高一数学竞赛练习卷四
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
高一数学竞赛试题含答案
高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。
2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。
3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。
4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。
5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为 。
6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。
7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是 。
8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为 。
9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。
1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。
【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知函数f(x) = x² 2x + 1，那么f(x)在区间（∞，1）上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先单调递增后单调递减D. 先单调递减后单调递增2. 下列等比数列中，公比为2的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 3, 9, 27, 81D. 3, 6, 12, 24, 483. 设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x²2x3=0}，则A∩B的结果是（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}4. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 已知函数g(x) = |x1|，那么g(x)在x=1处的导数是（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = 2x7. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点对称的点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)8. 若复数z满足|z1|=1，则z在复平面上的对应点位于（）A. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上B. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上C. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上D. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S4的值为（）A. 16B. 20C. 24D. 2810. 若函数h(x) = (x+1)/(x1)的值域为（∞，1）∪(1，+∞），则x的取值范围是（）A. (∞，1)∪(1，+∞）B. (∞，1)∪(1，+∞）C. (∞，1)∪(1，1)D. (1，+∞）二、判断题：1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。
09高一数学竞赛练习卷四
最新高中数学奥数竞赛高一数学竞赛练习卷四1、设集合(){}0log log ,>+=y x y x A a a ，(){}a y x y x B <+=,，若Φ=⋂B A ，则a 的取值范围是（ ） A.Φ B.1,0≠>a a C. 1,20≠≤<a a D. 21≤<a2、如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个（ ） 3、设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 54、设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 （ ）5、在△ABC 中，已知9=⋅，sinB=cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB上的点，且CBCA+=xy 的最大值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（ ） 6、若将函数cos()sin()(0,0)66y A x x A ππωω=-+>>的图像向左平移6π个单位后得到 的图像关于原点对称，则ω的可能值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57、由约束条件0,02x y y x y kx ≥≥⎧⎪≤-+⎨⎪≤+⎩D 能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 8、在△ABC 中，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cb a +的值是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．29、设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为_________。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。
三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。
四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。
五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。
答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
全国高一数学竞赛练习卷
高一数学竞赛练习卷四1、设集合(){}0log log ,>+=y x y x A a a ，(){}a y x y x B <+=,，若Φ=⋂B A ，则a 的取值范围是 （ ）A.ΦB.1,0≠>a aC. 1,20≠≤<a aD. 21≤<a 2、如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个 （ ） 3、设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 4、设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 （ ）5、在△ABC 中，已知9=⋅，sinB=cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB上的点，且+=，则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（ ）6、若将函数cos()sin()(0,0)66y A x x A ππωω=-+>>的图像向左平移6π个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的可能值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57、由约束条件0,02x y y x y kx ≥≥⎧⎪≤-+⎨⎪≤⎩D 能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 8、在△ABC 中，若0s i n c o s 2s i n c o s =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ）A ．1... .B ．2....C ．3.. ..D ．2 9、设函数()(0)f x c a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,s f t s t D∈构成一个正方形区域，则a 的值为_________。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
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高一数学竞赛练习卷四
1、设集合(){}0log log ,>+=y x y x A a a ，(){}a y x y x B <+=,，若Φ=⋂B A ，则a 的取值范围是
（ ） A.Φ B.1,0≠>a a C. 1,20≠≤<a a D. 21≤<a
2、如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
（ ） 3、设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是
（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4、设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 （ ）
5、在△ABC 中，已知9=⋅AC AB ，sinB=cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB
上的点，且CB
CA
+=，则xy 的最大值为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（ ） 6、若将函数cos()sin()(0,0)66y A x x A ππωω=-+>>的图像向左平移6
π个单位后得到 的图像关于原点对称，则ω的可能值为
（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
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、由约束条件0,02x y y x y kx ≥≥⎧⎪
≤-+⎨⎪≤⎩，确定的可行域D 能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是 （ ）
A ．⎥⎦⎤ ⎝
⎛∞-21, B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 8、在△ABC 中，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则c
b a +的值是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2
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、设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为_________。
10、当n N ∈且2n ≥时，2341122225n p q -+++++=+ ，其中,p q 为非负整数，且
05q ≤<，则q 的值为 。
11、过点1(,1)2
P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，当ACB ∠最小时， 直线l 的方程为 。
12、函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 。
13、已知正数a 、b 、c 满足5262+=+++bc ac ab a ，则c b a 23++的最小值为____ 。
14、设()f x =，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正数b ，使()f x 的定义域和值域相同．
15、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2
a C c
b +
=。
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =1，求△ABC 的周长的取值范围。
16、已知数列{}n a ,11=a ,前n 项和为n S ,满足()21≥=⋅+-n n S t a n n 。
(1)当2=t 时,求32,a a 的值以及2011S ；
(2)求数列{}n a 的通项公式。
答案：DCCCCDAB ；-4；0；y=2x ；
2
2；22102+； 14、4,0-=a ；
15、（1）︒=60A ；（2）(]3,2； 16、（1）02=a ，13=a ，10062011=S ；（2）略。