专题限时训练7

专题限时训练(七) 机械能守恒定律和功能关系(二)
(限时45分钟)
计算题(每小题20分，共80分)
1．(2015·北京西城区期末)一小孩自己不会荡秋千，爸爸让他坐在秋千板上，将小孩和秋千板一起拉到某一高度，此时绳子与竖直方向的偏角为37°，然后由静止释放．已知小孩的质量为25 kg ，小孩在最低点时离系绳子的横梁2.5 m ．重力加速度取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.忽略秋千的质量，可把小孩看做质点．
(1)假设小孩和秋千受到的阻力可以忽略，当摆到最低点时，求： ①小孩的速度大小；
②秋千对小孩作用力的大小．
(2)假设小孩和秋千受到的平均阻力是小孩重力的0.1，求从小孩被释放到停止经过的总路程．
答案：(1)①10 m/s ②350 N (2)5 m
解析：(1)①根据机械能守恒定律有mgL (1－cos 37° )＝12m v 2
可得v ＝10 m/s.
②根据牛顿第二定律有F －mg ＝m v 2
L 可得F ＝350 N.
(2)根据动能定理得mgL (1－cos 37°)－fs ＝0－0 其中f ＝0.1mg 可得s ＝5 m.
2．(2015·太原检测)如图所示，足够长的光滑斜面倾角θ＝37°，两个物块A 、B 质量均为m ，用劲度系数为k 的轻质弹簧连接，C 为固定在斜面上的挡板，物块A 通过一根轻绳跨过光滑定滑轮与物块D
相连．用手托住D ，使轻绳伸直但没有弹力，将D 由静止释放，运动中D 始终未落地，不考虑空气阻力，问：
(1)要使B 不离开C ，D 的质量应满足什么条件； (2)若D 的质量也为m ，求B 离开C 时D 的速度；
(3)若D 的质量为m
2，已知D 从释放到速度最大的过程中弹簧弹
性势能的减少量ΔE p ＝7m 2g 2
40k
，求D 下落的最大速度v m .
答案：(1)m D ≤35m (2)
2g
5
3m
k (3)
mg 2
6k
解析：(1)设物块D 的质量为m D ，释放物块D 前，对物块A 有 mg sin θ＝kx 1
物块B 恰好离开挡板C 时，对物块B 有 mg sin θ＝kx 2 得x 2＝x 1＝3mg
5k
即从释放物块D 到物块B 恰好离开挡板C 的过程中，弹簧的弹性势能不变．物块B 离开挡板C 时D 的速度为0.由机械能守恒定律有
m D g (x 1＋x 2)＝mg (x 1＋x 2)sin θ 得m D ＝3
5
m
要使物块B 不离开C ，m D ≤3
5m .
(2)由机械能守恒定律有
mg (x 1＋x 2)＝mg (x 1＋x 2)sin θ＋1
2(2m )v 2
得v ＝
2g 5
3m k .
(3)物块D 的质量为m
2，D 速度达到最大值v m 时，设弹簧的压缩
量为x 3，B 未离开挡板C ，A 、D 系统平衡，则
1
2mg ＋kx 3＝mg sin θ x 3＝
mg
10k <x 1
，弹簧的弹性势能减少 则由机械能守恒定律得
12mg (x 1－x 3)＋ΔE p ＝mg (x 1－x 3)sin θ＋12×32m v 2m 联立得v m ＝mg 2
6k
.
3.(2015·长春调研)如图所示，一轻弹簧下端拴接在倾角为θ的固定斜面底端，弹簧处于原长时上端位于斜面上B 点，B 点以上光滑，B 点到斜面底端粗糙，可视为质点的物体质量为m ，以初速度v 0从A 点开始沿斜面向下运动，将弹簧压缩到最短后恰好能被弹回到B 点．AB 间的距离为L ，物体与B 点以下斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，不计空气阻力，求此过程中：
(1)物体从A 点向下运动刚到达B 点时速度的大小； (2)弹簧的最大压缩量．
答案：(1)2gL sin θ＋v 20
(2)2gL sin θ＋v 2
4μg cos θ
解析：(1)物体由A 点开始刚好到B 点的运动过程，由动能定理得
mgL sin θ＝12m v 2B －12
m v 2
解得v B ＝2gL sin θ＋v 2
0.
(2)设弹簧最大压缩量为x ，在物体刚好接触弹簧至恰好返回到B 点的过程中，由动能定理得
－2μmgx cos θ＝0－12m v 2B
解得x ＝2gL sin θ＋v 20
4μg cos θ
.
4．(2015·嘉兴期末)如图为一种由光滑细圆管弯成的全自动小球消毒装置的原理示意图，其中AB 部分为水平传输轨道，下方为半径为R 的圆形消毒轨道(R 远大于细管内径)，里面充满了消毒气体(仅局限在下方圆轨道中，且整个轨道气体浓度相同)，改变消毒气体浓度，可以改变消毒气体对小球的粘滞阻力f (与速度大小无关)，f 的大小范围为f 0≤f ≤2f 0.一质量为m 、初速度为v 0的待消毒小球从A 点水平进入该装置，消毒完成后由B 点水平抛出后落在收集装置中(不计空气阻力)，收集装置的上边缘MN 与圆形轨道最低点C 等高，则该装置正常工作时：
(1)在最低点C ，轨道对小球的支持力最大为多少？ (2)BM 之间的水平距离x 最小为多少？
(3)若初速度可以改变，则初速度满足什么条件，一定可以完成消毒工作？(收集装置的位置可以自动调节)
答案：(1)5mg －2πf 0＋m v 20
R
(2)2
mR v 20－8πf 0R
2
mg
(3)v 0>2
2f 0πR
m
解析：(1)小球在最低点C 点有F Nm －mg ＝m v 2C m
R ① 从A 到C ，由动能定理得 12m v 2C m －12m v 20
＝2mgR －f 0πR ② 联立求得F Nm ＝5mg －2πf 0＋m v 2
R . ③
(2)水平方向x ＝v B t ④ 竖直方向2R ＝12gt 2
⑤
从A 到B ，由动能定理有 12m v 2B －12m v 2
0＝－2f 0·2πR ⑥ 联立求得x ＝2mR v 2
0－8πf 0R 2
mg
. ⑦
(3)能完成消毒工作，意味着小球能到达B点，此刻速度大于零即可
取v B＝0为临界点，则根据⑥式可得v0m＝22f0πR m
即v0>22f0πR m.。