2019中考数学高分一轮复习教材同步复习第四章三角形课时18解直角三角形及其应用权威预测
(广西专用)2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第21讲 解直角三角形及其应
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角的度数
• 2．特殊 三角函数值
30° 45° 60°
角的三角 函数
sinα
1
2
3
2
2
2
cosα
3
2
1
2
2
2
tanα
3 3
1
3
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知识点二 解直角三角形的实际应用 1．解直角三角形的有关概念 (1)定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程就是解直 角三角形． (2)依据：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c， 则①边角关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab；②三边之间的关系：a2＋b2＝c2；③三 角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C.
先 利 用 平 行 线 的 性 质 得 ∠ MCA ＝ ∠ CAD ＝ 15° ， 再 利 用 平 角 的 定 义 计 算 出 ∠ACB＝105°，然后根据三角形内角和计算∠ABC的度数．
【解答】由题意可知∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋15°＝45°， ∠MCA＝∠CAD＝15°， ∴∠ACB＝180°－∠MCA－∠BCN＝180°－15°－60°＝105°， 在△ABC 中，∠ABC＝180°－∠BCA－∠BAC＝180°－105°－45°＝30°.
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• 类型2 方位角问题 • 例2(2018·钦州二模)王亮同学要测量广场内被
湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，它在A 处测得B在A的北偏西30°方向，他从A处出发 向北偏东15°方向走了200米到达C处，这时 测得大树B在C的北偏西60°的方向．
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2019年人教版中考数学《第4章第4节解直角三角形》复习课件
【点拨】
本题考查的是解直角三角形，正确作出辅助线构造直角
三角形，将所求的线段“化整为零”是解题的关键，求解时要牢牢把握 好直角三角形中边角关系的运用．
三、解直角三角形的应用
【例 4】
(2018·鄂州 )如图，我国一艘海监船在南海海域进行常态
化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘可疑船只 正在向正东方向航行，我海监执法船沿北偏东75°方向前往监视巡查， 经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．
一、锐角三角函数
【例 1】 (2018· 无锡 ) 如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上 ( )
一动点，正方形EFGH的顶点G，H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则
tan∠AFE的值 3 A．等于 7 3 B．等于 5 4 C．等于 5 D．随点 E 位置的变化而变化
【解析】 ∵EF∥AD，∴∠AFE＝∠FAG，∵EH⊥AD，CD⊥AD， EH ∴∠AHE＝∠ADC＝90° ， 又∠HAE＝∠DAC， ∴△AEH∽△ACD， ∴ CD AH EH 3 ＝ AD ，∴AH＝ ，设 EH＝3x，AH＝4x，∴HG＝GF＝3x，∴tan∠AFE 4 GF 3x 3 ＝tan∠FAG＝AG＝ ＝ . 4x＋ 3 x 7
【答案】
3 A 1 ＝ .∴∠A＝60° .∴sin ＝sin 30° ＝ . 2 2 2
1 【答案】 2 【点拨】 三个特殊角 (30° ， 45° ， 60°) 的三角函数值必须熟
记，在解直角三角形中经常要用到 ，同时，安徽中考常将特殊角的三角 函数值融合到计算题中考查．
二、解直角三角形 3 【例 3】 (2018· 自贡)如图，在△ABC 中，BC＝12，tan A＝ ，∠B 4 ＝30° ，求 AC 和 AB 的长．
精品学习2019中考数学一轮复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第20讲 解直角三角形及其
第一部分 第四章 第20讲
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．若AC ＝5，BC ＝2.则sin ∠ACD 的值为( C )
A ．52
B ．255
C ．
53 D ．23 2．李明周末去博古书城买书，发现书城所在的大楼的楼顶有一面大约4 m 高的旗帜(如图所示)，于是他想利用所学知识测量下书城所在大楼的高度，李明在楼前空地上的点D 处，用1.6米高的测角仪CD 从点C 测得旗帜的底部B 的仰角为35°，然后向大楼方向走了5米到达点F 处，又从点E 测得旗帜的顶部A 的仰角为45°.已知点A ，B ，M 在同一直线上，CD ⊥DM ，EF ⊥DM ，请根据以上数据，求这座大楼的高度BM .(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.结果精确到0.1 m)．
解：过点C 作CN ⊥AM 于点N ，则点C ，E ，N 在同一直线上，
答图
设BN ＝x 米，则AN ＝x ＋4(米)，
在Rt △AEN 中，∠AEN ＝45°，
∴EN ＝AN ＝x ＋4，
∴CN ＝CE ＋EN ＝5＋x ＋4＝x ＋9，
在Rt △BCN 中，∠BCN ＝35°，
∴tan ∠BCN ＝BN CN ，则x x ＋9＝tan35°，
解得x≈21，
∴BM＝BN＋NM＝21＋1.6＝22.6(米)．故这座大楼的高度BM大约是22.6米．。
中考数学一轮复习课件解直角三角形及其应用
知识点1 锐角三角函数
1.锐角三角函数的定义
图示
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一个锐角
正弦
∠A的正弦：sinA＝①
余弦
∠A的余弦：cosA＝②
正切
∠A的正切：tanA＝③
解：过点C作CD⊥AB于点D.
根据题意，得∠BAC＝90°－60°＝30°，∠DBC＝90°－30°＝60°.
∵∠DBC＝∠ACB＋∠BAC，
∴∠ACB＝30°＝∠BAC，
∴BC＝AB＝60 km.
∴这艘船继续向东航行安全.
图1
图2
（1）求索道AB的长；（结果精确到1 m）
答：水平距离AF的长约为1 049 m.
（2）求水平距离AF的长.（结果精确到1 m）
答：
1.tan45°的值为（ B ）
A.2
B.1
C.
D.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB的值为（ C ）
A.
B.
C.
D.
B
C
巩固训练
3.（2023·铜仁模拟）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x m到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（ B ）
A.cosA＝
B.tanB＝
C.tanA＝
D.sinA＝
D
1
1
知识点2 解直角三角形
三边关系
a2＋b2＝⑨ c2
两锐角关系
∠A＋∠B＝⑩ 90°
边角关系
sinA＝cosB＝⑪ ；cosA＝sinB＝⑫ ；tanA＝⑬
(广西专用)2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第21讲 解直角三角形及其应
∵∠A＝90°，∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝400 (m)，
∴AD＝AB＝200m，
∴S△ABD＝AB·AD＝×200×200＝20 000(m2)，
∵∠CMB＝90°，∠CBD＝54°，
∴CM＝BC·sin54°≈300×0.809＝242.7 (m)，
A．15海里B．30海里
C．45海里D．30海里
7．(2017·百色10题3分)如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是(A)米/秒．
A．20(＋1)B．20(－1)
答：标语牌AB的高度约为2.5米．
解：∵点A在点B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D.
∵∠BCD＝45°，BD⊥CD，
∴BD＝CD.
在Rt△BDC中，∵cos∠BCD＝，BC＝60海里，
即cos45°＝＝，解得CD＝30海里，
∴BD＝CD＝30海里．
在Rt△ADC中，∵tan∠ACD＝，
即tan60°＝＝，解得AD＝30海里．
C．200D．300
8．(2018·北部湾经济区16题3分)如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是40m.(结果保留根号)
9．(2017·贺州22题8分)如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命迹象C处与地面的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41,≈1.73)
安徽省中考数学总复习第一轮中考考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第18讲解直角三角形试题
第18讲解直角三角形1．（2016·亳州模拟)如果一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为( C )A。
错误! B.错误! C.错误! D.错误! 2．(2016·芜湖南陵县模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线,已知CD＝2，AC ＝3，则sinB的值是（ A )A。
错误! B。
错误! C。
错误! D。
错误!3．（2016·乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ C )A．sinB＝错误! B．sinB＝错误!C．sin B＝错误! D．sinB＝错误!4．(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝错误!，则tanB的值为（ D ）A.错误!B.错误! C。
错误! D。
错误! 5．（2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线）,测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（ A ）A。
错误!米 B。
错误!米 C。
错误!米 D。
错误!米6．(2016·白银）如图,点A(3，t）在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α,tanα＝错误!,则t的值是错误!．7．（2016·岳阳）如图,一山坡的坡度为i＝1∶错误!,小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了100米．8．（2016·灵璧县模拟）某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹,组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆，渡江战役纪念馆实物如图1所示．某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图2，经查资料，获得以下信息:斜坡AB的坡比i＝1∶3，BC＝50 m，∠ACB＝135°.求AB及过A 点作的高是多少?（结果精确到0。
中考数学复习讲义课件 第4单元 第18讲 等腰三角形与直角三角形
(4)如图 3，若∠A＝36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：AD＝BC．
图3 [分析]根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，根据角平分线的定 义得到∠ABD＝∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，根据等腰三角形的判定即 可得到结论．
(2)写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系，并说明理由． 解：∠BEC＋∠BDC＝110°. 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β. 在△ABE 中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE. ∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝α. ∴∠ABC＝∠ABE＋α＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE. 在△BDC 中，∵BD＝BC，∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋ 2∠ABE ＝ 180 ° . ∴ β ＝ 70 ° － ∠ABE. ∴ α ＋ β ＝ 40 ° ＋ ∠ABE ＋ 70° － ∠ABE＝110°，即∠BEC＋∠BDC＝110°.
18．(2021·包头)某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧选定 C，D 两个观测点，如图．测得 AC 长为322km，CD 长为34( 2 ＋ 6)km，BD 长为32km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°(A，B，C，D 在 同一水平面内)．
(1)求 A，D 两点之间的距离； 解：过 A 作 AE⊥CD 于 E， 则∠AEC＝∠AED＝90°. ∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°. ∴CE＝12AC＝34 2，AE＝ 3CE＝34 6. ∴DE＝CD－CE＝34( 2＋ 6)－34 2＝34 6.
中考数学高分一轮复习教材同步复习第四章三角形课时18解直角三角形及其应用权威预测
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题第一部分 第四章 课时181．在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AD 是∠BAC 的平分线，交边BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，则tan ∠EDC ＝( A)A ．43B ．34C ．55D ．35【解析】∵AD 是∠BAC 的角平分线，DB ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴BD ＝DE ，∴AE ＝AB ＝3.根据勾股定理可得AC ＝5, ∴EC ＝AC －AE ＝2. 在Rt △DEC 中，设DE ＝x ，则DC ＝4－x ，根据勾股定理可得，DE 2＋EC 2＝DC 2，即x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝32， ∴tan ∠EDC ＝EC ED ＝232＝43. 2．某湖中间有一棵树，不乘船不易到达．有一天，小华和小军两个人带着测倾器和皮尺想测量这个湖的岸边到这棵树的距离．测量方法如下：如图，首先，小华站在A 处，用测倾器测得树顶端M 点的仰角为26°，此时测得小华的眼睛距地面的高度AB 为1.7米，然后，小华在A 处蹲下，用测倾器测得树顶端M 点的仰角为28°，这时测得小华的眼睛距地面的高度AC 为1米．请你利用以上测得的数据，计算此湖岸边与树之间的距离AN 的长．(结果精确到1米)(参考数据：sin26°≈0.438 4，cos26°≈0.898 8，tan26°≈0.487 7，sin28°≈0.469 5，cos28°≈0.883 0，tan28°≈0.531 7)解：如答图，过点B 作BD ⊥MN ，过点C 作CE ⊥MN ，垂足分别为D ，E .答图设AN＝x米，则BD＝CE＝x米．在Rt△MBD中，MD＝x·tan26°，在Rt△MCE中，ME＝x·tan28°.∵ME－MD＝DE＝BC，∴x·tan28°－x·tan26°＝1.7－1＝0.7，∴x＝0.7tan28°－tan26°≈16(米)．答：此湖岸边与树之间的距离AN的长约为16米．。
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第一部分 第四章 课时
18
1．在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AD 是∠BAC 的平分线，交边BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，则tan ∠EDC ＝( A
)
A ．43
B ．34
C ．55
D ．35
【解析】∵AD 是∠BAC 的角平分线，DB ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴BD ＝DE ，∴AE ＝AB ＝3.根据勾股定理可得AC ＝5, ∴EC ＝AC －AE ＝2. 在Rt △DEC 中，设DE ＝x ，则DC ＝4－x ，根据勾股定理可得，DE 2＋EC 2＝DC 2，即x 2＋22＝(4－x )2，
解得x ＝32
， ∴tan ∠EDC ＝EC ED ＝232＝43
. 2．某湖中间有一棵树，不乘船不易到达．有一天，小华和小军两个人带着测倾器和皮尺想测量这个湖的岸边到这棵树的距离．测量方法如下：如图，首先，小华站在A 处，用测倾器测得树顶端M 点的仰角为26°，此时测得小华的眼睛距地面的高度AB 为1.7米，然后，小华在A 处蹲下，用测倾器测得树顶端M 点的仰角为28°，这时测得小华的眼睛距地面的高度AC 为1米．请你利用以上测得的数据，计算此湖岸边与树之间的距离AN 的长．(结果精确到1米)(参考数据：sin26°≈0.438 4，cos26°≈0.898 8，tan26°≈0.487
7，sin28°≈0.469 5，cos28°≈0.883 0，tan28°≈0.531 7)
解：如答图，过点B 作BD ⊥MN ，过点C 作CE ⊥MN ，垂足分别为
D ，
E .
答图
设AN ＝x 米，则BD ＝CE ＝x 米．
在Rt △MBD 中，MD ＝x ·tan26°，
在Rt △MCE 中，ME ＝x ·tan28°.
∵ME－MD＝DE＝BC，∴x·tan28°－x·tan26°＝1.7－1＝0.7，∴x＝0.7
tan28°－tan26°
≈16(米)．答：此湖岸边与树之间的距离AN的长约为16米．。