2 x 3 1 x 3 x 1 x 4 1 4 2 4 3 3 1 1 x4 x5 x6 4 4 4 1 1 1 x4 x5 x6 2 2 2 x4 x7 x1 x2 x5 x8 x3 x6 x1 , , x9 0
8种方式使用的原料根数即为决策变量，按余料从 小到大给各变量编号，问题归结为如下线性规划
m in z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 或 m in z 0 x1 0.1 x2 0.2 x3 0.3 x4 0.8 x5 0.9 x6 1.1 x7 1.4 x8 x4 x6 100 (1) x1 2 x2 2 x 3 2 x4 x5 x6 3 x7 100 ( 2) 3 x5 x6 4 x8 100 ( 3) 3 x1 x2 2 x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 0
工厂的盈利为产品售价减去相应的原料费和设备 加工费，产品加工量只受设备有效台时的限制。 LP模型为
m axz (0.25 0.25)( x11 x12 x13 x14 x15 x16 ) ( 2.0 0.35) ( x 21 x 22 ) ( 2.80 0.50) x 3 0.05(5 x11 5 x12 5 x13 10x 21 ) 0.03(7 x14 7 x15 7 x16 9 x 22 12x 3 ) 0.06(6 x11 6 x14 8 x 21 8 x 22 ) 0.11(4 x12 4 x15 11x 3 ) 0.05(7 x13 7 x16 ) 5 x11 5 x12 5 x13 10x 21 6000 7 x14 7 x15 7 x16 9 x 22 12x 3 10000 6 x11 6 x14 8 x 21 8 x 22 4000 4 x12 4 x15 11x 3 7000 7 x13 7 x16 4000 x ij 0
若仅选取余料长小于0.9m的套裁方案
下料根数 长度(m) 2.9 2.1 1.5 合计长 余料长 变量编号 I II
方案 III IV V
1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8 x1 x2 x3 x4 x5
现要做100套钢架，每套需用长为2.9m，2.1m和1.5m的元 钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原 材料最省。 解：所有合理的下料方式列举如下
下料根数 长度(m) 2.9 2.1 1.5 合计长 余料长 变量编号 1 2 3
方案 4 5 6 7 8
2 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 0 3 2 1 0 1 0 1 3 0 2 3 4 7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4 x2 x4 x6 x1 x7 x3 x5 x8
解： (1) 确定决策变量,以xiA,xiB,xiC,xiD (i=1,2,…，5)分别表示第i年年初给项目A，B，C， D的投资额
项目 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 A x1A x2A x3A x4A / B / / x3B / / C / x2C / / / D x1D x2D x3D x4D x5D
i 1, ,5; j 1, ,6 其 中 i 0 0, i 6 k i
(4) 满足各变量的非负约束
xij 0, x 0, yij 0, ij 0,
/ ij
( i 1 ,, 5, j 1 ,, 6)
(5) 该工厂上半年总盈利最大可表示为：
最优下料方案：按Ⅰ方案下料30根，Ⅱ方案下料 10根，Ⅳ方案下料50根， 需90根原材料可以制造100套钢架。 其他最优方案：Ⅱ方案下料40根，III方案下料30 根，按IV方案下料20根， 需90根原材料可以制材料C、P、H混合调配出三种不 同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产 品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价， 分别见表格。该厂应如何安排生产，使利润收入 为最大?
产品计划问题 某厂生产I，II，III三种产品，都分别经A，B 两道工序加工。设A工序可分别在设备A1或A2上 完成， B工序可在B1，B2，B3三种设备上完成。 已知产品I可在A，B任何一种设备上加工；产品 II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序 时，只能在B1设备上加工，产品III只能在A2与 B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及 其他各项数据如表格所示，试安排最优生产计 划，使该厂获利最大。
max z [ Si yij C i xij C x ] H i ij
i 1 j 1 / i / ij i 1 j 1
5
6
5
5
连续投资问题
某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并 于次年末回收本利115%； 项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本 利125%，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本 利140%，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还， 并加利息6%。 该部门现有资金 10 万元，问它应如何确定给这些 项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的 本利总额为最大?
第6节
应 用 举 例
一般讲，一个经济、管理问题凡满足以下条件 时，才能建立线性规划的模型。 (1) 要求解问题的目标函数能用数值指标来表示， 且Z=f(x)为线性函数； (2) 存在着多种方案； (3) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的； 这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。
合理利用线材问题
解 设xij, xij/分别为该工厂第i种产品在 第j个月在正常时间和加班时间内的生产量； yij为第i种产品在第j月的销售量， ωij为第i种产品第j月末的库存量。
(1) 各种产品每月的生产量不能超过允许 的生产能力，表示为：
a x
i 1 5 i i 1
5
i
rj ,
j 1,,6 j 1,,6
/ / a x r i i i,
(2) 各种产品每月销售量不超过市场最大需求量
yij dij , (i 1,, 6, j 1,, 6)
(3) 每月末库存量等于上月末库存量加上该月产量 减掉当月的销售量
ij i , j 1 x ij x yij
/ ij
产品名称 A B D
规 格 要 求 单价（元/kg） 原材料 C 不少于 50% 50 原材料 P 不超过 25% 原材料 C 不少于 25% 35 原材料 P 不超过 50% 不限 25
原材料名称 每天最多供应量（kg） 单价/(元/kg) C 100 65 P 100 25 H 60 35
解 以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P 的成分，依次类推，根据原材料比例限制
0 0 0 0 100 100 x9 60
目标函数为产品收入减去原材料成本
产品收入为：50A+35B+25D，即 50(x1+x2+x3)——产品A 35(x4+x5+x6)——产品B 25(x7+x8+x9)——产品D 原材料成本为：65C+25P+35H ，即 65(x1+x4+x7)——原材料C 25(x2+x5+x8)——原材料P 35(x3+x6+x9)——原材料H 所以，目标函数为
设按Ⅰ方案下料的原材料根数为x1,Ⅱ方案为x2， Ⅲ方案为x3，Ⅳ方案为x4,Ⅴ方案为x5。可列出以 下数学模型：
m in z 0 x1 0.1 x 2 0.2 x 3 0.3 x4 0.8 x5 x4 100 x1 2 x 2 2 x 3 2 x4 x5 100 3 x5 100 3 x1 x 2 2 x3 x1 , x 2 , x3 , x4 , x5 0
1 AC A, 2 1 1 1 AP A, BC B, BP B (1 39) 4 4 2
AC AP AH A, BC BP BH B (1 40)
将(1-40)逐个代入(1-39)并整理得到 1 1 1 AC AP AH 0 2 2 2 1 3 1 AC AP AH 0 4 4 4 3 1 1 BC BP BH 0 4 4 4 1 1 1 BC BP BH 0 2 4 2
设备 A1 A2 B1 B2 B3
产品 I 5 7 6 4 7 II 10 9 8 11 12 III
设备有效台时 设备加工费(元/h) 6000 10000 4000 7000 4000 0.05 0.03 0.06 0.11 0.05
原料费(元/件) 0.25 0.35 0.50 售 价(元/件) 1.25 2.00 2.80
(2) 投资额应等于手中拥有的资金额 由于项目D每年都可以投资，并且当年末即能回收 本息。所以该部门每年应把资金全部投出去，手 中不应当有剩余的呆滞资金。因此
第一年：该部门年初拥有100000元，所以有 x1A+x1D=100000 第二年：因第一年给项目A的投资要到第二年末才 能回收。所以该部门在第二年初拥有资金额仅为 项目 D 在第一年回收的本息 x1D(1+6%) 。于是第二 年的投资分配是 x2A+x2C+x2D=1.06x1D
根据原材料供应数量的限额
AC BC DC 100 AP BP DP 100 AH BH DH 60
9个变量分别用x1,…,x9表示，则约束条件可 表示为：
1 1 1 2 x1 2 x 2 2 x 3 1 x 3 x 1 x 4 1 4 2 4 3 3 1 1 x4 x5 x6 4 4 4 1 1 1 x4 x5 x6 2 2 2 x4 x7 x1 x2 x5 x8 x3 x6 x1 , , x9 0
8种方式使用的原料根数即为决策变量，按余料从 小到大给各变量编号，问题归结为如下线性规划
m in z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 或 m in z 0 x1 0.1 x2 0.2 x3 0.3 x4 0.8 x5 0.9 x6 1.1 x7 1.4 x8 x4 x6 100 (1) x1 2 x2 2 x 3 2 x4 x5 x6 3 x7 100 ( 2) 3 x5 x6 4 x8 100 ( 3) 3 x1 x2 2 x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 0
工厂的盈利为产品售价减去相应的原料费和设备 加工费，产品加工量只受设备有效台时的限制。 LP模型为
m axz (0.25 0.25)( x11 x12 x13 x14 x15 x16 ) ( 2.0 0.35) ( x 21 x 22 ) ( 2.80 0.50) x 3 0.05(5 x11 5 x12 5 x13 10x 21 ) 0.03(7 x14 7 x15 7 x16 9 x 22 12x 3 ) 0.06(6 x11 6 x14 8 x 21 8 x 22 ) 0.11(4 x12 4 x15 11x 3 ) 0.05(7 x13 7 x16 ) 5 x11 5 x12 5 x13 10x 21 6000 7 x14 7 x15 7 x16 9 x 22 12x 3 10000 6 x11 6 x14 8 x 21 8 x 22 4000 4 x12 4 x15 11x 3 7000 7 x13 7 x16 4000 x ij 0
若仅选取余料长小于0.9m的套裁方案
下料根数 长度(m) 2.9 2.1 1.5 合计长 余料长 变量编号 I II
方案 III IV V
1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8 x1 x2 x3 x4 x5
现要做100套钢架，每套需用长为2.9m，2.1m和1.5m的元 钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原 材料最省。 解：所有合理的下料方式列举如下
下料根数 长度(m) 2.9 2.1 1.5 合计长 余料长 变量编号 1 2 3
方案 4 5 6 7 8
2 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 0 3 2 1 0 1 0 1 3 0 2 3 4 7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4 x2 x4 x6 x1 x7 x3 x5 x8
解： (1) 确定决策变量,以xiA,xiB,xiC,xiD (i=1,2,…，5)分别表示第i年年初给项目A，B，C， D的投资额
项目 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 A x1A x2A x3A x4A / B / / x3B / / C / x2C / / / D x1D x2D x3D x4D x5D
i 1, ,5; j 1, ,6 其 中 i 0 0, i 6 k i
(4) 满足各变量的非负约束
xij 0, x 0, yij 0, ij 0,
/ ij
( i 1 ,, 5, j 1 ,, 6)
(5) 该工厂上半年总盈利最大可表示为：
最优下料方案：按Ⅰ方案下料30根，Ⅱ方案下料 10根，Ⅳ方案下料50根， 需90根原材料可以制造100套钢架。 其他最优方案：Ⅱ方案下料40根，III方案下料30 根，按IV方案下料20根， 需90根原材料可以制材料C、P、H混合调配出三种不 同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产 品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价， 分别见表格。该厂应如何安排生产，使利润收入 为最大?