高数上 练习题
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上）一．选择题1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭10．设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．()21ln dxx x =+⎰.三．计算 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分xxe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分）1．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》习题1参考答案一．选择题1．B 4．C 7．D 10．C 二．填空题 1．2- 2．33- ３．arctan ln x c + 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ()1x ex C --++四．应用题１． 18S =《高数》习题2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》习题2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=-3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》习题3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.《高数》习题3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰《高数》习题4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21ln e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e +二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0 三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e- ； 四、1、38；《高数》习题5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e xcos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分⎰e edx x 1ln ；四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 四、1、 29；。
(完整版)高数上册练习题
上册练习题、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1 设f ( x) cos x (x sin x ),则在x 0处有().(A) f(0)2(B) f(0)1(C) f(0)0(D) f（X）不可导.c 设(x) 12. 1X，(x) 3 33x，则当x 1时(X)(A) (x)与（x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B ) (X)与(X)是等价无穷小；（C）（X）是比（x）高阶的无穷小；（D）（X）是比（x）高阶的无穷小.X3.若F（X）0（2t x）f（t）dt，其中心）在区间上（1,1）二阶可导且f（x）0 ，则（）.（A）函数F（x）必在x 0处取得极大值；（B）函数F（x）必在x 0处取得极小值；（C）函数F（x）在x 0处没有极值，但点（0，F（0））为曲线y F（x）的拐点；（D）函数F（x）在x 0处没有极值，点（0，F（0））也不是曲线y F（x）的拐点。
4设12 0f(t)dt ,则f (x)(（D）x 2.4分，共16分）二、填空题（本大题有4小题，每小题2叫13x)sin x已知C0SX是f（X）的一个原函数6. x I r cosx 则f(x) d xx2 2 2lim — (cos cos L7. n n n n1cos3 ) n8. 2 2x arcs in x 1 -- dx 丄"x2210.f （X）是连续函数，且 f （X）2 2——2（A）2（B）2（C）x二、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40 分）9.设函数y y（x）由方程" sin( xy) 1确定，求y（x）以及y（°）.求1x(1 x7)dx.四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点 M(X 0,y 0)处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线x X 。
所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y ln x 的切线，该切线与曲线y ln x 及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x )在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q [0，1]，q1f (x) d x q f (x)dxf ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 设函数f(x)在0，上连续，且0证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f (°f ( 2)0.(提xF(x) f(x)dx示：设11.12. 13.设 f (x)xe、、2x 2"x ， 设函数f (x )连续,g (x )并讨论g (x )在xg(x)0 x 11f (xt)dt3 f(x)dx .求微分方程xy 2 y，且x0处的连续性.xlnx 满足y (1)lim 0 空Ax ，A 为常数.求 19的解.解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、 填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 COSX 26 -( ) C5. e .6. 2 x .7. 2 .8. 3 三、 解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.解：方程两边求导e x y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0、1 (x 1)2dx0 2： _cos d (令 x 1 sin )'2y(x)e x y ycos(xy) e x yx cos(xy) 0 y(0)10.解： u7x 7x 6dx 原式 1 (1u)du7 u(1 u) 1 尹|u|2ln |u 1 ,|x 7 2ln |訥|10,yx du1|) c x 7| C(- u 1 7 031—)duu 111.解:3 f(x)dxxe xdx12.解: -2e 34 由 f (°)g(x) 1f (xt )dt知 g (0) 0。
高级高数练习题
高级高数练习题1. 求函数\( f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} \)的极限：解析：可以将函数进行分解为\( f(x) = x+1 + \frac{2}{x-1} \)，当\( x\to1 \)时，第一项趋于2，第二项趋于正负无穷大，所以该函数在\( x=1 \)处不存在极限。
2. 求函数\( f(x) = \frac{|x|}{x} \)的极限：解析：当\( x>0 \)时，函数可化简为\( f(x) = 1 \)，当\( x<0 \)时，函数可化简为\( f(x) = -1 \)，当\( x\to0 \)时，两种情况的极限都不存在。
3. 求函数\( f(x) = \lim_{{n\to\infty}} (1+\frac{x}{n})^n \)的极限：解析：可以利用自然对数的极限性质，将函数转化为\( f(x) = e^x \)，所以当\( n\to\infty \)时，\( f(x) \)的极限为\( e^x \)。
4. 求函数\( f(x) = \lim_{{n\to\infty}} \sin^2(\pi nx) \)的极限：解析：可以利用泰勒公式将\( \sin^2(\pi nx) \)展开，得到：\( f(x) = \lim_{{n\to\infty}} \sin^2(\pi nx) = \lim_{{n\to\infty}} (\pi^2 n^2 x^2 - \frac{(\pi nx)^4}{3!} + O(x^6)) \)。
当\( n\to\infty \)时，\( f(x) \)的极限为\( \pi^2 x^2 \)。
5. 求函数\( f(x) = \frac{2x^3-3x^2-36x+1}{x^2-1} \)的导数：解析：可以将函数进行分解为\( f(x) = 2x - 3 + \frac{-33}{x-1} + \frac{-3}{x+1} \)，根据导数的求导法则，函数的导数为\( f'(x) = 2 - \frac{-33}{(x-1)^2} - \frac{-3}{(x+1)^2} \)。
高数练习题答案
高数练习题一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x}$2. 讨论函数$f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$在$x = 1$处的连续性。
3. 若$\lim_{x \to 0} f(x) = a$，$\lim_{x \to 0} g(x) = b$，求$\lim_{x \to 0} [f(x) + g(x)]$。
二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) $y = x^3 3x^2 + 2x$(2) $y = \sqrt{1 + x^2}$(3) $y = \ln(\sin x)$2. 设$f(x) = e^{2x} \sin x$，求$f'(x)$。
3. 求函数$y = \arctan \frac{1}{x}$在$x = 1$处的微分。
三、中值定理与导数的应用1. 验证函数$f(x) = x^3 3x$在区间$[1, 1]$上满足罗尔定理。
2. 设$f(x) = x^4 4x^2 + 4$，求证：存在$x_0 \in (0, 1)$，使得$f'(x_0) = \frac{f(1) f(0)}{1 0}$。
3. 求函数$y = x^3 3x^2 9x + 5$的单调区间。
四、不定积分与定积分1. 计算下列不定积分：(1) $\int (3x^2 2x + 1)dx$(2) $\int e^x \sin x dx$(3) $\int \frac{1}{x^2}dx$2. 计算定积分：(1) $\int_{0}^{1} (x^2 + 2x)dx$(2) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$(3) $\int_{1}^{e} \ln x dx$3. 求曲线$y = x^3$与直线$y = x$所围成的图形的面积。
高数练习题
函数、极限及连续练习题一、单选题1、当0x →时，sin x x -是比2x （ ）。
A 、较低阶的无穷小B 、较高阶的无穷小C 、等价的无穷小D 、同阶但非等价无穷小2、下列等式成立的是（ ）。
A 、20sin lim 1x x x →= B 、20sin lim 1x x x →= C 、0sin lim1x x x →= D 、sin lim 1x x x→∞= 3、函数1arctan y x =-是（ ）A 、单调增加且有界函数B 、单调减少且有界函数C 、奇函数D 、偶函数 4、当0x →时，2tan x 及x 比较是（ ）。
A 、等价无穷小B 、同阶无穷小C 、较高阶的无穷小D 、较低阶无穷小5、设11y x =-，则1x =是函数y 的 A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点6、当0x →时，()2sin x x +及x 比较是（ ）。
A 、较高阶的无穷小B 、较低阶无穷小C 、等价无穷小D 、同阶无穷小7、当0x →时，a = ） A 、a 是比2x 高阶的无穷小 B 、a 是比2x 低阶的无穷小 C 、a 及2x 是同阶但不等价的无穷小 D 、a 及2x 是等价的无穷小8、函数(()ln ,y x x x R =∈是（ ）。
A 、偶函数B 、奇函数C 、非奇非偶函数D 、不能确定9、已知当0x →时，()12311ax +-及cos 1x -是等价无穷小，则a 的值为（ ）。
A 、32-B 、32C 、1D 、1410、若()0lim x x f x →存在，则（ ）。
A 、()f x 有界B 、()f x 在0x 的某空心邻域内有界C 、()f x 无界D 、()f x 在0x 点有定义11、函数x xx xe e y e e---=+的反函数是（ ）。
A、(ln ,y y R ∈ B 、11ln,21yy R y+∈- C 、()()()11ln 1ln 1,1,122y y y +--∈- D 、,y y y ye e y R e e --+∈- 12、函数21arcsin7x y -=的定义域为（ ）。
高数第一册习题及答案
高数第一册习题及答案第一章初等函数及其图形练习1.1 初等函数及其图形一. 确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数:x,xf(x),a，a 1. (); a,0x,xx,x，，，，，，？f,x,a，a,fx？fx,a，a解: 为偶函数.1,xf(x),ln2.; 1，x1，x1,x1,x解: ，，, ，，，，为奇函数. ？fx,ln？f,x,ln,,ln,,fx1，x1,x1，x23. f(x),ln(x，1，x)122，，，，，，，，？f,x,ln,x，1，x,ln,,lnx，1，x,,fx解: , 2x，1，x 2为奇函数. ，，，，？fx,lnx，1，x二. 设f(sinx),3,cos2x,求f(cosx)。
22，，，，？fsinx,3,cos2x,2，2sinx？fcosx,2，2cosx解: ,f(x)，,x,0,x,0三.设f(x)在(0,)上定义, 。
求证: 若单调上升,则12xf(x，x),f(x)，f(x)。
1212fx，，，，fx，，，，，，？gx，x,gx,解: 令gx,, ？单调上升, 121xx ，，，，，，gx，x,gx x,x,0, 故12212，，，，，，，，，，，，，，fx，x,x，xgx，x,xgx，x，xgx，x,xgx，xgx 1212121122121122，，，，,fx，fx. 12f(x),arccosx,g(x),sinxf(g(x)),g(f(x))四. 设,试求复合函数的定义域和值域,并作图。
，，，，，，，，,,fgx,arccossinxD,,,.，,R,0,,解: , , ，，，，，，,,,,gfx,sinarccosxD,,1,1R,0,1, , .,x,1,x,0,,0xx,,f(x), , 求复合函数。
五.设(),f(g(x)),g(f(x))gx,,2,x,x,0xx,0,,,x,1,,1,x,0,,,1,,0xx,,2，，，，，，gfx,,1，x,x,,1,解: , fgx，，，，,,2x,1,x,0,2,,x,x,0,第二章极限与连续2.1 数列极限一. 填空:n,12,n|x,1|,,x,1.设,对于任意的正数,当大于正整数[,1]时, ,所以N,nnn，1, ,4n|x,1|,10;当大于正整数19.999时, 。
高数第一章练习题
B. f ( x ) 在 x0 点的极限值不一定存在 D. f ( x ) 在点 x0 必连续 ）
21、若函数 f ( x ) 在某点 x0 函数值存在，则（ A. f ( x ) 在 x0 点的极限值必存在
B. 如果 f ( x ) 在 x0 点的极限值存在，则极限值必等于函数值
C. f ( x ) 在 x0 点连续 D. 如果 f ( x ) 在 x0 点的连续，则 f ( x ) 在 x0 点的极限值必存在且等于函数值 22、 lim f ( x ) = lim f ( x ) 是 f ( x ) 在 x0 处连续的（
1、求极限 lim
x ®3
x -3 x2 - 9
2、.求极限 lim
x ®3
x 2 - 7 x + 12 x2 - 2 x - 3
2 1 ) 2 1- x 1- x
8x3 - 1 3、求极限 lim 2 1 x® 6 x - 5 x + 1
2
4、求极限 lim(
x ®1
5、求极限 lim (
x ®-2
）
D. 跳跃间断点
x4 + x3 +1 的间断点是（ x 2 - 3x + 2 B. - 1 , 2
D. - 1 , - 2
30、若函数 f ( x ) 连续，则下列命题正确的有（ A. f ( x ) 一定有最大值 C. 有界
B. f ( x ) 一定有最小值 D. 若 f ( x ) 在闭区间连续，则 f ( x ) 在该区间有界
7、变量 y =
2
9、已知函数 f ( x ) = 3 x cos a x ，则 f ( x ) 是当 x ® 0 时的无穷_____________量 10、当 x ® 0 时,无穷小量 ln(1 + x ) 与 b sin
高数第一章函数练习题
第一章 函数一. 单项选择题1.1设xx x f )1ln()(2+=，则=-)(x e f ( ); (A) )1ln(2x x e e+- (B) )1ln(2x x e e -+ (C) )1ln(2x xe e --+ (D) )1ln(2x x e e + 1.2 函数)1ln()(2x x xf -+=为( )；(A) 奇函数 B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既是奇函数又是偶函数1.3 如果函数)(x f 的定义域为],2,1[则函数]ln 1[x f -的定义域为（ ）（A ）]2ln 1,1[- （B ）(0,1] （C ）],1[e （D ）]1,1[e1.4 如果函数xx f -=11)(,求=)]([x f f （ ） （A ）x x 1- （B ）x x 1+ （C ）1-x x （D ）1+x x 1.5 下列函数为偶函数的是（ ）（A ）x x sin 3- （B ）x x （C ）)cos(sin x （D ）x x cos sin +1.6下列函数为奇函数的是（ ）（A ）x x sin 2+ （B ）)sin(cos x （C ）)cos(sin x （D ）x x 1.7 函数y =的定义域为（ ）； （A ）(1,1)- （B ）(1,)+∞ （C ）(,1)-∞- （D ）(,1)(1,)-∞-⋃+∞1.8下列函数为奇函数的是（ ）（A ）2sin x （B ）2sin x （C ）1-x x （D ）2cos x 1.9设函数xx f -=11)(, 则=)]([x f f ( )； A. x x 1- B. x x 1+ C. 1-x x D. 1+x x 1.10函数11x x e y e -=+是 ( )； A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．无法判断1.11 周期函数1+cos 2x π周期为( )(A) 2π (B) 2 (C) 4 (D) π1.12 下列函数（ ）不是周期函数(A)2sin y x = (B)2sin y x = (C)cos(2)y x =- (D)arctan(tan )y x = 1.13 函数2xx e e -+为( )(A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 周期函数1.14 函数2xx e e --为( )(A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 周期函数1.15 设函数()21f x x x +=+，则f(x)=（ ）A. x (x+1) B ．x (x-1)C. (x+1) (x-2) D ．(x-1) (x+2)1.16 设函数)(x f 的定义域为]4 ,1[ ，则函数)()(2x f x f + 的定义域为 ( );(A) ]4 ,1[ (B) ]2 ,1[ (C) ]2 ,2[- (D) ]2 ,1[]1 ,2[Y --1.17 若1)(3+=x x f ，则=+)1(3x f ( );(A) 13+x (B) 26+x (C) 29+x (D) 233369+++x x x1.19 己知函数)(x f 的定义域为()0 ,1-,则下列函数中( )的定义域为()1 ,0 ;(A) )(x f - (B) )1(x f - (C) )1(x f + (D) )1(2-x f1.20 )0( 1)1(2>++=x x x xf ，则=)(x f ( ) (A) )0( 12>++x x x (B) )0( 112<++x x x(C) )0( 112>++x x (D) )0( 112>++x x x二. 填空题1.21．如果函数)(x f 的定义域为],1,0[则函数)(xe f 的定义域为 ;1.23 函数y =+的定义域为1.25 函数29)1ln(x x y --=的定义域为1.26 设,12cos )(sin +=x x f 则=)(x f1.27设,2)(+=x e x f ,))((2x x f =ϕ则=)(x ϕ1.29 设)1ln()(,43)(2x x x x x f +=+=ϕ,则 ))((x f ϕ的定义城为1.30如果函数)(x f 的定义域为],1,0[则函数)(xe f 的定义域为三. 计算题与证明题 1.31求函数,21111)(22⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=x x x x x f 的定义域，并作该函数图形. 1.32设)(x f 是定义在对称区间内的任意一个函数，证明： 2)()()(x f x f x F --=为奇函数，2)()()(x f x f x G -+=为偶函数.( 提示：利用奇、偶函数的定义 1.33 证明：定义在对称区间内的任何函数均可表为一个奇函数与一个偶函数之和.。
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一、填空题（共7小题，每小题2分，共14分）1. 当0x →时，1tan 1sin x x +-+是x 的k 阶无穷小，则k = ____。
2. 函数x x y ln 22-=的单调减区间是 ______，单调增区间是______ 3.=-⎰dx x 121 ______________4. =⎰dt t dx x22sin ____________________5. 222222lim()12n n nnn n n n→∞+++=+++___________ 6. 设常数0k >，则ln ()xf x k x=+在内(0,)+∞的零点个数为 ______ 7. 函数ln(1)y x =-的带佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式为 ____________________________________。
二、单项选择题（共8小题，每小题2分，共16分 1. 设函数20()ln(12)()xf x t dtg x x =+=⎰，，则当0x →时，()()f x g x 是的（ ）A 等价无穷小；B 同阶但非等价的无穷小；C 高阶无穷小；D 低阶无穷小。
2. 设函数21sin 0()0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()0f x x =在处（ ）A 不连续；B 连续但不可导 ；C 连续且可导；D 可导且导函数连续。
3.函数()x f x xe =的1n +阶导数)()1(x fn + ( )A 在)1(+-=n x 处取极大值B 在)1(+-=n x 处取极小值C 在)2(+-=n x处取极大值 D 在)2(+-=n x 处取极小值4.半径为1的半球形水池已装满水，要将水全部吸出水池，需做功为( ) A12(1)g y dyρπ-⎰；B120g y dy ρπ⎰；C12(1)g y y dy ρπ-⎰； D130g y dy ρπ⎰5.下列反常积分发散的是( )Adx xx e⎰1ln 1 Bdx xx e⎰+∞2ln 1C dx xx e⎰+∞3ln 1D 11ln edx x x⎰6. 设()0f x x =在的某邻域内连续，2()(0)0lim 1x f x f x →==且，且，则()0f x x =在处（ ）（A ）不可导 （B ）可导且(0)0f '≠ （C ）有极大值 （D ）有极小值 7.下列等式中错误的是（ ） A ()()df x f x C =+⎰ B ()()f x dx f x '=⎰C()()df x dx f x dx =⎰D [()]()d f x dx f x dx =⎰ 8.设11,0()ln(1),0x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+≤⎩，则0x =时是()f x 的（ ）A 可去间断点；B 跳跃间断点；C 第二类间断点；D 连续点。
三、计算题（共4小题，每小题6分，共24分）1.2lim arctan xx x π→+∞⎛⎫⎪⎝⎭2. 12012lim sin 1xx x x e e x e →⎛⎫-- ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭3.设函数()y y x =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+==.1ln arctan 2t y t x 确定，求22dx yd 4.已知函数)(x y y=由方程012=-++x xy e y 确定，求)0(''y四、计算题（共3小题，每小题6分，共18分）1．设xxx f sin )(sin 2=, 求⎰dx x f )(.2.dx e x ⎰3. 设曲线C 的极坐标方程为3sin 3θa r =，求曲线C 的全长．五、证明题（共1小题，每小题8分，共8分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(上可导，且0)1()0(==f f ，121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 。
证明：（1）存在()0,1ξ∈，使得ξξ=)(f ；（2）对于任意实数λ，必存在),0(ξη∈，使得1])([)(=--'ηηληf f 。
六、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）1. 设()f x 在[0,1]上连续，且0()lim1x f x x→=,0(),0()0,0x f x dx x F x xx ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰. 求()F x 的导数,并讨论()F x '的连续性 .2、过原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D （1） 求D 的面积A（2） 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V一、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）1. 当0x →时，1tan 1sin x x +-+是x 的k 阶无穷小，则k = ____。
0.52. 函数x x y ln 22-=的单调减区间是 ______，102(,)单调增区间是______12+∞(,) 3.=-⎰dx x 121 ______________14π 4. =⎰dt t dx x22sin ____________________()422sin sin x x x dx -5. 222222lim()12n n nnn n n n →∞+++=+++___________ 4π6. 设常数0k >，则ln ()xf x k x=+在内(0,)+∞的零点个数为 ______1 7. 函数ln(1)y x =-的带佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式为____________________________________。
23311ln(1)()23x x x x o x -=---+二、单项选择题（共8小题，每小题2分，共16分 1. 设函数20()ln(12)()xf x t dtg x x =+=⎰，，则当0x →时，()()f x g x 是的（ ）AA 等价无穷小；B 同阶但非等价的无穷小；C 高阶无穷小；D 低阶无穷小。
2. 设函数21sin 0()0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()0f x x =在处（ ）CA 不连续；B 连续但不可导 ；C 连续且可导；D 可导且导函数连续。
3.函数()x f x xe =的1n +阶导数)()1(x fn + ( ) DA 在)1(+-=n x 处取极大值B 在)1(+-=n x 处取极小值C 在)2(+-=n x处取极大值 D 在)2(+-=n x 处取极小值4.半径为1的半球形水池已装满水，要将水全部吸出水池，需做功为( ) CA12(1)g y dyρπ-⎰；B120g y dy ρπ⎰；C12(1)g y y dy ρπ-⎰； D130g y dy ρπ⎰5.下列反常积分发散的是( ) D Adx xx e⎰1ln 1 Bdx xx e⎰+∞2ln 1C dx xx e⎰+∞3ln 1D 11ln edx x x⎰6. 设()0f x x =在的某邻域内连续，2()(0)0lim 1x f x f x →==且，且，则()0f x x =在处（ ）D（A ）不可导 （B ）可导且(0)0f '≠ （C ）有极大值 （D ）有极小值 7.下列等式中错误的是（ ）B A ()()df x f x C =+⎰ B ()()f x dx f x '=⎰C()()df x dx f x dx=⎰ D [()]()d f x dx f x dx =⎰ 8.设11,0()ln(1),0x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+≤⎩，则0x =时是()f x 的（ ）BA 可去间断点；B 跳跃间断点；C 第二类间断点；D 连续点。
三、计算题（共4小题，每小题6分，共24分）1.2lim arctan xx x π→+∞⎛⎫⎪⎝⎭解 原式xarcatnx x arv x x ππππππ--+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2.tan 2arctan 21lim其中 x x x ππ-+∞→arctan 2limxx x ππ-=+∞→arctan 2lim所以 原式π2-=e2. 12012lim sin 1xx x x e e x e →⎛⎫-- ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：12021lim sin 1x x x x e e x e +→⎛⎫-- ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭120021lim lim sin 1xx x x x e e x e ++→→⎛⎫-- ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭2120021lim lim011sin 1xx x x x x e e e x e ++--→→-⎛⎫⎛⎫-- ⎪=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭1001(lim ;lim )xx x e x++→→=+∞=+∞12021lim sin 1x x x x e e x e -→⎛⎫-- ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭120021lim limsin 1xx x x x e e x e --→→⎛⎫-- ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭211-= 1001(lim ;lim 0)x x x e x --→→=-∞=所以原式=13.设函数()y y x =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+==.1ln arctan 2t y t x 确定，求22dx yd 解 221,11t t dt dy t dt dx +=+= ； t t t tdxdy =++=22111 再求导，22221111t t dxyd +=+=4.已知函数)(x y y =由方程012=-++x xy e y 确定，求)0(''y解 方程两边对x 求导，02''=+++x xy y y e y得 02'''')'(''2=+++++xy y y y e y e y y令0=x ，得0)0(',0)0(==y y ，故2)0(''-=y四、计算题（共3小题，每小题6分，共18分）1．设xxx f sin )(sin 2=, 求⎰dx x f )(. 解 令x u 2sin =，得u x arcsin =,xxx f arcsin )(=.x d x dx x f ⎰⎰=arcsin2)(=C x x x +--12arcsin 22.dx e x ⎰解 令x t =，原式⎰=dt te t2C e te t t +-=22C ex exx+-=22 3. 设曲线C 的极坐标方程为3sin 3θa r =，求曲线C 的全长．解：曲线3sin3θa r =一周的定义域为πθ≤≤30，即πθ30≤≤．因此曲线C 的全长为()()()()322s r r d πθθθ'=+⎰3262420sin sin cos 333a a d πθθθθ=+⎰323sin 32a d a πθθπ==⎰五、证明题（共1小题，每小题8分，共8分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(上可导，且0)1()0(==f f ，121=⎪⎭⎫⎝⎛f 。