空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
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3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【做一做 3】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若
������������=3i,������������=2j,������������1=5k,则������������1等于( )
A.i+j+k
B.13i+12j+15k
基底,则a的坐标为
.
答案(3,2,-1)
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3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 当堂检测
探究一基底的判断
例1 (1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出
下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以
解析只有不共面的三个向量才能作为一组基底,在三棱柱
中,������������, ������������, ������������1不共面,可作为基底. 答案C
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3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【思考2】平面向量的坐标是如何表示的? 答案在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可 知,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可 由x,y唯一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
空间向量正交分解及坐标表示
例1、已知空间四边形OABC中， M,N分别是OA,BC 的中点, P,Q是MN的三等分点.用向量
OA , OB , OC 表示 OP , OQ .
O
M
A
P
Q
B
N
C
例 2．已知空间四边形 OABC，M，N 分别是 OA，BC 的中 点， → ＝a，→ ＝b，→ ＝c， a， c 表示向量 MN 为( 且OA OB OC 用 b， 1 1 1 A.2a＋2b＋2c 1 1 1 C．－2a＋2b＋2c 1 1 1 B.2a－2b＋2c 1 1 1 D．－2a＋2b－2c )
x, y, p k j O i
x
P
y Q
p xi y j zk .
P ( x, y, z)
空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空 间任一点A,对应一个向量 O A ,于是存在唯 z a 一的有序实数组 x, y, z,使
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空 间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在 利用向量的坐标运算判断空间几何关系时， 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的 坐标。
练习
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
学案10：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．学习重点：空间向量基本定理的应用．学习难点：应用空间向量基本定理解决问题．要点整合细读课本知识点一空间向量基本定理[填一填]1．定理：条件：三个向量a，b，c．结论：对空间任一向量p，存在有序实数组，使得p＝x a＋y b＋z c.2．基底：空间中任何的三个向量a，b，c都可以构成空间的一个基底，即{a，b，c}．3．基向量：空间的一个基底{a，b，c}中的向量a，b，c都叫做基向量．[答一答]1．(1)空间中怎样的向量能构成基底？(2)基底与基向量的概念有什么不同？2．空间的基底唯一吗？3．为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．单位正交基底：有公共起点O的三个的单位向量e1，e2，e3称为．2．空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.3．空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p ，一定可以把它 ，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.把 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，即点P 的坐标为 ．[答一答]4．与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？5．向量可以平移，向量p 在坐标系中的坐标唯一吗？特别关注1．空间向量基本定理注意点空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．我们在用选定的基向量表示指定的向量时．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．2．空间向量与平面向量的坐标运算的联系类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．典例讲破类型一 空间向量基本定理的理解例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？通法提炼判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断. 针对训练1已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c类型二 用基底表示向量例2 如图所示，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .通法提炼在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确如夹角或线段长度的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题. 针对训练2已知平行六面体OABC O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边形OABC 的对角线交点，则( ) A.O ′D →＝－a ＋b ＋c B.O ′D →＝－b －12a －12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a －b ＋12c类型三 求向量的坐标例3 如图所示，已知点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，且P A ＝AD ，求向量MN →的坐标．通法提炼用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来.这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标. 针对训练3在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝1，CC 1＝2，M 为A 1B 1的中点．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则AB 1→的坐标为 ，MB →的坐标为(－12，12，－2)．课堂达标1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．a B ．b C ．a ＋2bD ．a ＋2c3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是 ． 【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)．4．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ的值是 . 5．如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.参考答案要点整合 细读课本知识点一 空间向量基本定理[填一填]1．不共面 {x ，y ，z }2．不共面[答一答]1．提示：(1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．2．提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底． 3．提示：平移向量a ，b ，c ，p 使它们共起点，如图所示，以p 为体对角线，在a ，b ，c 方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p 在a ，b ，c 方向上的分解是唯一的，即x ，y ，z 是唯一的．知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．两两垂直 单位正交基底 3．平移 x ，y ，z (x ，y ，z )[答一答]4．提示：xOy 平面上的点的坐标为(x ，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z )，yOz 平面上的点的坐标为(0，y ，z )，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0，z )．另外还要注意向量OP →的坐标与点P 的坐标相同．5．提示：唯一．在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变．典例讲破类型一 空间向量基本定理的理解例1 解：假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 针对训练1 【答案】C【解析】因为a ，b ，c 不共面，易知a,2b ，b －c 不共面．故应选C. 类型二 用基底表示向量例2 (1)证明：∵AC 1→＝AE →＋EC 1→，又EC 1→＝EB 1→＋B 1C 1→＝23BB 1→＋B 1C 1→＝23AA 1→＋AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋23DD 1→＝AD →＋23AA 1→，∴EC 1→＝AF →，∴AC 1→＝AE →＋AF →，∴A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)解：∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.针对训练2 【答案】D【解析】O ′D →＝O ′O →＋OD →＝O ′O →＋12OA →＋12OC →＝－b ＋12a ＋12c .类型三 求向量的坐标例3 解：设正方形的边长为a ，∵P A ＝AD ＝AB ， 且P A ，AD ，AB 两两互相垂直，故可设DA →＝a i ，AB →＝a j ，AP →＝a k .以i ，j ，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．方法一：∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(AD →＋AB →－AP →)＝－12a j ＋a k ＋12(－a i ＋a j －a k )＝－12a i ＋12a k ，∴MN →＝(－12a,0，12a )．方法二：∵P (0,0，a )，C (－a ，a,0)， ∴N 点的坐标为(－12a ，12a ，12a )．∵M 点的坐标为(0，12a,0)，∴MN →＝(－12a,0，12a )．针对训练3 【答案】(－1,1,2)【解析】A (1,0,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,2)，M (12，12，2)，AB 1→＝CB 1→－CA →＝(－1,1,2)，MB →＝(－12，12，－2). 课堂达标1．【答案】B【解析】当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底，当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量． 2．【答案】D【解析】能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面．∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝3p －q 2，∴A 、B 、C 都不合题意，由于{a ，b ，c }构成基底，∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底． 3．【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)． 4．【答案】3【解析】如图，G 为△ABC 重心，E 为AB 中点，∴OE →＝12(OA →＋OB →)，CG →＝23CE →＝23(OE →－OC →)，∴OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋23(OE →－OC →)＝13(OA →＋OB →＋OC →)，∴λ＝3.5．解：BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .。
选修2-1空间向量正交分解及坐标表示
已知A(x 1，y1，z 1）,
(4)则点A(x 1，y 1，z 1）关于x轴的 对称点A 4(x 1，-y 1，-z 1 ); (5)则点A(x 1，y 1，z 1）关于y轴的 对称点A5(-x 1，y 1，-z 1 ); (6)则点A(x 1，y 1，z 1）关于z轴的 对称点A6(-x 1，-y 1，z 1 )。
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a / /b的 充要条件是存在实数，使a＝ b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
一、空间向量的正交分解 设 i, j , k 是空间三个两两垂直的向
如果 i , j , k 是空间三个两两垂直的向量，那么， 对空间任一向量 p ，存在一个有序实数组 x, y, z, 使得
p xi y j z k
这一过程叫做将空间向量正交分解
我们称xi,y j, z k为向量 p在i, j, k上的 分向量
思考2：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类 似的结论吗？
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5O 1y源自x例．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
z
A` B` B D`
O A
2.将向量的终点坐标减去起点坐标，即为向量 坐标。
探究：向量运算的坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 三个有公共起点O的 两两垂直 的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
314空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)【课时目标］1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题 .2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念 .3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.1. 空间向量基本定理 （1） 设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点 0,那么，对于空间任一向量 P ,存在一个 ________________ ，使得 ____________ ，我们称 ______ , ______ , ______ 为 向量P 在i 、j 、k 上的分向量. （2） 空间向量基本定理：如果三个向量 a , b , c 有序实数组｛X, y, Z ｝，使得 ________________⑶如果三个向量a , b , c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 __________________ .这 个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的，我们把｛a , b , c ｝叫做空间的一个 __________ , a , b , c 都叫做 ___________ .空间中任何三个 __________ 的向量都可构成空间的一个基底. 2. 空间向量的坐标表示若e 1、62、e 3是有公共起点0的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为 ，以 61、62、63的公共起点 0 为原点，分别以 61、62、63的方向 为X 轴、y 轴、Z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量P ,由空间向量基本定理可知， 存在有序实数组｛X, y, Z ｝,使得p =x e 1+y 62+ Z 63,把x,y, Z 称作向量P 在单位正交基底 61, 62, 63下的坐标， 一、选择题 1. 在以下3个命题中，真命题的个数是 （ ） ① 三个非零向量 a , b , c 不能构成空间的一个基底，则 ② 若两个非零向量 a , b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a , b 共线； ③ 若a , b 是两个不共线向量，而 c =扫+收入吐R 且入哥0），则｛a , b , c ｝构成空间 的一个基底. A . 0 B . 1B. 设向量｛a , b , c ｝是空间一个基底，则｛a + b ,C. |（ab ）c |= a||b||c ・2. 已知0、A 、B 、C 为空间不共面的四点， —0C,则与a 、b 不能构成空间基底的是 A. 0AB . 3. 以下四个命题中，正确的是1 7 1 7A.若 0P = 20A + 30B ，贝y P 、且向量 a = 0A + 0B + 0C,向量 b = 0A + 0B0B（ ）A 、B 三点共线c.oCD.OA 或 OB，那么对空间任一向量 p,存在 记作a ,b ,c 共面; b + c , c + a ｝构成空间的另一个基底3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)D. △ ABC 是直角三角形的充要条件 AB AC = 04.设0 — ABC 是四面体，G i 是^ ABC 的重心，G 是OG i 上的一点，且0G = 3G,G i 若 =xOA + yOB +Z 0C ,贝U （X, y, z ）为（ A.（4,4 4） c.（3 3,3）) (3, (2 =.(3' 3' 3 3 4, 2OG5.已知点 A在基底｛a, b, c｝下的坐标为（8,6,4），其中a = i + j, b= j+ k, c= k +i,则点A在基底｛i, j, k｝下的坐标是（A. （12,14,10）C. （14,12,10）6■已知空间四边形 OABC中OA = a,N为BC的中点，贝U MN等于（）A 1 2 1A.尹-3 b+ 2c1 1 1C.^a + 2b— 2 c二、填空题)B. (10,12,14)D. (4,3,2)OHB = b, O>C = c,点 M 在 OA 上，且 OM = 2MA,2 1 1—3 a+ 2 b+2c2 2 1D.3a+ 3b—2c7.设｛i, j, k｝是空间向量的一个单位正交基底，则向量a= 3i+ 2j—k, b=— 2i+ 4j + 2k的坐标分别是______________ .8.已知空间四边形 ABCD中，A B= a — 2c, CD = 5a+ 6b— 8c,对角线 AC、BD的中点分别为E、F，则EF = ______________________ .9■已知正方体 ABCD — A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，A O = xAB+ yBC +zCC i，贝y x+y+ z=三、解答题10.四棱锥P— OABC的底面为一矩形，PO丄平面OABC设O A= a, OC = b, OP = c, E、 F分别是PC和PB的中点，用a, b, c表示BF、B E、AE、EF.11■已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD, 求MN'、DC的坐标.【能力提升】12•甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F i, F2, F3,若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1= i+ 2j+ 3k, F2=-2i + 3j- k, F3= 3i-4j+ 5k,则这三名工人的合力 F = x i + y j + z k，求x、y、乙13.如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i中，E、F分别是BB i、D1B1的中点，求证：EF1.空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个.一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量.2.0P = xoA = xoA + yoB + zoC，当且仅当 x+y+ z= 1 时，P、A、B、C 四点共面.3.对于基底｛a, b, c｝除了应知道a, b, c不共面，还应明确:(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的 所有向量均可由基底惟一表示.(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向 量不共面，就隐含着它们都不是0.假设存在实数 k 1, k 2,使 c + a = k 1(a + b ) + k 2(b + c ) = k 1 a + (k 1 + k 2)b + k 2c , jk1 =1; 则有*1 + k 2= 0; 方程组无解，lk2= 1.即向量a + b , b + c , c + a 不共面，故 B 正确. C 中，ab =a||b |cos 〈a , b 〉w ai I •，故 C 错.D 中，由A B A C > 0? △ ABC 是直角三角形，但^ ABC 是直角三角形，可能角B 等于90° 则有"BABC ^O .故D 错.]4. A [因为 0G= 4。
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2 1 1 B.3，－6，6 2 1 1 D．－3，－6，6
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数学-选修2-1
1→ → → → 【解析】 取 PC 的中点 E， 连结 NE， 则MN＝EN－EM＝2CD 1 → 2 → 1 → 1 → 1 → 1→ 1 → → → －( PM － PE) ＝2 CD － 3PC－2PC ＝2 CD － 6PC ＝－2AB－ 6 ( － AP
空间向量基本定理的应用
四棱锥 POABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC， → → → 设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 → ，BE → ，AE → ，EF →. a，b，c 表示：BF
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【思路探究】
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λ＝－4， ⇒μ＝1， x＝11.
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【答案】 D
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4． 点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的 坐标分别为( )
A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
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2．求空间向量的坐标一般步骤： (1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；
(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标．
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已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别为棱 BB1， DC 的中点，如图 3126 所示建立空间直角坐标系．
→ ，y＝AD → ，z＝AC →， 则 x＝AB 1 1
a＋b＋c＝AC1.由于 A，B1，C，D1 四点不共面，可知向量 x， y，z 也不共面，同理 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，故选 C.
【答案】 C
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1．判断一组向量能否作为空间向量的一个基底，实质是判断 这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四 面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基 底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
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【解析】 由基底的概念可知 A、B、D 正确，对于 C，因为 满足 c＝λa＋μb，所以 a、b、c 共面，不能构成基底，故错误．
【答案】 C
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2．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb ＋c，若 m 与 n 共线，则 x＋y 等于( A．2 B．－2 C．1 D．0 )
(1)所求向量分别在哪个三角形中？(2)怎样用
向量的线性运算表达所求向量？
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1 → → → → 1→ 1 → → 【解】连结 BO，则BF＝2BP＝2(BO＋OP)＝2(BA＋AO＋OP) 1 1 1 1 ＝2(c－b－a)＝－2a－2b＋2c.
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1． 本题考查空间向量基本定理的应用， 注意结合已知和所求， 观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底{a， b，c}，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．
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2．基向量的选择和使用方法 用已知向量表示未知向量时， 选择一个恰当的基底可以使解题 过程简便易行，选择和使用向量应注意： (1)所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几 何图形的几何性质帮助判断． (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内，能 用基向量的加、减、乘、除表示未知向量．
2→ 1 → 1→ 2 1 1 → → ＋AB＋AD)＝－3AB－6AD＋6AP，比较知 x＝－3，y＝－6，z＝6， 故选 D.
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【答案】 D
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空间向量的坐标表示
如图 3125，在直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90° ，棱 AA1＝2，M，N 分别为 A1B1， → → → A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN，BA1，A1B的坐标．
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5 1 【解析】 ∵2a＝p＋q,2b＝p－q,2a＋3b＝2p－2q， ∴2a 与 p、q,2b 与 p、q,2a＋3b 与 p、q 都共面，不能构成空 间一基底，只有 D 可以．
【答案】 D
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图 3126 (1)写出各顶点的坐标； → ，B → → (2)写出向量EF F ， A 1 1E的坐标．
【答案】 e1，e2，e3
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3．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它的起点与 → ＝p，由空间向量基本定理可知，存在有 原点 O 重合，得到向量OP 序实数组{x，y，z}，使得________．把 x，y，z 称作向量 p 在单位 正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作________．
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【思路探究】
(1)能作为空间一基底的向量组应满足什么条
件？(2)能否构造图形，利用平行四面体中棱与面上的对角线所对 应的向量关系来直观判断？
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【解析】 → ，b＝AA → ，c＝AD →， 如图所示，令 a＝AB 1
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自 主 学 习. 基 础 知 识
3．1.4
合 作 探 究. 重 难 疑 点
空间向量的正交分解及其坐标表示
易 误 警 示 . 规 范 指 导
课 时 作 业
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[ 学习目标]
1.了解空间向量基本定理及其意义．
2.掌握空
间向量的正交分解及其坐标表示． 3.掌握在简单问题中运用空间 三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．
Cxyz，
如图所示，
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→ → → 1→ → → → → 1→ ∴BN＝AN－AB＝2CC1＋CA－CB＝CA－CB＋2CC1， → 的坐标为(1，－1,1)， ∴BN → ＝CA → －CB → ＝CA → －CB → ＋CC →， 而BA 1 1 1 → 的坐标为(1，－1,2)． ∴BA 1 → → ，∴A → 又∵A B ＝－ BA 1 1 1B的坐标为(－1,1，－2)．
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1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两 垂直的三条直线， 要在题目中找出或构造出这样的三条直线， 因此 要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面 垂直， 要使尽可能多的点落在坐标轴上， 尽可能多的线段平行于坐 标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上．
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(3)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量 作为基底． (4)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的 公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个 易求的向量共线，可用数乘．
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【答案】 p＝x e1＋y e2＋z e3 p＝(x，y，z)
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1．下列结论错误的是(
)
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基 底，则这两个向量共线 C．若 a，b 是两个不共线的向量，且 c＝λa＋μb(λ，μ∈R 且 λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底 → → → D．若OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则 O、A、B、 C 四点共面
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【解析】
因为 m 与 n 共线，所以 xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．
x＝z， 所以y＝－z， 1＝z.
x＝1， 所以 y＝－1.
所以 x＋y＝0.
【答案】 D
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3．已知空间四点 A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3) 共面，则 x 的值为( )
图 3125
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