北师大版八年级上册数学5.2.2-加减法公开课课件
2022秋八年级数学上册 第五章 二元一次方程组2 求解二元一次方程组第2课时加减消元法课件北师大版
有很多方程组都可采用此法解，请你用这种方法解方程
2 0组20x＋2 021y＝2 019
2
021x＋2
020y＝2
022.
【点拨】本题中方程的系数较大，仿照材料中的解法， 将两个方程相加后可约去系数，为解题提供便利．
解：2 2
020x＋2 021x＋2
021y＝2 020y＝2
019，① 022.②
若既不相等也不互为相反数，则利用等式的性质把某个 _未__知__数__的__系__数__变__为__相__等__或__互__为__相__反__数___； (2)加减：把两个方程的两边__相__加__或__相__减_____进行消元； (3)求解：解消元后的一元一次方程； (4)回代：把求得的未知数的值__代__入____方程组中某个简单的 方程中，求出另一个未知数的值；
【点拨】解分母中含字母的方程组，可利用换元法将其转 化为二元一次方程组，求出解后还需要再求出原未知数．
解：设1x＝p，1y＝q，则原方程组可变形为53pp＋－22qq＝＝1113，. 解这个方程组，得到它的解为pq＝ ＝3－，2. 由1x＝3，1y＝－2，求得原方程组的解为xy＝＝－13，12.
14．已知a2＋ a－2b3＝ b＝3c－，8①c ②且 abc≠0，求43aa－＋34bb＋＋2cc的值．
x＝2 D.y＝12
4．用加减法解方程组23xx－－32yy＝＝57，②①时，用方法②×2－①×3， 可消去未知数 x.那么方法__②__×__3_－__①__×__2___可消去未知数 y.
(答案不唯一)
*5.(2020·嘉兴)用加减消元法解二元一次方程组x2＋x－3yy＝＝41，②①时， 下列方法中无法消元的是( )
3x＋8y＝14，① 7x＋2y＝16.②
5.2.2复数的乘法与除法-2024-2025学年高中数学(必修第二册)(北师大版)同步课件
题型三 复数范围内的一元二次方程问题——师生共研 把 1＋i 代入方程，利用复数相等求值． 例 5 已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c 为实数)． (1)求 b，c 的值； (2)试判断 1－i 是否是方程的根．
(5)1＋3＋3ii＝1＋3＋3ii11－－
3i ＝2 3i
34－2i＝ 23－21i.
方法归纳
1．两个复数代数形式乘法的一般方法： (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将 i2 换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．两个复数代数形式的除法运算步骤： (1)把除式写为分式． (2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数． (3)对分子、分母分别进行乘法运算． (4)把运算结果化为复数的代数形式．
题型二 复数运算的综合应用——微点探究 微点 1 复数的综合运算 例 1 (1)计算：1＋2i22＋＋i31－i； (2)计算：11＋ －ii＋11＋ －ii2＋11＋ －ii3＋…＋11＋ －ii2020.
解析：(1)1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i ＝2＋i i＝2＋i2i－2i－ i＝1＋5 2i＝51＋25i； (2)∵11＋ －ii＝11－＋ii11＋＋ii＝22i＝i， ∴原式＝i＋i2＋i3＋…＋i2020 ＝[i＋(－1)＋(－i)＋1]＋…＋[i＋(－1)＋(－i)＋1]＝0.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个共轭虚数的和为纯虚数．( × ) (2)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( × ) (3)若 z1，z2∈C，且 z21＋z22＝0，则 z1＝z2＝0.( × ) (4)两个虚数相乘的结果可能为实数．( √ )
北师大版八年级数学上册二元一次方程与一次函数教学课件
y y
7 5
有
一 个解；
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,为
.
2、若二元一次方程组 则函数 y 1 x 1 与
x 2y 2x y
y 2x
2 2
的解为xy
2 2
,
2 的图象的交点坐
2
标为（2，2）.
3、根据下列图象，你能说出哪些方程组的解? 这些解是什么?
1、方程组
x
x
y y
2
5有
0个
个解；
2、方程组
x y 3 2x 2 y
有
6
无数个个解；
3、方程组
3x 2x
y y
7
5有
一个
个解；
x+y=5这是什么？
二元一次方程
一次函数
这是怎么 回事？
方程x+y=5可以转化为： y=﹣x+5
思考：是不是任意的二元一次方程 都能进行这 样的转换呢？
每个二元一次方程都可转化为一次函数
方程 ax+by=c 的解
x= s y=t
点( s , t )
从形到数
在一次函数 y=kx+b的图象上
通过以上结论,你能分析研究出二元一次方程与 一次函数图象的关系吗?
二元一次方程的解就是相应一次函数图象上的点的坐标; 一次函数图象上的点的坐标就是相应二元一次方程的解.
归纳: 任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的 情势，所以每个二元一次方程都对应一个一次 函数.
(1)方程x+y=5有解_无__数___个, 如：(0,5) 、(5,0) 、(1,4)
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们 都在函数y=﹣x+5上吗? (0,5) 、(5,0) 、(1,4) .都在函数y=﹣x+5的图象上.
课件北师大版八年级上册二次根式ppt课件
(3) 2 . 5
5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.
问题：化简
，其中a=3，b=2.
判断下列代数式中哪些是二次根式解. ：(1) 6
2
62
4 2;
16的平方根是什么? 算术平方根是什么？
3
3
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则
正方形的边长是 b . 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a （a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
核心归纳
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式. 1. 表示a的算术平方根； 2. a可以是数,也可以是式； 3. 形式上含有二次根号 ；
解法一：（3） ( 24 1 ) 3 24 3 1 3
6
6
24 3
1 3 6
8
1
63
42
2 66
2 2 1 2 11 2 .
6
6
你还有其他解 法吗？
(3)( 24 1 ) 3. 6
解法二： 原式= 4 6
1 6
6 6
1 3
2
6
6 6
3 3
11 6 3 63
想一想
1.试回顾如何计算3a2·2a3= 6a5 . 还记得单项式
乘以单项式的
2. 3 5 2 2 如何计算呢？
法则吗？
解：3 5 2 2=（3 2）（ 5 2）=6 10.
归纳总结 二次根式的乘法扩充法则
北师大版八年级数学上名校课堂练习5.2.2加减消元法(含答案)
第2课时 加减消元法基础题知识点1 直接用加减消元法解二元一次方程组1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①－2x ＋2y ＝－6.②用①－②，得（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝11C ．5x ＝11D ．5x ＝－12．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝2，4x ＋3y ＝1.①②既可用________消去未知数________；也可用________来消去未知数________．3．(毕节中考)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，3x －2y ＝11的解是________． 4．用加减消元法解方程组：(1)(淮安中考)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5，①x －y ＝4；②(2)(邵阳中考)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝12，①2x －3y ＝6；②(3)⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ＝－19，①6x －5y ＝17.②知识点2 用加减消元法解较复杂的二元一次方程组5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，2x ＋3y ＝11①②的最优解法是（ ） A ．由①，得y ＝2x －2，再代入②B ．由②，得2x ＝11－3y ，再代入①C ．由②－①，消去xD ．由①×2＋②，消去y6．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝－21，①4x ＋3y ＝23；②(2)(滨州中考)⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，①x ＋3y ＝－1.②中档题7．(抚州中考)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，a ＋2b ＝6，则3a ＋b 的值为（ ）A ．8B ．4C ．－4D ．－88．如果方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，3x －y ＝2的解也是3x ＋ky ＝10的解，那么k 的值是（ ） A ．1 B ．2C ．4 D.129．(襄阳中考)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ，n 的值为（ ）A ．4，2B ．2，4C ．－4，－2D ．－2，－410．解下列方程组：(1)⎩⎨⎧x 2＋y 3＝132，①x 3－y 4＝32；②(2)⎩⎨⎧73x ＋y 2＝4，①x ＋25＝y ＋93.②11．(贺州中考)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx －12ny ＝12，mx ＋ny ＝5的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，求m ，n 的值．综合题12．先阅读，再解方程组．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，4（x ＋y ）－5（x －y ）＝2时， 设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则原方程组变为：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 3＝6，4a －5b ＝2，变形为⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝36，4a －5b ＝2. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，x －y ＝6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝1.请用这种方法解下面的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5（x ＋y ）－3（x －y ）＝16，3（x ＋y ）－5（x －y ）＝0.参考答案1．C 2.①－② x ①＋② y 3.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1 4.(1)①＋②，得3x ＝9.解得x ＝3.把x ＝3代入②中，得y ＝－1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. (2)①＋②，得3x ＝18，解得x ＝6.把x ＝6代入方程①，得6＋3y ＝12，解得y ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝2. (3)①－②，得12y ＝－36.解得y ＝－3.把y ＝－3代入①，得x ＝13.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－3.5.C6.6.(1)①×2，得4x －10y ＝－42，③②－③，得13y ＝65，解得y ＝5.将y ＝5代入②，得4x＋3×5＝23，解得x ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5. (2)①×3＋②，得10x ＝20，则x ＝2.把x ＝2代入①，得6－y ＝7，则y ＝－1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 7.A 8.A 9.A 10.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6. 11.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3代入⎩⎪⎨⎪⎧mx －12ny ＝12，mx ＋ny ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧2m －32n ＝12，①2m ＋3n ＝5.②②－①，得92n ＝92，解得n ＝1.把n ＝1代入②，得m ＝1，所以m ＝1，n ＝1.12．设m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则原方程组变为⎩⎪⎨⎪⎧5m －3n ＝16，3m －5n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.。
北师大版数学八年级上册第五章《二元一次方程》课件
(2)13:00时小明看到的数可表示为 12:00～13:00间摩托车行驶的路程是
10y+x 10y+x-(10x+y)
(3)14:00时小明看到的数可表示为 13:00～14:00间摩托车行驶的路程是
100x+y 1oox+y-(1oy+x)
(4)12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系? 你能列出相应的方程吗? 这两段时间，摩托车速度不变，且都是间隔一小时，所以路程相等
主要步骤是：
将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代 数式表示出来，
这样有x+1=2(x-2-1). ④ 代入另一个方程中，从而消去一个未知数，
解方程④,得x=7.
化二元一次方程组为一元一次方程.
再把x=7代入③,得y=5. 这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
怎样解下面的二元一次方程组呢? 3x+5y=21,① 2x-5y=-11.②
12点：是一个两位数，它的两个数字之和为7. 13点：十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了. 14点：比12:00时看到的两位数中间多了个0.
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位数字是y,那么
(1)12:00时小明看到的数可表示为根据两个数字之和是7,可列出方程 x+y=7
（1）（2）都满足方程x+y=8，但只有（2）同时满足x+y=8和 5x+3y=34.所以，（2）是这个方程组的公共解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.
小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元.小明 买了两种邮票各多少枚?
八年级数学北师大版(上册)5.2.2加减消元法求解二元一次方程组课件
4x 4x
7 y -19, - 5y 17.
用加减消元法消去x,
得到的方程是( )
A.2y=-2
B.2y=-36
C.12y=-2
D.12y=-36
2.(20分)解方程组：
3.(10分) 若2amb2m3n与a2n3b8是同类项,则 m ______, n ____ .
评价标准：30-40分为优秀,20分为良好，20分以下不合格
2x y 5, ① 2x y 3. ②
解：①+②,得 4x=8
x=2
将x=2代入①,得 4+y=5
y=1 ∴原方程组的解是 x=2,
y=1.
解：①-②,得 2y=2
y=1
将y=1代入①,得 2x+1=5
x=2 ∴原方程组的解是 x=2,
y=1.
例：利用加减消元法解二元一次方程组
2x 3y 12, 3x 4 y 17.
总结归纳：
1.同一未知数的系数 互为相反数 时， 把两个方程的两边分别 相加 .
2.同一未知数的系数 相等
时，
把两个方程的两边分别 相减 .
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法, 简称加减法.
即时评价——检测目标1
（时间3min）
解方程组 22 xx
y y
5, 3.
① ②
评价标准：能独立正确计算且过程书写规范为A等级,在同桌的 帮助下完成为B等级
问题1:如何使未知数x的系数相同？ 问题2:它的依据是什么? 问题3:能否使未知数y的系数相同？
想一想：解二元一次方程组基本思路是什么？ 加减消元法主要步骤有哪些？
基本思路: 消元: 二元
一元
主要步骤：变形
【数学】5.2.2 复数的乘法与除法 课件(北师大版选修2-2)
1、复数的乘法法则 2、复数的乘法运算律 3、复数的除法法则 4、复数的一个重要性质
两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一 个复数的模的平方,即z z=|z|2=|z|2.
5、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上 可以把它推广到n∈Z.
2 2 2 2
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例3.计算
1 2i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
(1 2i) (3 4i)
例4
设 1 3 i ，求证：
2 2
（1） 0；（2） 3 1. 1
2
1 ( 1 3 i ) ( 1 3 i )2 证明：（1） 3 i )3 1 （2） 3 ( 1 2 2 2 22 2 1 3 1 2 3 1 13 3 3 2 i ( ) 2 )2 ( i ( i ) i ) i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1( 1 3 3)( 1 3 i ) 3 i 2 i2 i 2 2 2 2 4 2 4 1 2 3 2 1 3 ( ) ( i ) 1 0; 2 2 4 4
例2 已知复数
x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数，求x的值． 解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
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试一试
解方程组 3x+2y=23 ① 5x+2y=33 ②
解：由②－①得: 2x=10 x=5.
将x=5代入①得：15+2y=23 y=4. x=5
所以原方程组的解是 y=4
与前面的代入法 相比，是不是更 加简单了！
方法总结
同一未知数的系数 相等
时，
把两个方程的两边分别 相减 ！
5x+2y=33
你会解这个方程组吗？
3x+2y=23 ① 5x+2y=33 ②
解得 5 23 2y 2y 33
3
解得：y=4
把y=4代人③ ，得x=5 x=5
所以原方程组的解为： y=4
除代入消元， 还有其他方法吗？
讲授新课
一 用加减法解二元一次方程组
所以原方程组的解是 y=3
你学会了吗？
典例精析
3x +10 y=2.8 ① 例1：解方程组
15x -10 y=8 ②
解：把 ①+②得: 18x＝10.8 x＝0.6
把x＝0.6代入①，得： 3×0.6+10y＝2.8
解得:y＝0.1 所以这个方程组的解是
x=0.6 y=0.1
方法总结
同一未知数的系数 互为相反数 时， 把两个方程的两边分别 相加 ！
利用等式的性质，使得未知数的系
数 相等或互为相反数
.
找系数的最小公倍数
归纳总结
用加减法解二元一次方程组：
特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路: 加减消元:二元
一元
主要步骤： 加减 求解
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写解
写出原方程组的解
例4：已知
a 2b 4 3a 2b 8
① ②
, 则a+b等于_3____.
分析：方法一:直接解方程组，求出a与b的值，然 后就可以求出a+b.
方法二：+得 4a+4b=12，
a+b=3.
【方法总结】解题的关键是观察两个方程相同 未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
例5：解方程组22((xx
y) y)
3(x 3(x
(3x+5y)+ (2x-5y) =
①左边 + ② 左边 =
21 + (－11) ① 右边 + ②右边
3x+5y +2x － 5y＝10
5x=10
3x 5y 21 ① 解方程组2x 5y 11 ②
解：由①+②得: 5x=10 x=2.
将x=2代入①得：6+5y=21 y=3 x=2
y) y)
30 6
解：由① + ②，得 4(x+y)=36
①②法整二理：得
5x y 30 x 5y 6
所以 x+y=9 ③
由① - ②，得 6(x-y)=24
所以 x-y=4 ④
解由③④组成的方程组
解得
x
y
6.5 2.5
x y 9 x y 4
归纳总结
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反 数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为 相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到 一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减 消元法,简称加减法.
例3：用加减法解方程组:
2x 3y 12 ① 3x 4y 17 ② 解：①×3得： 6x+9y=36 ③
y=_-_1 _
3.已知
x
y
2 1
是方程组
mx - y 3 x - ny 6
的解，求m与n的值.
课堂小结
基本思路“消元”
解二元一次 方程组 加减法解二元一次 方程组的一般步骤
例2 解下列二元一次方程组
2x 5y 7 2x 3y 1
解：由②-①得8：y 8.
方程①、②中未知数x 的系数相等，可以利 用两个方程相减消去 未知数x.
解得：y 1.
把 y 1
代入①，得：2x
5
注7意. :要检验哦
!
解得：x 1.
x 1,
36, 80.
化简可得：145xx1100yy3860, .①② ②-①得 11x=44，解得x=4.
将x=4代入①可得y=2.
因此这个方程组的解为xy
4, 2.
.
当堂练习
1.方程组
2x 3y 7, x 3y 8
① ② 的解是
x5
y
第五章 二元一次方程组
5.2 求解二元一次方程组
第2课时 加减法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握加减消元法的意义； 2.会用加减法解二元一次方程组．（重点）
导入新课
观察与思考
信息一： 已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元； 信息二： 又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元. 解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元， 根据题意得， 3x+2y=23
合作探究
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？
3 x + 5 y = 21 ①
2 x – 5 y = -11 ②
把②变形得：x
5y
11 2
代入①，不就消去x了！
小 明
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3 x + 5 y = 21 ① 2 x – 5 y = -11 ② 把②变形得
5y 2x 11
②×2得：6x+8y=34 ④ ③-④得: y=2 把y＝2代入①，
解得: x＝3
所以原方程组的解是
x
y
3 2
试一试
①
解方程组：
②
解： ②×4得：
4x-4y=16 ③
①＋③得：7x = 35，
解得：x = 5.
把x = 5代入②得，y = 1.
所以原方程组的解为
方法总结
同一未知数的系数 不相等也不互为相反数 时，
1
．
6x+7y=－19① 2. 用加减法解方程组 6x-5y=17② 应用（ B ）
A.①-②消去y
B.①-②消去x
C. ②- ①消去常数项
D. 以上都不对
3.解下列方程组
2x y 4 (1)x y 5
x y 3 (2) 2x y 1
解：
x 3y 4 (3)2x 3y 1
【方法总结】通过整体代入法（换元法）是数学
中的重要方法之一，往往能使运算更简便．
例6 2辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨， 3辆大卡车和2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80 吨
,
解：那设么1辆1辆大大卡卡车车和和1辆1小辆卡小车卡各车运各运x吨多和少y吨吨.垃圾？
根据题意可得方程组：52((32xx25yy))
可以直接代入①呀！
小亮
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3 x + 5 y = 21 ① 2 x – 5 y = -11 ②
5y和－5y互为相反数……
小丽
5y和－5y互为相反数……
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
3x 5y 21 ①
小丽
2x 5y 11 ②
分析： ①+ ②
x 3y 5,
4.已知x、y满足方程组3x y 1.求代数式x－y的值．
解：3xx3
y y
5, 1.
① ②，
②-①得2x－2y＝－1－5， 得x－y＝－3.
拓展延伸
1.若 x y 2 x y 0 , 则x+2y= _-_3____
2.已知2ayb3x+1与-3ax-2b2-2y是同类项，则x = 1 ，