湖南省衡阳市八中2019届高三上学期第三次月考试卷 数学(理)
【全国百强校】湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第三次月考数学(理)试题
C
）
D． {0,1,2,3} D ）
2．(原创)在复平面内，复数−������(2 + ������)对应的点位于（ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限
D． 第四象限 ）
3．已知平面 ，直线 m, n 满足 m , n , 则“ m / / n ”是“ m / / ”的（ D A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C． 必要不充分条件
（ ）
A.
3 2
B.
3 2
C.
1 2
D.
1 2
10.某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的 体积最小值为（
A.
）
C. 1 2 D.1
4
B.2
11.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的中点，F 是侧面 BCC1B1 内的动点， 且 A1F / / 平 面 D1 AE ,则 A1 F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值 t 构成的集合是（ ）
试卷第 3 页，总 4 页
21． （12 分）已知函数������(������) =
������+ln������ ������
，������(������) = ������������.
（1）求函数������(������)的单调区间； （2）当������ = 0时，������(������) ≤ ������(������)恒成立，求实数������的取值范围； （3）当������ = 1时，求证：当������ > 1时，(������ + 1) (������ + ������ ������ ) ������(������) > 2 (1 + ������).
2019年湖南省衡阳市第八中学高三上学期模拟检测数学(理)试题(详细解析)
于 E, F 两点，若 OE OA ，
OF OB ，（
, 0 ），则 的最小值为（
）
A. 2 3 7
B. 3 3 7
C. 3 2 3 7
D. 4 2 3 7
【答案】D
【解析】
由
A,M,D
三点共线可知，存在实数
t，使得
A. [3, 4]
B. (3, )
C. (, 4]
D. (3, 4]
【答案】D 【解析】 【分析】 化简集合 Q,根据集合的并集运算即可.
【详解】由题意得， P [0, 4] ， Q (3, 3) ， ∴ P Q (3, 4] ，故选 D.
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.
【详解】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率 p 30 3 ， 100 10
设军旗的面积为 S ，由题意可得：
S 112
3 10
，∴ S
3 10
112
363 10
mm2
.
本题选择 B 选项.
【点睛】本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题.
6.在 OAB 中， OA 4OC ， OB 2OD ， AD, BC 的交点为 M ，过 M 作动线 l 分别交线段 AC, BD
粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A. 726 mm2 5
B. 363 mm2 10
C. 363 mm2 5
3
D. 363 mm2 20
【答案】B
【解析】 【分析】
根据实验结果的古典概型概率，可知军旗面积与圆形金币面积的比值，即几何概型的概率，从而求解.
湖南省衡阳市2019届高三第三次联考(三模)数学(理)试题(解析版)
2019年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数i•z=1-2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合{x|2x＞2√2}={x|log12(x−a)＜0}，则实数a的值为（）A. 12B. 2 C. 32D. 13.若双曲线x2-ty2=3t的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）A. √2B. √62C. √3D. √64.已知某批电子产品的尺寸服从正态分布N（1，4），从中随机取一件，其尺寸落在区间（3，5）的概率为（附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827，P （μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545）（）A. 0.3174B. 0.2718C. 0.1359D. 0.04565.若sin(75°+α)=√23，则cos（30°-2α）=（）A. 49B. −49C. 59D. −596.著名的“3n+1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3n+1猜想，则输出的n为（）A. 5B. 6C. 7D. 87.已知正项等比数列{a n}满足a1-a2=8，a3-a4=2，若a1a2a3…a n=1，则n为（）A. 5B. 6C. 9D. 108.设两直线l1：x-2y-2=0与l2：ax+y+1=0垂直，则(xa +1x−√2)4的展开式中x2的系数为（）A. 12B. 3C. 52D. 729.函数f（x）=|x|+ax（其中a∈R）的图象不可能是（）A. B.C. D.10.已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为4√33，则a的值为（）A. √3B. 2√33C. 2√3D. √3211.已知函数f（x）=e x-（a-1）x-1（e为自然对数的底数），若∃x0∈（0，+∞），使得f（lg x0）＞f（x0）成立，则a的取值范围为（）A. (1,2)B. (1,+∞)C. [1,+∞)D. (2,+∞)12.已知点R（1，2），曲线C：y4=（px）2（p＞0）），直线m＞0，m≠2）与曲线C交于M，N两点，若△RMN周长的最小值为2，则p的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2，−1)，b⃗ =(λ，1)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则λ=______．14.如图，茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数，其中有一个被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则•的值为______15.若x，y满足约束条件{14x≤y≤4x0≤xy≤1，则z=2x+3y的最大值为______．16.已知数列{a n}满足对∀m，n∈N*，都有a m+a n=a n+m成立，a7=π2，函数f(x)=sin2x+4cos2x2，记y n=f（a n），则数列{y n}的前13项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2cosxsin(x−π3)+t的最大值为1．（1）求t的值；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，若a=2√2，三角形△ABC的面积为√3，且f(A)=√32，求b+c的值．18. 如图，四棱锥M -ABCD 中，AB =2DC ，∠CDA =∠DAB =90°，△MCD 与△MAD 都是等边三角形，且点M 在底面ABCD 的投影为O ． （1）证明：O 为AC 的中点；（2）求二面角D -MC -B 的余弦值．19. 某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程=x；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：鱼的重量（单位：百斤）20＜X ＜4040≤X ≤60 X ＞60 冲水机只需运行台数123若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2）…（x n ，y n ），其回归方程=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=∑x i n i=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，=y −x −．20.已知以椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点，短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点T(−1，√142)在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点T作圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴交于点E，过点E作直线l交椭圆C于M，N两点，点E关于y轴的对称点为Q，求△QMN面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x（ax2+x+a2）存在极大值与极小值，且在x=-1处取得极小值．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）-2x-m有两个零点，求实数m的取值范围．（参考数据：e≈2.71，√5≈2.236）22.已知直线l：{y=6−2tx=2+t(t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4ρ2+5ρ2cos2θ-36=0．（1）求曲线C的参数方程和直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点M作与l夹角为60°的直线，交l于点N，求MN的最小值．23.已知不等式2|x|-|2x-3|＞1的解集为A．（1）求A；（2）若m，n∈A，且m+n=4．证明：n2m−1+m2n−1≥8答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数i•z=1-2i，∴-i•i•z=-i（1-2i），z=-2-i，则复数z在复平面内对应的点（-2，-1）位于第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．根据指数函数与对数函数的性质，列方程求出a的值．本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线x2-ty2=3t的标准方程为：，所以a2=3t，b2=3，∴c2=3t+3=9，解得t=2，所以双曲线的离心率为：e===．故选：B．利用已知条件，列出方程，转化求解即可．本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由已知，得μ=1，σ=2，P（3＜X＜5）=P（μ+σ＜X＜μ-σ）=．故选：C．由已知可得μ=1，σ=2，再由P（3＜X＜5）=P（μ+σ＜X＜μ-σ）求解．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵，则cos（30°-2α）=-cos（150°+2α）=-[1-2sin2（75°+2α）]=-，故选：D．由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：a=10是偶数，a=5，n=1，a＞1否，a=5，a=5是奇数，a=16，n=2，a＞1．a=16是偶数，a=8，n=3，a=8是偶数，a=4，n=4，a＞1，a=4是偶数，a=2，n=5，a＞1，a=2是偶数，a=1，n=6，a＞1不成立，输出n=6，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．7.【答案】C【解析】解：正项等比数列{a n}满足a1-a2=8，a3-a4=2，可得=，∴q2=，q＞0，解得q=，代入a1-a2=8，可得a1=16，a1a2a3…a n=1，可得（a1a n）n=1，所以a1a n=1，a12q n-1=1，∴=1，解得n=9．故选：C．利用已知条件求出对比以及数列的首项，通过a1a2a3…a n=1，转化求出n的表达式，求解即可．本题考查数列的递推关系式以及等比数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．8.【答案】D【解析】解：∵两直线l1：x-2y-2=0与l2：ax+y+1=0垂直，∴•（-a）=-1，求得a=2．则==，故它的展开式中x2的系数为=，故选：D．利用两条直线垂直的性质，求得a的值，根据则=，利用通项公式求的它的展开式中x2的系数．本题主要考查两条直线垂直的性质，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=-x+在（-∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）=-x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是分类讨论，利用基本不等式和函数的单调性，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由三视图可知，几何体的直观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，底面都是的等腰直角三角形，高为a，所以体积为：，解得a=．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵lgx0＜x0；∴要满足∃x0∈（0，+∞），使f（lgx0）＞f（x0），则：函数f（x）为减函数或函数f（x）存在极值点；∵f′（x）=e x-（a-1）；x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0不恒成立，即f（x）不是减函数；∴只能f（x）存在极值点，∴f′（x）=0有解，即a-1=e x有解；∴a∈（2，+∞）；即a的取值范围为（2，+∞）．故选：D．可知lgx0＜x0，从而根据条件便可判断f（x）为减函数或存在极值点，求导数f′（x）=e x-a+1，从而可判断f（x）不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程a-1=e x有解，这样由指数函数y=e x的单调性即可得出a的取值范围．考查函数y=lgx和y=x图象的位置关系，减函数的定义，函数极值和极值点的定义，以及指数函数的单调性．12.【答案】B【解析】解：由题意得曲线C是由两抛物线y2=px和y2=-px构成，设MN与y轴交点为D，抛物线y2=-px的焦点为F，则△RMN的周长为2（MR+MD）=2（RM+MF-）≥2（RF-）=2，当M，R，F三点共线时取最小值，∴2-=2，∴p=6．故选：B．曲线C是由两抛物线y2=px和y2=-px构成，设MN与y轴交点为D，抛物线y2=-px的焦点为F，则△RMN的周长为2（MR+MD）=2（RM+MF-）≥2（RF-）=2，当M，R，F三点共线时取最小值，由此能求出p的值．本题考查利用抛物线定义对折线段和最值求解的转化，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是中档题．13.【答案】12【解析】解：；∵；∴；∴（λ+2）2=（2-λ）2+4；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出（λ+2）2=（2-λ）2+4，解出λ即可．考查向量坐标的加法和减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法．14.【答案】6【解析】解：乙的中位数为90，设•的值为x，所以90=，解得x=6，故填：6．乙的中位数为90，设•的值为x，则90=，可得x的值．通过茎叶图考查学生对中位数和平均数理解和简单的计算问题，属于基础题．15.【答案】7【解析】解：x，y满足约束条件，的可行域如图：z=2x+3y化为y=，点直线经过可行域的A（，2）时，在取得最大值：7．故答案为：7．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键之一，考查数形结合以及计算能力．16.【答案】26【解析】解：对∀m，n∈N*，都有a m+a n=a n+m成立，可令m=1即有a n+1-a n=a1，为常数，可得数列{a n}为等差数列，函数=sin2x+2（1+cosx），由f（x）+f（π-x）=sin2x+2（1+cosx）+sin2（π-x）+2（1+cos（π-x））=4，可得f（x）的图象关于点（，2）对称，a1+a13=a2+a12=…=a6+a8=2a7=π，f（a1）+f（a13）=f（a2）+f（a12）=…=f（a6）+f（a8）=4，f（a7）=2，可得数列{y n }的前13项和为4×6+2=26． 故答案为：26．由题意可得a n+1-a n =a 1，为常数，可得数列{a n }为等差数列，求得f （x ）的图象关于点（，2）对称，运用等差数列中项性质和倒序相加求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，考查数列的倒序相加求和，化简运算能力，属于中档题． 17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f(x)=2cosxsin(x −π3)+t =sin x cosx-√3cos 2x +t =12sin2x -√3×1+cos2x2+t =sin （2x -π3）+t -√32，…4分∵f （x ）的最大值为1，故t -√32=0，可得t =√32…5分（2）∵f(A)=√32，可得：sin （2x -π3）=√32，∵0＜A ＜π2，-π3＜2A −π3＜2π3， ∴2A −π3=π3，可得：A =π3，…7分由S =12bc sin A =√3，可得：bc =4，由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，…10分 可得：8=（b +c ）2-3bc ，∴b +c =2√5…12分 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求f （x ）=sin （2x-）+t-，由题意t-=0，可得t 的值． （2）由题意sin （2x-）=，结合范围0，-＜2A＜，可求A 的值，由三角形的面积公式可求bc 的值，由余弦定理即可解得b+c 的值． 本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】证明：（1）证法一：连结OA ，OC ，OD ，∵MO ⊥平面ABCD ，∴MO ⊥OA ，MO ⊥OB ，MO ⊥OC ，∴∠MOA =∠MOC =∠MOD =90°，∵△MCD 与△MAD 都是等边三角形， ∴MD =MC =MA ，又MO 为公共边， ∴△MOA ≌△MAD ≌△MOD ，∴OA =OC =OD ，即O 为△ACD 的外心， ∵∠ADC =90°，∴O 为AC 的中点．证法二：设AC 的中点为O ′，连结MO ′，DO ′， ∵MA =MC ，∴MO ′⊥AC ，∵△DAC 是直角三角形，∴O ′D =O ′C ，又MD =MC ，MO ′为公共边， ∴△MO ′D ≌△MO ′C ，∴∠MO ′D =∠MO ′C =90°， ∴MO ′⊥O ′D ，∵AC ∩O ′D =O ′，∴MO ′⊥平面ABCD ， 又MO ⊥平面ABCD ，而过一点有且只有一条直线与已知平面垂直， ∴O 是AC 的中点．解：（2）以O 为坐标原点，OC ，OD ，OM 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AD =2，则AB =4，OM =√2，D （0，√2，0），M （0，0，√2），C （√2，0，0），B （√2，−2√2，0）， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-√2，√2），DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√2，−√2，0），设平面DMC 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2y +√2z =0m⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√2y =0，令y =1，得m⃗⃗⃗ =（1，1，1）， MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（√2，0，−√2），CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2√2，0）， 设平面MCB 的法向量n ⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√2z =0n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2y =0，取x =1，得n⃗ =（1，0，1）， cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63． 由图知二面角D -MC -B 的平面角为钝角， ∴二面角D -MC -B 的余弦值为-√63．【解析】（1）法一：连结OA ，OC ，OD ，推导出MO ⊥OA ，MO ⊥OB ，MO ⊥OC ，从而△MOA ≌△MAD ≌△MOD ，由此能证明O 为AC 的中点．法二：设AC 的中点为O′，连结MO′，DO′，推导出△MO′D ≌△MO′C ，从而∠MO′D=∠MO′C=90°，进而MO′⊥平面ABCD ，再由MO ⊥平面ABCD ，能证明O 是AC 的中点．（2）以O 为坐标原点，OC ，OD ，OM 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-MC-B 的余弦值．本题考查线段中点的证明，考查二面角的平面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：（1）依题意，x −=5，y −=4，∑(51x i −x −)(y i −x −)=26．∴=∑(51x i −x −)(y i −y −)∑(51x i −x −)2=313，=y −-x −=4-313×5=3713，所以=313x +3713．当x =10时，=6713＞5，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利Y =5000，安装2台时，20＜X ＜40，Y =3000，p =15；X ≥40，Y =10000，p =45． ∴E （Y ）=15×3000+45×10000=8600，安装3台时，20＜X ＜40，Y =1000，p =15，；40≤X ≤60，Y =8000，P =35；X ＞60，Y =15000，P =15．∴E （Y ）=1000×15+8000×35+15000×15=8000． ∵8600＞8000，故应提供2台增氧冲水机．【解析】（1）求出，=5，，=26．代入公式即可．x=10时，求出估计值判断即可．（2）分三个方案分别计算盈利的期望，选择期望高者即可．本题考查了回归方程的求解，以及利用回归方程来作简单的预测，考查了方案的选择依据及合理的判断能力．属于中档题．20.【答案】解：（1）依题意可得b =c ，代入点T （-1，√142），可得1a 2+144b 2=1，又a 2=b 2+c 2，解得a =2√2，b =2， 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．（2）∵|OT |=3√22，|TA |=√(3√22)2−(√2)2=√102，以T 为圆心，|TA |为半径的圆T 的方程为（x +1）2+（y -√142）2=52，将圆T 与圆O 的方程相减可得2x -√14y +4=0，即直线AB 的方程为2x -√14y +4=0， 故E （-2，0），Q （2，0），设l ：x =my -2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），故△QMN 面积为S =12|EQ |（|y 1|+|y 2|）=2|y 1-y 2|=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2， 联立{x =my −2x 28+y 24=1，可得（m 2+2）y 2-4my -4=0，∴y 1+y 2=4m m 2+2，y 1y 2=−4m 2+2， ∴S =2√(4m m 2+2)2+16m 2+2=8√2⋅√m2+1m 2+2，令√m 2+1=t ，t ≥1，∴S =8√2t t 2+1=8√2t+1t≤8√22√t⋅1t=4√2，当t =1t ，即t =1时，S 取最大值为4√2， 故△QMN 面积的最大值为4√2．【解析】（1）依题意可得b=c ，代入点T （-1，），可得+=1，又a 2=b 2+c 2，解得a=2，b=2，即可求出椭圆方程，（2）先求出直线AB 的方程为2x-y+4=0，再根据韦达定理，弦长公式，可得三角形的面积，根据基本不等式即可求出．本题考查了椭圆方程的解法，两圆公共弦，三角形的面积，弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵函数f （x ）=e x （ax 2+x +a 2）存在极大值与极小值，且在x =-1处取得极小值，∴f ′（x ）=e x [ax 2+（2a +1）x +a 2+1]，依题意知f ′（-1）=0，解得a =0或a =1， 当a =0时，f ′（x ）=e x （x +1），x ＜-1时，f ′（x ）＜0，x ＞-1时，f ′（x ）＞0， 此时，f （x ）只有极小值，不符合题意． 当a =1时，f ′（x ）=e x （x +1）（x +2），经检验符合题意，综上，实数a 的值为1．（2）g （x ）=e x （x 2+x +1）-2x -m ，g ′（x ）=e x （x +1）（x +2）-2， 当x ＞0时，g ′（x ）＞0，故g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 当x ＜0时，令h （x ）=e x （x +1）（x +2）-2， 则h ′（x ）=e x （x 2+5x +5），h ′（x ）＞0，x ＜−5−√52，x ＞−5+√52，h （x ）单调递增，h ′（x ）＜0，−5−√52＜x ＜−5+√52，h （x ）单调递减，∵h （0）=0，h （-5+√52）=2+√5e 2+√52-2＜0，x ＜0时，g ′（x ）＜0，故g （x ）在（-∞，0）上单调递减， ∵g （x ）在R 上有两个零点，∴g （0）=1-m ＜0，∴m ＞1， 此时当x ＜0时，g （-m2）＞0，∴g （x ）在（-m2，0）有一个零点， 当x ＞0时，g （x ）＞x 2+x +1-2x -m =0，令x 0=1+√4m−32，∴g （x 0）＞0，∴g （x ）在（0，x 0）有一个零点，综上，实数m 的取值范围是（1，+∞）． 【解析】（1）f′（x ）=e x [ax 2+（2a+1）x+a 2+1]，f′（-1）=0，解得a=0或a=1，当a=0时，f′（x ）=e x （x+1），f （x ）只有极小值，不符合题意．当a=1时，f′（x ）=e x （x+1）（x+2），符合题意，由此能求出实数a 的值．（2）g （x ）=e x （x 2+x+1）-2x-m ，g′（x ）=e x （x+1）（x+2）-2，当x ＞0时，g′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增，当x ＜0时，令h （x ）=e x （x+1）（x+2）-2，则h′（x ）=e x （x 2+5x+5），利用导数性质能求出实数m 的取值范围．本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．22.【答案】解：（1）代入ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，可得9x 2+4y 2=36，即x 24+y 29=1，其参数方程为C ：{y =3sinϕx=2cosϕ，（φ为参数）， 直线l 的普通方程为2x +y -10=0．（2）设M （2cosφ，3sinφ），则M 到l 的距离d =|4cosφ+3sinφ−10|√5=|10−5sin(φ+γ)|√5，当sin （φ+γ）=1时，d 取最小值为√5，故|MN |的最小值为√5sin60°=2√153． 【解析】（1）代入ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，可得9x 2+4y 2=36，即+=1，其参数方程为C ：，（φ为参数），直线l 的普通方程为2x+y-10=0（2）设M ，求出M 到直线l 的距离，利用三角函数的性质求出最小值． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（1）解：当x ＞32时，不等式为：2x -2x +3＞1，不等式恒成立，故x ＞32；当0≤x ≤32时，不等式为：2x -3+2x ＞1，解得1＜x ≤32； 当x ＜32时，不等式为：-2x -3+2x ＞1，不等式无解， 综上，不等式的解集为（1，+∞），故A =（1，+∞）． （2）证明：∵m ，n ∈A ，∴m -1＞0，n -1＞0， ∵m +n =4，∴（m -1）+（n -1）=2， ∴2（n 2m−1+m 2n−1）=（n 2m−1+m 2n−1）[（m -1）+（n -1）]≥（√m−1⋅√m −1+√n−1⋅√n −1）2=（m +n ）2=16，∴n 2m−1+m 2n−1≥8．【解析】（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式； （2）不等式左边乘[（m-1）+（n-1）]，利用柯西不等式证明． 本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．。
湖南省衡阳市八中2019届高三上学期第三次(10月)月考数学(理)试题Word版含答案
湖南省衡阳市八中2019届上学期第三次（10月）月考高三数学（理）试题时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z 满足2iz =,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为 （ A ） A. 2- B. 2 C. 2i - D. 2i 2．“=6πα”是tan α=“”（ B ）条件。
A.必要不充分 B.充分不必要 C.充分必要 D. 既不充分也不必要 3.下列函数中,在区间(1,+¥)上为增函数的是( B ) A ．21x y =-+ B ．1xy x=- C ．12log (1)y x =- D ．2(1)y x =--4．已知正项数列{}n a 中，222121161,2,2(2),n n n a a a a a n a +-===+?则等于 ( D )A ．16B ．8 C．．45.若向量,3a b p 的夹角为，且2,a =1,b =则a a b 与+2的夹角为（ A ）A.6pB. 3p C. 23p D. 56p6．函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为 （ A ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<<-122022|x x x 或 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-122221|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<≤-220221|x x x 或 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<<-02222|x x x 且7. 在函数2222sin sin cos sin cos 3322x xy x y x y x y p p ==+=+=-、（)、（2)、中，最小正周期为p 的函数的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.设函数21()log ,21x f x x =+-定义121()()(),n n S f f f n n n-=+++其中n N ?，2n ³,则n S 等于（ C ）A.(1)2n n - B.21log (1)2n n --- C. 12n - D.21log (1)2n n -+- 9.已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ^.若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（ B ）A ．6B ．7C ．8D ．910.已知函数()sin()(,,f x A x A w j w j =+均为正的常数）的最小正周期为p ，当23x p=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ）A.(2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-11.已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间（0，1）内任取两个实数p,q,且p q ¹，不等式(1)(1)2f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ C ）A. (12,30]B.(,18]-?C. [18,)+?D.(12,18]-12．已知2()ln (01).x f x a x x a a a =+->?且若函数()1y f x t =--有三个零点，则t 的值为（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2±二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13.已知sin 2cos 0x x +=，则2sin 1x +=_____95___________. 14．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小树也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？题意是：”有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞之和，则n S =______11212nn --+________尺.15．已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈,若方程()f x m =有三个不同的实根,且从小到大依次成等比数列,则m 的值为___12-__________ . 16.已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x,y ÎR,都有()()()f x y xf y yf x =+g 成立。
湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高一上学期第三次考试数学试题(带答案)
湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高一上学期第三次考试-数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知{}35A x x =-<<，{}4B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}35x x -<<B ．{}5x x >C ．{}45x x <<D ．{}34x x -<< 2．下列结论中正确的是（ ）A ．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B ．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥C ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D ．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台3．函数()()1ln 2f x x x =--的零点所在的大致区间是（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6 4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D ¢是A B C '''V 中B C ''边上的一点，且D ¢离B '比D ¢离C '近，又//A D y '''轴，那么原ABC V 的AB 、AD 、AC 三条线段中（ ）A ．最长的是AB ，最短的是ACB ．最长的是AC ，最短的是AD C ．最长的是AD ，最短的是ACD ．最长的是AB ，最短的是AD5．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()22f x x x =+，则()2f -=（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．5-6．在一个长方体1111ABCD A B C D -中，已知6AB =，5BC =，14BB =，则从点A 沿表面到点1C 的最短路程为（ ）A ．55B ．137C ．313D ．15 7．设函数()1ln 1x f x x x-=+，则函数的图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．8．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）A ．21πB ．40πC ．41πD ．84π9．已知()()2log 4log 21a a a a -<-，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()2,3 D ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭10．设m ，n 是两条不同的直线α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若m α⊥，//n α，那么m n ⊥；（2）若m n ⊥，m α⊥，//n α，那么αβ⊥；（3）若//αβ，m α⊂，那么//m β；（4）若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，其中正确命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（1）（3）D ．（2）（4）11．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 同时满足：（1）()f x 在[],a b 内是单调函数；（2）()f x 在[],a b 上的值域为[](),0ka kb k >，则称区间[],a b 为()f x 的“k 倍值区间”.下列函数：①()ln f x x =；②()()10f x x x =>；③()()20f x x x =≥；④()()2011x f x x x =≤≤+.其中存在“3倍值区间”的有（ ） A ．①③ B ．②③C ．②④D ．①②③④ 12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．⎦B ．⎣⎦C ．2⎡⎢⎣D ．⎣ 第II 卷（非选择题)二、填空题13．求值：3log 43lg -=________. 14．已知三棱锥P ABC -中，ABC V 为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为____.15．设常数a R ∈，则方程1xx a e +⋅=的解的个数组成的集合是A =_______.16．在矩形ABCD 中，AB BC <，现将ABD V 沿矩形的对角线BD 进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.其中正确结论的序号是________________.三、解答题17．已知集合(){}22log 2A x y x ==--，集合{}23x B y y a -==+ （1）当1a =时，求A B U ，A B I ；（2）若A B B ⋃=，求a 的取值范围.18．如图所示，有一块矩形铁皮ABCD ，4AB =，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求：（1）矩形铁皮AD 的长度；（2）做成的圆锥体的体积.19．如图三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥平面ABC 且12AA =，底面ABC 是边长为2的等边三角形，点D 是11A B 的中点.（1）求证：1//A C 平面1BC D ；（2）求异面直线1A C 与1BC 所成角的大小.20．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备.已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益()g x 万元与每月垃圾处理量x （万吨）满足关系：()2233100,01035,10x x x g x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩（注：总收益=总成本+利润） （1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润()f x 关于每月垃圾处理量x 的函数关系； （2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润.21．已知四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，ED FB AB ==，M 为棱AE 的中点.（1）求证：AE ⊥平面CMF ；（2）求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值.22．已知函数()y f x =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有()()f x a f x +=-成立，则称此函数()f x 具有“性质()P a ”（1）判断函数247y x x =-+是否具有“()P a 性质”，若具有“()P a 性质”，则求出a 的值；若不具有“()P a 性质”，请说明理由；（2）已知函数()y f x =具有“()2P 性质”且函数()f x 在R 上的最小值为2；当1x ≤时，()f x m x =-，求函数()y f x =在区间[]0,1上的值域；（3）已知函数()y g x =既具有“()0P 性质”，又具有“()2P 性质”，且当11x -≤≤时，()g x x =，若函数()log b y g x x =-，在(]0,3x ∈恰好存在2个零点，求b 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】 因为{}35A x x =-<<，{}4B x x =>，则{}45A B x x ⋂=<<.故选:C.【点睛】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算．2．B【解析】【分析】根据题意，分析选项中的命题，判断命题是否正确即可．【详解】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故A 错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故B 正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C 错误；圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故D 错误.故选：B.【点睛】本题考查了球、圆锥、圆柱、圆台的结构特征，属于概念问题．3．B【解析】【分析】利用零点存在性定理，只需证出：()()340f f ⋅<，即可得到结论．【详解】因为函数解析式为()()1ln 2f x x x =--，则()1303f =-<，()14ln 204f =->，所以()()340f f ⋅<，即零点所在的大致区间为()3,4.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理的应用，属于基础题．4．B【解析】【分析】作出原ABC V 的平面图，利用数形结合思想，观察图形找出最短线段和最长线段，便可得出结果．【详解】由题意得到原ABC V 的平面图为：其中，AD BC ⊥，BD DC <，所以AC AB AD >>，所以ABC V 的AB 、AC 、AD 三条线段中最长的是AC ，最短的是AD .故选：B.【点睛】本题主要考查了直观图的基础知识，以及会根据斜二测画法的规则由直观图画出原来的平面图．5．D【解析】【分析】根据奇函数的定义可知，(2)(2)f f -=-，代入函数解析式即可求出来．【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()225f f -=-=-.故选D.【点睛】本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数值，属于简单题．6．C【解析】【分析】求A 点到1C 的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把A 到1C 的最短距离转化为求三角形的边长问题，根据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中1AC 的长度，比较三个值的大小后即可得到结论．【详解】将长方体展开共三种情况如下：（1）：1AC ===（2）：1AC ====；（3）：1AC ====，所以从点A 沿表面到点1C 的最短路程为.故选：C.【点睛】本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力以及数学转化思想方法，解答的关键是想到对长方体的三种展法，是中档题．7．D【解析】【分析】求出函数的定义域，容易判断函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，且1()02f <，结合选项运用排除法即可得到答案．【详解】由题可知，()1ln 1x f x x x-=+定义域为：()1,1-， 因为()()11ln ln 11x x f x x x f x x x+--=-==-+，函数()f x 为偶函数，排除A ，C ； 又因为111ln 0223f ⎛⎫=<⎪⎝⎭，排除B . 故选：D.【点睛】 本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，单调性，特殊点等角度运用排除法求解． 8．D【解析】【分析】根据题给的限制条件与球的对称性，分析出该几何体也是同样处于对称的状态时，其外接球最小．【详解】由题意知，当该球为底面边长分别为4、2，高为8的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为R ==，因此，该球形容器的表面积的最小值为84S π=.故选：D.【点睛】本题考查球的表面积，结合传统文化，考查实际问题的理解能力，属于创新题．9．C【解析】【分析】由对数函数的定义域可知240210a a ⎧->⎨->⎩，由此可知函数()log a f x x =为增函数，故2421a a -<-，解不等式即可．【详解】由题意知，240210a a ⎧->⎨->⎩得：2a >，即函数()log a f x x =为增函数 又因为()()2log 4log 21a a a a -<-，所以2421a a -<-得23a <<. 故选：C.【点睛】本题考查对数函数的图象及性质，利用函数单调性进行不等式求解．10．C【解析】【分析】利用空间中线线，线面，面面平行及垂直的判定定理及性质定理逐项判断即可．【详解】对于（1）如果m α⊥，//n α，根据直线与平面垂直的性质可知m n ⊥，所以（1）正确； 对于（2）如果m n ⊥，m α⊥，βn//，根据线面垂直与线面平行性质可知αβ⊥或//αβ或αβ⋂，所以（2）错误；对于（3）如果//αβ，m α⊂，根据直线与平面平行的判定可知//m β，所以（3）正确； 对于（4）设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出//αβ，故（4）不正确.故选:C.【点睛】本题考查空间中线线，线面以及面面间的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力． 11．B【解析】【分析】根据题目所给定义，分别利用对数函数、反比例函数、二次函数、双勾函数的单调性，算出 ()f a 和()f b ，进行分析判断即可．【详解】对于①，函数()ln f x x =为增函数，若函数()ln f x x =存在“3倍值区间”[],a b ，则()()ln 3ln 3f a a a f b b b⎧==⎪⎨==⎪⎩，由图象可得方程ln 3x x =无解，故函数()ln f x x =不存在“3倍值区间”；对于②，函数()()10f x x x=> 为减函数，若存在“3倍值区间”[],a b ，则有()()1313f a b a f b a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩得：13ab =，0a >，0b > 例如：13a =，1b =.所以函数()()10f x x x =>存在“3倍值区间”； 对于③，若函数()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”[],a b ，则有()()2233f a a a f b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩.所以函数函数()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”[]0,3； 对于④，当0x =时，()0f x =.当01x <≤时，()11f x x x =+，从而可得函数()f x 在区间[]0,1上单调递增.若函数()21x f x x=+存在“3倍值区间”[],a b ，且[][],0,1a b ⊆，则有()()223131a f a a a b f b b b ⎧==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩，无解.所以函数()21x f x x =+不存在“3倍值区间”. 故选：B.【点睛】本题是函数新定义问题，以及对数函数、反比例函数、二次函数、双勾函数单调性和值域等，根据函数性质及题中所给条件进行一一判断是关键.12．C【解析】【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，分别取棱1BB ，11B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，M Q ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN BC ，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF .1//AA NE Q ，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形，1//A N AE ∴，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，又1A N MN N =I ，∴平面1//A MN 平面AEF .P Q 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，∴点P 必在线段MN 上.在11Rt A B M ∆中，1A M ===同理，在11Rt A B N ∆中，可得1A N = 1A MN ∴∆为等腰三角形.当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长.12AO ===Q ，11AM A N =∴线段1A P 长度的取值范围是2⎡⎢⎣.故选：C.【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．13．2【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质即可得出．【详解】运算如下：3log 43- 42433⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2= 故答案为：2. 【点睛】本题考查了指数幂的运算性质、根式和分数指数幂的转换以及对数的运算性质，属于基础题．14．【解析】【分析】将三棱锥外接球转化成正方体的外接球，再求解即可．【详解】如图所示：三棱锥-P ABC ，为正方体所截得的三棱锥所以三棱锥-P ABC 的外接球，即为正方体的外接球，则其外接球半径为2R ==所以外接球的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积求法，以及利用正方体的体对角线等于外接球的直径，同时考查了转化思想．15．{}1,2,3【解析】【分析】根据条件可知||1x x a e +=即1||x x a e +=，利用数形结合思想画出1()x e 与||x a +的图象，由交点个数即可求出答案．【详解】 由题意得：11xx x a e x a e +⋅=⇔+=，设()1x f x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x x a =+，在直角坐标系中分别画()f x ，()g x 的图象，如图所示：所以方程解的个数可能为1个或2个或3个.故答案为：{}1,2,3.【点睛】本题运用等价转换，数形结合思想可求出方程解得个数，要求学生掌握指数函数图像和含绝对值的一次函数图像的画法，注意图像的翻折．16．②【解析】如下图，若AC BD ⊥ ，已知CF BD ⊥ ，那么BD ⊥平面ACF ，则BD AF ⊥，这与BD AE ⊥矛盾，点,E F 不会重合，所以①不正确；若AB CD ⊥ ，已知中CD BC ⊥ ，则CD ⊥平面ABC ，点A 在平面BCD 内的射影落在线段BC 上，并且AC ，所以存在某个位置使AB CD ⊥；所以②成立；若AD BC ⊥，已知BC CD ⊥，所以BC ⊥平面ACD ，即BC AC ⊥ ，那AB BC >，这与已知矛盾，所以③不正确.17．（1）{}2A B x x ⋃=≥-，{}12A B x x ⋂=<<；（2）(),2-∞-【解析】【分析】（1）可求出{|22}A x x =-<…，1a =时，可求出集合B ，然后进行并集、交集的运算即可；（2）可先得出{|}B y y a =>，根据A B B ⋃=可得出A B ⊆，从而可得出a 的取值范围．【详解】解：（1）由题意可得：{}22A x x =-≤<，当1a =时，{}{}2311x B y y y y -==+=>， {}2A B x x ∴⋃=≥-，{}12A B x x ⋂=<<，（2）由（1）可得：{}22A x x =-≤<，{}B y y a => A B B =Q U 得A B ⊆2∴<-a即a 的取值范为：(),2-∞-.【点睛】本题考查了对数函数的定义域和单调性，增函数的定义，指数函数的值域，交集、并集的运算，并集和子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（1）6+；（2 【解析】【分析】（1）取半圆的圆心记作O 点，圆面的圆心记作O '，作O E AD '⊥交AD 于点E ， 求出圆锥底面半径r 和母线长l ，利用勾股定理，结合图形求出AD 的值；（2）由圆锥的母线长和底面半径求得圆锥的高，再计算圆锥的体积．【详解】解：如图所示：取半圆的圆心记作O 点，圆面的圆心记作O '，作O E AD '⊥交AD 于点E ，设圆锥底面半径为22AB r ==，圆锥母线长为4l AB ==，则：6OO l r '=+=，2EO r '==（1）在Rt OO E '∆中，由勾股定理可得：EO =426AD DO OE EA ∴=++=+=+（2）由（1）可得：圆锥的母线长4l =，底面半径2r =，则圆锥的高为：h ==∴圆锥的体积为：()213V r h π=⋅= 【点睛】本题考查了圆锥的体积和结构特征，涉及圆锥母线和底面圆半径，以及勾股定理，同时也考查学生的想象能力．19．（1）证明见解析；（2）90︒【解析】【分析】（1）可连接1CB ，设1CB 交1C B 于点O ，并连接DO ，可根据条件得出1//DO AC ，从而根据线面平行的判定定理得出1//AC 平面1BC D ；（2）根据（1）知1//DO AC ，从而得出DO 和直线1BC 的夹角便是异面直线1A C 与1BC 所成角，根据条件可以求出1DC DB =，从而可得出1DO BC ⊥，从而得出1A C 与1BC 所成角．【详解】解：连接1CB 交1C B 于点O ，连接DO（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中得：点O 为1CB 的中点，又点D 是11A B 的中点，即DO 为11B A C ∆的中位线1//DO AC ∴又1A C ⊄Q 平面1BC D ，DO ⊂平面1BC D1//AC ∴平面1BC D（2）由（1）可得：1//A C DO又1BC DO O ⋂=Q∴异面直线1A C 与1BC 所成角为直线DO 与1BC 所成的角即为：BOD ∠又1AA =Q 2AB BC CA ===由几何关系可得：DO BO ==BD =∴在BOD ∆中：222DO BO BD +=90BOD =∴∠︒即异面直线1A C 与1BC 所成角度为：90︒【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，线面平行的判定定理，异面直线所成角的求法，考查了计算能力．20．（1）()2232105,01030,10x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩；（2）8（万吨），230（万元） 【解析】【分析】（1）直接由已知结合利润=总收益-总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润()f x 关于每月垃圾处理量x 的函数关系；（2）分段求出函数的最大值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意可得：因为每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，则每月成本为()5x +万元，又因为：利润=总收益-总成本，所以，每台设备每月处理垃圾获得的利润()f x 关于每月垃圾处理量x 的函数关系为：()2232105,01030,10x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）由（1）可得：当010x ≤≤时，()()22823f x x =--+当8x =时，()()max 823f x f ==；当10x >时，()30f x x =-为减函数，则()20f x < ∴当8x =时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大最大利润为：2310230w =⨯=（万元）【点睛】本题考查函数模型的选择及其应用，以及分段函数和利用二次函数求最值．21．（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）连接CE 、AC 、DB ，推出CAE ∆为等腰三角形，AE CM ⊥，//ED FB ，从而四边形BDEF 为平行四边形，进而EF DB =，推导出AE MF ⊥，AE CM ⊥，由此能证明AE ⊥平面CMF ．（2）取AD 的中点N ，连接MN 、BN ，MN 为ADE ∆的中位线，//MN DE ，由DE ⊥平面ABCD ，由此MN ⊥平面ABCD ，从而斜线BM 在平面ABCD 内的射影为BN ，直线BM 与平面ABCD 所成角为MBN ∠，能求出直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值．【详解】解：如图所示：连接CE 、AC 、DB（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，且ED AB =EC AC ∴=即CAE ∆为等腰三角形又M Q 为棱AE 的中点，得：AE CM ⊥BF ⊥Q 平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，得：//ED FB又ED FB =，则四边形BDEF 为平行四边形EF DB ∴=又正方形ABCD ，ED FB AB ==EF AF ∴=即AEF ∆为等腰三角形AE MF ∴⊥又AE CM ⊥，CM MF M ⋂=，CM ⊂平面CMF ，MF ⊂平面CMFAE ∴⊥平面CMF（2）取AD 的中点N ，连接MN 、BNQ 点M 、N 分别为AE 、AD 的中点MN ∴为ADE ∆的中位线//MN DE ∴又DE ⊥Q 平面ABCDMN ∴⊥平面ABCDMN ∴为斜线BM 过点M 向平面ABCD 的一条垂线，垂足为点N ，则斜线BM 在平面ABCD 内的射影为BN ，直线BM 与平面ABCD 所成角为MBN ∠，设2AB a =由几何关系可得：2ED MN a ==，BN ==在Rt BNM ∆中得：tan5MN MBN BN ∠===【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查满足角线面角的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证思想．22．（1）具有，4a =；（2）[]2,3；（3）[)3,+∞【解析】【分析】（1）假设函数具备()P a 性质，代入即可求出a 的值；（2）根据题意可知(2)()f x f x +=-，再根据函数的最小值即可求出()f x 值域； （3）由题得()()g x g x =-且(2)()g x g x +=-，作出图象，即可求出b 的取值范围．【详解】解：（1）假设247y x x =-+具有“()P a 性质”， 则()()()()224747x a x a x x +-++=---+恒成立，等式两边平方整理得，()22244a x a a x -+-=，因为等式恒成立， 所以()222440a a a ⎧-=⎨-=⎩，解得4a =；（2）Q 函数()y f x =具有“()2P 性质”则()()2f x f x +=-()()2f x f x ∴=-又Q 当1x ≤时，()f x m x =-，在(],1x ∈-∞单调递减 ∴当1x ≥时，21x -≤得：()()222f x m x x m -=--=+-，又()()2f x f x =-得当1x ≥时，()2f x x m =+-，在[)1,x ∈+∞单调递增∴函数()f x 的最小值()()min 112f x f m ==-=，得：3m =∴当[]0,1x ∈时，()3f x x =-，单调递减此时()f x 的值域为：[]2,3（3）()y g x =Q 既具有“()0P 性质”，即()()g x g x =-，则函数()y g x =为偶函数， 又()y g x =既具有“()2P 性质”，即()()()22g x g g x +=-=，且当11x -≤≤时，()g x x =作出函数()y g x =的图象如图所示：Q 函数()log b y g x x =-，在(]0,3x ∈恰好存在2个零点()g x ∴与log b y x =在(]0,3x ∈恰好有2个交点1b ∴>且log 31b ≤3b ∴≥即b 的取值范围为：[)3,+∞.【点睛】本题是新定义问题，涉及函数的单调性、奇偶性、值域相关知识，以及函数的零点问题，运用数形结合的方法是关键．。
湖南省衡阳市八中高三数学上学期第三次月考试卷 理 新人教A版
数学（理）考生注意：本试卷共21道小题，满分100分，时量120分钟，请将答案写在答题卷上．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图示， 若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是（ ） A ．43π B ．2πC ．38πD ．103π2. 一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内 应填入的条件是（ ）A.4i <B.4i >C.5i <D.5i > 3．方程22(1)230a x ax +--=的两根12,x x 满足）（2121x x x -<且01>x , 则实数a 的取值范围是（ ）A.()3,1B. ()+∞+,31C. )31,23(--D. ),23(∞+- 4．已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()0,1D ．[)0,+∞ 5．如右图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2- 6．如图，已知双曲线2213yx -=，, A C 分别是虚轴的上、下端点，B 是左顶点， F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是（ ）A ．77 B ．577 C ．714D ．57147．已知α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则21b a --的取值范围是（ ）y O12 2-ABA ．1(,1)4B ．1(,1)2C ．11(,)24-D ．1(0,)38. 方程1169x x y y+=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称，则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x+=确定的曲线。
湖南省衡阳市第八中学高三数学上学期第三次月考试题理(实验班)
2016年下期衡阳八中实验班高三年级第三次月考理科数学（试题卷）注意事项：1.本次考试为衡阳八中实验班高三年级第三次月考试卷，本卷共22题，满分为150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即通报老师。
考生考试时请遵守考场纪律，开考后分钟，考生禁止进入考室。
3.本卷中的选择题部分请同学们采用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题请用黑色0.5mm中性笔书写。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（共60分）一.选择题（从每题后面的四个选项中选出正确的一项，每题5分，共60分）1.已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）2.已知i为虚数单位，（1﹣2i）•z=i3．则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（）A． B． C．D．4.已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2x﹣1 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+35.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合6.在中，角的对边分别为，且．若的面积为，则的最小值为（）A．24 B．12 C．6 D．47.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．23 D．248.在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线y=ax2的准线方程为（）A．y=﹣B．x=﹣C．x=﹣D．y=﹣9.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围为（）A． B． C． D．10.下图所示程序框图中，输出（）A．45 B．-55 C．-66 D．6611.若f（x）为偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣2＜x＜2}12.已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣ }，则数列{a n}的个数为（）A．729 B．491 C．490 D．243第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.设f（x）为一次函数，且f[f （x）]=4x+3，则f （x）的解析式．14.设是不重合的两直线，是不重合的两平面，其中正确命题的序号是．①若//，则；②若，则；③若，则//；④若，则//或15.设直线l：（m﹣1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R）与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）交于A，B两点，C 为圆心，当实数m变化时，△ABC面积的最大值为4，则mr2= ．16.二项式（﹣）6展开式中常数项为．三.解答题（请写出解答步骤，公式定理和文字说明，共6题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，其前n项和为S n，且当n≥2时，a n+1S n﹣1﹣a n S n=0．（1）求证：数列{S n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．18.（本题满分12分）某技术公司新开发了两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计产品，产品为正品的概率；（2）生产一件产品，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在（1）的前提下，记为生产1件产品和1件产品所得的总利润，求随机变量的分列和数学期望．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．已知函数．(Ⅰ)若，求函数的极值；(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ)若存在，使得成立，求的取值范围．22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知三点．（1）求经过的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数），若圆与圆外切，求实数的值．2016年下期衡阳八中高三年级实验班第三次月考答案理科数学一.选择题1-5.ADCAB6-10.DADDB11-12.AB二.非选择题13.f（x）=2x+1，或f（x）=﹣2x﹣314.②④15.-4或1416.6017.解：（1）证明：当n≥2时，a n+1S n﹣1﹣a n S n=0．，∴，又由S1=1≠0，S2=4≠0，可推知对一切正整数n均有S n≠0，则数列{S n}是等比数列，公比q==4，首项为1．∴．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3×4n﹣2，又a1=S1=1，∴a n=．（4分）（2）解：当n≥2时，b n===，又．∴，则，（6分）当n≥2时，b n=，（8分）则，n=1时也成立．综上：（12分）18.（1）产品为正品的概率为．（3分）产品为正品的概率约为．（6分）（2）随机变量的所有取值为，；；；．（8分）所以，随机变量的分布列为：180 90 60 -30．（12分）19.（4分）（2）因为平面平面，且，所以平面，所以.（5分）由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以，，，，，，所以，（6分）平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为，所以,（10分）即直线与平面所成角的正弦值为.（12分）20.解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…（5分）由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则）=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（9分）故（**）…（10分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（11分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（12分）方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（12分）21.解：（Ⅰ）的定义域为．………1分当时，．………2分由，解得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为；……4分（Ⅱ），其定义域为．又．…………6分由可得，在上，在上，所以的递减区间为；递增区间为．…………7分（III）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．即在上的最小值小于零．…8分①当，即时，由（II）可知在上单调递减．故在上的最小值为，由，可得．………9分因为．所以；………10分②当，即时，由（II）可知在上单调递减，在上单调递增．在上最小值为．………11分因为，所以．，即不满足题意，舍去．综上所述:．………12分22.解析：（5分）（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得．（10分）。
湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学上学期第三次月考试题文
衡阳市八中2019届高三第三次月考试题文科数学请注意：时量120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|(1)(4)0M x x x =--≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.42.已知复数1iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3.已知双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的一个焦点为(5,0)，则双曲线的渐近线方程为 A ． 430x y ±= B ．1690x y ±=C．40x = D ． 340x y ±=4.设2,0()2,0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，若[](1)2,f f -=则a =A 、2B 、1C 、-2D 、-15.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中卷六《均输》一节中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊、所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．54钱 B ．43钱 C.32钱 D ．53钱 6.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，PA AC BC ==,则AB 与面PACA ． 30B ． 45C ．60D ．907.已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组1222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩给定．求目标函数25z x y =+-的最大值为A ．1B ．0C ．1-D ．5-8.已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若MN =则k 的值为A.122或B.122-或-C.122-或D.122或-9.如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．12 B ．12- C ．1 D ．1- 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13140,0S S ><，若10k k a a +< ，则k = A ．B ．C ．D ．11.如右图, ()(),,,M M N N M x y N x y 分别是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与两条直线()12:0,:l y m A m l y m =≥≥=-的两个交点,记()M N S m x x =-,则()S m 的图象大致是A B C D12.如图已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1212,,8,F F FF P =是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点1,A APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则该双曲线的离心率为A ．2 D ．3 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在题中横线上)13、已知(1,2),(2,)a b m =-=，若a b ⊥ ，则b =14、在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B ，则A = 15.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E 为面底ABCD 的中心，1A E 与球相交于EF ，则EF 的长为_______. 16.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对(0,)x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当()1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：_______. ①对m Z ∀∈，有(2)0m f =； ②函数()f x 的值域为[0,)+∞； ③存在n Z ∈，使得(21)9n f +=；三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11a =，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T18.(本小题12分）已知函数()2sin 2cos 2f x x x x a π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的最大值为3． （1）求()f x 的单调增区间和a 的值； （2）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域．19.(本小题12分）如图，将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 翻折，连接,AC FD ，形成如右图所示的多面体，且折叠后的A 与C （1）证明：平面AM BCDE ⊥面; （2）求三棱锥E ABC -的体积;20.(本小题12分）设椭圆22221(0)y x a b a b +=>>，离心率2e =，短轴2b =以坐标轴为对称轴，焦点为(0,1)， （1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为,O A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA OB ⊥,当线段AB 的中点在y 轴上时，求直线AB 的方程．21.(本小题12分）已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中a R ∈）．（1）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； （2）在(1)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭22.(本小题10分）已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.衡阳市八中2019届高三第三次月考试题文科数学命题人：吕建设 审题人：彭源 请注意：时量150分钟 满分：150分二．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合{}|(1)(4)0M x x x =--≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2．已知复数1iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3. 已知双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的一个焦点为(5,0)，则双曲线的渐近线方程为 A ． 430x y ±= B ．1690x y ±=C．40x = D ． 340x y ±=4. 设2,0()2,0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，若[](1)2,f f -=则a =A 、2B 、1C 、-2D 、-15.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中卷六《均输》一节中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊、所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．54钱 B ．43钱 C.32钱 D ．53钱 6.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，PA AC BC ==,则AB 与面PACB ． 30 B ． 45C ．60D ．907.已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组1222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩给定．求目标函数25z x y =+-的最大值为A ．1B ．0C ．1-D ．5-8.已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若MN =,则k 的值为A.122或B.122-或-C.122-或D.122或- 9.如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为A ．12B ．12-C ．1D ．1-10.设等差数列的前n 项和为n S ，已知13140,0S S ><，若10k k a a +< ，则k = A ．B ．C ．D ．11.如右图,()(),,,M M N N M x y N x y 分别是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与两条直线()12:0,:l y m A m l y m=≥≥=-的两个交点,记()M N S m x x =-,则()S m 的图象大致是A B C D12.如图已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1212,,8,F F F F P =是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点1,A APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则该双曲线的离心率为A ．．2 D ．3 选择题答案：CDABB BACAB CC填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在题中横线上)15、已知(1,2),(2,)a b m =-= ，若a b ⊥ ，则b =16、在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B =，则A =15.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E 为面底ABCD 的中心，1A E 与球相交于EF ，则EF 的长为_______. 16.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对(0,)x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当()1,2x ∈时，()2f x x=-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：①__②____.①对m Z ∀∈，有(2)0mf =； ②函数()f x 的值域为[0,)+∞；③存在n Z ∈，使得(21)9nf +=；三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11a =，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a ＝a 1a 4，即(1＋d)2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d≠0，∴d＝1，可得a n ＝n. (2)由(1)得b n ＝n ＋2n，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋ (2))＝＋2n ＋1－2.18.已知函数()2sin 2cos 2f x x x x a π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的最大值为3． （1）求()f x 的单调增区间和a 的值； （2）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域． 试题解析：（Ⅰ）由已知()a x x a x x x x f +++=+++=12cos 2sin 32cos 1cos sin 32a x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=162sin 2π，令Z k k x k ∈+++≤+-,226222πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤+-,63ππππ，∴函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,6,3ππππ,由函数()x f 的最大值为3，得33=+a ，0=∴a ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知()162sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ， ()132sin 21642sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴πππx x x g ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴πππ32,332x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1,2332sin πx ， []3,31132sin 2-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx ，即()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域为[]3,31-.19.如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多面体，且折叠后的.（1）证明：平面AM BCDE ⊥面（2）求三棱锥的体积试题解析：（１）证明：正六边形ABCDEF 中，连接AC 、BE ，交点 为m ，易知，且，在多面体中，由，知，故2分又平面，故平面， ..5分（2）连接AE 、CE,则AG 为三棱锥的高，GC 为的高．在正六边形ABCDEF 中，，故， ..9分所以． 12分20.设椭圆22221(0)y x a b a b +=>>，离心率2e =短轴2b =抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为(0,1)， （1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为,O A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA OB ⊥,当线段AB 的中点在y 轴上时，求直线AB 的方程． 【详解】(1) 由得，又有，代入，解得所以椭圆方程为由抛物线的焦点为得，抛物线焦点在的参数轴，且，抛物线的方程为：(2)由题意点位于第一象限，可知直线的斜率一定存在且大于设直线方程为：，联立方程得：，可知点的横坐标，即因为，可设直线方程为：连立方程得：，从而得若线段的中点在轴上，可知，即有，且，解得从而得，直线的方程：21.已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中a R ∈）．（1）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； （2）在（1）的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++⎪⎝⎭试题解析：因为()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦，所以()()221xf x ax a x a e ⎡⎤=+++⎣⎦'， 1分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时, ()xf x xe '=,当0x <时, ()0f x '<,当0x >时, ()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =． 2分 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即210{ 1102x x e x x ->⎛⎫-++> ⎪⎝⎭或210{ 1102x x e x x -<⎛⎫-++< ⎪⎝⎭， 6分 令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ()()()1x h x g x e x ==-+',()1x h x e '=-， 当0x >时, ()10x h x e ='->；当0x <时, ()10x h x e ='-<，所以()h x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h >=， 即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭； 211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭， 所以原不等式的解集为{|01}x x x 或． 10分22.已知函数()211f x x x =-++.（1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+. 试题解析：（1）依题意，得()3,1,1{2,1, 213,,2x x f x x x x x -≤-=--<<≥ 于是得()1,3{ 33,x f x x ≤-≤⇔-≤或11,{ 223,x x -<<-≤或1,{ 233,x x ≥≤ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号，∴[)3,M =+∞. 原不等式等价于()()22223133331t t t t t t t t t t -+-+--+-==. ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴()()2310t t t -+≥. ∴2313t t t+≥+.。
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衡阳市八中2019届高三第3次月考数学（理387班）命题人及审题人：张贤华考生注意：本试卷共21道小题，满分100分，时量120分钟，请将答案写在答题卷上．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图示， 若图中圆的半径为1） A ．43π B ．2π C ．38π D ．103π2. 一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内 应填入的条件是（ ）A.4i <B.4i >C.5i <D.5i > 3．方程22(1)230a x ax +--=的两根12,x x 满足）（2121x x x -<且01>x , 则实数a 的取值范围是（ ）A.()3,1B. ()+∞+,31C. )31,23(--D. ),23(∞+- 4．已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()0,1D ．[)0,+∞ 5．如右图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（ ）A．．2 D ．2- 6．如图，已知双曲线2213yx -=，, A C 分别是虚轴的上、下端点，B 是左顶点， F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是（ ）A ．7 B ．7 C ．14 D ．147．已知α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则21b a --的取值范围是（ ） A ．1(,1)4B ．1(,1)2C ．11(,)24-D ．1(0,)38. 方程1169x x y y+=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称，则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x+=确定的曲线。
其中所有正A.①②B.②③C.①③④D.①②③二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.9. 已知复数22(232)(32)m m m m i --+-+是纯虚数，则实数m 的值是_________. 10. 已知231x y z ++=,则222x y z ++的最小值为 _______． 11．如右图，在直角梯形ABCD 中，已知//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为 ______ ．12．已知函数()()f x x R ∈满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++= .13. 如右图，在三棱锥D-ABC 中，已知BC 丄AD ，BC=2 ,AD=6,AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D 一ABC 的体积的最大值是__________.14. 集合{|ln 0}A x x ax =-=恰有两个子集,则a 的取值范围为 ________ ．15．设1a ，2a ，…，n a 是各项不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列， （1）若4=n ，则d a 1= ； （2）所有数对⎪⎭⎫⎝⎛d a n 1,所组成的集合为_____________．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分l2分) 已知函数2()cos(2)cos23f x x x π=--(x ∈R )． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）ABC ∆内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若()1,2B f b==c 且,a b >试判断ABC ∆的形状，并说明理由．17．（本小题满分l2分）如图所示的多面体中，正方形11BB C C 所在平面垂直平面ABC ，ABC ∆是斜边AB =的等腰直角三角形，11//B A BA ，1112B A BA =．（1）求证：11C A ⊥平面11ABB A ； （2）求直线1BC 与平面11AAC 所成的角的正弦值.18.（本小题满分l2分）对于任意的角θ,求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值.19．（本小题满分l3分）已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F ，抛1物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点,且直线l 交椭圆C 于,A B 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ,且12,MA AF MB BF λλ==,当m 变化时, 12λλ+的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.20. （本小题满分l3分）已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--．（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132ni i ia b=<∑．21． (本小题满分13分）已知函数e R a xex g x x a x f x,()(,ln 2)1)(2()(1∈=---=-为自然对数的底数）.（1）当1=a 时,求)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0上无零点,求a 最小值；（3）若对任意给定的0(0,]x e ∈，关于x 的方程0()()f x g x =在(0,]x e ∈恒有两个不同的实根，求a 的取值范围. 答案衡阳市八中2019届高三第3次月考数学（理387班）命题人：张贤华考生注意：本试卷共21道小题，满分100分，时量120分钟，请将答案写在答题卷上．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图示，若图中圆的半径为1 A ） A ．43π B ．2π C ．38π D ．103π2. 一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内 应填入的条件是（ C ）A.4i <B.4i >C.5i <D.5i >3．方程2122032)1(x x ax x a ，的两根=--+满足）（2121x x x -<且01>x , 则实数a 的取值范围是（ D ）A.()3,1B. ()+∞+,31C. )31,23(--D. ),23(∞+-4．已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ A ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()0,1D ．[)0,+∞ 5．如右图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（ C ）A．．2 D ．2-6．如图，已知双曲线2213y x -=，, A C 分别是虚轴的上、下顶点，B 是左顶点， F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是（ C ）ABD7．已知α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则21b a --的取值范围是( A)A ．1(,1)4B ．1(,1)2C ．11(,)24-D ．1(0,)38. 方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称，则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x+=确定的曲线。
其中所有正确的命题序号是(D )A.①②B.②③C.①③④D.①②③二．填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
9. 已知复数22(232)(32)m m m m i --+-+是纯虚数，则实数m 的值是_________.12m =-10. 已知231x y z ++=,则222x y z ++的最小值为 ． 答案:11411．如右图，在直角梯形ABCD 中，已知//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为 5 ．12．已知函数()()f x x R ∈满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++= . 1613. 如右图，在三棱锥D- ABC 中，已知BC 丄AD ，BC=2 ,AD=6,AB+BD=AC+CD=10，14. 集合{|ln 0}A x x ax =-=恰有两个子集,则a 的取值范围为 ▲ ．1(,0]{}e-∞15．设1a ，2a ，…，n a 是各项不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列， （1）若4=n ，则d a 1= ； （2）所有数对⎪⎭⎫⎝⎛d a n 1,所组成的集合为_____________． [答案]（1）-4,1； （2）)}1,4(,)4,4{(-三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。