江苏省无锡市宜兴外国语学校2015-2016学年九年级(上)期末数学复习试卷(三)

江苏省无锡市宜兴外国语学校2015-2016学年九年级（上）期末数学复习试卷（三）一、选择题1．一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，3 B．2，1，﹣3 C．2，﹣1，3 D．2，﹣1，﹣32．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．若两圆的半径分别为5和2，圆心距是4．则这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切4．把抛物线y=x2向右平移2个单位得到的抛物线是（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2D．y=（x﹣2）25．已知扇形的半径为6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（）A．9πB．6πC．3πD．π6．用配方法解方程x2+4x=3，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=1 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+2）2=17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a+b+c＜08．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC=33°，则∠A等于（）A．33° B．57° C．67° D．66°9．小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．7分B．6.5分C．6分D．5.5分10．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k=2 B．k＞2 C．k≥2 D．k≤2二、填空题11．方程x2﹣4=0的解是．12．请写出一个开口向上且经过（﹣2，1）的抛物线的解析式．13．若二次函数y=2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a b（填“＜”或“=”或“＞”）．14．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC= °．15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为米（取1.4）．16．如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到AB′、BC′、CA′，连接A′B′、B′C′、A′C′、OA′、OB′．（1）∠A′OB′=°；（2）当α= °时，△A′B′C′的周长最大．17．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG=2，则EF为．三、解答题18．（2015秋•宜兴市校级期末）解方程：（1）x2=3x﹣2．（2）3y（y﹣1）=2﹣2y（3）2x2﹣3x+=0．19．（2015秋•宜兴市校级期末）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a=0（a＞0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．20．（2015秋•宜兴市校级期末）抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若﹣4≤x≤1，则y2﹣y1的最小值为．21．（2015秋•宜兴市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P 为AB延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．（1）求证：CP为⊙O的切线；（2）BP=1，CP=．①求⊙O的半径；②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为．22．（2015秋•宜兴市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N 不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则α= °；（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为．23．（2015秋•平谷区期末）探究活动：利用函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）如图2，他列表描点画出了函数y=图象的一部分，请补全函数图象；解决问题：设方程﹣x﹣b=0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2﹣3x+2=x+B的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜，则x1、x2、x3、x4的大小关系为（用“＜”连接）．24．（2015秋•宜兴市校级期末）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于B（﹣2，0），C（4，0）两点，点E是对称轴l与x轴的交点．（1）求二次函数的表达式；（2）若在x轴上方的P点为抛物线上的动点，且∠BPC为锐角，直接写出PE的取值范围．（3）T为y轴上一动点，且∠BPC=30°，求T点的坐标．2015-2016学年江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级（上）期末数学复习试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题1．一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，3 B．2，1，﹣3 C．2，﹣1，3 D．2，﹣1，﹣3【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】找出方程的二次项系数，一次项系数，常数项即可．【解答】解：一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣1，﹣3，故选D【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x=﹣1，函数有最大值﹣2．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．3．若两圆的半径分别为5和2，圆心距是4．则这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】圆与圆的位置关系．【分析】本题主要考查两圆位置关系的判定，确定R﹣r、R+r、d三者之间的关系即可．【解答】解：由题意知，圆心距5﹣2＜d＜5+2，故两圆相交，故选C．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则P＞R+r；②外切，则P=R+r；③相交，则R﹣r＜P＜R+r；④内切，则P=R﹣r；⑤内含，则P＜R﹣r．4．把抛物线y=x2向右平移2个单位得到的抛物线是（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2D．y=（x﹣2）2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】解：抛物线y=x2向右平移2个单位得y=（x﹣2）2．故选D．【点评】主要是考查二次函数的平移．5．已知扇形的半径为6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（）A．9πB．6πC．3πD．π【考点】扇形面积的计算．【分析】已知了扇形的圆心角和半径长，可直接根据扇形的面积公式求解．【解答】解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为60°，∴S==6π．故选B．【点评】本题考查了扇形面积的计算．此题属于基础题，只要熟记扇形面积公式即可解题．6．用配方法解方程x2+4x=3，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=1 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+2）2=1【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式．【解答】解：x2+4x+4=7，（x+2）2=7．故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a+b+c＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判定a的取值范围，由抛物线于y轴的交点判定c的取值范围，根据对称轴的位置即可判定的取值范围，由抛物线中，x=1时的函数值即可判定a+b+c 的取值范围．【解答】解：A、抛物线的开口向下，∴a＜0，故正确；B、抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故正确；C、抛物线的对称轴在y轴的右边，在直线x=1的左边，∴，故正确；D、从图象可以看出，当x=1时，对应的函数值在x轴的上方，∴a+b+c＞0，故错误．故选D．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点等与二次函数的系数之间的关系是解决此类问题的关键．8．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC=33°，则∠A等于（）A．33° B．57° C．67° D．66°【考点】圆周角定理．【分析】连结CD，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°，则利用互余可计算出∠D=57°，然后根据圆周角定理即可得到∠A的度数．【解答】解：连结CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，而∠DBC=33°，∴∠D=90°﹣33°=57°，∴∠A=∠D=57°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．7分B．6.5分C．6分D．5.5分【考点】二次函数的应用．【分析】由题意，最值在自变量大于2.945小于3.06之间，由此不难找到答案．【解答】解：最值在自变量大于2.945小于3.06之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选C．【点评】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．10．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k=2 B．k＞2 C．k≥2 D．k≤2【考点】二次函数的性质．【分析】先根据二次函数的解析式得出该函数的对称轴方程，再根据当x≤2时，y随x的增大而减小得出k的取值范围即可．【解答】解：∵二次函数的解析式为：y=（x﹣k）2+m，∴其对称轴方程x=k，∵当x≤2时，y随x的增大而减小，∴x=2在对称轴的左侧或在对称轴上，∴k≥2．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．二、填空题11．方程x2﹣4=0的解是．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：x2﹣4=0，移项得：x2=4，两边直接开平方得：x=±2，故答案为：±2．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b 同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．12．请写出一个开口向上且经过（﹣2，1）的抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】此题答案不唯一，可令a=1，且抛物线的顶点为（﹣2，1），据此可写出一条抛物线解析式．【解答】解：答案不唯一，可令a=1，且抛物线的顶点为（﹣2，1），此时抛物线解析式为y=（x+2）2+1=x2+4x+5，故答案为：y=x2+4x+5．【点评】本题主要考查求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数解析式的三种形式是关键．13．若二次函数y=2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a b（填“＜”或“=”或“＞”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数图象的增减性即可解答．【解答】解：y=2x2﹣5的对称轴为x=0，开口方向向上，顶点为（0，﹣5）．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小，2比3距离近，所以a＜b．故答案为＜．【点评】本题主要考查二次函数的性质．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小．14．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC= °．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∠D为弧AC所对的圆周角，∵∠D=∠AOC，而∠AOC=100°，∴∠D=50°，∵∠D+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°﹣50°=130°．故答案为130°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为米（取1.4）．【考点】正多边形和圆．【分析】画出平面图，连接OA，作OM⊥AB，垂足为N，交⊙O于M，由正方形的性质得出MN=x，ON=AN=OA=，得出x=OM﹣ON，即可得出结果．【解答】解：平面图如图所示：连接OA，作OM⊥AB，垂足为N，交⊙O于M，则MN=x，OM=AM=OA=×2=，∴x=OM﹣ON=2﹣≈0.6（米）．故答案为：0.6米．【点评】本题考查了正多边形和圆的位置关系、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，画出图形，由正方形的性质求出ON是解决问题的关键．16．如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到AB′、BC′、CA′，连接A′B′、B′C′、A′C′、OA′、OB′．（1）∠A′OB′=°；（2）当α= °时，△A′B′C′的周长最大．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】（1）△A'B'C'是等边三角形，根据中心角的定义求解；（2）当O，A，B'三点在一条直线上时，B'在OA的延长线上时，OB'最大，A′B′C′边长最大，则△A′B′C′的周长最大．【解答】解：（1）∠A′OB′==120°，（2）△A'B'C'是等边三角形，△A′B′C′的周长最大，则边长最大，则OB'最大，当O，A，B'三点在一条直线上时，B'在OA的延长线上，OB'最大．∠BAO=∠BAC=30°，则a=180°﹣30°=150°．故答案是：150．【点评】本题考查了三角形的旋转，正确理解△A′B′C′的周长最大的条件是关键．17．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG=2，则EF为．【考点】垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．【分析】连结OA，根据垂径定理由OG⊥AC得到AG=CG，在Rt△AOG中，根据勾股定理得AG=，则AC=2AG=2，再根据垂径定理由OE⊥AB，OF⊥BC得到AE=BE，CF=BF，所以EF为△ABC的中位线，则EF=AC=．【解答】解：连结OA，如图，∵OG⊥AC，∴AG=CG，在Rt△AOG中，OG=2，OA=5，∴AG==，∴AC=2AG=2，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴AE=BE，CF=BF，∴EF为△ABC的中位线，∴EF=AC=．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和三角形中位线性质．三、解答题18．（2015秋•宜兴市校级期末）解方程：（1）x2=3x﹣2．（2）3y（y﹣1）=2﹣2y（3）2x2﹣3x+=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）先移项将方程右边化为0，再将左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．（2）先移项将方程右边化为0，再将左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．（3）利用公式法求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣3x+2=0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣2）=0，可得：x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=1，x2=2．（2）3y（y﹣1）=2﹣2y，3y（y﹣1）﹣2+2y=0，（y﹣1）（3y+2）=0，y﹣1=0，3y+2=0，y1=1，y2=﹣．（3）2x2﹣3x+=0，∵△=（﹣3）2﹣4×2×=8，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．也考查了公式法解一元二次方程．19．（2015秋•宜兴市校级期末）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a=0（a＞0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．【考点】根的判别式．【分析】（1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；（2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可．【解答】（1）证明：△=（a﹣3）2﹣4×3×（﹣a）=（a+3）2．∵a＞0，∴（a+3）2＞0．即△＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）解：3x2﹣（a﹣3）x﹣a=0，（3x﹣a）（x+1）=0，解得x1=﹣1，x2=．∵方程有一个根大于2，∴＞2．∴a＞6．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程的方法．20．（2015秋•宜兴市校级期末）抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若﹣4≤x≤1，则y2﹣y1的最小值为．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）把B的坐标代入直线y2=﹣2x+m求得m的值，然后代入A（﹣2，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）求得y2﹣y1=﹣x2+4，然后代入x=﹣4和x=1，求得函数值，即可求得最小值．【解答】解：（1）∵直线y2=﹣2x+m经过点B（2，﹣3），∴﹣3=﹣2×2+m．∴m=1．∵直线y2=﹣2x+m经过点A（﹣2，n），∴n=4+1=5；∵抛物线y1=x2+bx+c过点A和点B，∴∴．∴y1=x2﹣2x﹣3．（2）y2﹣y1=﹣2x+1﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+4，∴y2﹣y1的最大值是4，代入x=﹣4得y2﹣y1=﹣12，代入x=﹣1得y2﹣y1=﹣3，∴若﹣4≤x≤1，y2﹣y1的最小值为﹣12．故答案为﹣12．【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（2015秋•宜兴市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P 为AB延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．（1）求证：CP为⊙O的切线；（2）BP=1，CP=．①求⊙O的半径；②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为．【考点】切线的判定；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）连接OC，根据已知证得∠POC=∠PCD，由∠POC+∠OCD=90°．证得∠PCD+∠OCD=90°，即∠OCP=90°，即可证得CP为⊙O的切线；（2）①设⊙O的半径为r．在Rt△OCP中，利用勾股定理即可求得；②先证得△COP∽△DOC，根据相似三角形对应边成比例求得CD的长，作点O点关于AC的对称点E，连接ED，交AC于M，此时OM+DM=ED的最小，连接AE，EC，证得四边形AOCE是菱形，进而证得EC=2，∠ECD=90°，然后根据勾股定理即可求得ED，即OM+DM的最小值．【解答】（1）证明：连接OC，如图1，∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，∴∠POC=∠PCD，∵CD⊥AB于点D，∴∠ODC=90°．∴∠POC+∠OCD=90°．∴∠PCD+∠OCD=90°．∴∠OCP=90°．∴半径OC⊥CP．∴CP为⊙O的切线．（2）解：①设⊙O的半径为r．在Rt△OCP中，OC2+CP2=OP2，∵BP=1，CP=．∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=2．∴⊙O的半径为2．②∵∠OCP=∠ODC=90°，∠COD=∠POC，∴△COP∽△DOC，∴=，即=，∴CD=，如图2，作点O点关于AC的对称点E，连接AE，EC，此时OM+DM=ED，∵AC垂直平分OE，∴AE=AO，∴∠OAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA，∴AE∥OC，∵OA=AE=OC=2，∴四边形AOCE是菱形，∴EC=2，∠ECD=90°，在RT△ECD中，EC=2，CD=，∴ED2==．∵OM+DM的最小值为．故答案为．【点评】本题考查了切线的判定定理，轴对称的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．22．（2015秋•宜兴市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N 不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则α= °；（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为．【考点】圆的综合题；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值．【分析】（1）如图1，根据圆周角定理可求出∠MAP、∠AQP，再根据∠MAQ可依次求出∠PAQ，∠APQ；（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2，由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，由此可证到△AMN≌△QMP，则有∠MAN=∠MQP．根据三角形外角的性质可得到∠MAN+∠AMQ=∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，从而可得到∠AFQ=∠AMQ=60°（即α=60°）；（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，由此可得A、M、F、Q四点共圆，根据圆周角定理可得∠AFM=∠AQM=60°．在Rt△OGF中运用三角函数可求得OF=，在Rt△MHF中运用三角函数可得=．设HF=x，则MH=x，OH=﹣x．在Rt△OHM中运用勾股定理可求出x，从而可得OH，MH，就可得到点M的坐标．【解答】解：（1）如图1，∵∠MOP=60°，∴∠MAP=30°．∵∠MAQ=60°，∴∠QA P=30°．∵AP是⊙O的直径，∴∠AQP=90°，∴∠APQ=60°，即α=60°．故答案为60；（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2．由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60°，∴∠AMN=∠QMP．在△AMN和△QMP中，，∴△AMN≌△QMP，∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ，∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，∴∠AFQ=∠AMQ=60°，∴α的度数为60°；（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，∴A、M、F、Q四点共圆，∴∠AFM=∠AQM=60°．∴在Rt△MHF中，tan∠HFM==．在Rt△OGF中，sin∠OFG==，∵OG=1，∴OF=．设HF=x，则MH=x，OH=﹣x．在Rt△OHM中，由勾股定理可得：（﹣x）2+（x）2=12，解得x1=x2=，∴OH=﹣=，MH=，∴点M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．故答案为（，）或（﹣，﹣）．【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、四点共圆的判定、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，在△OMF中求出OF及∠OFM是解决第（3）小题的关键．23．（2015秋•平谷区期末）探究活动：利用函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）如图2，他列表描点画出了函数y=图象的一部分，请补全函数图象；解决问题：设方程﹣x﹣b=0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2﹣3x+2=x+B的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜，则x1、x2、x3、x4的大小关系为（用“＜”连接）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据二次根式的性质，列出不等式，解之即可；（2）由于x≤1或x≥2，所以函数图象应该是两条分支，根据对称性，补全另一分支即可；（3）将方程的根转化为两函数图象交点的横坐标，作出函数图象，一目了然．【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x﹣2）≥0，∴x≤1或x≥2；（2）根据自变量x的取值范围可知，当x≥2时也有对应的函数图象，补全后的函数图象如下图所示：（3）方程﹣x﹣b=0等价于方程=x+b，方程的两根x1、x2相当于函数y=与函数y=x+b图象的两个交点的横坐标，方程x2﹣3x+2=x+b的两根为x3、x4，相当于函数y=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）与函数y=x+b 图象的两个交点的横坐标，又∵1＜b＜，所以，在同一平面直角从标系中，画出函数图象，如图所示：故x1＜x3＜x4＜x2．【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围、函数图象的画法、函数图象的交点问题，题目新颖，但难度不大．第（3）问体现了化归与转化的数学思想，将方程与函数巧妙地结合在一起，方程的根转化为函数图象交点的横坐标，利用数形结合，将看似抽像的问题变得形像化了，从而使问题解决起来变得容易．24．（2015秋•宜兴市校级期末）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于B（﹣2，0），C（4，0）两点，点E是对称轴l与x轴的交点．（1）求二次函数的表达式；（2）若在x轴上方的P点为抛物线上的动点，且∠BPC为锐角，直接写出PE的取值范围．（3）T为y轴上一动点，且∠BPC=30°，求T点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将B、C坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可确定该抛物线的解析式．（2）此题应该结合圆周角定理来理解，以E为圆心，BC为半径作圆，交抛物线于M、N两点，那么∠BMC=∠BNC=90°，若∠BEC是锐角，那么点E必在M、N之间的函数图象上，当P 位于M或N得位置时，PE=3，当P位于抛物线的顶点时，PE的值为抛物线顶点纵坐标，由此可求得PE的取值范围；（3）先作出等边三角形BCD，再结合圆周角定理来理解，以D为圆心，BC为半径作圆，和y轴交于点T，最后借助矩形的性质和垂径定理即可求出点T的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于B（﹣2，0），C（4，0）两点，∴，∴，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+8，（2）如图，以E为圆心，BC长为直径作圆，交抛物线于M、N两点；由圆周角定理知：∠BMC=∠BNC=90°，此时ME=NE=BC=3；若∠BPC是锐角，那么点P必在M、N之间的抛物线图象上，故PE＞3；易知抛物线的顶点坐标为：（1，9），当点P运动到抛物线的顶点位置时，PE的长最大，且此时PE=9；综上可知，PE的取值范围为：3＜PE≤9．（3）如图2，以BC为边在x轴上方作等边三角形，交直线l于点D，再以点D为圆心BC为半径画圆，交y轴的正半轴于点T，由圆周角定理知，∠BTC=∠BDC=×60°=30°，在等边三角形BCD中，BC=6，∴DE=BC=3，过点D作DF⊥y轴于F，∴四边形OEDF是矩形，∴OF=DE=3，由垂径定理，得，OT=2OF=6，∴T（0，6），由对称性可知，T'（0，﹣6），即：T为y轴上一动点，且∠BPC=30°时，T点的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、圆周角定理、矩形的性质，等边三角形的性质；涉及的知识点较多，综合性强，难度较大，解本题的关键是借助圆周角定理作出辅助线，也是解本题的难点．。