数项级数中阿贝尔、狄里克雷和莱布尼兹判别法的推广
广义积分阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是微积分中重要的判定法则，它们主要被用来判定数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及反常含参积分的一致收敛等。
它们都以数学家的名字命名，分别是尼尔斯·阿贝尔和约翰·彼得·狄利克雷。
阿贝尔判别法是说：如果∫baf(x,y)dx关于x一致收敛，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且关于y一致有界，那么整体就一致收敛。
狄利克雷判别法则稍微有些不同：如果∫baf(x,y)dx关于y一致有界，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且在x→b时一致收敛于0，那么整体也是一致收敛的。
请注意，这里的一致收敛性是一个非常重要的概念，在微积分理论中有着广泛的应用。
一致收敛的函数序列或函数项级数可以保持很多重要的分析性质，比如连续性、可积性等等。
总的来说，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法为我们提供了判断广义积分收敛性的有效工具。
但是，它们的使用需要一定的数学知识和技巧，特别是在判断函数或函数序列的一致有界性、单调性和一致收敛性时。
数项级数的狄利克雷判别法
数项级数的狄利克雷判别法狄利克雷判别法，这个名字听上去有点高深莫测，仿佛在说“数学界的秘密武器”一样。
它也没那么复杂，今天就让我们轻松聊聊它。
想象一下，数项级数就像一场精心策划的晚会，想要知道这场晚会是否值得参加，我们得先搞清楚几个小细节。
就像我们选择餐厅，菜单得吸引人，环境得优雅，服务得周到。
数项级数也是如此，它需要经过“狄利克雷”的审查，才能判断它的表现如何。
说到这里，狄利克雷判别法就像是我们心中那把小钥匙，能打开数项级数的神秘大门。
它的核心思想其实就是观察数项的性质。
比如说，你要看看这个数列是不是越来越大，或者说它的绝对值有没有下降。
就像一个小孩儿在长大，有些孩子长得快，有些则慢。
有趣的是，如果这个数列慢慢往下走，也许它就会收敛，像个老实孩子，最终安静下来。
而如果它一直往上飙，那就要小心了，可能会让你后悔参加这个晚会。
再说说这个判别法的具体步骤吧。
我们得先找到数项的绝对值，然后观察这些数项的表现。
如果绝对值的和是一个有限的数，就说明这场晚会的气氛相当不错，数列是收敛的；如果这个和是无穷大的，那可就麻烦了，说明这场晚会要闹腾到天亮。
想想那些年少轻狂的聚会，有的热闹非凡，有的却像无头苍蝇一样，不知道该往哪儿去。
这里面还有个特别的地方，就是说如果我们把数项按某种规律排列，比如从大到小，甚至从小到大，可能会更好理解。
这就好比我们把晚会的嘉宾按照人气排序，越火的越先上场。
通过这个方法，我们能更清楚地判断出哪些数项的影响力更大，哪些则可以慢慢放在一边。
你看，这是不是像我们日常生活中的选择，得根据情况来决定哪个更重要？狄利克雷判别法不光在理论上很有用，实际应用也广泛。
许多数学家、工程师们都在用它来解决各种问题。
比如说，在物理学中，分析波动和振动时，判别法能帮我们找到那些关键的数项，避免让我们在复杂的计算中迷失方向。
这样一来，不仅让研究更高效，也能让我们在日常生活中做出更明智的决策。
咱们得记住，判别法不是万能的。
数分论文三
云南大学数学分析习作课论文三题目：三个判别法的条件强弱学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名：学号：任课教师：时间：2012年12月摘要：莱布尼兹判别法、狄利克莱判别法和阿贝尔判别法是判断任意项级数的收敛性，但不可以判断发散。
它们的条件有相似之处，又有区别。
当然三个判别法也有强弱之分。
对于不同的级数，应具体问题具体分析，从而采用合适的判别法进行判别。
关键词：Cauchy收敛原理、阿贝尔变换、阿贝尔引理、莱布尼兹判别法、狄利克莱判别法、阿贝尔判别法、具体问题具体分析。
一、三个判别法的定义和相关证明： 补充：级数的Cauchy 收敛原理：。
的必要条件，于是就得到级数收敛，上式即为取成立。
与一切的正整数对一切，使得存在正整数定的也可叙述为：对任意给成立。
对一切，使得存在正整数：对任意给定的收敛的充分必要条件是级数01,0,0lim 1132113211=<=><=++++>>><=++++>∞→+=++++++=+++∞=∑∑∑x x xx x x xxx x x xx n n n pk kn p n n n n mn k km n n n n n p p N n N N n m N εεεεε阿贝尔变换：{}{}()()()B a a B a B a B a B a B a B a B a B B a B a b a B a aB a b a b B b a kp k k k p p pp p k k k p k k k pk k k p k k k pk k kkp k kkkp k k k ppp k kkki ikkkk ∑∑∑∑∑∑-∑∑∑∑-=+-=+-==-==-=-=+==--=+-=-+=+=--===11111111212112111111111,2,1,,证：）则（是两数列，记设阿贝尔引理：{}{}().,0),2,1,()2()1(2111a a ba Bb B B a ppk kkk ki i k k k MM k M k +≤≤>∃==∑∑==，则，成立对一切为有界数列，即为单调数列；设证：由阿贝尔变换得{}()().2....1111111111111111a a ba aa a a a a a a a a B a ab a b a Ppk kkpp k kk p k kk kp k k k p kp k kk ppp k kkMM +≤-=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-+≤∑∑∑∑∑∑=-=+-=+-=+-=+=于是得到单调，所以由于① 莱布尼兹判别法：()()()){})()()().,.,.0lim ,0,1121k 1k 1111-2111-1-1-1-1-1-u r uu r u u u u u uu u u u n n n n n k n n n n n n n n n nn nn nn b a ii i +++∞+=+∞=-∞→+∞=≤==≥+++->∑∑∑且相同，的符号与余和首项余和收敛级数则：；，单调减少，即数列有交错级数即证明：莱布尼兹级数()()0,1111->=∑∑∞=+∞=uu x nn nn n n ，对N p +∈∀，有()uu u u x x x xx xpn P n n n p n n n n n pn ++++++++++-+-+-=++++=-11321321当 P 是奇数时()uu u u pn P n n n +++++-+-+-11321()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤----->++-+-=++-+++++++++u u u u u u u u u u u n p n p n n n n p n n n n n 1132143210 当 P 是偶数时()uu u u pn P n n n +++++-+-+-11321()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<----≥-++-+-=++++++-+++++u u u u u u u u u u u n p n n n n p n p n n n n n 1321143210因而有()u uu u u x x x x n pn P n n n p n n n n 113213211++++++++++≤+-+-=++++- 成立成立有于是对成立使得对一切，，所以对由于,.,,00lim 113211εεε<≤++++∈∀<>∈∃>∀=++++++++∞→u x x x xN uN u n n n n n n n n p N n n根据级数的Cauchy 收敛原理知 莱布尼兹级数()()收敛0,111->∑∞=+uu nn nn 。
数项级数狄利克雷判别法
数项级数狄利克雷判别法嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个听起来有点高大上的话题——数项级数的狄利克雷判别法。
你可能会想，这玩意儿到底跟我有什么关系呢？别急，咱慢慢道来，保证你听了之后觉得这个东西其实也挺有意思的。
咱得明白，狄利克雷判别法是个什么鬼。
简单来说，这就是一种判断级数收敛性的方法。
收敛性，听起来有点复杂，但其实就是看看一个无穷级数的和到底能不能稳定下来，不会像个风筝一样乱飞。
想象一下，你在聚会上，喝了一点酒，开始说些有的没的，结果越说越跑偏，最后完全不知所云。
相反，如果你能稳住，聊个痛快，那就是收敛了。
明白了吗？哎，说到这里，咱们再来聊聊这个狄利克雷的名字。
老兄可是个数学界的大咖，真是个有才华的人。
他的判别法就像一把钥匙，能够帮我们打开理解级数的宝库。
简单来说，如果你有两个条件——一个是数列的单调性，另一个是数列的有界性，你就可以用这个判别法来判断你那个让人头疼的级数到底是收敛了还是发散了。
说到这里，很多人可能会挠头，心想，单调性和有界性到底是什么鬼？单调性，就是数列的数字要么越来越大，要么越来越小，不能说今天喝了奶茶明天又开始减肥，左右摇摆那可就麻烦了。
有界性嘛，就是这个数列不能无止境地往上飞或者往下掉，得有个底线和上线，明白吧？用个比喻来说吧，就像你在玩游戏，角色升级的时候不能随便掉血。
你得确保这个角色在一个合理的范围内成长，才有可能打到最后的BOSS。
如果角色一直跌跌撞撞，那肯定没戏，对吧？再往深了说，狄利克雷判别法还可以帮我们理解更复杂的级数。
咱们会碰到一些长得奇奇怪怪的级数，像是那些高深莫测的数学家专用的公式。
别担心，狄利克雷的法宝就能派上用场。
只要你能找出那两个条件，基本上就可以断言这个级数要么“安静”地收敛了，要么“疯狂”地发散了。
狄利克雷判别法就像是数学界的老前辈，给我们提供了一条捷径。
也许在日常生活中，我们不常用到这个东西，但有时候它却能让我们轻松解决一些看似棘手的问题。
数学虽说是个严肃的领域，但只要我们用心去探索，总能找到乐趣所在。
反常积分的阿贝尔和迪利克雷判别法的教学初探
（积分第二中值定理）设函数 f 在 [a, b]
b
上可积。若 g 为单调函数，则存在 [a, b] ，使得
u1
f ( x) g ( x)dx
u2 u1
f ( x)dx f ( x) g ( x)dx g (a) f ( x)dx g (b)
a a
g (u1 ) f ( x)dx g (u2 ) f ( x)dx
WANG Wei-fang
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China) Abstract: Most students have difficulty in studying Abel and Dirichlet discriminance. This paper takes the abnormal integral as an example to guide students how to grasp the conditions of the theorems and their application. Key Words: improper integral; Abel; Dirichlet
u
sin x 2 ，
且 1/x 在 1, 上当 x 时单调递减趋于 0，由迪利 克雷判别法，反常积分
1
sin x dx x 1
f ( x)dx
在 a, 有界， g ( x) 在 a, 上当 x 时趋于 0 即 可，再加上运用积分第二中值定理时要求 g ( x) 单调，就 得到了迪利克雷判别法的条件。 定理 2
9.1 变号级数(二)
解：设∑ sin nx的n项部分和为Sn ,
x 1 x 1 cos − cos( n + ) x | cos | + | cos( n + ) x | 1 2 2 | 2 2 ≤ | Sn |=| sin kx |=| ≤ x x x k =1 | sin | 2sin 2 | sin | 2 2 2
（1） ( −1)n ∑
n =1 ∞
n+ 2 1 ⋅3 n+1 n
∞ n
∞ n+ 2 1 n+ 2 1 ⋅ 3 |= ∑ ⋅ 3 发散 . 解：正项级数∑ | ( −1) n+1 n n n =1 n =1 n + 1
n+ 2 1 1 n+ 2 lim( ) / 3 = lim 事实上， ⋅ =1 n →∞ n + 1 3 n n →∞ n + 1 n
§9.1 数项级数
(2)∑ an cos nx
n =1 ∞
解：设∑ cos nx的n项部分和为S n ,
1 x 1 x sin( n + ) x − sin | sin( n + ) x | + | sin | 1 2 2| 2 2 ≤ | Sn |=| cos kx | =| ≤ x x x k =1 | sin | 2sin 2 | sin | 2 2 2 ,{ 由狄利克雷判别法，知其收敛. 即当x ≠ 2kπ 时（k ∈ Z） S n }有界. 由狄利克雷判别法，知其收敛.
n=1 n=1 ∞
∞
n=1
∞
高州师范学院
变号级数
§9.1 数项级数
定理2（阿贝尔判别法） 定理 （阿贝尔判别法） 若级数∑ an bn满足条件：
01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法
又由于bn收敛, 依柯西准则，对任意正数 , 存在
正数N, 使当 n >N 时,对任一正整数 p,都有
n p
bk .
kn
n p
(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到 akbk 3M .
这就说明级数 anbn 收敛.
kn
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
复习思考题
1. 假设级数 un 绝对收敛, 级数 vn条件收敛, 问
级数 (un vn )是绝对收敛还是条件收敛?
2.对于一般项级数
un与
vn ,
从 lim un v n
n
l
0, 能
否得出 un与 vn 同敛散?
3. 总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.
k (k 1,2,, n), 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
推论（阿贝尔引理）
若 (i) 1 , 2 ,, n 是单调数组,记 max{ k }; k
(ii) 对任一正整数 k(1 k n) 有 k A, 则有
设 i ,vi (i 1,2,, n), 两组实数, 若令 k v1 v2 vk (k 1,2,, n),
则有如下分部求和公式成立:
n
ivi (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1 n n . (18)
i1
证 以 v1 1 ,vk k k1(k 2, 3,, n) 分别乘以
2
函数项级数一致收敛判别法的应用与推广
2021年第34期教育教学6SCIENCE FANS 作为数学分析的难点和重要问题，函数项级数的一致收敛性的判定通常需要一定技巧，因此本文旨在全面归纳函数项级数一致收敛的判别方法。
另外，函数项级数与数项级数之间有许多可以类比归纳的地方，因此一些数项级数收敛的判别法，如比式、根式、Raabe判别法等，也可以用于证明函数项级数是否一致收敛。
由于在判别法中需要利用放大的技巧，因此本文总结了多种放大的方法，最后综合各种判别法的优缺点，以更加熟练地应用判别法。
1 函数项级数一致收敛的定义及基本判定方法1.1 函数项级数一致收敛的定义定理1：设u n (x )(n =1，2，3，…)是属于同一定义域E 的函数，可将u 1(x )+u 2(x )+…+u n (x )+…称为函数项级数，记为∑∞=1n u n(x )，称S n(x )=∑=nk 1u k(x )，x ∈E ，n =1，2，…为其部分和函数[1]。
设{S n (x )}的收敛域为集合D ，则∑∞=1n u n(x )，x ∈D的和函数S (x )是其部分和函数{S n (x )}的极限，即S (x )=∞→n lim S n (x )=∞→n lim ∑=nk 1u k(x )，x ∈D 。
1.2 柯西（Cauchy ）判别法定理2.1：（Cauchy 收敛准则）函数项级数∑∞=1n u n(x )在D 上一致收敛的充要条件是：对于>∀ε>0，存在自然数N =N (ε)，使得对于所有x ∈D 和所有正整数p ，都满足 |S n +p (x )−S n (x )|<ε或|u n +1(x )+u n +2(x )+…+u n +p (x )|<ε[2]。
推论：函数项级数∑∞=1n u n (x )在D 上非一致收敛的充要条件是：∃ε0>0，>∀εN >0，∃n >N ，∃x ∈D ，∃p ∈N ，使得∑++=pn n k kx u 1)(≥ε0。
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第２０卷第９期２∞Ｂ年９月辽宁教育行政学院学报Ｊ伽Ｉｍｄｌ０ｆｎ锄赫１１９Ｅ【Ｉｕｃ砸伽越ＡｄＩ证Ｉｌｉ蚰咖ｈ堪ｄｔｕｔｅＶ０１．２０Ｎｏ．９Ｓ叩２００３数项级数中阿贝尔、狄里克雷和莱布尼兹判别法的推广陈献跃，王庆丰，杨学锋（中国刑警学院，辽宁沈阳ｌｌＯ∞５）［摘要］在级数理论中阿贝尔（趾ｄ）判别法、狄里克雷（Ｄｉｒｉｃｌｌｌｅｔ）判别法和莱布尼兹（场蛐）判别法占有相当重要的位置可用“有界变差”代替阿贝尔判别法条件中的“单调有界”，用“趋于零的有界变差”代替狄里克雷判别法条件中的“单调趋于零”，在数项级数理论中推广了阿尔贝、狄里克雷和莱布尼兹判别法。
［关键词】判别法；收敛；级数；序列；阿尔贝；狄里克雷［中图分类号］０１７３［文献标识码】Ａ【文章编号】２００３—０９－００ｌ二０２定义１如果存在数ｃ，使得Ｉｘ２一ｘ１Ｉ＋Ｉｘ３一ｘ２Ｉ＋…＋Ｉｘｎ—ｘｎ—ｌ｝＜ｃ（ｎ＝ｌ，２，…），则称序列｛ｘｎ｝是有界变差序列，或称序列｛】【Ｉｌ｝有有界变差。
定理１凡是有界变差序列都是收敛的。
证明令Ｓ＝二Ｉｘ；＋ｌ—ｘｉＩ（ｎ＝１，２，…）。
由Ｓｎ＜ｃ知，Ｓｎ有上确界ｓ叩ＳＩＩ，又Ｓｎ显然是单调递增序列，故ｓｎ收敛，且ｌｉｍＳ＝ｓｕｐＳＩｌ。
于是，对任给￡＞０，存在自然数Ｎ，使当ｍ＞ｎ＞Ｎ时，恒有ＩＳｍ—ＳｎＩ＝∑ｌｘｉ＋１一ｘｉｌ＜￡，从而ｌ】【ｌＩｌ～ｘｎｌ＝Ｉ蚤（ｘＩ＋ｌ—ｘｉ）ｌ≤；ｌ】【ｉ＋ｌ—ｘｉＩ＝ＩＳⅡＩ—ＳｎＩ＜￡，由柯西（ｃａｕｃｈｙ）收敛准则知，序列｛ｈ｝。
：１．２．．收敛。
引理锄，啦…％，…和Ｂ１，陡，…艮，…为任意两个序列，ｓｎ＝荟ｆ吨＋１一讯Ｉ（ｎ＝ｌ，２，…），￥＝善艮（ｐ＝１，２，…）；如果（１）吨（ｋ＝ｌ，２，…）有有界变差；（２）譬≤正数Ｍ（ｐ＝１，２，…），则对任意正数ｍ，有Ｉ融艮ｌ≤Ｍ（ｓｕｐＳｎ＋Ｉ‰Ｉ），设Ａ为ｌ口ｎＩｌ的上确界，则显然有１荟ａｋｐｋｌ≤Ｍ（ｓｕｐｓ．十Ａ）。
证明：利用阿贝尔变换，可得五‰＆＝五（ａｋ一啦＋１）譬＋ａｌｎＳ．注意到萎Ｉａｋ＋１一吨ｆ≤ｓｕｐＳｎ，Ｉ￥Ｉ≤Ｍ，从而有ｌ泳艮ｌ－ｌ荟（ａｋ一咄＋１）譬＋‰镒Ｉ≤蚤ｌ（噜＋１一ａｋｌＩｓｆＩ＋ｌａⅡｌｌＩ≮Ｉ≤Ｍ（ｓｕｐＳＩＩ七Ｉ‰Ｉ）．再由条件（１＞根据定理１，有ｌｉＩＩｌ‰存在，从而ｌ‰ｌ有界，设ｓｕｐＩ‰Ｉ＝Ａ，因此有｝荟ａｋ艮『≤Ｍ（８叩Ｓｎ＋Ａ）。
定理２阿贝尔判别法的推广如果（１）｛‰｝是有界变差序列；（２）∑ｂｎ是收敛级数，则级数∑ａＩｌｂＩｌ收敛。
证明由条件（２），对任给￡＞Ｏ，存在自然数Ｎ，使当ｎ＞Ｎ时，恒有Ｉ卦ｌ≤赤，这里，ｓｕｐＳⅡ为互ｌａｋ＋１一吨Ｉ（ｉ＝１，２，…）的上确界，ｓｕｐＪ‰Ｉ＝Ａ（根据条件（１））。
如果取ａｋ２％“，艮＝ｂｎ＋ｋ，而Ｍ２莉玎，则由引理知，当ｎ＞Ｎ时，有｝奢睁｛≤面南鬲（ｓ嘁＋Ａ）＜ｅ（ｍ＝１”’）根据柯西收敛准则，级数ｌ∑ａｌｌ艮Ｉ收敛。
由于凡单调有界序列必是有界变差序列，容易看出，阿贝尔判别法是定理２的特例，后者比前者有更广泛的应用范围；另一方面，由于单调函数、分段单调函数、有有界导数的函数，或者满足李普希兹（Ｒ．Ｋｐｓｃｈ池）条件的函数，皆属于有界变差类函数，而由该函数的任一列函数值作成的序列必有有界变差，因此，判别函数或序列的有界变差性质具有多种途径的选择，并且在应用上也是相当方便的。
应当指出，并非一切有界变差函数，都可以写成两个递增单调函数之差，如“。
）：ｆｘｓｉｎ孥ｘ≠ｏ，因此，不肯ｉ直接利用阿贝尔判【Ｏｘ＝Ｏ别法来简单地证明定理２。
例ｌ判定级数一，．ｃ∞詈＋ｅ１．ｍ２｛．。
０ｓ孥＋…＋一÷．ｃｏｓ孚＋…的收敛性。
解（１）｜（ｅ。
≯Ｊ—Ｉ一÷ｅ。
｛·渤詈Ｉ≤专≤ｅ，ｘ∈［１，∞］，即ｅ甜｛有有界导数，于是在区问［１，＊］有有界变差，从而序列｛‰＝ｅ甜告）（ｎ＝１，２，…），有有界变差。
［收稿日期】２∞Ｂ一∞一傩【作者简介］陈献跃（１９６Ｄ一），男，辽宁沈阳人。
中罔刑警学院基础部剐教授。
陈献跃等：数项级数中阿贝尔、狄里克雷和莱布尼兹判别法的推广１３㈤讪ｆ扣扑警≤毒观．·．所给级数收敛，应当看到，阿贝尔判别法对此级数失效。
定理３狄里克雷判别法的推广如果（１）｛魂｝是趋于零的有界变差序列；（２）存在数Ｍ，使ｉ；ｂＩＩｌ≤Ｍ（Ｎ＝１，２，…），则级数∑ａｎｂｒＩ收敛。
证明由条件（１）．（２）知满足引理，有Ｉ；ａｎｂｎｌ≤Ｍ（ｓｕｐＳｌｌ＋ｌａｎｌ），再由（１）有ｌｉｍａＩＩ＝Ｏ，１ｉⅡｌＳｎ＝ｌｉｌｎ∑·ｌａｉ＋ｌ—ａｉ｜－ｓｕｐＳＩｌ（参见定理１证明）。
于是，对任给￡＞Ｏ，存在自然数Ｎｌ，当ｍ＞Ｎ１时，１％ｌ＜赢，又存在自然数Ｎ２，使当ｎ＝№＋ｋ（ｋ＝１，２，…）时，有＆＝ｌ＆一沁ｌ：萋ｈ－刮＜丽高；ｓ啦≤赢，（ｋ＝ｌ＇２’…），对序列｛ａＮ．＋ｋ｝，ｋ＝１，２，…（有有界变差）以及序列｜ｂＩ＋ｋ｝，ｋ＝ｌ，２…，因Ｉ譬Ｉ＝ｌ蚤ｂｉＩ≤Ｍ（ｋ＝１，２…），由引理知，当Ｍ＝ｍ缸（Ｎｌ，Ｎ２）时，有｝薹ａｉｂｉ知，当Ｍ＝ｍ缸（Ｎｌ，Ｎ２）时，有｝堇ａｉｂｉＪ≤Ｍ（ｓｕｐＳｋ＋ｌａＮ＋ｋ≤Ｍ（丽商＋而商）＜ｅ，由柯西收敛准则知，暑ａⅡｂｎ收敛。
同样，定理３比狄里克雷判别法有更广泛的应用范围，而后者是前者的特殊情况。
定理４莱布尼兹（瞄ｂＩｌｉｚ）判别法的推广对交错级数∑（一１）”１ａｎ，如果有界变差序列ａｌｌ趋于零，则此级数收敛。
证明取ｂＩＩ＝（．１）”１，则ｉ荟ｂｋｌ≤１（ｎ＝Ｉ，２，…），又因有界变差序列｛ａｎ｛趋于零，由定理３知交错级数∑（．１）”１ａｎ收敛。
例２判定交错级数妻（．１）ｍ－堂型业建ｋ是否收敛。
解令“ｘ）：磐Ｌ旦型地，则当１≤ｘ＜∞时，ｌｆ（）墨【垒堂坚莲蚣盘坚璺堡蛭望ｋ）＝蜜墼盘ｋｆ≤掣＋÷≤Ｉａｆ＋２Ｉｂｌ＋１，所以，“ｘ）为［１，＊）上的有界变差函数，从而｛ａｎ＝毕）为有界变差序列，而且ｌｉｍａｎ＝ｏ，由定理４知所给级数收敛。
应当看到莱布尼兹判别法对此级数失效。
与定理２、定理３的情况一样，莱布尼兹判别法是定理４的特例。
（责任编辑：刘莉）（上接第１页）证：设ｌｉｌＩＤ【ｐ＝ａ，取定Ｅ０＝１，了‰，当ｐ＞峋时，有Ｉ’一ａＩ＜１。
已知ｌｘｐ『一ｌａｌ≤Ｉ）【ｐ—ａＩ，当ｐ＞‰时，有ｌ】【ｐＩ～ｌａｌ≤Ｉｘｐ—ａｌ＜ｌ或ｌｘｐｌ（１ａＩ＋ｌ。
取Ｍ＝ＪａＪ＋１，即对于充分靠后的ｐ’有Ｉｘ。
Ｉ＜Ｍ。
定理３：（保序性）若ｌｉ瑚】【ｐ＝ａ，１ｉ１１１ｙｐ＝ｂ且ａ＜ｂ，则存在ｐ，，当ｐ＞ｐ７时有～＜ｙｐ。
证：取龟＝与≯，则３ｐＩ当ｐ＞ｐｌ时，有ｆｘＰ－ａｌ＜宁即ａ一宁＜）【ｐ＜ａ＋宁或～＜字。
ｊ强，当ｐ＞功时，有ｙｐ－ｂＩ＜宰即ｂ一守＜ｙｐ＜ｂ＋宁或字＜ｙｐ。
根据定义２，对于ｐｌ、ｐ２必有Ｐ中元素ｐ，，使ｐ，＞ｐｌ，ｐ，＞ｐ２０当ｐ＞ｐ，时，同时有ｘｐ＜譬尹，ｙｐ＜与产，即ｘｐ＜ｙｐ。
推论１：若１吨＝ａ且ａ＜ｂ（或ａ＜ｂ），则存在ｐ，，当ｐ＞ｐ，时有】【Ｄ＜ｂ（或ｘｐ＞ｂ）证：在定理３中取ｙｐ＝ｂ，有１ｉｎｌｙｐ＝ｂ（ａ＞ｂ的证法相同）．推论２：设ｌｉｌｌ哗＝ａ，ｌｉｍｙｐ＝ｂ且存在ｐ，，当ｐ＞ｐ，时ｘｐ≥ｙｐ，则ａ≥ｂ．证：反证法，假设ａ＜ｂ，取一数ｒ，使ａ＜ｒ＜ｂ．由推论１知了Ｐ１，当ｐ＞ｐｌ时，有】（ｐ＜ｒ。
又ｊｐ２，当ｐ＞ｐ２时，有ｙ口＞ｒ０由定义２知了ｐ，，使∥＞ｐ１，ｐ，，＞．ｐ２，ｐ，，＞ｐ，，，则当ｐ＞ｐ，，时，同时有】（ｐ≥ｙｐ，】【ｐ＜ｒ，ｙｐ＞ｒ矛盾，结论得证。
同样可平行的推得收敛的有序变量的四则运算，有序变量收敛的判别定理（夹挤定理）以及柯西收敛准则。
【参考文献］［１］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９６０．［２］孙敦甲．有序变量及其极限［Ｊ］．数字通报，１９９１．（责任编辑：刘莉）数项级数中阿贝尔、狄里克雷和莱布尼兹判别法的推广作者：陈献跃， 王庆丰， 杨学锋作者单位：中国刑警学院,辽宁,沈阳,110035刊名：辽宁教育行政学院学报英文刊名：JOURNAL OF LIAONING EDUCATIONAL ADMINISTRATION INSTITUTE年，卷(期)：2003，20(9)被引用次数：0次1.期刊论文丁殿坤.王鲁新.DING Dian-kun.WANG Lu-xin由Cauchy判别法和D'Alembert判别法所得到的结论及其应用-安庆师范学院学报（自然科学版）2006,12(2)求幂级数的收敛半径,一般都用D'Alembert判别法,用Cauchy判别法亦可求幂级数的收敛兰径,因此,本文由D'Alembert判别法和Cauchy判别法得到了有关的结论,从而可应用结论求形如lim n→∞n√(φ)(n)或lim x→+∞x√(φ)(x)的极限.2.期刊论文刘勇.LIU Yong对反常积分非常规收敛判别法的研究-理科爱好者（教育教学版）2009,1(2)对反常积分敛散性的判定,有不少人对其研究,已得出了许多判定方法.本文叉介绍了两种非常规的判定方法:1利用教项级数与反常积分的关系来判定:2将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来.利用数列的性质.更为简便直观地判断反常积分的发散.3.期刊论文李波.崔群法.LI Bo.CHUI Qunfa正项级数收敛判别法的推广-安阳工学院学报2008,""(6)首先将柯西定理的条件改变为一般形式,进而将正项级数收敛性判别法中的比值判别法和广义比值判别法进行了椎广.4.期刊论文杨钟玄双比值判别法与对数判别法的比较-四川师范大学学报(自然科学版)2004,27(1)双比值判别法是近年来提出的判别正项级数敛散性的一种新方法,它强于传统的达朗贝尔判别法与拉贝判别法.关于双比值判别法与对数判别法的强弱关系问题是值得探讨的.通过对这两种判别法中所含极限的存在性关系的研究,可以得出对数判别法强于双比值判别法的结论.5.期刊论文杨钟玄.YANG Zhong-xuan拟Raabe判别法与拟对数判别法的强弱关系-大学数学2008,24(1)拟Raabe判别法是新近提出的关于正项级数收敛性的一种比较细致的判别法.对通项递减的正项级数来说,此判别法强于传统的Raabe判别法与Gauss判别法.通过对拟Raabe判别法与另一个细致的判别法--拟对数判别法强弱关系的探讨,得出了后一判别法强于前者的结论.6.期刊论文李春江级数收敛的判别方法-中小企业管理与科技2010,""(10)级数理论在数学分析中占有很重要的一席之地,而级数理论中,研究无穷级数的收敛性则相当的重要.仅由收敛原理来判别级数的敛散性,在实际问题中,往往是不可行的.本文中,主要介绍了比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法,拉阿比判别法,对数判别法,双比值判别法,高斯判别法,柯西积分判别法,对于常用的判别法,本文对其有效性做了简单的比较,从而能够使读者更加深入的了解和熟悉各种判别法的使用范围.7.期刊论文杨钟玄.YANG Zhong-xuan正项级数收敛性的又一新判别法-贵州师范大学学报（自然科学版）2005,23(4)近年来,关于正项级数收敛性判别法又有一些新的研究,其中主要是得到了一些关于收敛性的新判别法以及对有关判别法的强弱进行了讨论.本文建立了正项级数收敛性的又一个新判别法,它适用判别与级数∑∞n=2(1)/(n(lnn)s)敛散速度相当的正项级数的敛散性,因而新判别法比传统的Raabe判别法等更为精细.此外,通过与Gauss判别法进行比较,得出了新判别法强于Gauss判别法的结论.8.期刊论文张亚敏正项级数两种判别法的比较-黑龙江科技信息2007,""(21)讨论了正项级数的两种判别法:比值判别法和根值判别法,以及两者的关系,得出凡是可用比值判别法的正项级数必能用根值判别法,逆命题不成立,根据具体问题的特点采用不同的方法,解题得难以程度不同.9.期刊论文王艳天正项级数敛散性的判别法-电大理工2008,""(1)正项级数的比值判别法与根值判别法在实际应用时经常会遇到失效,将这两种方法分别应用在P-级数上进行讨论,并加以比较,得出建立对一切正项级数有效的比较标准是不可能的.10.期刊论文罗光耀.郭华.LUO Guang-yao.GUO Hua求函数项级数收敛区间的一种新方法-大学数学2008,24(6)对形如∞∑n=0anxkn+b(k∈N,b∈Z)的幂级数,当其缺项的时候,不能直接用公式ρ=limn→∞|an+1/an|求其收敛半径与收敛区间(本文约定收敛区间不含端点),一般都是直接采用达朗贝尔(比值)判别法求其收敛半径与收敛区间.事实上,对这种幂级数只需先作一个变量代换,就可以采用公式法求解.本文给出了这种方法的理论证明,并将结论进行了推广,即利用变量代换与公式法同样可求形如∞∑n=0anxkn+b/s(k,s∈N,b∈Z)形式的函数项级数的收敛区间.本文链接：/Periodical_lnjyxyxb200309007.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：0498b274-4870-4e56-b279-9dcb0165faf7下载时间：2010年8月7日。