《1.3.3 导数的实际应用》教学案3
教学设计3：1.3.3导数的实际应用
1.3.3 导数的实际应用教学目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 知识链接知识点 生活中的最优化问题 1．最优化问题的概念在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题． 2．解决最优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )． (2)求导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(4)依据实际问题的意义给出答案． 题型探究类型一 平面几何中的最值问题例1 如图所示，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值．解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2.∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2)＝16x －12x 2＋2x 3， ∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数为单调增函数；当2－233<x <2时，y ′<0，函数为单调减函数，∴当x ＝2－233时，矩形面积取到最大值y max ＝3293.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． 跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ， 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.所以当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.类型二 立体几何中的最值问题例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3 立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．解 (1)因为容器的体积为64π3 立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－4r 3.所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－4r 3＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2. 所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4 ＝128πr＋8πr 2.又l ＝643r 2－4r3>0⇒0＜r <432，所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′>0，得2<r <432； 令y ′<0，得0<r <2.所以当r ＝2 米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l ＝83米．反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． 跟踪训练2 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO 1＝2 m 知，O 1O ＝4PO 1＝8 m. 因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ， 则0<h <6，O 1O ＝4h m ．连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． 类型三 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可知，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 费用(用材)最省问题例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元/km 和5a 元/km ，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解 如图，由题意知，只有点C 位于线段AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省， 设点C 距点D 为x km ，则BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402，又设总的水管费用为y 元，依题意有y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)． ∴y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x ＝30，在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20 (km)． ∴供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 达标检测1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8 【答案】A【解析】设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋1 024x ，∴S ′(x )＝2x －1 024x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．6千台 D ．3千台【答案】C【解析】构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 【答案】100π4＋π【解析】设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.所以在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 4．某厂生产某种产品x 件的总成本(单位：元)为C (x )＝1 200＋275x 3，且产品单价的平方与产品件数x 成反比，若生产100件这样的产品，单价为50元，则要使总利润最大，产量应 定为________件． 【答案】25【解析】设产品单价为a 元，因为产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k (k 为比例系数)．由题意知，k ＝250 000， 则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .设总利润为y 元，则y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，则y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25， 当x ∈(0,25)时，y ′>0， 当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以当x ＝25时，y 取得最大值．故要使总利润最大，产量应定为25件．5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(单位：万元)与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 【答案】5【解析】依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x (k 1>0)，每月库存货物的运费y 2＝k 2x (k 2>0)，其中x 是仓库到车站的距离(单位：千米)， 于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45.令y ′＝0，得x ＝5(x ＝－5舍去)，此点即为最小值点． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案一、教学目标1. 理解导数的基本概念和计算方法。
2. 掌握导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、优化问题等。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 导数的基本概念和计算方法2. 导数在速度和加速度中的应用3. 导数在优化问题中的应用4. 实际案例分析与练习三、教学重点与难点1. 重点：导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 难点：导数在优化问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用导数解决实际问题。
3. 练习法：通过练习题，巩固所学知识。
五、教学准备1. 教案、PPT、教学用具。
2. 练习题及答案。
3. 实际案例素材。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1.2 导数的计算方法1.3 导数的几何意义第二章：导数在速度和加速度中的应用2.1 速度与加速度的导数关系2.2 匀加速运动的速度与位移2.3 非匀加速运动的速度与位移第三章：导数在优化问题中的应用3.1 优化问题的基本概念3.2 函数的极值与最值3.3 实际优化问题的求解方法第四章：实际案例分析与练习（一）4.1 案例一：物体运动的瞬时速度与加速度4.2 案例二：曲线切割面积的最优化4.3 练习题与解答第五章：实际案例分析与练习（二）5.1 案例一：商品折扣的最优化5.2 案例二：生产成本的最优化5.3 练习题与解答六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数6.2 动力学方程与导数6.3 能量守恒与导数七、导数在经济问题中的应用7.1 边际分析与导数7.2 成本分析与导数7.3 利润最大化与导数八、导数在生物问题中的应用8.1 种群增长与导数8.2 药物浓度与时间的关系8.3 生物酶活性与温度关系九、导数在其他领域中的应用9.1 图像处理中的导数应用9.2 信号处理中的导数应用9.3 气候变化与导数10.1 导数在实际应用中的重要性10.2 导数与其他数学概念的联系10.3 实际应用案例的进一步探讨重点和难点解析六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数：理解牛顿运动定律中的加速度概念，以及如何通过导数表示加速度。
高中数学新人教版B版精品教案《1.3.3 导数的实际应用》
课题：《生活中的优化问题举例》（教学设计）教材：普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2（人教A版）第一章《导数及其应用》第节顺义区第二中学任小磊一、教学目标：１、知识与技能：了解生活中常见的优化问题能够将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的基本思路进一步提高学生应用数学知识解决实际问题的能力２、过程与方法：经历将生活中的优化问题转化为数学中的最值问题，使学生在自主探究与合作交流中体会数学建模的过程，从而更好的理解和掌握数学建模的基本思想运用图形计算器绘制函数图像，通过图像解决相关问题，使学生感受函数图像的直观与便捷３、情感、态度与价值观：提高学生数学知识的应用意识，激发学生学习数学的兴趣二、教学重点：利用导数解决生活中的优化问题．三、教学难点：把优化问题转化为数学中的求函数最值问题四、教学方法：启发、引导、讨论、小组合作五、教学资源：多媒体、几何画板、图形计算器、实物投影六、教学过程：教师引导：题目对海报的设计提出了新的要求，如何用数学语言描述出来？ 解：222x ≤+ 且8.164x256≥+ 解得函数8x256x 4)x (s ++=的定义域为[]20,10结合例1 的求解过程可知，函数在[]20,10为增函数，因此，当10x =是函数的最小值点思考2 ：若要求海报四周空白面积为144 dm 2, 你能提供几种设计海报的方案？教师引导：四周空白面积对应前面数学问题中的哪个量？解：解方程1448x256x 4=++ 解得：32x 或2x ==因此,在满足条件下，有两种设计海报的方案思考3：如果我们不用导数工具，直接观察函数的图像，你能回答前面几个问题吗？ 教师引导学生用函数图像解释上述问题三、总结反思：解决优化问题的基本思路（步骤）学生谈体会，总结解题步骤图像的能力培养学生养成在解题后归纳总结的学习习惯四、课堂小结:1、总结解决优化问题的一般步骤，强调关键步骤2、引导学生谈本节课的收获五、布置作业：课本：37页习题组1、2、6题 六、板书设计：§生活中的优化问题举例总结步骤： 例题： 思考1：思考2：利用导比较极值建立数学模型 写出函数解析式优化问题得到最优解答案得到函数的极值，最值还原问读题、审题 找出已知、未知。
教学设计1：3.3.3 导数的实际应用
3.3.3 导数的实际应用【教材分析】（一）三维目标（1）知识与技能使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；（2）过程与方法提高将实际问题转化为数学问题的能力（3）情感、态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
（二）教学重点利用导数解决生活中的一些优化问题。
（三）教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题。
（四）教学建议本节课解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需要先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式。
一般来说，对于实际问题还需要注明变量的取值范围。
【教学过程】一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++>。
课件3：1.3.3导数的实际应用
值点又是函数的最大值点． 答案：6
5．某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件， 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品 件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤30)的平方 成正比，已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[活学活用] 甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速 度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元) 关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝19 1200v4－1160v3＋ 15v， (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此 时运输成本的最小值．
[类题通法] 利润问题相关的变量比较多，如：成本、固定投入、生 产投入、产品价格、销售量、利润等，正确寻找这些变量间 的关系，准确写出函数解析式是解决问题的关键．
[活学活用]
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产
品的价格p(元/吨)之间的关系式为p＝24
200－
1 5
x2，且生产x
解：(1)若商品降价 x 元，则多卖的商品数为 kx2 件，由题 意知 24＝k·22，得 k＝6. 若记商品在一个星期的获利为 f(x)， 则依题意有 f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2) ＝(21－x)(432＋6x2)， 所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]． (2)根据(1)有 f′(x)＝－18x2＋252x－432 ＝－18(x－2)(x－12)．
20-21版：1.3.3 导数的实际应用（创新设计）
1.3.3 导数的实际应用
4
故当 x＝2c时,f(x)有最大值 f(2c)＝c42,即两个正数的积不大于这 两个正数的和的平方的14.
a＋b2 若设这两个正数分别为 a,b,则有 4 ≥ab(a>0,b>0),即
a＋b 2 ≥ ab(a,b>0),当且仅当 a＝b 时等号成立.
1.3.3 导数的实际应用
1.3.3 导数的实际应用
11
又设当船的速度为每小时 v 海里时,航行 1 海里所需的总费用 为 q 元,那么每小时所需的总费用是 0.006v3＋96(元),而航行 1 海里所需时间为1v小时,所以,航行 1 海里的总费用为： q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋9v6(v>0).
第一章——
1.3.3 导数的实际应用
学习目标
1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2.能利用导数解决实际问题. 3.提高学生综合运用导数知识解题的能力,培养化归转化的 意识.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
自主学习，积淀基础 题型剖析，互动探究 自主反馈，检测成效
1.3.3 导数的实际应用
14
解 设广告的高和宽分别为x cm,y cm, y－25
则每栏的高和宽分别为 x－20 cm, 2 cm,
其中x>20,y>25. y－25
两栏面积之和为 2(x－20)· 2 ＝18 000,
由此得 y＝1x8－02000＋25(x>20). 广告的面积 S＝xy＝x1x8－02000＋25＝1x8－00200x＋25x(x>20),
1.3.3 导数的实际应用
15
人教B版选修2-2高中数学1.3.3《导数的实际应用》word教案
1.3.3导数的实际应用【教学目标】利用导数解决实际问题中的最优化问题，掌握建立数学模型的方法，形成求解优化问题的思路和方法.【教学重点】实际问题中的导数应用 【教学难点】数学建模一、课前预习：1.利用导数求函数极值和最值的方法：2.自主学习教材31页例1、例2，总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：例1 有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形的边长应为多少？例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系)(x f y =；（2）求函数的导数)(/x f ，解方程0)(/=x f ；（3）比较函数在区间端点和使0)(/=x f 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。
二、课上学习：1.已知某厂生产x 件产品的成本为240120025000x x c ++=（元）。
（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？三、课后练习：1．圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径怎样选择，才能使所用材料最省？海报版面尺寸的设计3．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，它的版心面积为1282dm ，上下两边各空2dm ，左右两边各空1dm ，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？4．如图：用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为2m a ，为使所用材料最省，底宽应为多少？高考连接：1.（20XX 年高考（重庆理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为(1)()y x f x '=-的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f2.（20XX 年高考（陕西理））设函数()x f x xe =,则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点3.（20XX 年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”是 “函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是( )A.0)(,00=∈∃x f R xB.函数)(x f y =的图象是中心对称图形C.若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间(－∞,0x )单调递减D.若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0='x f5.(2013·广东卷) 若曲线x kx y ln +=在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．6.(2013·江西卷)设函数()f x 在(0，＋∞)内可导，且x x e x e f +=)(，则=')1(f ________.7.(2013·北京卷)设L 为曲线C ：x xy ln =在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．8.(2013·重庆卷)设x x a x f ln 6)5()(2+-=，其中R a ∈，曲线)(x f y =在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)．(1)确定a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间与极值．9.（20XX 年高考（福建理））已知函数2()()x f x e ax ex a R =+-∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .10.（20XX 年高考（北京理））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.11.（20XX 年高考（安徽理））(本小题满分13分)设1()(0)x xf x ae b a ae =++> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值.。
导数的实际应用教案
1.3.3 导数的实际应用【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 最佳方案 _或最佳策略 ．这些都是最优化问题． 2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型 ．写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值 . 题型一 面积、体积的最值问题 例1 如图所示，现有一块边长为a 的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解 设截下的小正方形边长为x ，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a －2x ，高为x ，于是V(x)＝(a －2x)2x,0<x<a 2.即V(x)＝4x 3－4ax 2＋a 2x,0<x<a 2. 实际问题归结为求V(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点． 在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，V′(x)＝12x 2－8ax ＋a 2.令V′(x)＝0，即令12x 2－8ax ＋a 2＝0.解得x 1＝16a ，x 2＝12a(舍去)． x 1＝16a 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1可能是极值点．且当0<x<x 1时，V′(x)>0；当x 1<x<a 2时，V′(x)<0. 因此x 1是极大值点，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1是唯一的极值点，所以x ＝x 1＝16a 是V(x)的最大值点． 即当截下的正方形边长为16a 时，容积最大． 小结 求几何体的面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解．跟踪训练1 已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．解 如图，设矩形边长AD ＝2x(0<x<2)，则AB ＝y ＝4－x 2(y>0)，则矩形的面积S ＝2x(4－x 2)(0<x<2)，即S ＝8x －2x 3，S′＝8－6x 2，令S′＝0，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)． 当0<x<233时，S′>0；当233<x<2时，S′<0； ∴当x ＝233时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239，即矩形边长分别为433，83时，矩形面积最大． 题型二 强度最大、用料最省问题例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解 如图所示，设断面宽为x ，高为h ，则h 2＝d 2－x 2.横梁的强度函数f(x)＝kxh 2(k 为强度系数，k>0)，所以f(x)＝kx(d 2－x 2)，0<x<d.在开区间(0，d)内，令f′(x)＝d(d 2－3x 2)＝0.解方程d 2－3x 2＝0，得两个根x ＝±33d ，其中负根没有意义，舍去． 当0<x<33d 时，f′(x)>0；当33d<x<d 时，f′(x)<0. 因此，在区间(0，d)内只有一个极大值点x ＝33d.所以f(x)在x ＝33d 取最大值，就是横梁强度的最大值．此时h ＝d 2－x 2＝63d.即当宽为33d ，高为63d 时，横梁的强度最大． 小结 最大流量、最大强度、最大功率等，要注意不同的问题背景，计算式子也会有相应的区别．要结合问题本身的特点，根据题目的条件(或是已知的式子)进行．为了解决问题，可能要引入多个字母，在求导的过程中，一定要分清哪些是变量，哪些是常量，只有这样才能保证有的放矢． 跟踪训练2 挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m 2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？解 如图，设半圆的半径为r ，矩形的高为h ，则截面积S ＝2rh ＋πr 22＝20， 截面周长C ＝2r ＋2h ＋πr＝2r ＋20－πr 22r ＋πr＝2r ＋20r －πr 2＋πr ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，记C(r)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，则C′(r)＝2＋π2－20r 2. 令C′(r)＝0，得r ＝2104＋π时，周长C 最小．即宽为4104＋π时，截面周长最小，用料最省． 题型三 省时高效、费用最低问题例3 如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B 的距离是150 km.在岸边距点B300 km 的点A 处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A 与B 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km ，船时速为30 km ，试在岸边选一点C ，先将军需品用火车送到点C ，再用轮船从点C 运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短？解 设点C 与点B 的距离为x km ，则运输时间T(x)＝1502＋x 230＋300－x 50，0≤x≤300. 因为(1502＋x 2)′＝x 1502＋x 2，所以T′(x)＝x 301502＋x 2－150.令T′(x)＝0，则有5x －31502＋x 2＝0， 5x ＝31502＋x 2，25x 2＝9(1502＋x 2)．解此方程，得x ＝±9×15024＝±3×1504＝±112.5.舍去负值，取x ＝x 0＝112.5. 因为T(0)＝15030＋30050＝11，T(300)≈11.2，T(112.5)＝1502＋112.5230＋187.550＝10，而10是11,11.2和10中的最小者，所以x ＝x 0＝112.5是最小值点．所以点C 选在与点B 的距离为112.5 km 处，运输时间最省．小结 路程最短、运输费用最省问题，实质就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小．本题运算较麻烦，重点训练复合函数的求导法则．跟踪训练3 如图所示，设铁路AB ＝50，BC ＝10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？解 设M 为AB 上的一点，且MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x)，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4100＋x 2(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋4x 100＋x2，令p′(x)＝0，解得x 1＝1033，x 2＝－1033(舍去)． 当x<1033时，p′(x)<0；当x>1033时，p′(x)>0，∴当x ＝1033时，取得最小值． 即当在离点B 距离为1033的点M 处修筑公路至C 时，货物运费最省． 题型四 利润最大问题例4 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x)·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k ＝6，所以f(x)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化状态如下表：故x ＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．小结 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练4 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，所以a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：由上表可得，x ＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.课堂练习：1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( A )A ．4B ．6C ．4.5D ．8解析 设底面边长为x ，高为h ，则V(x)＝x 2·h＝256，∴h＝256x2， ∴S(x)＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S′(x)＝2x －4×256x 2.令S′(x)＝0，解得x ＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为多少？解：依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx －3kx 2.令y′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x<0.032 4时，y′>0；当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0. 所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x≤120)， h′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x2(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x ＝80.因为当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．课堂小结：1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；(2)列模型：列出实际问题的数学模型；(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(4)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(5)比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(6)结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。
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《1.3.3 导数的实际应用》教学案3
教学目标：
1. 通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．
2. 通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．
一、知识扫描：
1．生活中的优化问题常见类型：费用最少省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题.
2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大(小)值问题，一般应先建立好目标函数后，把问题转化为上一节研究的内容。
二、例题选讲：
例1. 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
例2．某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？
例3．在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能
使电动率最大？最大电功率是多少？
例4．强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.(照度与光的强度成正比，与光源距离
的平方成反比)
例5．在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x .
(1) 如果632()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际成本()C x '最低？
(2) 如果()5010000C x x =+，产品的单价1000.01p x =-，那么怎样定价可使利润最大？
三、课内练习：
1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高为____________ 2．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。
所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为___________
3.在半径为r 的半圆内作一个内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为___________
4．把长60cm 的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时矩形的面积最大？
【归纳反思】
1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；
(2)求函数的导数()f x '，解方程()0f x '=；
(3)比较函数在区间端点和使()0f x '=的点的数值的大小，得到最大(小)值.
2.解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1) 在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2) 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点()0f x '=的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值.
(3) 在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要确定出函数关系中自变量的定义区间.
四、巩固提高：
1． 内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为________
2． 有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为_______
3．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为_________
3． 若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为_______
5.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27 ，且用料最省，则圆柱的底面半径为
6．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面积最大.
7．把长100cm 的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？
8．做一个容积为3256m 的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？
9．有一隧道是既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距()d m 正比于车速(/)v km h 的平方与自身长()l m 的积，且车距不得小于半个车身长，而当车速为60(/)km h 时，车距为1.44个车身长.在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？
*10. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为
(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).。