高一数学苏教版必修1课后导练：2.1.4函数的表示方法含解析
第14讲 函数的表示方法(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第14讲函数的表示方法知识点一函数的表示方法1．列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．2．解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法，这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式．3．图象法：用图象表示两个函数之间函数关系的方法称为图象法．4．函数的三种表示方法的优、缺点知识点一分段函数1．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫作分段函数．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．3．对分段函数的再理解(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．考点一：函数的表示法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【解析】(1)列表法：x/台12345y/元3000600090001200015000x/台678910y/元1800021000240002700030000(2)图象法：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．【总结】函数的三种表示方法的选择和应用的注意点解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．变式已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________．【答案】11【解析】由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f (g (1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1.考点二：用待定系数法求函数解析式例2已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝16x －25，求f (x )；【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25，2＝16，＋b ＝－25，＝4，＝－5＝－4，＝253，∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253.【总结】变式已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ).【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ，a ＝2，b ＝－4，a ＋2c ＝0，＝1，＝－2，＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1.考点三：利用换元法(配凑法)求函数解析式例3已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；【解析】(1)(方法1：换元法)：令t ＝x ＋1(t ≥1)，则x ＝t －1，x ＝(t －1)2，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1).(方法2：配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1.因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1).【总结】变式已知f (x ＋2)＝2x ＋3，求f (x ).【解析】f (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，所以f (x )＝2x －1.考点四：用方程组法求函数解析式例4已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x ).【解析】因为f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，x ）＋2f （－x ）＝x 2＋2x ，①x ）＋2f （x ）＝x 2－2x .②将①、②两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，所以f (x )＝13x 2－2x .【总结】变式已知f (x )＋2＝x (x ≠0)，求f (x )；【解析】∵f (x )＋2＝x ，用1x 代替x 得＋2f (x )＝1x，消去f 得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝23x －x3(x ≠0).考点五：赋值法求函数的解析式例5设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．【解析】（方法1）由已知条件得f (0)＝1，又f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，设y ＝x ，则f (x －y )＝f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＋1.（方法2）令x ＝0，得f (0－y )＝f (0)－y (－y ＋1)，即f (－y )＝1－y (－y ＋1)，将－y 用x 代换得f (x )＝x 2＋x ＋1.【总结】变式设f (x )是R 上的函数，f (0)＝1，并且对于任意的实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋y (2x ＋1)，求f (x ).【解析】由已知条件得f (0)＝1，又f (x ＋y )＝f (x )＋y (2x ＋1)，设y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋(－x )(2x ＋1)，∴f (x )＝2x 2＋x ＋1.考点六：分段函数求值问题例6已知函数f (x )2，|x |≤1，|x |>1.(1)求f的值；(2)若f (a )＝13，求a 的值．【解析】(1)因为＝|12－1|－2＝－32，所以＝＝11＝413.(2)f (a )＝13，若|a |≤1，则|a －1|－2＝13，得a ＝103或a ＝－43，因为|a |≤1，所以a 的值不存在；若|a |>1，则11＋a 2＝13，得a ＝±2，符合|a |>1.所以若f (a )＝13，a 的值为±2.【总结】变式若函数f(x)＋2，x>0，2－1，x≤0，则f(f(－3))＝________．【答案】10【解析】f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f(f(－3))＝f(8)＝8＋2＝10.考点七：分段函数的图象及应用例7分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．(1)y0＜x＜1，x≥1.(2)y，x＜－2，3x，－2≤x＜2，3，x≥2.【解析】各函数对应图象如图所示．由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6].【总结】变式设x∈R，定义符号函数sgn x，x>0，，x＝0，1，x<0，则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是()【答案】C【解析】函数f(x)＝|x|sgn x x，x>0，0，x＝0，x，x<0，故函数f(x)＝|x|sgn x的图象为y＝x所在的直线．故选C.考点八：分段函数的应用问题例8某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励经销商订购该零件，决定每次订购超过100个零件时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)求当经销商一次订购多少个零件时，零件的实际出厂单价恰好为51元；(2)若经销商一次订购x(x∈N*)个零件时，该厂获得的利润为y元，写出y关于x的表达式．【解析】(1)设零件的实际出厂单价恰好为51元时，一次订购x0个零件，则60－0.02(x0－100)＝51，解得x0＝550，所以当一次订购550个零件时，零件的实际出厂单价恰好为51元．(2)设一次订购x个零件时，零件的实际出厂单价为W元，当0<x≤100时，W＝60；当100<x<550时，W＝60－0.02(x－100)＝62－0.02x；当x≥550时，W＝51.由题意得y＝(W－40)x，当0<x≤100时，y＝20x；当100<x<550时，y＝(22－0.02x)x＝22x－0.02x2；当x≥550时，y＝11x.故y20x，0<x≤100，x∈N*，22x－0.02x2，100<x<550，x∈N*，11x，x≥550，x∈N*.【总结】分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数；变式某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本C (x )元，且C (x )x 2＋400x ，0<x <40，004x ＋10000x－9800，40≤x ≤100，若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．(1)求制造商所获月利润L (x )(元)关于月产量x (台)的函数关系式；(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．【解析】(1)当0＜x ＜40时，L (x )＝1000x －10x 2－400x －3000＝－10x 2＋600x －3000；当40≤x ≤100时，L (x )＝1000x －1004x －10000x＋9800－3000＝6800x.所以L (x)10x 2＋600x －3000，0<x <40，800x 40≤x ≤100.(2)①当0＜x ＜40时，L (x )＝－10(x －30)2＋6000，所以当x ＝30时，L (x )max ＝L (30)＝6000.②当40≤x ≤100时，L (x )＝6800x ≤6800－24x ·10000x＝6400，当且仅当4x ＝10000x ，即x ＝50时取等号．因为6400＞6000，所以x ＝50时，L (x )最大．故月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．1．已知函数f (x )由下表给出，则满足f [f (x )]>f (3)的x 的值为()x 123f (x )231A.1或3B ．1或2C ．2D ．3【答案】A【解析】由表知f (3)＝1，要使f [f (x )]>f (3)，必有f (x )＝1或f (x )＝2，所以x ＝3或x ＝1.2．如果＝x1－x，则当x ≠0，1时，f (x )等于()A ．1x B ．1x －1C ．11－xD ．1x－1【答案】B【解析】令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入＝x 1－x ，则有f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.故选B.3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可以是()【答案】B 【解析】取h ＝H 2与h ＝H 两个位置观察注水量V ，知h ＝H 2时，水量已经超过V2，由此可以判断水瓶的下半部分体积大，上半部分体积小．故选B.4．已知函数f (x )对任意实数x ，y 均有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (2)＝1，则f (1)＝________，＝________．【答案】0－1【解析】∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)＋f (1)，∴f (1)＝0.又f (1)＝＝f (2)＋＝0，∴＝－1.5．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，求弹簧总长y (单位：cm)与所挂物体质量x (单位：kg)之间的函数解析式．【解析】设所求函数解析式为y ＝kx ＋12(k ≠0)，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，解得k ＝12，所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12(x ≥0).6．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是()【答案】A【解析】因为y ＝x 2|x |，x >0，x ，x <0，所以函数的图象为选项A.7．已知f (x )－5，x ≥6x ＋2），x <6，则f (3)为()A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，f (5)＝f (5＋2)＝f (7)，f (7)＝7－5＝2，故f (3)＝2.8．(多选)设函数f (x )－x ，x ≤a ，2＋1，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a 可以为()A ．1B ．0C ．－1D ．－2【答案】BCD【解析】根据题意，函数f (x )－x ，x ≤a ，2＋1，x >a ，若a <0，f (1)＝12＋1＝2，f (0)＝02＋1＝1，满足f (1)＝2f (0)；若0≤a <1，f (0)＝1－0＝1，f (1)＝1＋1＝2，满足f (1)＝2f (0)；若a ≥1，f (0)＝1－0＝1，f (1)＝1－1＝0，不满足f (1)＝2f (0).故a 的取值范围为(－∞，1)，分析选项B 、C 、D 符合．故选B 、C 、D.9．已知函数f (x )x ，x ≤0，x －1，x >0，则不等式f (x )≥1的解集是________．【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)【解析】x ≤0时，由－x ≥1解得x ≤－1，x >0时，由2x －1≥1解得x ≥1，综上不等式的解为x ≤－1或x ≥1.所以x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞).10．如图，底角∠ABE ＝45°的直角梯形ABCD ，底边BC 长为4cm ，腰长AB 为22cm ，当一条垂直于底边BC 的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BE ＝x ，试写出阴影部分的面积y 与x 的函数关系式，并画出函数的大致图象．【解析】根据题意得，当直线l 从点B 移动到点A 时，0≤x ≤2，y ＝12x 2；当直线l 从点A 移动到点D 时，2<x ≤4，y ＝12×2×2＋(x －2)×2，即y ＝2x －2.所以阴影部分的面积y 与x 的函数关系式为y 12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈（2，4].函数图象如图所示．1．已知函数f (x )x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈（0，1]，则函数f (x )的图象是()【答案】A【解析】当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1，2)，B 错．故选A.2．若函数f (x )－x ，x ≤－1，x ＋2x －7，x >－1，则f [f (－2)]＝()A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】C【解析】∵函数f(x)x，x≤－1，＋2x－7，x>－1，∴f(－2)＝－(－2)＝2，f[f(－2)]＝f(2)＝2＋22－7＝－4.故选C.3．已知函数f(x－1)＝2x2－2，则f(－1)的值为()A.－3B．0C．－2D．2【答案】C【解析】因为f(x－1)＝2x2－2，令t＝x－1，则x＝t＋1，所以f(t)＝2(t＋1)2－2＝2t2＋4t，所以f(x)＝2x2＋4x，所以f(－1)＝2－4＝－2.故选C.4．(多选)已知函数f(x)＋2，x≤－1，2＋1，－1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是()A．f(x)的定义域是RB．f(x)的值域是(－∞，5) C．若f(x)＝3，则x的值为2 D．f(x)图象与y＝2有两个交点【答案】BC【解析】由函数f(x)＋2，x≤－1，2＋1，－1<x<2知，定义域为(－∞，－1]∪(－1，2)，即(－∞，2)，A错误；x≤－1时，f(x)＝x＋2∈(－∞，1]，－1<x<2时，x2∈(0，4)，故f(x)＝x2＋1∈(1，5)，故值域为(－∞，5)，B正确；由分段的取值可知f(x)＝3时x∈(－1，2)，即f(x)＝x2＋1＝3，解得x＝2或x＝－2(舍去)，C正确；由分段的取值可知f(x)＝2时x∈(－1，2)，即f(x)＝x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1(舍去)，故f(x)图象与y＝2有1个交点，D错误．故选B、C.5．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是()【答案】A【解析】水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下：开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A 符合．故选A.6．已知函数f (x )x 2＋1（x ≤0），2x （x >0），若f (a )＝10，则a 的值是()A ．－3或5B ．3或－3C ．－3D ．3或－3或5【答案】A【解析】若a ≤0，则f (a )＝a 2＋1＝10，∴a ＝－3(a ＝3舍去)，若a >0，则f (a )＝2a ＝10，∴a ＝5，综上可得，a ＝5或a ＝－3.故选A.7．(多选)已知f (2x ＋1)＝4x 2，则()A ．f (1)＝4B ．f (－1)＝4C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x －1)2【答案】BD【解析】令t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，因为f (2x ＋1)＝4x 2，所以f (t )＝4t －122＝(t －1)2，所以f (x )＝(x －1)2，所以f (1)＝(1－1)2＝0，f (－1)＝(－1－1)2＝4.故选B 、D.8．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________．【答案】2x －23【解析】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋43a ＝6，3a ＋3b ＝4，a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.9．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________．x0＜x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜20y＝f(x)46810【答案】{1，2，3，5}【解析】当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1，2，3}；当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}；当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为∅；当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为∅；综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1，2，3，5}．10．已知f(x＋4)＝x＋8x，则f(x)＝________．【答案】x2－16(x≥4)【解析】令x＋4＝t≥4，则x＝t－4，x＝(t－4)2，所以f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)，所以f(x)＝x2－16(x≥4).11．某省两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修建一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．【解析】(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设y＝kx＋b(k≠0).由题意，得16＝4k＋b，10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，所以y＝－2x＋24.(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，则由(1)知S＝xy，所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，所以当x＝6时，S max＝72，此时y＝12，则每日最多运营的人数为110×72＝7920.所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.12．已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，则f(f(1))＝()A．1B．7C ．8D ．16【答案】B【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为f (2x )＋f (x －1)＝10x 2－7x ＋5，所以4ax 2＋2bx ＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝10x 2－7x ＋5，化简可得5ax 2＋(3b －2a )x ＋a －b ＋2c ＝10x 2－7x ＋5，a ＝10，b －2a ＝－7，－b ＋2c ＝5，＝2，＝－1，＝1，所以f (x )＝2x 2－x ＋1，所以f (1)＝2－1＋1＝2，所以f (f (1))＝f (2)＝2×4－2＋1＝7.故选B.13．(多选)(2021·扬州中学高一期中)一次函数f (x )满足：f (f (x ))＝4x ＋3，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝1－2xC ．f (x )＝2x －3D ．f (x )＝－2x －3【答案】AD【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ＋3，2＝4，＋b ＝3，＝2，＝1＝－2，＝－3，即f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.故选A 、D.14．图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x 的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为盈的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是________；图③的建议是________．【答案】增加票价，运营成本不变票价不变，降低运营成本【解析】由图①可以看出，直线的y ＝kx ＋b 中的k 实际意义是票价，在y 轴上的截距的相反数表示运营成本，图②中，直线的k 增加，在y 轴上的截距b 不变，即表示增加票价，运营成本不变；图③中，直线的k 不变，直线的截距b 增加，即表示票价不变，降低运营成本．15．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝3x ·＋1，则f (x )＝________．【答案】－38x －18(x >0)【解析】在f (x )＝3x ·＋1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，∴＝31x ·f (x )＋1，将该方程代入已知方程消去，整理得f (x )＝－38x －18(x >0).16．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且图象与y 轴交点的纵坐标为1，被x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．【解析】（方法1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由f (x －2)＝f (－x －2)得4a －b ＝0；①又因为|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |＝22，所以b 2－4ac ＝8a 2；②又由已知得c ＝1.③由①②③解得b ＝2，a ＝12，所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1.（方法2）因为y ＝f (x )的图象有对称轴x ＝－2，又|x 1－x 2|＝22，所以y ＝f (x )的图象与x 轴的交点为(－2－2，0)，(－2＋2，0)，故可设f (x )＝a (x ＋2＋2)(x ＋2－2).因为f (0)＝1，所以a ＝12.所以f (x )＝12[(x ＋2)2－2]＝12x 2＋2x ＋1.17．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元).(1)分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【解析】(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，由题设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图知f (2)＝1，故k 1＝12，又g (4)＝4，∴k 2＝2.从而f (x )＝12x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0).(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元，则y ＝f (x )＋g (10－x )＝12x ＋210－x (0≤x ≤10)，令t ＝10－x ，则y ＝－12(t －2)2＋7(0≤t ≤10)当t ＝2时，y max ＝7，此时x ＝6.18．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m ，渠深为1.8m ，斜坡的倾斜角是45°(无水状态不考虑).(1)试将横断面中水的面积A (h )(单位：m 2)表示成水深h (单位：m)的函数；(2)确定函数A (h )的定义域和值域；(3)画出函数A (h )的图象．【解析】(1)依题意，水深h (m)的灌溉渠的横断面是等腰梯形，其下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高h m ，于是得横断面中水的面积为A (h )＝2＋（2＋2h ）2·h ＝h 2＋2h (m 2)，所以A (h )＝h 2＋2h (0<h ≤1.8).(2)由(1)知，函数A (h )＝h 2＋2h 的定义域是(0，1.8]，显然A (h )＝(h ＋1)2－1在(0，1.8]上随h 增大而增大，A (h )>A (0)＝0，A (h )max ＝A (1.8)＝6.84，所以函数A (h )的定义域为(0，1.8]，值域为(0，6.84].(3)由(2)知，A (h )＝(h ＋1)2－1是二次函数，其图象对称轴h ＝－1，顶点为(－1，－1)，而0<h ≤1.8，于是得函数A (h )＝h 2＋2h (0<h ≤1.8)的图象是抛物线的一部分，如图所示．。
高中数学 2.1.2 函数的表示方法课时训练 苏教版必修1
高中数学 2.1.2 函数的表示方法课时训练苏教版必修1要表示一种函数关系，可以有很多的方式，最直截了当的就是一一列出变量之间的所对应的数值．这种表示方法的好处就是一目了然，但不能容易地让人理解变量之间的对应规律．要想能容易地让人理解变量之间的对应规律，可以使用图示的方式．用图来表示变量之间的依赖关系，可以很直观地说明这种依赖关系的很多性质．图示的缺点就是不能精确地给出数值，也不能精确地表达函数的性质．最精确的表达方式是给出函数关系的解析表达式．有了解析表达式，就可以对已知数值进行确定的数学计算，从而得到未知量的精确数值．更进一步，通过对解析表达式的数学分析，可以得出函数性质的精确的表达．这几种方法各有千秋，这是本节要学习的内容。
基础巩固1．如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )解析：当0≤x ≤2时，S ＝14x 2，排除B 、C ；当2＜x ≤3时，S ＝12×3×1－12(x －3)2＝12(－x 2＋6x －6)；当x ＞3时，S ＝12×3×1＝32.答案：D2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．选D.答案：D3．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x2x2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x2x2得：-⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭2211414＝15.答案：C4．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，则函数f (x )＝⊕(⊗)2xx 22的解析式为( )A ．f (x )＝4－x2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]解析：由题知2x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －22，则f (x )＝4－x2x －22－2， 又4－x 2≥0，∴－2≤x ≤2，则f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x2x ，－2≤x ≤2，且x ≠0.答案：D5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f [f n ＋5]，n <10(n ∈N *)，则f (5)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：f (5)＝f [f (10)]＝f (7)＝f [f (12)]＝f (9)＝f [f (14)]＝f (11)＝11－3＝8. 答案：D6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：3个7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 关于x 的解析式是________． 答案：y ＝28x8．若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24(a ，b 为常数)，则5a －b ＝________.解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋3， ∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3. 又f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7.∴5a －b ＝2. 答案：29．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式．解析：令1＋x 1－x ＝t ，则x ＝t －1t ＋1，∴f (t )＝-⎛⎫- ⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭22t 11t 1t 11t 1＝2tt 2＋1， ∴f (x )＝2x x 2＋1. 由于t ＝1＋x 1－x ＝－1＋21－x ≠－1，∴f (x )＝2xx 2＋1(x ≠－1)．10．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c . ∵f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，∴9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5. 比较两端系数，得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.∴f (x )＝x 2－4x ＋8.11．已知二次函数f (x )的图象经过A (0,2)，B (1.0)，C (3,2)三点，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，把A ，B ，C 三点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴f (x )＝x 2－3x ＋2.能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：当x ＝56时，y ＝5，排除C ，D ；当x ＝57时，y ＝6，排除A.∴只有B 正确． 答案：B13．任取x 1、x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是上凸函数的图象是( )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．答案：D14．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C x ，x <A ，C A ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75.16C ．60,25D ．60,16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C4＝30⇒C ＝60，f (A )＝60A＝15⇒A ＝16.答案：D15．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________，满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 值是________解析：f [g (1)]＝f (3)＝1，当x ＝1时，f [g (1)]＝f (3)＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3，不满足；当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1，满足； 当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝1，不满足． ∴x ＝2. 答案：1 216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋12，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：x ＜1时，f (x )≥1⇔(x ＋1)2≥1⇔x ≤－2或x ≥0⇔x ≤－2或0≤x ＜1；x ≥1时，f (x )≥1⇔4－x －1≥1⇔x －1≤3⇔x ≤10⇒1≤x ≤10.∴x ≤－2或0≤x ≤10. 答案：(－∞，－2]∪[0,10]17．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则对x ∈R，函数f (x )＝x *(2－x )的解析式为f (x )＝________.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤12－x ，x ＞118．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：t /天5 15 20 30 Q /件35 25 20 10(1)根据提供的图象(图甲)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)在所给直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)解析：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N.(2)描出实数对(t ，Q )的对应点．从图象发现：点(5,35)，(15,25)，(20,20)，(30,10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5,35)，(30,10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15,25)，(20,20)也在直线l 上．∴日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N，t 2－140t ＋4000，25≤t ≤30，t ∈N， 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t －102＋900，0＜t ＜25，t ∈N，t －702－900，25≤t ≤30，t ∈N. 若0＜t ＜25(t ∈N)，则当t ＝10时，y max ＝900； 若25≤t ≤30(t ∈N)，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 因此第25天时销售金额最大．。
苏教版高中数学必修一知识讲解_函数的表示方法_提高
函数的表示方法：：【学习目标】了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单的应用。
【要点梳理】要点一、构成函数的三要素：1.定义域、对应关系、值域(1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.2．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：x a x b a b<<={x|a≤x≤b}=[a，b]；{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；<≤=；[){|},x a x b a b(][)≤=∞≤=+∞.{|}-,; {|},x x b b x a x a要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
3.相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。
要点诠释：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。
如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。
苏教版数学高一必修1学案 2.1.2函数的表示方法
2．1．2函数的表示方法1．在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数．2．理解同一函数可以用不同的方法表示．1．函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．1．列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．这种方法常应用到实际生产和生活中．2．图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势．气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．3．用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．【做一做1－1】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了0．5 h，然后以80km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是__________．答案：③【做一做1－2】某种杯子每只0．5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．解：(1)列表法：(2)图象法(如下图)．(3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数而不是几个函数．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |x ＞0}．分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实．【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：解：图象如图． 解析式为：0.80,020,1.60,2040,2.40,4060,3.20,6080,4.00,80100.m m M m m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩1．如何求函数解析式？剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想．对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x 与腰长y 之间的函数关系是y ＝6－12x ，其中x ∈(0,6)．2．如何理解分段函数？剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是分段函数．(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同．(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的图象为(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式．函数y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0<x <11，－44，x ≥11不能写成y ＝22－6x,0＜x ＜11或y ＝－44，x ≥11．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．题型一 求函数解析式【例1】(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x 2)；(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋1()f x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )； (4)已知一次函数f (x )满足f ［f (x )］＝4x －1，求f (x )．分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x ”而言，“f ”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系．要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设x ＋4＝t ≥4，否则就不能正确确定f (x )的定义域．解：(1)方法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入得f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2， ∴f (t )＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6． 方法二(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6．(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． ∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． 方法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4， 则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16． ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． (3)(方程法)∵x ∈R ，且x ≠0， 由2f (x )＋1()f x＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x换成x ，得12()f x＋f (x )＝2x ．②①×2－②，得3f (x )＝4x －2x ，即f (x )＝4x 3－23x．(4)(待定系数法)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ［f (x )］＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1．∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．反思：对于已知f ［g (x )］的表达式，求f (x )的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g (x )＝t ，解出用t 表示x 的表达式，代入求得f (x )的解析式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t 的取值范围．若题目中已知函数f (x )的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f (x )是一次函数，故可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．题型二 分段函数的图象与应用【例2】试作出函数y ＝|x －1|和y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象．分析：y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1.解：y ＝|x －1|的图象如图(1)． y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象如图(2)．反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号．(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号．(2)带两个或两个以上绝对值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图．如本题(2)，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋2＝0，得x ＝－2．－2和1把数轴分成三部分(如下图所示)．【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因f (1)＝12－4×1＋6＝3，所以原不等式可化为f (x )＞3．作出原函数的图象，如下图所示．再作出直线y ＝3，其交点坐标分别为(－3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确．题型三 实际应用问题【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，f (x )的值越大，表示接受的能力越强，x 表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5； f (20)＝－3×20＋107＝47，所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．(3)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0．1x 2＋2．6x ＋43＝－0．1(x －13)2＋43＋16．9，f (x )ma x ＝f (10)＝59．令55≤f (x )≤59，解得6≤x ≤10．所以6≤x ≤10时，f (x )∈［55,59］，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；当16＜x ≤30时，f (x )＝－3x ＋107．令f (x )≥55，解得x ≤523，即在这段时间里，学生只有43分钟接受能力维持在55以上．综上所述，开讲后学生共有4＋6＋43＝343分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．反思：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意．如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解．1设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为__________． 解析：因为f (2)＝22＋2－2＝4，所以1f (2)＝14，1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1()4f ＝1－21()4＝1516． 答案：15162某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费______元．解析：把收费y 元看成所走路程x km 的函数， 当0＜x ≤3时，应交6元；当3＜x ≤10时，应交6＋(x －3)×0.5＝4.5＋0.5x (元)；当x ＞10时，应交4.5＋0．5×10＋(x －10)×0．8＝1.5＋0.8x (元)． ∴当x ＝12时，y ＝1.5＋0．8×12＝11.1(元)． 答案：11.13某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是__________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式， 由题意，得当0＜x ≤100时，y ＝0.5x ，当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ．答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，10＋0.4x ，x >100已知函数h (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，1()163h =＝16，h (1)＝8，求h (x )及其定义域．分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式． 解：设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)，则h (x )＝k 1x ＋k 2x．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 13＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8.解得123,5k k ⎧⎨⎩＝，＝．所以h (x )＝3x ＋5x，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．5已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >0，1，x ＝0，－1x，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)的值．分析：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0各段上的图象，合在一起得函数的图象． 解：(1)如图所示．(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1．。
苏教版高中数学必修一2.1.2 函数的表示方法.docx
2.1.2 函数的表示方法 课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．1．函数的三种表示法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．一、填空题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0时，f (x )＝________.4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________________________________.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，则f (3)＝_________________________________. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 (x ≥9)f [f (x ＋4)] (x <9)，则f (7)＝________________________________. 7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________．二、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)求函数f (x )的值域．能力提升12．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数是一个函数而非几个函数． 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．1.2 函数的表示方法作业设计1．y ＝50x(x>0) 解析 由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100. ∴y ＝50x(x>0)． 2．1解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．3.1x －1解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x 1－x， 则有f(t)＝1t 1－1t＝1t －1. 4．2x －1解析 由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1.5．2解析 ∵3<6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.6．6解析 ∵7<9，∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.7．y ＝12x ＋12 解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 8．f(x)＝－x 2＋23x(x ≠0) 解析 ∵f(x)＝2f(1x)＋x ，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x.② 由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x 3， 即f(x)＝－x 2＋23x(x ≠0)． 9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8 解析 设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8. 10．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．由f(0)＝f(4)知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点，所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4…y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．解 根据题意可得d ＝k v 2S . ∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12 500. ∴d ＝12 500v 2S . 当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝⎩⎨⎧S 2 (0≤v <252)12 500v 2S (v ≥252). 13．解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
苏教版高中数学必修1课件2.1.2 函数的表示方法
小结：
1．函数的表示方法． 2．不同表示法的优缺点． 3．求函数的解析式y＝f(x)
待定系数法 换元法 凑配法 分类讨论法
作业：
P32第1，4，5题．
2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2)表示为矩形 一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．
数学应用：
例1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列 表法、图象法将y表示成x(x{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．
y 解析法 y＝2x (x{1，2，3，4})
高中数学 必修1情境问源自：定义域 函数的三要素 值域
函数的图象
A＝{x|y＝ f(x)}
函数存在的范围
C＝{y|y＝ f(x)，x A} 函数变化的范围
M＝{(x，y)|y＝ f(x)，xA}
函数本质属性的直观反应
下表的对应关系能否表示一个函数呢？
x
1
3
5
7
y
－1
－3
0
0
数学应用：
1．1 n mile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y关于海里数x 的函数解析式．
y
O x
数学应用：
3．已知f(x)是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f(x)的解析式． 4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x－4，求f(x)的解析式． *5．已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)－x－1＝ f(x)，且f(0)＝0，求f(x)．
数学建构：
已知函数模型求函数的解析式： 待定系数法求解．
x
1
2
3
4
y
2
4
6
8
高中数学苏教版必修一 第2章 2.1 2.1.2 函数的表示方法
2.1.2 函数的表示方法学习目标：1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2.了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集． (3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．[基础自测]1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( ) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．( ) (3)有些函数能用三种方法来表示．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，则f (x )的定义域为________，值域为________.【导学号：48612069】[解析] 定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}． [答案] {x |x ≠0} {y |y >－1}3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y ＝f (x )．[解] 列表法：解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}．图象法：[合 作 探 究·攻 重 难]求下列函数的解析式．(1)已知f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，则f (x )＝________.(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(3)已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.(4)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________．(5)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x 2，则f (x )＝________.[思路探究] (1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x －2x 看作一个整体来求解．[解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3. (2)法一：令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x＋kb ＋b ＝4x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x ＞0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，(5)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4， ∴f (x )＝x 2＋4.[答案] (1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1 (4)f (x )＝⎩⎨⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0(5)x 2＋41．(1)已知f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x )＝________.【导学号：48612070】(2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________. [解析] (1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，则⎩⎨⎧f (1)＝k 1＋k 2＝3，f (2)＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x .(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，则x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．[答案] (1)x ＋2x (2)x 2－x ＋1(x ≠1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．[思路探究] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中． [解] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3) ＝3－2 3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，－2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34.母题探究：1.(变结论)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] ①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去．②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0.所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3. 因为1∈(－2,2)，－3∈/ (－2,2)， 所以a ＝1符合题意．③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意． 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.2．(变结论) 本例条件不变，若f (m )>m (m ≤－2或m ≥2)，求实数m 的取值范围．[解] f (m )>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－2，m ＋1>m 或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1>m ， 即m ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >1，所以m ≤－2或m ≥2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．[1．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种． 2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②[提示] 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1.法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1.3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？[提示] 能求A ，B .仍可以采用上述两种方法．两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x 2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x 2.求解析式，(1)已知f (x )＋2f (－x )＝1x ，求f (x )； (2)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x ).【导学号：48612071】[思路探究] 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．[解] (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x ， ① 用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x ， ② ②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x . (2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x 替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x .2．已知f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，则f (x )的解析式为________．[解析] 用1x 替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x ，代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f (x )＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3. [答案] f (x )＝－23x －x3[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (3x ＋1)＝x 2＋3x ＋2，则f (10)＝________.[解析] 令3x ＋1＝10，∴x ＝3，代入得f (10)＝32＋3×3＋2＝20. [答案] 202．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝________.【导学号：48612072】[解析] 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2， ∴f (x )＝3x －2. [答案] 3x －23．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f ( f (－3))等于________．[解析] 由分段函数式可知f (f (－3))＝f (0)＝π.[答案] π4．已知x ≠0时，函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )的表达式为____________．[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．[答案] f (x )＝x 2＋2(x ≠0)5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值.【导学号：48612073】[解] (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0， f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4. (2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.。
高中数学 2.1.2 函数的表示方法课件 苏教版必修1
2元, 试分别用解析法、列表法、图象法将y表示
成xx 1,2,3, 4的函数, 并指出函数的值域.
解 1解析法: y 2x, x 1,2,3,4 .
2列表法:
y
x/听 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8
8
6
3图象法:图象由点1,2、 2,4 、3,6、4,8 组成, 如图
所示.
函数的值域是2,4,6,8 .
4
2
0 123 4 5 x
例2 画出函数 f x | x |的图象,并求 f 3, f 3, f 1, f 1的值,
x,x 0,
解 因为 f x | x | x , x 0 ,
所以函数 f x的图象为过原点且
例2例3中的函数具有共同特点: 在定义 域 内 不 同 部 分 上, 有 不 同 的 解 式 表 达 式. 像这样的函数通常叫做 分段函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数.
练1 某种笔记本的单价是5元，买x x 1,2,3,4,5
个笔记本需要元。试用函数的三种表示法表示函数
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝ 用解析法可将函数y=f(x)表示为
2一物体从静止开始下落,下落的距离ym与 下落时间xs之间近似地满足关系y 4.9x2.若
一物体下落2s, 你能求出它下落的距离吗? 在第二个问题中,物体下落时间x 与下落距离y
的函数关系为y 4.9x2 x 0.这种用等式来
表示两个变量之间函数关系的方法称 为 解析 法.这个等式通常叫做函数的解析表达式, 简称
平分第一、第二象限的一条折线,
如图所示.其中 f 3 3, f 3 3, f 1 1, f 1 1.
高中数学 第2章 函数2.1.2函数的表示方法(二)配套课件 苏教版必修1
第八页，共20页。
研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 效
例2 画出函数 f(x)＝|x|的图象，并求 f(－3)，f(3)，f(－1)， f(1)的值． 解 由绝对值的概念，有 f(x)＝－x，x，x≥x<0，0. 所以，函数 f(x)＝|x|的图象为过原点且平分第一、第二象限的 一条折线，如下图所示，
第十八页，共20页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成
落实处
－2x－1 x≤－2，
＝3
－2<x≤1，
2x＋1 x>1.
在相应的 x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，
即为所求函数的图象．
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为 R，值域为[3，＋∞)．
第十九页，共20页。
1．求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼 凑法、换元法、待定系数法、消元法、特殊值法等，要根据 题目特点选用不同的方法求解．
解析 ∵－3<0，∴f(－3)＝2×(－3)＋1＝－5.
第十七页，共20页。
练一练•当堂检测、目标(mùbiāo)达成落 实处 3．已知函数 y＝|x－1|＋|x＋2|.
(1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域． 解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分 段点 x＝1，第二个绝对值的分段点 x＝－2，这样数轴被分为三部 分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞) 所以已知函数可写为分段函数形式： y＝|x－1|＋|x＋2|
析式为
y＝77， ＋2.4x－3，
0<x≤3， x>3
即 y＝72， .4x－0.2，
0<x≤3， x>3.
高中数学 第2章 函数2.1.2函数的表示方法(一)配套课件 苏教版必修1
研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高效
例 3 设二次函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(2－x)，且 f(x)＝0 的两实根平 方和为 10，图象过点(0,3)，求 f(x)的解析式．
解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(x＋2)＝f(2－x)可知，该函
第二十一页，共23页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处
3．已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x－1，求 f(x)的解析式． 解 设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则 f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b ＝k2x＋kb＋b＝4x－1，
则有kkb2＝＋4b＝－1 ⇒k2＝ b＋2b＝－1
第二十页，共23页。
练一练•当堂检测、目标(mùbiāo)达成 落实处 2．已知 f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则 g(x)＝____2_x_－__1______.
解析 由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令 t＝x＋2，则 x＝t－2，代 入 g(x＋2)＝2x＋3，则有 g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1. 所以 g(x)＝2x－1.
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研一研·问题探究、课堂(kètáng) 更高效
[问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又 有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！” 用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday! …， 那 么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？
第三页，共23页。
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1 035 1 107 1 177 1 246
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课后导练
基础达标
1.已知f(x)=,01,012xxxx则f［f(-1)］值为（ ）
A.5 B.2 C.-1 D.-2
解析：由题意知f(-1)=-(-1)+1=2
∴f［f(-1)］=f(2)=22+1=5，故选A.
答案：A
2.已知f(x)=,6)2(,64xxfxx则f(3)等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：f(3)=f(3+2)=f(5+2)=7-4=3.故选C.
答案：C
3.下列图中可作为函数y=f(x)的图象的是( )
解析：由函数的定义知选D.
答案：D
4.已知正方形周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的函数解析式是( )
A.y=21x B.y=42x C.y=82x
D.y=162x
解析：正方形周长为x，则其边长为4x，由解直角三角形可得y=22·4x=82x，
故选C.
答案：C
5.某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（双）的关系为y=5x+4 000，而
厂子出售手套每双10元，若要保证不亏本，日产量应为( )
A.2 000双 B.4 000双 C.600双
D.800双
解析：设刚好生产x双不亏本，则有10x≥5x+4 000,则x≥800，故选D.
答案：D
6.已知f(x)=),0(2)0(12xxxx若f(x)=10，则x=_____________.
解析：易知x≤0.∴x2+1=10，x=-3.
答案：-3
7.若f(x-1)=2x+5，则f(x2)=___________.
解析：令x-1=t，则x=t+1,f(t)=2(t+1)+5=2t+7,
∴f(x2)=2x2+7.
答案：2x2+7
8.将函数y=122xx+2|x+2|改写为分段函数.
解析：y=122xx+2|x+2|
=2)1(x+2|x+2|
=|x-1|+2|x+2|,要去掉绝对值需对1与-2两点分数轴所成的三部分讨论，
当x<-2时，
y=1-x-2(x+2)=-3x-3，
当-2≤x≤1时，
y=1-x+2(x+2)=x+5，
当x>1时，
y=x-1+2(x+2)=3x+3，
∴原函数可化为y=.133,125,233xxxxxxx
9.植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两邻边借用夹角为135°的两面墙，另两
边总长为30米，设垂直于底边的腰长为x米，则苗圃面积S关于x的函数解析
式.
解析：设直角梯形的垂直于底的腰为x，则下底为（30-x）米，过135°角的顶点
向底边作垂线，由等腰直角三角形知上底为（30-2x）米,
∴S=2)30()230(xxx=-23x2+30x，因为要构成的图形为梯形而不是三角形 ，
∴0
解析：设f(x)=ax+b,f［f(x)］=a2x+ab+b,
f{f［（x)］}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b,
∴,26,2723babbaa解得a=3,b=2.
若a=3,b=2,则f(x)=3x+2,f［f(x)］=3(3x+2)+2=9x+8,
f{f［（x)］}=3(9x+8)+2=27x+26.∴a=3,b=2,f(x)=3x+2为所求.
综合训练
11.已知函数f(x)=1,1xxxx奇函数g(x)在x=0处有定义，且x<0时，g(x)=x(1+x),
则方程f(x)+g(x)=f(x)·g(x)的解的个数有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1
个
解析：当x>0时，-x<0,g(x)=-g(-x)=x(1-x),且g(0)=0,
∴f(x)+g(x)=,1)1(,10)1(,0)1(xxxxxxxxxxxx即f(x)+g(x)=,12,10,0222xxxxxxx
f(x)·g(x)=.1)1(,10)1(,0)1(222xxxxxxxxx
当x≤0时，x2=-x2(1+x),x2(2+x)=0得x=0或x=-2；
当0
∴方程共有两个解.
答案：C
12.在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%，则x与y的函数
关系式为（ ）
A.y=bcacx B.y=cbacx C.y=cacbx
D.y=accbx
解析：据配制前后溶质不变，有a%·x+b%·y=c%·(x+y)，即ax+by=cx+cy，故