6.3线性规划习题集
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。
以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。
每天的加工时间总共有16个小时。
产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。
工厂的目标是最大化每天的总利润。
解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。
3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。
b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。
4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。
最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。
通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。
同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。
此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。
例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。
在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。
这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。
总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。
通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。
线性规划练习题
线性规划练习题一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数的最优值是：A. 最大化B. 最小化C. 既可能最大化也可能最小化D. 不确定2. 下列哪个不是线性规划的基本假设？A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 约束条件是连续的D. 约束条件是不等式的3. 线性规划问题的图形解法中，可行域的边界条件是：A. 等式B. 不等式C. 既可能是等式也可能是不等式D. 无法确定4. 单纯形法是解决线性规划问题的哪种算法？A. 图形解法B. 枚举法C. 迭代法D. 直接法5. 以下哪个条件不是线性规划问题的基本假设？A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 目标函数和约束条件都是线性的D. 约束条件是确定的二、填空题6. 线性规划问题中，目标函数的最优解可能位于可行域的_________。
7. 单纯形法中，如果目标函数的系数在所有基变量上的系数都是_________，则该基可行解是最优解。
8. 线性规划问题中，如果目标函数是最大化问题，当可行域是无界的，则最优解是_________。
9. 线性规划问题中，如果约束条件中存在_________，则该问题可能没有可行解。
10. 单纯形法中，如果某一非基变量的系数在目标函数中为_________，则该变量在当前基可行解中为零。
三、简答题11. 解释线性规划问题中，为什么需要引入松弛变量？12. 描述单纯形法的基本步骤，并说明每一步的目的。
13. 线性规划问题中，如果目标函数是最大化问题，当可行域有界时，最优解可能出现在哪些位置？14. 解释线性规划问题中的对偶问题，并说明对偶问题与原问题之间的关系。
15. 什么是退化现象？在单纯形法中如何避免退化现象？四、计算题16. 考虑以下线性规划问题：Max Z = 3x + 4ys.t.2x + y ≤ 10x + 2y ≤ 8x, y ≥ 0求该问题的最优解，并给出最优值。
17. 假设你有一个生产问题，需要决定生产两种产品A和B的数量，以最大化利润。
线性规划题及答案
线性规划题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域？三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩(C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4 (C) (D)2七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80(B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如bx ay z --=时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X 和3个单位的资源Y。
公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。
假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。
1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。
二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。
工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。
产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。
2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。
三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。
产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。
问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize 2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。
线性规划简单练习题
线性规划练习1. 已知变量,x y满足约束条件241yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y=+的最大值为。
2. 设变量,x y满足-100+20015x yx yy≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y的最大值为。
3. 若,x y满足约束条件1030330x yx yx y-+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y=-的最小值为。
4. 设函数ln,0()21,0x xf xx x>⎧=⎨--≤⎩，D是由x轴和曲线()y f x=及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y=-在D上的最大值为．5. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为。
6. 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B 原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是。
7. 若,x y满足约束条件：2323xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y-的取值范围为_____.8．若,x y满足约束条件2441x yx y+≤⎧⎨-≥-⎩，则目标函数z=3x－y的取值范围是。
9．设,x y满足约束条件：,013x yx yx y≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y=-的取值范围为 .。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
在线性规划中，我们需要确定一组决策变量的值，以使目标函数达到最大或者最小值，同时满足一系列线性约束条件。
为了更好地理解线性规划问题，我们将通过一个具体的线性规划题目来进行说明。
假设我们有一个工厂，需要生产两种产品A和B。
每一个单位的产品A需要2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y，而每一个单位的产品B需要1个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。
工厂每天有100个单位的原材料X和150个单位的原材料Y可用。
产品A的销售利润为5美元，产品B的销售利润为4美元。
我们的目标是确定每天生产的产品A和产品B的数量，以使销售利润最大化。
为了解决这个线性规划问题，我们首先需要定义决策变量。
假设我们用变量x表示每天生产的产品A的数量，用变量y表示每天生产的产品B的数量。
因此，我们的目标是最大化目标函数Z=5x+4y。
接下来，我们需要确定线性约束条件。
根据题目描述，每一个单位的产品A需要2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y，而每一个单位的产品B需要1个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。
因此，我们可以得到以下约束条件：2x+y≤100（原材料X的限制）3x+2y≤150（原材料Y的限制）x≥0，y≥0（生产数量不能为负数）综合以上信息，我们可以得到如下的线性规划模型：目标函数：maximize Z=5x+4y约束条件：2x+y≤1003x+2y≤150x≥0，y≥0接下来，我们可以使用线性规划求解方法来求解这个问题。
一种常用的求解方法是单纯形法。
通过应用单纯形法，我们可以得到最优解。
根据单纯形法的求解过程，我们可以得到以下最优解：最优解：x=25，y=50Z=5x+4y=5*25+4*50=125+200=325（销售利润最大化）因此，根据我们的计算，每天生产25个单位的产品A和50个单位的产品B，可以使销售利润最大化，达到325美元。
以上就是根据给定的任务名称所编写的关于线性规划题目及答案的详细内容。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的一组约束条件下，寻觅目标函数的最大值或者最小值。
它常被应用于经济学、工程学、运筹学等领域，用于解决资源分配、生产计划、物流优化等实际问题。
下面我将为你提供一道线性规划题目及其答案，以匡助你更好地理解和应用线性规划方法。
题目：某工厂生产两种产品，分别为A和B。
产品A每单位利润为5元，产品B每单位利润为4元。
工厂有两个车间，分别为车间1和车间2。
车间1每天最多可以生产100个A产品或者80个B产品；车间2每天最多可以生产80个A产品或者60个B产品。
每天工厂的总生产时间为8小时。
生产一个A产品需要1小时，生产一个B产品需要1.5小时。
工厂希翼通过合理的生产安排，最大化每天的总利润。
请问，应该如何安排每一个车间的生产数量，才干使得每天的总利润最大化？答案：为了解决这个问题，我们可以使用线性规划方法。
首先，我们定义决策变量：x1：车间1生产的A产品数量x2：车间1生产的B产品数量x3：车间2生产的A产品数量x4：车间2生产的B产品数量其次，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数：总利润 = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 4x4约束条件：车间1生产时间约束：x1 + 1.5x2 ≤ 8车间2生产时间约束：x3 + 1.5x4 ≤ 8车间1产量约束：x1 ≤ 100, x2 ≤ 80车间2产量约束：x3 ≤ 80, x4 ≤ 60非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0现在，我们可以使用线性规划求解器来求解这个问题。
求解结果如下：车间1生产的A产品数量（x1）= 80车间1生产的B产品数量（x2）= 0车间2生产的A产品数量（x3）= 20车间2生产的B产品数量（x4）= 60总利润 = 5(80) + 4(0) + 5(20) + 4(60) = 400 + 0 + 100 + 240 = 740 元因此，为了使每天的总利润最大化，工厂应该安排车间1生产80个A产品，车间2生产20个A产品和60个B产品。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划（Linear Programming）是一种数学优化方法，用于解决一类线性约束条件下的最优化问题。
它在经济学、管理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将为您提供一道线性规划题目及其详细解答，帮助您更好地理解和掌握线性规划的基本概念和解题方法。
题目描述：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司的生产能力有限，每天只能生产A产品100个单位，B产品80个单位。
同时，公司还面临着两个限制条件：一是A产品的生产需要耗费2个单位的原材料X，B产品的生产需要耗费3个单位的原材料X；二是A产品的生产需要耗费3个单位的原材料Y，B产品的生产需要耗费2个单位的原材料Y。
每天公司可用的原材料X和原材料Y分别为240个单位和180个单位。
假设公司的目标是最大化每天的利润，请问该公司应该如何安排产品的生产数量才能达到最优解？解答：为了解决这个问题，我们可以使用线性规划的方法进行建模和求解。
首先，我们定义决策变量：x：表示每天生产的A产品的数量（单位：个）y：表示每天生产的B产品的数量（单位：个）接下来，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数是我们要最大化的目标，而约束条件是限制我们决策变量的取值范围。
目标函数：最大化利润 = 10x + 15y约束条件：1. 生产能力限制：x ≤ 100y ≤ 802. 原材料X的限制：2x + 3y ≤ 2403. 原材料Y的限制：3x + 2y ≤ 1804. 决策变量的非负性：x ≥ 0y ≥ 0现在，我们可以利用线性规划的方法求解这个问题。
我们可以使用各种线性规划求解工具，如MATLAB、Python中的SciPy库等。
这里我们以Python中的SciPy库为例，使用线性规划的简单方法来求解。
首先，我们需要导入SciPy库中的optimize模块，并定义目标函数和约束条件：```pythonfrom scipy.optimize import linprog# 定义目标函数的系数c = [-10, -15]# 定义不等式约束条件的系数矩阵和右侧常数向量A = [[-1, 0], [0, -1], [2, 3], [3, 2]]b = [-100, -80, 240, 180]# 定义决策变量的取值范围x_bounds = (0, None)y_bounds = (0, None)```接下来，我们可以使用linprog函数求解线性规划问题：```python# 求解线性规划问题res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[x_bounds, y_bounds])# 输出最优解print("最优解为：", res.x)print("最大利润为：", -res.fun)```运行以上代码，我们可以得到最优解和最大利润的结果：最优解为： [60. 40.]最大利润为： 1150.0因此，为了达到最大利润，该公司应该每天生产60个单位的A产品和40个单位的B产品，此时每天的最大利润为1150元。
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线性规划问题
一、选择题
1．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤1，2x ＋y ≤5，
x ≥1，
则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．4 B ．5 C ．6 D ．7答案：D
2．(2011·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，
x ≥0，
则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为
( )A ．11
B ．10
C ．9
D ．8.5 答案：B
3．若z ＝mx ＋y 在平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
y －2x ≤0，2y －x ≥0，
x ＋y －3≤0
上取得最小值时的最优解有无穷多个，则z 的最小值是( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．0或±1 答案：C
4．(2012·海淀模拟)P (2，t )在不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y －4≤0，
x ＋y －3≤0
表示的平面区域内，则点P (2，t )到直线3x ＋4y
＋10＝0距离的最大值为( ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 答案：B
5．(2012·郑州模拟)设双曲线4x 2
－y 2
＝1的两条渐近线与直线x ＝2围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，
y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝12
x －y 的最小值为( )
A ．－2
B ．－32
2
C ．0
D ．－522
答案：B
6.已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪
⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，
2x －y －5≤0，
则z ＝|x ＋2y －4|的最大值( )
7.A ．18 B ．19 C ．20 D ．21故选D.
7.已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )
A ．(－24,7)
B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞) B
8.如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0，
x ≥1
目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的
为( )A ．2
B ．－2 C.1
5
D ．不存在 选A.
9.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤2，0≤y ≤2，
x －y ≥1，
则(x －1)2＋(y －1)2
的取值范围是________．解析：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2.
10.．设m 为实数，若⎩
⎨⎧
(x ，y )⎪⎪⎪
⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬
⎪⎫x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，mx ＋y ≥0，⊆{(x ，y )|x 2
＋y 2
≤25}，则m 的取值范围是：
0≤m ≤4
3
.
11．当不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
kx －y ＋2－k ≥0(k <0)
所表示的平面区域的面积最小时，实数k 的值等于___－2.
12.．（江西省2012届第一次模拟理科）设变量x ，y 满足|2||2|1x y -+-≤，则
1
y x
x -+的最大值为 （ B ）
A ．
13
B ．
12
C ．14
-
D ．13
-
13．)在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤≤01,2,1:y x y x 下，目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则ab 的最大值等于
_____ ． ()2
1121
2.2228
a b ab a b +⎛⎫=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭
14．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________． 答案：1
15．，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －1≤0，
ax －y ＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为___． ：3
16．若点P 在区域⎩⎪⎨⎪
⎧
2y －1≥0，x ＋y －2≤0，
2x －y ＋2≥0
内，求点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值．解：4.
17.．已知点P （1，0）与点Q （a ，b ）在直线10x y -+=两侧。
若2a ≥，则
1
b
a -的取值范围为 。
(1,)+∞
18．变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1.
(1)设z ＝y x
，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2
，求z 的取值范围．
(1)2
5
.(2)∴2≤z ≤29. 19.设实数x 、y 满足不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
1≤x ＋y ≤4，
y ＋2≥|2x －3|.(1)求作点(x ，y )所在的平面区域；
(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数f (x ，y )＝y －ax 的最大值和最小值．
平面区域为AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1.(2)∵C 点的坐标为(－3,7)，∴f (x ，
y )的最大值为7＋3a .如果－1<a ≤2，那么直线l 过顶点A (2，－1)时，f (x ，y )最小，最小值为－1－2a .
如果a >2，那么直线l 过顶点B (3,1)时，f (x ，y )最小，最小值为1－3a .。