[精品]2019学年高中数学课时跟踪训练十二导数的概念及其几何意义北师大版选修1
2.2.2导数的几何意义 (教学课件)-高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
方向。
解：物体在此处的速度即运动轨迹在此点切线斜率，又有
y'
x 10
lim
x 0
20
1
(10 x) 2 15
1
20
lim 1 x 1
x 0
x
20
∴此时速度方向与初速度方向相反
课后思考（曲线交角问题）：如图，某地要建造一座抛物线拱桥，要求拱桥最
f x0 x f x0
k0 lim
f ' x0
x 0
x
例题精讲
例题:已知C: = 4 − 2 ,求′(1)。
4 1 x 3
2
f ' 1 lim
x 0
1 x 3
2
x
lim
x 0
x 3
问题6：刘徽的割圆术同样也包含着重要的微积
分思想，同学们知道吗？
A
y
以直代曲
A
x
y
O
A
x
O
O
“割之弥细，所失弥少。
割之又割，则与圆合体,无所异矣。”
思考巩固
练习1（速度方向问题）：以10/的速度平抛的物体的运动轨迹为 = 20 −
1 2
（取 = 10/ 2 ，单位：），求物体在点 10,15 （单位：）处的速度
北师大版 选择性必修第二册
导数的几何意义
疑而生慧
疑而生慧
P
这些问题实质上都
是求切线问题。
P
P
切线定义的演变1
r
d=r
与圆只有一个公共点的
直线
过圆上一点，且垂直于
高中数学课时跟踪检测(六)导数的概念及其几何意义北师大版选修22
高中数学课时跟踪检测（六）导数的概念及其几何意义北师大版选修22课时跟踪检测（六）导数的概念及其几何意义一、基本能力达标1．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则( )A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：选A 因为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x－y ＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)>0.2．抛物线y＝14x2在点Q(2,1)处的切线方程为( )A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0解析：选A f′(2)＝limΔx→014(2＋Δx)2－14×4Δx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫14Δx＋1＝1，∴过点(2,1)的切线方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.故选A.3．已知y＝f(x)的图像如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(x A)<f′(x B)，选B.4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab为( ) A.13B.23C．－23D．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13. 5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4， 又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)．答案：(3,30)6．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.解析：由导数的概念和几何意义知，lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2. 答案：－27．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率；(2)曲线在点P 处的切线方程．解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x ，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x . ∴f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 11－(2＋Δx )－11－2Δx＝lim Δx →0 11＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1.(2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程．解：可知点P (3,9)不在曲线上，故设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，由题意得f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2－7－(2×x 20－7)Δx＝lim Δx →0 (4x 0＋2Δx )＝4x 0.故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)，将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为y －1＝8(x －2)或y －25＝16(x －4)．即y ＝8x －15或y ＝16x －39.二、综合能力提升1．曲线f (x )＝2x －1x在x ＝1处的切线的斜率为( ) A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )－11＋Δx－()2×1－1 ＝2Δx ＋1－11＋Δx ＝2Δx ＋Δx 1＋Δx， 所以Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝2＋11＋Δx， 所以lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋11＋Δx ＝2＋1＝3. 2．已知f ′(1)＝－2，求lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)Δx的值．解：lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)Δx＝(－2)×lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝(－2)×(－2)＝4.3．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，求曲线f (x )在交点处的切线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f (x )＝x ，得f ′(1)＝lim Δx →0 1＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)． 即x －2y ＋1＝0.4．求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积． 解：联立两曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1， 即交点坐标为(1,1)． 曲线y ＝1x在点(1,1)的切线斜率为 f ′(1)＝lim Δx →0 11＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1， 所以曲线y ＝1x在点(1,1)处的一条切线方程为 y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.同理，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线斜率为g ′(1)＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－12Δx ＝lim Δx →0 2Δx ＋(Δx )2Δx＝li mΔx →0 (2＋Δx )＝2.所以曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.两条切线y ＝－x ＋2和y ＝2x －1与x 轴所围成的图形如图所示，所以所求三角形面积S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.5．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1，∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2).。
北师大版高中数学选择性必修第二册2.2 导数的概念及其几何意义【课件】
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )
−
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.
∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，
2.2导数的概念及其几何意义(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
D．f′(xA)>f′(xB)>0
答案：B
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0.
故选B.
)
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3 ＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝
0
________．
解析：∵切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
1
3
4 1
4
2+Δx 3 +3−3×23 −3
1
∵ ＝
即2x－y＝0.
2
斜率不存在，故曲线在点P处的切线为y轴，
即切线方程为x＝0.
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为(
A．2x B．2＋Δx
C．2 D．1
)
答案：C
Δy
1+Δx 2 −1
解析： ＝
＝2＋Δx，
Δx
北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义学案
导数的概念及几何意义简析一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数,这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一。
只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点、写切线、跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决。
2求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度。
对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x ∆是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x ∆→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时，3 导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时， 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1导数的定义与瞬时速度的关系 例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2.（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度； （2）求在t=1时的瞬时速度 ；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2 理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ;⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数 ; ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解。
2019-2020学年度最新北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
2019-2020学年度最新北师大版高中数学选修1-1学案：第三章2 导数的概念及其几何意义 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1.例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.11 / 11∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
学年高中数学课时跟踪训练十二导数的概念及其几何意义北师大版选修_
课时跟踪训练(十二) 导数的概念及其几何意义1．假设函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，那么0lim x ∆→ f 1＋x －f 1x等于( ) A ．2B ．1 C.12 D.142．设函数f (x )＝ax ＋b ，假设f (1)＝f ′(1)＝2，那么f (2)等于( )A ．1B ．2C ．4D ．63.函数y ＝f (x )的图像如下图，那么f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定4．曲线f (x )＝－2x和点M (1，－2)，那么曲线在点M 处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋45．假设函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，那么f ′(4)＝________.6．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，那么该物体的初速度是__________m/s. 7．函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0，求f ′(1)·f ′(－1)的值． 8．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程．答 案1．选B 0lim x ∆→ f 1＋x －f 1x＝f ′(1)＝1. 2．选C 可得f ′(1)＝0lim x ∆→ f 1＋Δx －f 1Δx＝0lim x ∆→ [a 1＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx ＝0lim x ∆→ a Δx Δx＝a ， 又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.3．选B f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A ，B 处切线的倾斜角分别为α，β，那么π2<α<β<π. ∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )．4．选 C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx， ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.5．解析：因为直线x ＋2y －1＝0的斜率k ＝－12，所以f ′(4)＝－12. 答案：－126．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度，∴s ′(0)＝lim Δt →0s 0＋Δt －s 0Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 答案：37．解：当x ＝1时，Δy Δx＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1. 由导数的定义，得f ′(1)＝0lim x ∆→ 11＋Δx ＋1＝12. 当x ＝－1时，Δy Δx＝f －1＋Δx －f －1Δx ＝1＋－1＋Δx 2－1－－12Δx ＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝0lim x ∆→ (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1. 8．解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，那么k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0 3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3Δx＝lim Δx →0 [3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，。
高中数学 2.2.2导数的概念及其几何意义同步练习 北师
2.2.2 导数的几何意义
1、设曲线)(x f y =在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线（ ）
A 、垂直于x 轴
B 、垂直于y 轴
C 、既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴
D 、方向不能确定
2、分别求抛物线241x y =
过点（-2，1），（2，1）的切线方程。
3、已知曲线12-=x y 和其上一点，且这点的横坐标为-1，求曲线在这点的切线方程。
４、设点),(00y x 是抛物线432++=x x y 上一点，求过点),(00y x 的切线方程。
５、求抛物线241x y =
过点（4，47）的切线方程
６、曲线12)(2++=x x x f 在点M 处的切线的斜率为2，求点M 的坐标。
７、曲线22
3x y =
上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？
参考答案：
1、B
2、答案提示：01=++y x ；01=--y x
3、答案提示：022=++y x
4、答案提示：))(32(000x x x y y -+=-
5、答案提示：0142=--y x 或049414=--y x
6、答案提示：（0，1）
7、答案提示：)2
3,1(。
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课时跟踪训练(十二) 导数的概念及其几何意义
1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则0lim x ∆→ f ＋x －f x 等于( )
A ．2
B ．1 C.12 D.14
2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
3.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关
系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B )
B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
4．已知曲线f (x )＝－2x
和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4
B ．y ＝－2x －4
C ．y ＝2x －4
D ．y ＝2x ＋4
5．若函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则f ′(4)＝________.
6．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2
(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是__________m/s. 7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0，
求f ′(1)·f ′(－1)的值．
8．求曲线y ＝x 3
在点(1,1)处的切线方程．
答 案
1．选B 0lim x ∆→ f ＋x －f x
＝f ′(1)＝1. 2．选C 可得f ′(1)＝0lim x ∆→ f ＋Δx －f
Δx
＝0lim x ∆→ [a ＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx ＝0lim x ∆→ a Δx Δx
＝a ， 又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0， 所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.
3．选B f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A ，B 处切线的倾斜角分别为α，β，则π2
<α<β<π. ∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )．
4．选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx
， ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.
∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.
5．解析：因为直线x ＋2y －1＝0的斜率k ＝－12，所以f ′(4)＝－12
. 答案：－12
6．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度，
∴s ′(0)＝lim Δt →0
s ＋Δt －s Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 答案：3
7．解：当x ＝1时，Δy Δx
＝f ＋Δx －f Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1
. 由导数的定义，得f ′(1)＝0lim x ∆→ 11＋Δx ＋1＝12. 当x ＝－1时，Δy Δx
＝
f －1＋Δx －f －Δx ＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx
＝Δx －2.
由导数的定义，得f ′(－1)＝0
lim x ∆→ (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12
×(－2)＝－1. 8．解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则
k ＝f ′(1)＝lim Δx →0
f ＋Δx －f Δx ＝lim Δx →0 3Δx ＋Δx 2＋Δx 3Δx
＝lim Δx →0
[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.。