高等数学教案

引言：初等数学的主要研究对象基本上是不变的量，高等数学的主要研究对象则是变量之间的关系，即函数。

其研究的主要内容却是微积分，而研究微积分的基本方法是极限，函数的连续性则是函数可微与可积的基本条件。

在中学对于函数及其性质已作了比较全面而详细的讨论，下面先对函数进行概括的复习，而后着重讨论极限与连续性问题。

第一章函数与极限
【授课对象】理工类一年级，03090401～5
【授课时数】15学时，习题5学时
【授课方法】课堂讲授与提问相结合，适当时候采用多媒体技术
【基本要求】1.理解函数的概念.
2.了解函数的单调性、周期性、奇偶性.
3.了解反函数和复合函数的概念.
4.熟悉基本初等函数的性质及其图形.
5.能列出简单实际问题中的函数关系.
6.了解极限的δ
N定义,并能在学习过程中逐步加深对极限思想
ε,
-
ε
-
的理解.
7.掌握极限的四则运算法则.
8.了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极
限求极限.
9.了解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较.
10.理解函数在一点连续的概念,会判断间断点的类型.
11.了解初等函数的连续性,知道在闭区间上连续函数的性质(介值定
理和最大、最小值定理).
【本章重点】复合函数的概念，极限的概念，极限的计算方法，复合函数的极限，幂指数函数的极限，判断极限存在的准则及两个重要极限的应用，无
穷大与无穷小的概念以及二者之间的关系，等价无穷小的运用，连续
性与间断点的概念与判断，闭区间上连续函数的性质。

【本章难点】极限的概念，利用极限的定义证明函数与数列的极限，幂指数函数极
限的计算，判断极限存在的两个准则及两个重要极限，复合函数的极
限，等价无穷小的代换，间断点的判断与分类，根的存在性定理的应
用。

【授课内容及学时分配】
§1. 函 数
一、基本概念：
1. 集合、常量与变量。

（中学已学P 1,P 4）
2. 函数的概念。

Df 1： 设有两个变量x 和y ，如果对于变量x 在数集D 中的每一个值，按照定一对应法则f ，变量y 总有确定的值与之对应，则称y 是x 的函数，记作y=f (x )。

其中，x 称为自变量，y 称为因变量，数集D 称为函数的定义域。

对于确定的0x ∈D ,相应的因变量y 的对应值称为y=f (x )在0x 处的函数值，记作f (0x )。

全体函数值组成的数集W ，称为函数的值域。

此时，函数y =f (x )可看作是数集D 到数集W 上的一个映射。

若无特别说明，凡提及的数以及数集都限于实数范围内考虑，本书中所涉及的函数都是仅含一个自变量的一元函数（上册内容的研究对象）。

关于函数的定义特作如下几点说明：
01 定义域：如果函数y =f (x )的定义域是介于两全实数之间的全体实数，则称变量x 是连续型自变量，其定义域可以用所谓的区间来表示。

若设：a ,b ∈R ，且a <b ，则对于满足如下不等式a <x <b , a ≤x ≤b , a ≤x <b , a <x ≤b 的实数集合分别用开区间(a ,b ),闭区间 [a ,b ],半开半闭区间[a ,b ),(a ,b ]来表示，这些区间都称为有限区间，而对于满足不等式a <x <+∞,-∞<x ≤b , -∞<x <+∞的实数集合分别用所谓的无穷区间
(a , +∞),(-∞,b ) 及 (-∞，+∞)来表示。

设a , δ∈R ，且δ>0，满足不等式|x -a |<δ,即a -δ<x <a +δ的实数集合｛x |x -a |<δ＝或(a -δ,a +δ)称为点a 的δ邻域，记为U (a ,δ)(或N (a ,δ))。

其中，a 称为邻域中心，δ称为邻域半径。

在分析函数的性态时，常常需要深入到一点附近来研究，因此，δ一般是一个很小的正数。

对应于点a 的邻域，还有一个点a 的空（去）心邻域，它是由不等式0<|x -a |<δ
来确定，记作0U (a ˆ,δ)(N (a ˆ,δ)),即0
U (a ˆ,δ)=｛x |0<|x -a |<δ＝=(a -δ,a ) (a ,a +δ),其中(a-δ,a ),(a ,a +δ)分别称为点a 的左邻域和右邻域 需要指出的是，并非所有函数的定义域都能用某一区间来表示，如单位圆内接
正n 边形的面积n S =2n sin n
π2,其中n =3,4,5,…依定义，n S 是n 的函数，记n S =f (n )。

其定义域为｛3，4，5，…｝
一般地，数列｛X n ｝确定了X n 是下标n 的函数，X n =f (n )。

因其定义域为正整数集，故而数列又称为整数函数。

显然，数列是一类特殊的函数。

因此，对于一般函数适合的结论同样适用于数列。

数列的图形是一些离散的点。

例如数列X n =n
1 ，其图形可以用数轴上的点表示（如左下图），也可用平面直角坐标系中的点来表示（如右下图），它是双曲函数y =1/x 的右支，当x 取正整数时所对应的点。

02对应法则：y 是x 的函数，通常用y =f (x )来表示，它是用自变量x 的解析式子来表示因变量y 的，函数的这种表达式称为显函数，但这并不是函数关系的唯一表达形式。

从结构上看，它是“y 已解出的二元方程”。

考虑二元方程x +y =1,当x ∈)1,1(-时，y =±21x -,因此，在区间)1,1(-内，方程
x +y =1就确定了y 是x 的双值函数；若限定0≥y (或y <0),则在[1-,1]上可确定y 是x 的单值函数。

今后若无特别说明，我们只考虑单值函数。

一般说来，对于二元方程F (x ,y )=0,若存在函数y =f (x ),满足F[x ,f (x )]≡0,则称y =f (x )是由二元方程所确定的隐函数。

据此，方程x 2+y 2=1（y ≥0）在区间[-1,1]上确定了y 是x 的隐函数。

按照函数的定义，允许多个自变量对应于同一函数值一，如y =sin x ，当x k π= (k ∈Z)时，y =0
常函数y =f (x )=C (常数)中的任何实数x 都对需要说明的是，对于分段函数来说，函数的分段所表示函数仍是一个函数，而不是两个或几个函数，只是在定义域中的不同段上，其对应法则不同而已。

如：y =f (x )= ⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>010001x x x D =(-∞,+∞)
如：y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤--2
||11||1122x x x x ， D =D 1 D 2=[-1,1] (-2,-1) (1,2)=(-2,2)
03函数值
eg 1.设y =f (x )=1122+-x x ，则：f (0)=-1，f (1)=0，f (a b )=2222a b a b +-，(f (a b ))=4
4222b a b a +-，f [f (x )]=42
12x
x +- eg 2.已知f (sin 2x )=1+cos x ,求f (cos 2
x ). 解：先求f (x )=2(1-x 2)，再求f (cos
2x )=1-cos x .
由上述可知：定义域和对应法则是构成函系的两大因素，因为只要定义域和对应法则给定了，相应的值域也就确定了。

因此，仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才能说这两个函数是相等的。

例如，
x +3与3
92--x x 就表示两个不同的函数，因为二者的定义域不同。

仅当x ≠3时，等式3
92--x x =x +3成立。

再如，2ln x 与ln x 2，亦如此。

而在s =21gt 2与 y =21gx 2k ,尽管所用变量不同，仅当t ≥0,x ≥0时，两者均可表示自由落体运动中，物体下落距离与时间的关系。

二、函数的性质——函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。

1310-P。