2015年高一期末考试参考答案

2015年高一期末考试参考答案
数学
一．选择题
CACBC ABDCD
二．填空题
11. ② 12. 1111B D AC ⊥（答案不唯一） 13. 135 14. ()4,+∞ 15. ②③
三．解答题
16.（1）证明： C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AB 是底面圆的直径,
AC BC ∴⊥．
因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ,所以1AA BC ⊥，
而1AC AA A = ，所以BC ⊥平面C AA 1.
又BC ⊂平面C BA 1，所以平面C AA 1⊥平面C BA 1. ………6分
（2）在Rt ABC ∆中，2AB =，则由222AB AC BC =+且AC BC =，
得AC BC ==
所以11111223323
A ABC ABC V S AA -∆=⋅=⋅=. ………12分 17.（1）证明：连AC ，设AC 与BD 交于点O ，连EO ，
因为E 是1AA 的中点，O 是BD 的中点，所以1//AC EO ，
又EO ⊂面BDE ，1AA ⊄面BDE ，
所以1//AC 平面BDE . ………6分
(2) 由（1）知，,BD AC BD EO ⊥⊥，
所以AOE ∠是二面角E BD A --的平面角，
在Rt AOE ∆中，tan 2
AE AOE AO ∠=
=. ………12分 18.解：（1）由题意得() 2.8G x x =+. 所以20.4 3.2 2.8(05)()()()8.2(5)x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩
. ……4分 (2)①当05x ≤≤时，由20.4 3.2 2.80x x -+->，解得15x <≤； ……6分
②当5x >时，由8.20x ->解得8.2x <，所以58.2x <<，
综上得18.2x <<时，0y >. ………8分
(3) 当5x >时, 函数()y f x =递减，所以()(5) 3.2f x f <=（万元），
当05x ≤≤时，函数2()0.4(4) 3.6y f x x ==--+，
当4x =时，()y f x =有最大值3.6万元. ……11分 所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大，为3.6万元. ………12分 19.解：（1）设00(,)B x y ，则AB 的中点0021(
,)22x y M +-在直线CM 上， 所以0021321022
x y +-⋅+⋅+=，即003260x y ++= ① ……2分 又点00(,)B x y 在直线BT 上，所以0020x y -+= ② ……4分
由①②得002,0x y =-=，即顶点B 的坐标为()2,0-. ……6分
(2)设点()2,1A -关于直线BT 的对称点的坐标为(),A a b '，则点A '在直线BC 上，
由题意知，112212022
b a a b +⎧=-⎪⎪-⎨+-⎪-+=⎪⎩ ，解得3,4a b =-=，即()3,4A '-. ……9分 因为4043(2)
BC BA k k '-===----， ………11分 所以直线BC 的方程为4(2)y x =-+，即480x y ++=. ……12分
20.证明：（1）设DF 的中点为N ，连接MN ，则1//
2MN CD ，12MN CD =. 又因为1//2AO CD ，12
AO CD =，所以//MN AO ，MN AO =， 所以MNAO 为平行四边形，所以//OM AN . ………3分
又因为AN ⊂面DAF OM ⊄面DAF ，
所以//OM 面DAF ； ………6分
（2）因为面ABCD ⊥面ABEF ，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，
面ABCD 面ABEF AB =，
所以CB ⊥面ABEF . ………9分
因为AF ⊂面ABEF ，所以AF CB ⊥.
又AB 为圆O 的直径，所以AF BF ⊥.
又CB BF B = ，,CB BF ⊂面CBF ， ………12分
所以AF ⊥面CBF . ………13分
21.解:（1）由题意，10a +≠，即1a ≠-.
令0x =得，2y a =-；
令0y =得，21a x a -=
+， 由题意得，221a a a -=-+，即(2)01
a a a -=+， 解得0,2a a ==， ………2分
当0a =时，直线l 的方程为20x y ++=；
当2a =时，直线l 的方程为30x y +=，
综上所述，所求直线l 的方程为20x y ++=或30x y +=. ………4分
（2）将直线l 的方程化为()12y a x a =-++-.
为使直线l 不经过第二象限，需()1020
a a -+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩， ………6分 解得1a ≤-，所以a 的取值范围是(],1-∞-. ……7分
(3) 由题意得()2,0,0,21a A B a a -⎛⎫- ⎪+⎝⎭
(1)a ≠-， 且20120
a a a -⎧>⎪+⎨⎪-<⎩，解得1a <-. ………9分
所以212144(2)(1)2121
AOB a a a S a a a a ∆--+-=⋅⋅-=⋅<-++， 令10t a =+<，则216919()622AOB
t t S t t t ∆-+-⎡⎤=⋅=-++⎢⎥-⎣⎦，………12分 容易证明9()(0)u t t t
=-+<-在()0,3t -∈上减，在()3,t -∈+∞上增，…13分 所以当3t -=时，AOB S ∆最小，最小值为6. ………14分。