高三数学一轮复习 第三章第一节课时知能训练 理 (广东专用)
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课时知能训练一、选择题1. 如果角α的终边经过点 R — 1,0）,则下列函数值不.存在的是（1A. Sin αB . CoS αC tan αD-tan α 1X【解析】 根据定义，当y = 0时， 一=y 无意义. tan α y【答案】 DI. α α ISin —I ICoS —I2.若α是第三象限角，则 y = + 的值为（ ）ααSin — cos —A. 0 B . 2 C . — 2 D . 2 或—2【解析】 T a 是第三象限角，是第二或第四象限角,a当2为第二象限角时，y = 1+ （— 1） = 0；a当■—为第四象限角时，y =— 1 +1 = 0. ∙°∙ y = 0. 【答案】 B4. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为A.才B.2∏C. .3D. 2【解析】 设圆的半径为 R 由题意可知：圆内接正三角形的边长为 ∙圆弧长为寸3R∙该圆弧所对圆心角的弧度数为打I R= . 3. 【答案】 C5.已知角 a 的终边经过点（3 a — 9, a + 2）,且CoS a ≤ 0, Sin a >0,则实数a 的取 值范围是（ ）【答案】 A3.已知角 a 的终边经过点（'3,—1),则角a 的最小正值是（ 2π 11 π 5 π 5 π A. - B. C. D.3 6 63 a XT【解析】 r = ; ,'3 2+— 12= 2,则 CoS又由题意知 a 是第四象限角，)(一R.∙. a 的最小正值11π~6~A. ( — 2,3] C. [ — 2,3)【解析】 τ CoS a ≤ 0, Sin ∙角a 的终边落在第二象限或3a — 9≤ 0,• • — 2V a ≤ 3.a +2> 0,B. ( — 2,3) D [ — 2,3]a > 0, y 轴的非负半轴上.2 ,π I① α ∈ (0 ,—)时，a + cos a > 1 ；π I② a ∈ (0 , )时，Sin a V cos a ；45 π 3 π③ a ∈( , ^^)时，Sin a > cos a . 其中判断正确的序号是 ________ (将正确的都填上). 【解析】 由三角函数的几何意义，作出 a 的三角函数线，可知①②正确.【答案】 ①② 三、解答题9.已知角 θ的终边上有一点 RX , — 1)( x ≠0),且tan θ =— x ,求Sin 的值.【解】 τ θ的终边过点(X , — 1)( x ≠ 0),且tan θ =— x .1• ∙ tan θX , Xθ + cos θ∙ X? = 1 ,∙x =±1.X于cos.2~2 ,因此 Sin θ + cos 当 X =— 1 时，θ = 0. θvcos弋υJX图 3—1 — 26. (2012 •丰台模拟)如图3— 1 — 2所示，在平面直角坐标系 Xoy 中，角α 一 4位圆交于点 A, A 的纵坐标为二，则CoS a = .5 4【解析】 设点A ( X o ,)，由a 在第~象限，知 X o V 0.524 2 3 又 X o +(5)= 1 ,Λ X O =— 5，3 根据三角函数定义，cos a =— 5.【答案】—3537. 若 cos θ =—匸，tan θ > 0,贝U Sin θ =5 ---------3 【解析】 由 cos θ =— V 0, tan θ > 0,5.∙. θ是第三象限的角，Sin θ V 0.因此 Sin θ = — *...*1 — cos θ = — 5.4【答案】 —45 &下列3个命题中: 【答案】 A :■、填空题的终边与单因此Sin θ + CoS θ =—:2.10.如图3— 1 —3所示，在扇形AoB中，∠ AoB= 90°, 的面积•【解】设扇形半径为R内切圆半径为r,由弧长公式I =Π^R,得R= 2-.①2 π又∙∙∙F= (1+ ：2)r,2I 2 ,；2— 1I π12一8 i2 I2 所以内切圆的面积S=π r2=11. (2011 •福建高考)设函数f( θ)=可Sin 原点重合，始边与X轴非负半轴重合，终边经过点(1)若点P的坐标为(1, -23),求f (θ)的值;X + y≥ 1,(2)若点P(x, y)为平面区域Ω: x≤ 1,y ≤ 1, 范围，并求函数f ( θ)的最小值和最大值. -IL：= I ,求此扇形的内切圆θ + cos θ ,其中，角θ的顶点与坐标RX, y),且0≤ θ ≤∏.上的一个动点，试确定角θ的取值Sin【解】(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得cos于是f ( θ ) = ：：：［3Sin θ + cos θ = ：3X屮 + 2 = 2.卩/CO A(2)作出平面区域Ω(即三角形区域AB(C如图所示，其中I=Iπ是0≤ θ ≤mA(1,0) , B(1,1) , C(0,1),于π 一∏π 2 π又 f ( θ ) = I 3sin θ + cos θ = 2sin( θ + ―),且—≤ θ + "6≤ -3"6 6 6 3故当Θ+π6=_2,即Θ=nn时，f（Θ）取得最大值，且最大值等于2. 当θ+∏=∏,即Θ = 0时，f（Θ）取得最小值，且最小值等于 1.6 6因此f（θ）的最大值是2,最小值为1.。
高三数学一轮复习 选修45第二节课时知能训练 理 (广东专用)
一、选择题1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( )A ．s ≥tB ．s >tC ．s ≤tD ．s <t【解析】 ∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .【答案】 A2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝an bn ＋1，其中a ，b 均为正数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n ＞a n ＋1B ．a n ＜a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值有关【解析】 a n ＋1－a n ＝a n ＋1b n ＋1＋1－an bn ＋1＝abn ＋b ＋1bn ＋1∵a ＞0，b ＞0，n ＞0，n ∈N *，∴a n ＋1－a n ＞0，a n ＋1＞a n .【答案】 B3．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ≤4，则有( )A.1ab ≥12 B.1a ＋1b ≥1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤14【解析】 4≥a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤2.∴1ab ≥12，1a ＋1b ≥21ab ≥1. 【答案】 B4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法判断【解析】 ∵0<x <1，∴1＋x >2x ＝4x >2x ，∴只需比较1＋x 与11－x 的大小，∵1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x <0，∴1＋x <11－x .因此c ＝11－x 最大．【答案】 C5．已知a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为( )A ．5B ．7C ．9D ．11【解析】 把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得到a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋cb ＋a ＋b ＋cc＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋bc )≥3＋2＋2＋2＝9.【答案】 C二、填空题6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b (a ＞0，b ＞0且a ≠b )，则A ，B 的大小关系是________． 【解析】 法一 (比较法)A －B ＝a －b 22ab a ＋b ＞0(a ＞0，b ＞0，a ≠b )． 法二 A ＞1ab ，B ＜1ab，故A ＞B . 【答案】 A ＞B7．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1的图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．【解析】 易得a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，∴c n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， c n 随n 的增大而减小，∴c n ＞c n ＋1.【答案】 c n ＞c n ＋18．以下三个命题：①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；②若a 、b ∈R，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23，其中正确命题的序号是________． 【解析】 ①|a |－|b |≤|a －b |＜1，所以|a |＜|b |＋1；②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |，所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③|x |＜2，|y |＞3，所以1|y |＜13，因此|x ||y |＜23. ∴①②③均正确．【答案】 ①②③三、解答题9．设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.【证明】 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0.故3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2成立．10．已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b. 【证明】 由已知1b －1a＞1，及a ＞0，可知b ＞0， 要证1＋a ＞11－b ， 可证1＋a ·1－b ＞1，即证1＋a －b －ab ＞1，这只需证a －b －ab ＞0，即a －b ab ＞1，即1b －1a ＞1， ∵1b －1a＞1已知． 故原不等式1＋a ＞11－b 成立．11．(2011·安徽高考)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .【证明】 (1)由于x ≥1，y ≥1，则x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2，将上式中右式减左式得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)，由x ≥1，y ≥1易知(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 即原不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy ，则所证不等式可化为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，由1≤a ≤b ≤c 知x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1， 由(1)知所证不等式成立．。
高三数学一轮复习 第三章第三节课时知能训练 理 (广东专用)
课时知能训练一、选择题1．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调增区间是( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－34π，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋34π)，k ∈Z【解析】 由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z，得k π－34π＜x ＜k π＋π4，k ∈Z.【答案】 C2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]【解析】 f (x )＝(sin x ＋12)2－54，又－12≤sin x ＋12≤32，∴0≤(sin x ＋12)2≤94，∴f (x )的值域为[－54，1]．【答案】 C3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R)，下面结论错误．．的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数【解析】 ∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，∴T ＝2π，在[0，π2]上是增函数，图象关于y 轴对称．所以y ＝－cos x 为偶函数． 【答案】 D4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]【解析】 ∵f (x )＝2sin(x －π3)的增区间为[2k π－π6，2k π＋5π6](k ∈Z)，∴当x ∈[－π，0]的增区间为[－π6，0]．【答案】 D 5．(2012·珠海模拟)设函数f (x )＝sin πx ，若对任意的x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12【解析】 f (x )的最小正周期T ＝2， 对x ∈R，恒有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)， 则f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，∴|x 1－x 2|的最小值为半个周期，则|x 1－x 2|min ＝1. 【答案】 C 二、填空题6．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．【解析】 y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝2sin(2x ＋π4)＋1≥1－ 2.故f (x )的最小值是1－ 2. 【答案】 1－ 27．(2012·汕头模拟)已知函数f (x )是以5为周期的奇函数，f (－3)＝4且cos α＝12，则f (4cos 2α)＝________.【解析】 由cos α＝12，得4cos 2α＝4(2cos 2α－1)＝－2，∴f (4cos 2α)＝f (－2)＝f (3)＝－f (－3)＝－4. 【答案】 －48．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．【解析】 易知f (x )＝12sin 2x ，∴③，④正确，①，②错误．【答案】 ③④ 三、解答题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．【解】 (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2. 由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z. 又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵x ∈[0，π12]，∴2x ＋π6∈[π6，π3]，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.10．(2011·天津高考)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)．(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos 2α，求α的大小．【解】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，得x ≠π8＋k π2.k ∈Z.所以f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠π8＋k π2，k ∈Z}．f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)＝2cos 2α，得tan(α＋π4)＝2cos 2α，∴sin α＋π4cos α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，则sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)，∴2α＝π6，α＝π12.11．(2012·深圳调研)已知函数f (x )＝23sin x ·cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．【解】 (1)f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin(2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin(2x 0＋π6)．又因为f (x 0)＝65，所以sin(2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]．从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin22x 0＋π6＝－45.所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin(2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.。
高三数学(文)一轮复习知能训练广东专用版课时知能训练7-4
课时知能训练一、选择题1．已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是() A．a∥α，b⊂αB．a∥α，b∥αC．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．(2012·佛山质检)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．04．下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a C．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b、c、d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件图7－4－105．如图7－4－10，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的．．．．是()A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台二、填空题6．过三棱柱ABC—A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有________条．7．(2012·广州模拟)如图7－4－11，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．图7－4－11图7－4－128．如图7－4－12，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为________．(1)AC⊥BD；(2)AC∥截面PQMN；(3)AC＝BD；(4)异面直线PM与BD所成的角为45°.三、解答题图7－4－139．如图7－4－13，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，试问：平面AMN与平面EFDB有怎样的位置关系？并证明你的结论．10．如图7－4－14所示，正三棱柱ABC—A1B1C1，AA1＝3，AB＝2，若N为棱AB的中点．图7－4－14(1)求证：AC1∥平面NB1C；(2)求四棱锥C1－ANB1A1的体积．图7－4－1511．(2011·北京高考)如图7－4－15，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP.(2)求证：四边形DEFG为矩形．(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．答案及解析1．【解析】 由平行公理知C 正确，A 中a 与b 可能异面．B 中a ，b 可能相交或异面，D 中a ，b 可能异面．【答案】 C2．【解析】 A 中，l ⊂α，得不到l ⊥α，A 为假命题．由线面垂直的性质，知m ⊥α，B 为真命题．C 中 ，l ∥m 或l 与m 异面，C 是假命题．D 中l 与m 相交、平行或异面，为假命题．【答案】 B3．【解析】 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l 、m . ②中l 与m 也可能异面．③中 ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γl ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，正确．【答案】 C4．【解析】 若两个平面平行，则一条直线与这两个平面所成的角相等，但是一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行或相交，故D 错误．【答案】 D5．【解析】 ∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥B 1C 1，∴EH ∥平面BB 1C 1C .由线面平行性质，EH ∥FG .同理EF ∥GH .且B 1C 1⊥面EB 1F .由直棱柱定义知几何体B 1EF —C 1HG 为直三棱柱，∴四边形EFGH 为矩形，Ω为五棱柱．【答案】 D6．【解析】如图，E、F、G、H分别是A1C1、B1C1、BC、AC的中点，则与平面ABB1A1平行的直线有EF，GH，FG，EH，EG，FH共6条．【答案】 67．【解析】设BC1∩B1C＝O，连结OD，∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.【答案】 18．【解析】∵PQMN是正方形，∴MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥平面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故(1)(2)正确．又∵BD∥MQ，∴异面直线PM与BD所成的角即为∠PMQ＝45°，故(4)正确．【答案】(3)9．【解】平面AMN∥平面EFDB.证明如下：∵MN∥EF，EF⊂平面EFDB，MN⊄平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.又AM∥DF，同理可证AM∥平面EFDB.∵MN⊂平面AMN，AM⊂平面AMN，且MN∩AM＝M，∴平面AMN∥平面EFDB.10．【解】(1)证明法一如图所示连结BC1和CB1交于O点，连结ON. ∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴O为BC1的中点．又N为棱AB中点，∴在△ABC1中，NO∥AC1，又NO⊂平面NB1C，AC1⊄平面NB1C，∴AC1∥平面NB1C.法二如图所示取A1B1中点M，连结AM，C1M，∵N是AB中点，∴AN綊B1M，∴四边形ANB1M是平行四边形，∴AM∥B1N，∴AM∥平面CNB1，同理可证C1M∥平面CNB1.∵AM∩C1M＝M，∴平面AMC1∥平面CNB1.∴AC1∥平面CNB1.(2)∵ANB1A1是直角梯形，AN＝1，A1B1＝2，AA1＝3，，∴四边形ANB1A1面积为92∵CN⊥平面ANB1A1，∴CN的长度等于四棱锥C1－ANB1A1的高，∴四棱锥C1－ANB1A1的体积为332.11．【证明】(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC. 又因为DE⊄平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连结DF，EG，设Q为EG的中点．如图所示．由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝12EG.分别取PC，AB的中点M，N，连结ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12EG，所以Q为满足条件的点．。
高三数学一轮复习 第三章第六节课时知能训练 理 (广东专用)
一、选择题1．已知函数f (x )＝cos 2(π4＋x )－cos 2(π4－x )，则f (π12)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32【解析】 f (x )＝cos 2(π4＋x )－sin 2(x ＋π4)＝－sin 2x ，∴f (π12)＝－sin π6＝－12.【答案】 B2．(2012·揭阳检测)已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝45，则cos α的值为( )A.4－3310 B.4＋3310 C.43－310 D.43＋310【解析】 ∵0＜α＜π2，∴π6＜α＋π6＜23π，由cos(α＋π6)＝45，得sin(α＋π6)＝35，∴cos α＝cos[(α＋π6)－π6]＝cos(α＋π6)cos π6＋sin(α＋π6)sin π6＝43＋310.【答案】 D3．已知sin α＋cos α＝15且π2＜α＜π，则cos α2的值是( )A ．－35B ．－55 C.55 D.255【解析】 由sin α＝15－cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简，25cos 2α－5cos α－12＝0，解得cos α＝45或cos α＝－35.又π2＜α＜π，∴cos α＜0，cos α2＞0. 因此cos α＝－35，且cos α＝2cos 2α2－1， ∴cos α2＝1＋cos α2＝55. 【答案】 C4．已知α，β∈(0，π2)，tanα21－tan2α2＝32，且2sin β＝sin(α＋β)，则β的值为( )A.π6B.π4C.π3D.5π12【解析】 由tanα21－tan 2α2＝32，得tan α＝ 3.∵α∈(0，π2)，∴α＝π3.所以2sin β＝sin(π3＋β)＝32cos β＋12sin β.∴tan β＝33，β＝π6. 【答案】 A 5．已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)．若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值为( )A.13B.27C.17D.23【解析】 由a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，得sin α＝35.又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.【答案】 C 二、填空题6．如果α∈(π2，π)，且sin α＝45，那么sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝________.【解析】 ∵sin α＝45，π2＜α＜π，∴cos α＝－35，因而sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π2)＝2cos α＝－325.【答案】 －3257．(2012·湛江质检)sin 235°－12sin 20°的值是________．【解析】 原式＝2sin 235°－12sin 20°＝－c os 70°2sin 20°＝－12.【答案】 －128．(2012·佛山调研)已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin θ＋π4的值为________．【解析】 原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，由tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π＜2θ＜2π，∴π2＜θ＜π，∴tan θ＝－12，因此原式＝3＋2 2. 【答案】 3＋2 2 三、解答题9．求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.【解】 原式＝(2sin 50°＋si n 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°)·2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10° ·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10°＝22[sin 50°cos 10°＋sin 10°cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝ 6.10．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x (x ∈R)．(1)当x 取什么值时，函数f (x )取得最大值，并求其最大值．(2)若θ为锐角，且f (θ＋π8)＝23，求tan θ的值．【解】 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)，(1)当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z)时，函数f (x )取得最大值，其值为 2.(2)∵f (θ＋π8)＝23，∴2sin(2θ＋π2)＝23，∴cos 2θ＝13.又∵θ为锐角，即0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π，∴sin 2θ＝1－cos 22θ＝223. ∴tan θ＝sin θcos θ＝2sin θcos θ2cos 2θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝22. 11．(2012·肇庆质检)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C.(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin(4B ＋π3)的值．【解】 (1)证明 由正弦定理，及AC AB ＝cos Bcos C，得sin B sin C ＝cos B cos C， ∴sin B cos C －sin C cos B ＝0，于是sin(B －C )＝0. 又B 、C ∈(0，π)，因此－π＜B －C ＜π.从而B －C ＝0，所以B ＝C .(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13.又0＜2B ＜π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429，cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin(4B ＋π3)＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3＝42－7318.。
广东新高考数学理科一轮总复习课时练习1.1集合的含义与基本关系(含答案详析)
第一章会合与逻辑用语第 1 讲会合的含义与基本关系1． (2012 年广东 )设会合 U＝ {1,2,3,4,5,6}， M＝ {1,2,4} ，则 ?U M＝()A． U B．{1,3,5}C． {3,5,6}D． {2,4,6}2．(2014 年广东广州调研 )设会合 A＝ { x|x2－ 2x－ 3＝ 0} ，B＝ { x|x2＝ 1} ，则 A∪ B＝ () A． { －1}B． {1,3}C． { － 1,1,3} D ．R3． (2012 年陕西 )会合 M＝ { x|lgx>0} ， N＝{ x|x2≤ 4} ，则 M∩ N＝ ()A． (1,2) B ．[1,2) C． (1,2] D ． [1,2]2＋ y2＝1} ， B＝ {( x，y)|x，y 为4． (2011 年广东 )已知会合 A＝ {( x，y)|x，y 为实数，且 x实数，且 y＝ x} ，则 A∩B 的元素个数为 ()A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个5． (2014 年广东广州一模 ) 已知会合 A＝ x x∈Z，且3∈ Z ，则会合A中的元素个2－ x数为()A． 2 B．3 C．4 D． 56．(2012 年广东深圳一模 ) 设函数 f(x)＝lg(1 － x2)，会合 A＝{ x|y＝ f(x)} ， B＝{ y|y＝ f(x)} ，则图 K1- 1-1 中的暗影部分表示的会合为 ()图 K1- 1-1A． [－ 1,0]B． (－ 1,0)C． ( －∞，－ 1)∪ [0,1) D ．(－∞，－ 1]∪ (0,1)22y7． (2013 年广东江门一模)已知会合U＝R， A＝{ x|x ＋＝1}，B＝{ y|y＝x＋1，x∈ A}，则 (?U A)∩ (?U B)＝ ____________.8． (2012 年广东深圳一模)设 S 是实数集R 的非空子集，假如? a， b∈ S，有 a＋ b∈ S，a－ b∈ S，则称 S 是一个“和睦集”．下边命题为假命题的是()A．存在有限集S，S 是一个“和睦集”B a{ x|}都是“和睦集”．对随意无理数，会合x＝ka， k∈ZC．若 S1≠ S2，且 S1，S2均是“和睦集”，则S1∩ S2≠?D．对随意两个“和睦集”S1， S2，若 S1≠R， S2≠R，则 S1∪ S2＝R9． A＝ {1,2,3} ，B＝ { x∈R|x2－ ax＋b＝ 0， a∈ A， b∈ A} ，求 A∩ B＝ B 的概率．10．已知会合A＝ { x|x2－2x－ 3≤ 0，x∈R } ，B＝ { x|x2－ 2mx＋ m2－ 4≤0，x∈R，m∈R } ．(1)若 A∩B＝ [0,3] ，务实数m 的值；(2)若 A? ?R B，务实数m 的取值范围．第一章会合与逻辑用语第 1 讲会合的含义与基本关系1． C 2.C 3.C 4.C 5.C 6.D7． (－∞，－ 1)∪ (2，＋∞ )8．D分析：方法一：明显会合{0} 是和睦集，选项 A 为真命题；对随意无理数a， x1＝ k1a， x2＝ k2a， x1±x2＝ (k1±k2)a， k1±k2∈Z，因此会合 { x|x＝ ka，k∈Z } 都是“和睦集”，选项 B 为真命题；若S1≠ S2，且 S1， S2均是“和睦集”，明显0∈S1,0∈ S2，则 S1∩ S2≠ ?，选项 C 为真命题．应选 D.方法二：明显 S1＝ { x|x＝ 3k，k∈Z} ， S2＝ { x|x＝ 2k， k∈Z } 均是“和睦集”，且S1≠R，S2≠R，而 S1∪ S2≠R，选项 D 是假命题．应选 D.9．解：有序实数对 (a， b)的取值情况共有9 种，知足 A∩ B＝ B 的情况有：①(1,1)， (1,2)， (1,3) ， (2,2)， (2,3)， (3,3) ，此时 B＝?；② (2,1)，此时 B＝ {1} ；③ (3,2)，此时 B＝ {1,2} ．8因此 P(A∩ B＝ B)＝9.10．解： A＝{ x|－ 1≤ x≤ 3} ， B＝ { x|m－ 2≤ x≤ m＋ 2} ．(1)∵ A∩B＝ [0,3] ，m－ 2＝ 0，m＝2，∴∴m＝2.m＋ 2≥ 3，m≥1.故所务实数m 的值为 2.(2)?R B＝ { x|x<m－ 2 或 x>m＋2} ， A? ?R B，∴m－ 2>3 或 m＋ 2<－ 1.∴ m>5 或 m<－ 3.故实数 m 的取值范围是m>5 或 m<－ 3.。
高三数学一轮复习 第四章第一节课时知能训练 理 (广东专用)
一、选择题1．对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由a ＋b ＝0知道a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立． 由a ∥b 知a ＝λb ，λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立． 【答案】 A2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →⇒BD →∥AB →⇒A 、B 、D 三点共线． 【答案】 B3．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上【解析】 ∵CB →＝CP →＋PB →，又CB →＝λPA →＋PB →， ∴CP →＝λPA →，∴点P ∈AC . 【答案】 B4．(2012·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心， 又O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°. 【答案】 B5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 ∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0， ∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.【答案】 B 二、填空题6．若AB →＝3e 1，CD →＝－5e 1，且AD →与CB →的模相等，则四边形ABCD 是__________．【解析】 ∵AB →＝－35CD →，∴AB ∥CD ，且|AB |≠|CD |.【答案】 等腰梯形7．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线．【解析】 由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB →与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对． 【答案】 ①②8．如图4－1－3，在△ABC 中，图4－1－3点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．【解析】 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →， ∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2. 【答案】 2 三、解答题图4－1－49．(2012·肇庆质检)如图4－1－4所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．【解】 如题图所示，AP →＝AB →＋BP →，∵P 为BN 上一点，则BP ＝kBN →， ∴AP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →，因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811，则m ＝1－k ＝311.10．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R，t 为何值时，a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？ 【解】 设OA →＝a ，OB →＝tb ，OC →＝13(a ＋b )．若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λAC →，∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，∴tb －a ＝λ[13(a ＋b )－a ]．化简整理得，(23λ－1)a ＝(13λ－t )b.∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理得λ＝32且t ＝12.故当t ＝12时，a ，tb ，13(a ＋b )的终点在一直线上．11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC →|，则AM →，AN →都是单位向量．∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形．∴AQ 平分∠BAC ， ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。
高三数学一轮复习 442知能训练 文 (广东专用)
课时知能训练1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t ，(t 为参数)，则直线的斜率为________．2．(2012·中山调研)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，(α为参数)化成普通方程为________．3．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是________．4．过点M (2,1)作曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的方程为________．5．若P 是极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )的直线与参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝1＋cos 2θ(θ为参数，且θ∈R )的曲线的交点，则P 点的直角坐标为________．6．(2012·广州调研)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k＝________.7．在直角坐标系中圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)，若以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为________．8．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θy ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点有______个．9．(2012·揭阳模拟)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点M 的极坐标为________； (2)则直线AM 的参数方程为________．10．已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t ，(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)(θ为参数)．(1)圆C 的直角坐标方程是________； (2)直线l 和圆C 的位置关系是________．答案及解析1．【解析】 由参数方程，消去t ，得3x ＋2y －7＝0. ∴直线的斜率k ＝－32.【答案】 －322．【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α ①y －1＝sin α ②(α为参数)，①2＋②2得x 2＋(y －1)2＝1，此即为所求普通方程． 【答案】 x 2＋(y －1)2＝13．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ.消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0 依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)＞0. 解之得2－2＜b ＜2＋ 2. 【答案】 (2－2，2＋2)4．【解析】 由于曲线表示的是圆心在原点，半径为r ＝4的圆，所以过点M 的弦与线段OM 垂直，∵k OM ＝12，∴弦所在直线的斜率是－2，故所求直线方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0. 【答案】 2x ＋y －5＝05．【解析】 由题意知，直线的方程为y ＝3x ， 曲线的方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])，联立并解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23y ＝6，根据x 的取值范围应舍去⎩⎨⎧x ＝23y ＝6，故P 点的直角坐标为(0,0)． 【答案】 (0,0)6．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72.∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直． ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，k ＝－6.【答案】 －67．【解析】 消去α得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.【答案】 ρ＝4sin θ8．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010＜3， 所以直线与圆相交．所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意， 又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个．【答案】 29．【解析】 (1)∵M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)．(2)M 点的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋π6－1ty ＝3π6t(t 为参数)．【答案】 (1)(π3，π3) (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋π6－1t ，y ＝3π6t10．【解析】 (1)消去参数t ，得直线l 的方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin(θ＋π4)，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为： (x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2， 所以直线l 和⊙C 相交．【答案】 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)相交。
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一、选择题
1．如果角α的终边经过点P (－1,0)，则下列函数值不．存在的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan α D.
1
tan α
【解析】 根据定义，当y ＝0时，1tan α＝x
y
无意义．
【答案】 D
2．若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α
2
|
cos
α2
的值为( )
A ．0
B ．2
C ．－2
D ．2或－2 【解析】 ∵α是第三象限角， ∴α2
是第二或第四象限角， 当α2
为第二象限角时，y ＝1＋(－1)＝0； 当α
2
为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0.∴y ＝0. 【答案】 A
3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6 D.5π3 【解析】 r ＝
3
2
＋－1
2
＝2，则cos α＝x
r ＝
32
. 又由题意知α是第四象限角，
∴α的最小正值是11π
6
.
【答案】 B
4．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( ) A.π3 B.2π
3 C. 3 D. 2 【解析】 设圆的半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R . ∴圆弧长为3R .
∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3R
R
＝ 3.
【答案】 C
5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－2,3]
B ．(－2,3)
C ．[－2,3)
D ．[－2,3] 【解析】 ∵cos α≤0，sin α＞0，
∴角α的终边落在第二象限或y 轴的非负半轴上． ⎩
⎪⎨⎪⎧
3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 【答案】 A 二、填空题
图3－1－2
6．(2012·丰台模拟)如图3－1－2所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单
位圆交于点A ，A 的纵坐标为4
5，则cos α＝________.
【解析】 设点A (x 0，4
5
)，由α在第二象限，知x 0＜0.
又x 2
0＋(45)2＝1，∴x 0＝－35
，
根据三角函数定义，cos α＝－3
5
.
【答案】 －3
5
7．若cos θ＝－3
5
，tan θ＞0，则sin θ＝________.
【解析】 由cos θ＝－3
5
＜0，tan θ＞0，
∴θ是第三象限的角，sin θ＜0.
因此sin θ＝－1－cos 2
θ＝－45
.
【答案】 －4
5
8．下列3个命题中：
①α∈(0，π
2)时，sin α＋cos α＞1；
②α∈(0，π
4)时，sin α＜cos α；
③α∈(5π4，3π
2
)时，sin α＞cos α.
其中判断正确的序号是________(将正确的都填上)．
【解析】 由三角函数的几何意义，作出α的三角函数线，可知①②正确． 【答案】 ①② 三、解答题
9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．
【解】 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x .
∴tan θ＝－1
x
＝－x ，
∴x 2
＝1，∴x ＝±1.
当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22
， 因此sin θ＋cos θ＝0.
当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－2
2，
因此sin θ＋cos θ＝－ 2.
图3－1－3
10．如图3－1－3所示，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，＝l ，求此扇形的内切圆
的面积．
【解】 设扇形半径为R ，内切圆半径为r ，
由弧长公式l ＝π2R ，得R ＝2l
π
.①
又∵R
＝(1＋2)r ，∴r ＝R
1＋2
.②
由①②得r ＝2l π1＋2＝22－1l
π，
所以内切圆的面积S ＝πr 2
＝
12－82l
2
π
.
11．(2011·福建高考)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.
(1)若点P 的坐标为(12，3
2
)，求f (θ)的值；
(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x ≤1，
y ≤1，
上的一个动点，试确定角θ的取值
范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．
【解】 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝3
2
，cos θ＝1
2.
于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×
32＋1
2
＝2.
(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，于
是0≤θ≤π
2
.
又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)，且π6≤θ＋π6≤2π
3
.
故当θ＋π6＝π2，即θ＝π
3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2.
当θ＋π6＝π
6
，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.
因此f (θ)的最大值是2，最小值为1.。