上海市闵行中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
闵行区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
闵行区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．杂质高杂质低旧设备37 121新设备22 202根据以上数据，则（）A．含杂质的高低与设备改造有关B．含杂质的高低与设备改造无关C．设备是否改造决定含杂质的高低D．以上答案都不对2．设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，公比q=2，S k+2﹣S k=48，则k等于（）A．7 B．6 C．5 D．43．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．354．设F1，F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）A．B．C．D．5．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（）A．2160 B．2880 C．4320 D．86406．在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（）A．13 B． C． D．217．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．8．直线2x+y+7=0的倾斜角为（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在9．如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D﹣ABC中最长棱的长度为（）A．B．2 C．D．310．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A ．＞B ．＞C ．|a|＞|b|D ．a 2＞b 211．设函数F （x ）=是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x∈R 恒成立，则（ ） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），fD ．f （2）＜e 2f （0），f12．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S 的值为（ ）A ．9.6B ．7.68C ．6.144D ．4.9152二、填空题13．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为15．设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若复数z=3﹣i ，则z •= ．16．已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan （θ﹣）= ．17．给出下列命题：（1）命题p ：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q ：菱形的对角线相等；则p ∨q 是假命题（2）命题“若x 2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题 （3）“1＜x ＜3”是“x 2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则¬p：．其中叙述正确的是．（填上所有正确命题的序号）18．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）三、解答题19．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12ln x恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a），记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．20．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c=asinC ﹣ccosA ．（1）求A ；（2）若a=2，△ABC 的面积为，求b ，c ．22．（本小题满分12分）两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.（1）求0x =，1y =，2z =的概率；（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．23．为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t 0小时．为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）（单位：小时）的概率（Ⅱ）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t 0，试确定t 0的取值范围24．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．闵行区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】独立性检验的应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表杂质高杂质低合计旧设备37 121 158新设备22 202 224合计59 323 382由公式κ2=≈13.11，由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．2．【答案】D【解析】解：由题意，S k+2﹣S k=，即3×2k=48，2k=16，∴k=4．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题．3．【答案】C【解析】【知识点】算法和程序框图【试题解析】否，否，否，是，则输出S=24．故答案为：C4．【答案】C【解析】解：F，F2为椭圆=1的两个焦点，可得F1（﹣，0），F2（）．a=2，b=1．1点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2，|PF2|==，由勾股定理可得：|PF1|==．==．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．5．【答案】C【解析】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15，又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320．故选C【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，还考查了频率分布直方图的定义，并利用定义求解问题．6．【答案】B【解析】解：∵a=1，b=4，C=60°，∴由余弦定理可得：c===．故选：B．7．【答案】B【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．8．【答案】C【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论．【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，则θ为钝角．故选：C．9．【答案】B【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，即AD•≥1，因为2=AD+≥2=2，当且仅当AD==1时，等号成立，这时AC=，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=，得BD=，故最长棱的长为2．故选B．【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．10．【答案】A【解析】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，可知：B，C，D都正确，因此A不正确．故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．11．【答案】B【解析】解：∵F（x）=，∴函数的导数F′（x）==，∵f′（x）＜f（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）是减函数，则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜e2f（0），f，故选：B12．【答案】C【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）x，结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．故选：C ．二、填空题13．【答案】-2【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：所以故答案为：-214．【答案】222,02,0x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩【解析】试题分析：令0x <，则0x ->，所以()()()2222f x x x x x -=---=+，又因为奇函数满足()()f x f x -=-，所以()()220f x x x x =--<，所以()y f x =在R 上的解析式为222,02,0x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩。
2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷
2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. （ 4分）复数—（ i 是虚数单位）的虚部是1+12. ______________________________________ （ 4分）抛物线y = 2x 2的准线方程为 .3. （ 4分）在复平面上，复数z1= 1+2i 、z2= 3 - 4i 分别对应点A 、B, O 为坐标原点，贝U 也"M4.（4分）若一个圆锥的底面面积为_________ 9n,母线长为5，则它的侧面积为厂Oy — dL — 1 in 6 一k5. （ 4分）参数方程丿（B （R ）所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是 ________L y=cas 06. （ 4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：① 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；② 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两直线平行；④ 垂直于同一条直线的两直线平行；⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是__________ （写出所有符合要求的序号） 7. （ 5分）已知关于 x 的实系数方程 x 2+ax+b = 0有一个模为1的虚根，则a 的取值范围& （5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为正（主）视團侧（左）视廊9. （5分）已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经侗视图121 °、北纬31 °,开罗的位置约为东经31 °、北纬31 °,两个城市之间的距离为____________ （结果精确到1千米）.10. （5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于贝U sin a=11. （5 分）若复数 z 满足 |z - 2|=|Rez+2|，则 |z - 3 - 2i|+|z - 2| 的最小值 12. （ 5 分）在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB =.二，BC = AA 1= 1,点m 与n 异面 m 与n 相交 m 与n 平行 m 与n 异面、相交、平行均有可能OM 的斜率为k ,则|k|的最小值为（C . 2三、解答题（本大题共 5题，共76分） 17 . （14分）如图，正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面边长 AB = 2，若BD 1与底面ABCD所成的角的正切值为（1）求正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积;a,M 为线段AB 1的中点，点P 为对角线AC i 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，则MP+PQ 的最小值二、选择题（本大题共 4题，每题5分, 20分）13. （5分）已知空间三条直线 I 、m 、n .I 与m 异面，且I 与n 异面,则（14. （5 分）若一个直三棱柱的所有棱长都为 1，且其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为（C .11兀15.（ 5 分）定义：复数 z 与i 的乘积zi 为复数z 的旋转复数”设复数 z = x+yi （x ，y€R ）对应的点（x, y ）在曲线 x 2- 2xy - y = 0上，则z 的"旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）2 A . y +2xy - x = 0 2 B . y - 2xy+x = 0 2 2C . y +2xy+x = 0D . y - 2xy - x = 016. （ 5分）已知直线I 与抛物线x 2 = 4y 交于 A 、B 两点，若四边形 OAMB 为矩形，记直线（2）求异面直线A1A与B1C所成的角的大小.218. （14分）设z+1为关于x的方程x+px+q= 0 （p, q駅）的虚根，i是虚数单位.（1 ）当z=- 1 + i时，求p、q的值；（2）若q = 1,在复平面上，设复数z所对应的点为M，复数2 -4i所对应的点为N,试求|MN|的取值范围.19. （14分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC、EF是底面圆0的两条互相垂直的直径，D为母线AC的中点，已知过EF与D 的平面与圆锥侧面的交线是以D为顶点、DO为对称轴的抛物线的一部分.（1 ）证明：圆锥的母线与底面所成的角为——；20. （16分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[bi e ndo].某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC - A1B1C1 （图1）, A1ABB1是边长为2的正方形.(1 )若厶ABC是等腰三角形，在图2的网格中(每个小方格都是边长为1的正方形)画出堑堵的三视图；(2)若C1D丄A1B1, D在A1B1上，证明：C1D丄DB，并回答四面体DBB1C1是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论) ；若不是，请说明理由；(3)当阳马A1 - C1CBB1的体积最大时，求点B1到平面A1BC的距离.21. (18分)设点P (X0, y0)是抛物线r：y2= 4x上异于原点O的一点，过点P作斜率为k1、k2的两条直线分别交r于 A (x1, y1)、B (x2, y2)两点(P、A、B三点互不相同)(1)已知点Q (3, 0),求|PQ|的最小值；(2 )若y o= 6，直线AB的斜率是k3,求的值；k l W(3)若y0= 2，当■； = 0时，B点的纵坐标的取值范围.2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.z的虚部为-1故答案为：-1.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可.【解答】解：抛物线的方程可变为x2=其准线方程为故答案为【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为 =1，因看错方程形式马虎导致错误.（4分）在复平面上，复数z1= 1+2i、Z2= 3 - 4i分别对应点A、B, O为坐标原点，贝U M【分析】由条件得二应二」J,卞7；,然后计算两向量的数量积即可.【解答】解：由复数Z1= 1+2i、z2= 3- 4i分别对应点A、B, O 为坐标原点，得0A=（l, 2），5B=（3, -4），故答案为：-5.【点评】本题考查了复数与向量的关系和向量的数量积，属基础题. 第5页（共20页）2」2C1-L)1+1-2 4【解答】解：T1. （4分）复数,（i是虚数单位）的虚部是-11+12. （4分）抛物线y= 2x2的准线方程为二_匸3.4. （ 4分）若一个圆锥的底面面积为 9n,母线长为5，则它的侧面积为 15 n【分析】由已知中圆锥的底面面积及母线长，求出圆锥的底面半径，代入侧面积公式，可得答案.【解答】解：一个圆锥的底面面积为 9 n,母线长为5，可得圆锥的底面半径为： 3,周长为6 n,它的侧面积为：兀?5 = 15 n. 故答案为：15 n【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的底面半径和高，是解答的关键.【分析】取y = 0求得0,代入x = 4- sin 2 B 求得x 值，则答案可求. (0R )，取 y = 0，得 cos 0= 0,贝U 0=故答案为：（3, 0）.【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查由已知三角函数值求角，是基础题.6. （ 4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：① 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；② 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两直线平行；④ 垂直于同一条直线的两直线平行；⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是①③（写出所有符合要求的序号）【分析】利用平面直线与直线的位置关系以及点与直线的位置关系，判断空间点与直线,直线与直线的位置关系的真假即可.【解答】解：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；在空间内也成立；（4分）参数方程x-4-si n 6（0段）所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是（3, 0）【解答】解：对于* 2x = 4- sin 0= 4 -sin 2 = 3参数方程x=4-si n 2 0严匚g 日（0 R ）所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是（3, 0）.②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；在空间内，与经过这一点直线垂直的直线有无数条，所以不正确；③平行于同一条直线的两直线平行；这是平行公理，正确；④垂直于同一条直线的两直线平行；在空间中，不成立，因为转化两条直线可以是异面直线；所以不正确；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以是空间四边形，所以不正确. 故答案为：①③.【点评】本题考查平面内直线与直线的位置关系以及空间中直线与直线的位置关系的应用，是基本知识的考查.27. （5分）已知关于x的实系数方程x +ax+b = 0有一个模为1的虚根，则a的取值范围是（-2,2）.【分析】设出复数乙利用已知条件，结合韦达定理，及|z|= 1，求得b，在根据△< 0求出a的范围.【解答】解：设z= m+ni,则方程的另一个根为L = m - ni,方程有一个模为1的虚根， m2+n2= 1,由韦达定理有，丘工劭=异+门2=1,又厶=a2- 4b = a2- 4v 0, ?- 2v a v 2,a的取值范围为（-2, 2）.【点评】本题考查了实系数方程虚根成对定理和复数的运算性质，考查了方程思想和转化思想，属基础题.& （5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ . ' _ _.正视團侧（左）视團【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形,第7页（共20页）对角线长是2,侧棱长是2,高是血匚下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 2,高是2, 组合体的体积包括两部分，写出公式得到结果.【解答】解：由三视图知几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是 2,侧棱长是2,高是：.?=.； F 面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 2, 高是2,组合体的体积是【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查圆柱的体积和四棱锥的体积，本题是一个基础题，题目只有四棱锥的高需要求出，运算量比较小. 9. （ 5分）已知地球的半径约为 6371千米，上海的位置约为东经121 °、北纬31 °,开罗的位置约为东经31 °、北纬31 °,两个城市之间的距离为6571 （结果精确到1千米）.【分析】根据题意画出图形，结合图形求出球面上两点间的距离即可. 【解答】解：如图所示，设地球的半径为只，则厶AO ' B 中，/ AO ' B = 121 °- 31 °= 90°,AB = .「AO '=二 R ,/ AOB = 1.0314,「= |o|R = 1.0314X 6371~ 6571 （千米）, 即上海和开罗两个城市之间的距离为6571千米.+ nX 12 X 2 =故答案为:2<3△ AOB 中，cos / AOB OA 2^OB 2-AB22OA-OBA0'= B0'= Rcos30°【点评】本题考查了球面上两点之间的距离计算问题，是基础题.10. （5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于贝U sin a= 丄__—3 —【分析】棱A 1A , A 1B 1, A 1D 1与平面AB 1D 1所成的角相等，平面 AB 1D 1就是与正方体的 12条棱的夹角均为 0的平面.则/ A 1AO = 0,即可得出.【解答】解：I 棱A 1A , A 1B 1, A 1D 1与平面AB 1D 1所成的角相等, ?平面AB 1D 1就是与正方体的12条棱的夹角均为 0的平面.则/ A 1AO = 0,【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11. （5 分）若复数 z 满足 |z - 2|=|Rez+2|，则 |z - 3 - 2i|+|z - 2| 的最小值5a,故答案为：比.【分析】设z= x+yi, x, y€R.由满足|z- 2|= |Rez+2|,可得&直-2)'十丫"= |x+2|，化为: y2= 8x.可得F (2, 0) , Q ( 3, 2),抛物线的准线I: x=- 2 .过点P作PH丄I，垂足为H .可得z-3 - 2i|+|z- 2|= |PF|+|PQ|> |QH|.【解答】解：设z= x+yi, x, y€R.满足z-2|=瓏乙+2|,.?.，」| 「==|x+2|,化为：y2= 8x.可得F (2, 0) , Q (3 , 2),抛物线的准线I: x=- 2.过点P作PH丄l,垂足为H.则|z- 3-2i|+|z- 2|= |PF|+|PQ|> |QH|= 5,当且仅当三点Q , P , H 三点共线时取等号.故答案为：5.H0k F x【点评】本题考查了复数的几何意义、抛物线的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12. （5 分）在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = '! , BC=AA1= 1 ,点M 为线段AB1 的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点，贝U MP + PQ的最小值为3_ 7—.【分析】画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP + PQ的最小值.【解答】解：由题意，要求MP + PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1, 在同一个平面上，如图，MP + PQ的最小，最小值易知/ B1AC1=/ C1AC= 30 ° ,，可知MQ丄AC时,为=亍故答案为二.4【点评】本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.、选择题（本大题共4题，每题5分，共20 分）13. （5分）已知空间三条直线I、m、n.若I与m异面，且I与n 异面，则（）A . m与n异面B . m与n相交C. m与n平行D . m与n异面、相交、平行均有可能【分析】可根据题目中的信息作图判断即【解答】解：空间三条直线I、m、n.若I与m异面，且I与n 异面，/ m与n可能异面（如图3）,也可能平行（图1），也可能相交（图2）,故选：D.为（） A . n【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为1的正三棱柱,CiOEA 1 中, OE =二，°A ：■「汀:I L 1 ?球的表面积为S = "?—-丄", 故选：B.14. （ 5分）若一个直三棱柱的所有棱长都为 1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积C .11兀设上下底面中心连线 EF 的中点0,则0就是球心，其外接球的半径为 OA 1,设D 为A 1C 1中点，在直角三角形 EDA 1中，EA 1A]D sin60°在直角三角形由勾股定理得想，属于基础题.【点评】本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力，是中档题.15. （5分）定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的旋转复数”设复数 z = x+yi （x , y€R ）对应的点（x, y ）在曲线x 2- 2xy - y = 0上，则z 的"旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）2 2 2 2A . y +2xy - x = 0B . y - 2xy+x = 0C . y +2xy+x = 0D . y - 2xy - x = 0【分析】根据题意求出旋转复数 zi =- y+xi （x , y€R ）对应的点（-y , x ）,再根据复数 z = x+yi （x , y €R ）对应的点（x , y ）在曲线x 2- 2xy - y = 0上求出结论即可.【解答】解：复数z = x+yi （x , y€R ）对应的点（x , y ）在曲线x 2 - 2xy - y = 0 上, ?复数z 的旋转复数zi =- y+xi （x , y€R ）对应的点（-y , x ）, 令 x ，= - y , y '= x ,则，x = y ', y =- x ，即，y ' 2- 2y ，（- x ）-（ - x '）= 0 故，y 2+2xy+x = 0 故选：C .【点评】本题考查复数运算以及点的轨迹方程，难度较易.16. （5分）已知直线I 与抛物线x 2 = 4y 交于A 、B 两点，若四边形 OAMB 为矩形，记直线 OM 的斜率为k ,则|k|的最小值为（）A . 4B . 2 二C . 2D .一】【分析】先设出AB 的方程为y = mx+ n ,与抛物线联立方程组，根据矩形 OABM 的特征求出n 的值，然后建立|k|表达式，求出其最小值.【解答】解：设AB 的方程为y = mx+n ，则?刁得x - 4mx - 4n = 0,设 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),贝x 1+x 2= 4m , x 1x 2= — 4n , y 1 +y 2 = m (x 1+x 2) +2n ,Hi严y 1y 2=( mx 1+n ) (mx 2+ n )= 伽(疋］+x ?〕+阻 =因为四边形OAMB 为矩形，所以| '■ 11,解之得n = 4或n=0 （舍去），因为OM 过AB 的中点P，则|k|“OP|訂寿|訂塔坦2 2 2 2 -4m n+4m n+n =n .当且仅当m2= 2，即皿=±血时，取得等号；第13页（共20页）故选：B.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目.三、解答题（本大题共5题，共76分）17. （14分）如图，正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面边长AB= 2，若BD1与底面ABCD所成的角的正切值为一】.（1，求正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的体积；（2，求异面直线A1A与B1C所成的角的大小.【分析】（1 ）利用直线与平面所成角，求解侧棱的长度，然后求解体积.（2）说明/ CB1B是异面直线A1A与B1C所成的角，由此能求出异面直线A1A与B1C所成的角的大小.【解答】解：（1）：正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面边长为2,AA1丄平面ABCD , BD1与底面ABCD所成的角的正切值为持打.BD = 2 :？,所以AA1 = 4,正四棱柱ABCD - A1B1C1D1 的体积：2 X 2 X 4= 16.(2)T A1A // B1B ,/ CB1B是异面直线A1A与B1C所成的角,由(1 )知AA1 = 4, ? BC = 2,4tan/ CB1B = -- - 7;异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan2.【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.218. （14分）设z+1为关于x 的方程x+px+q = 0 （ p , q 駅）的虚根，i 是虚数单位.（1 ）当z =- 1 + i 时，求p 、q 的值；（2）若q = 1,在复平面上，设复数 z 所对应的点为 M ，复数2 -4i 所对应的点为N ,试求|MN|的取值范围.【分析】（1）由条件知方程只+px+q = 0的两根分别为i ,- i ，然后利用根与系数的关系可得p , q 的值；（2 ）根据条件，令 a+1 = cos B , b = sin 0 , 0（［0 , 2n ）,然后由 |MN | =血二灵匚乔忑;6石畀可得|MN |的范围.【解答】解：(1)v z =- 1+i , z+1 = i ,则方程x '+px+q = 0的两根分别为i ，- i .(2)设z = a+bi (a , b€R ),贝U z+l = 3+l+bi = a+1 - bi . 由题意可得：(z+1) . =( a+1) 2+b 2= 1.令 a+1 = cos 0, b = sin 0,, 2 n).复数z 所对应的点为 M ，复数2 - 4i 所对应的点为N , ? |MN=G泸十(“门8 十4)* = V10si 口十G) +2E €[4, 6].【点评】本题考查实系数一元二次方程的根与系数的关系、共轭复数的性质、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属中档题. 19. （14分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC 、EF 是底面圆0的两条互相垂直的由根于系数的关系有直径，D 为母线AC 的中点，已知过 EF 与D 的平面与圆锥侧面的交线是以 D 为顶点、DO 为对称轴的抛物线的一部分.(1 )证明：圆锥的母线与底面所成的角为可(2)若圆锥的侧面积为 8n,求抛物线焦点到准线的距离.解：(2)°.?圆锥的侧面积为 8 n, ? url = 8 n, ? r = 2, BC 、EF 是底面圆O 的两条互相垂直的直径， D 为母线AC 的中点, OD =l = 2r .即可求得圆锥的母线与底面(2(由nr l = 8 n?r = 2在过EF 与D 的平面内，以 D 为原点，直线DO 为x 轴，建立空间直角坐标系，可设抛物线方程为 y 2= 2px ,点F(1, 2)在物线y 2= 2px 上，求得p即可.【解答】证明：(1)设圆锥底面半径为r ，母线为l . 圆锥的展开侧面图是一个半圆,一■一 _，? l = 2r.圆锥的母线与底面所成的角为a.圆锥的母线与底面所成的角为l .可得所成的角为&在过EF与D的平面内，以D为原点，直线DO为x轴，建立空间直角坐标系，可设抛物线方程为y2= 2px,点 F (1, 2)在物线y2= 2px上，? p= 2抛物线焦点到准线的距离为p = 2.【点评】本题考查了圆锥的性质，抛物线的方程及性质，属于中档题.20. (16分)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[bi e ndo].某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC - A1B1C1 (图1), A1ABB1是边长为2的正方形.(1 )若厶ABC是等腰三角形，在图2的网格中(每个小方格都是边长为1的正方形)画出堑堵的三视图；(2)若C1D丄A1B1, D在A1B1上，证明：C1D丄DB，并回答四面体DBB1C1是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论) ；若不是，请说明理由；(3)当阳马A1 - C1CBB1的体积最大时，求点B1到平面A1BC的距离.【分析】(1 )△ ABC是等腰三角形，由AB= 2，得AC= BC = . 1,由AA1= 2,点C到直线AB 的距离为1，由此在图2的网格中画出堑堵的三视图.(2)由平面A1B1C1丄平面ABB1A1，且平面A1B1C1 n平面ABB1A1 = A1B1，得C1D丄平面ABB1A1，从而C1D丄DB，四面体DBB1C1是鳖臑，由此能求出结果.(3)当阳马A1 - C1CBB1的体积最大时，AC丄BC,且AC = BC= ?，以C为原点，CA 为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B1到平面A1BC的距离.【解答】解：(1)解：△ ABC是等腰三角形，由AB = 2,得AC = BC =.f,。
闵行区高级中学20182019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
闵行区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若将函数y=tan （ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，及函数y=tan （ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．2． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A ．B ． C. 34D ．03． 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．x=1B ．x=C ．x=﹣1D ．x=﹣4． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=sinx B ．y=1g2x C ．y=lnx D ．y=﹣x 3【考点】函数单调性的判断及证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．5． 若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f′（x ）满足f′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 及直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）D 1 C 1A 1B 1 PD CA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.7． 平面α及平面β平行的条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线及β平行 B ．直线a∥α，a∥β C ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a∥β，b∥α D ．α内的任何直线都及β平行8． 设函数()()21x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1111] 9． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．10．设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）A ．2B ．4C ．D ．11．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ） A ．1 B ． C ． D ． 12．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为1S 、2S 、3S ，则（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ．213S S S <<D ．213S S S >>13．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，m⊥α，则l⊥α； ②若m∥l，m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差15．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）A B CD二、填空题16．抛物线的准线及双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________17．下列说法中，正确的是．（填序号）①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；②在同一平面直角坐标系中，y=2x及y=2﹣x的图象关于y轴对称；③y=（）﹣x是增函数；④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．18．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2，），（3，），则O点到直线AB的距离是．19．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少cm．（不计杯壁厚度及小虫的尺寸）三、解答题20．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．（1）求{a n}和{B n}的通项公式；（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．21．在平面直角坐标系xOy 中，经过点且斜率为k 的直线l 及椭圆有两个不同的交点P 和Q ． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆及x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量及共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +（n∈N *）．证明：对一切n∈N *，有 （Ⅰ）＜； （Ⅱ）0＜a n ＜1．23．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：的两个焦点，是椭圆上一点，11222|,|2|PF F F PF 成等差数列． （1）求椭圆C 的标准方程；、（2）已知动直线l 过点F ，且及椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x 的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．25．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中，侧棱1A A 底面ABCD ，//AB DC ，AB AD ，1AD CD ＝＝，12AA AB ＝＝，E 为棱1AA 的中点. （Ⅰ）证明：11B C 面1CEC ；（II ）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 及平面11ADD A 26，求线段AM 的长.11闵行区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．2．【答案】B【解析】考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.3．【答案】C【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右，焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2故抛物线的准线方程为x=﹣1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．4．【答案】B【解析】解：根据y=sinx图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性；y=lg2x=xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项B正确；根据y=lnx的图象，该函数非奇非偶；根据单调性定义知y=﹣x3在（0，+∞）上单调递减．故选B．【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义．5．【答案】C【解析】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．6．【答案】D.第Ⅱ卷（共110分）7．【答案】D【解析】解：当α内有无穷多条直线及β平行时，a及β可能平行，也可能相交，故不选A．当直线a∥α，a∥β时，a及β可能平行，也可能相交，故不选 B．当直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β 时，直线a 和直线 b可能平行，也可能是异面直线，故不选 C．当α内的任何直线都及β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选 D．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．8．【答案】D【解析】考点：函数导数及不等式．1【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归及转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函数()()()21,x g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值范围.9． 【答案】A 【解析】10．【答案】C【解析】解：由于q=2， ∴∴；故选：C ．11．【答案】C【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A ，B ，D 皆有可能，而＜1，故C 不可能．故选C ．【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．12．【答案】A 【解析】考点：棱锥的结构特征．13．【答案】 B【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，则由直线及平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，由AB、BC、BB1两两相交，得：若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．【答案】D【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2= [（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，B样本方差S2= [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确故选D．【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．15．【答案】C【解析】根据题意有：A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|==13。
2018-2019学年上海市奉贤中学高二上学期月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市奉贤中学高二上学期月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】试题分析：由复数的几何意义作出相应判断．解：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限，故选D ． 点评：本题考查的是复数的几何意义，属于基础题．2．“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：直线20ax y +=平行于直线1x y +=122aa -⇒=-⇒=，因此正确答案应是充分必要条件，故选C. 【考点】充要条件.3．已知数列{}n a 的通项公式2,,n a n n N =∈*则122334*********4455620142015.....a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=（ ）A ．-16096B ．-16104C ．-16112D ．-16120【答案】A 【解析】算出+123n n n n a a a a ++的表达式，根据规律可得结果.【详解】 解：+13+1223n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=-(2)(26)(22)(24)8n n n n =+-++=-， 122334*********4455620142015.....2012(8)16096a a a a a a a a a a a a a a a a ∴++++=⨯-=-，故选：A.本题考查二阶行列式的计算，转化为利用数列知识发现二阶一般式+123n n n n a a a a ++的规律是关键，难度不大.4．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，。
上海市新中高级中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
上海市新中高级中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）A ．B ． C. D ．3． 如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（ ）A ．22B ． C. D ．42+2 4． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N ==5． 已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ） A.5B.2 3 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识，意在考查运算求解能力.6． 自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）A ．86210x y --=B ．86210x y +-=C ．68210x y +-=D ．68210x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．7． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=8． 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[] 9． 若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）A ．1-B ．C ．3-D ．310．经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=C ．1x =或1y =D ．20x y +-=或0x y -=11．在ABC ∆中，60A =，1b =，则sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A． BCD12．已知，y 满足不等式430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．132C ．12D ．15 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,则其表面积为__________2cm .14．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 15．若函数2(1)1f x x +=-，则(2)f = ．16．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.三、解答题（本大共6小题，共70分。
闵行区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)
闵行区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当+取得最小值时，实数a的值是（）A．B． C．或D．32．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4） D．（0，2）3．已知函数y=x3+ax2+（a+6）x﹣1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞24．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n为（）A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2）D．（﹣1）n+13n﹣25．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点6．常用以下方法求函数y=[f（x）]g（x）的导数：先两边同取以e为底的对数（e≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′，即y′=[f（x）]g（x）{g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′}．运用此方法可以求函数h（x）=x x（x＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（）A ．h （）B ．h （）C ．h （）D ．h （） 7． 图1是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A ．B ．C ．D ．8． 已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且4AC =，6BD =，则（ ） A ．15MN << B ．210MN << C ．15MN ≤≤ D ．25MN << 9． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ）A ．﹣2B ．±2C ．0D ．211．一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．212．已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数y=f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y=3x ﹣2，则f （1）+f ′（1）= ．14．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}(,)|M O M λμλμΩ==+a b ，其中O 为坐标原点，给出结论如下：①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω；③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=；⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为 其中所有正确结论的序号是 ．15．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是 ．16．若曲线f （x ）=ae x +bsinx （a ，b ∈R ）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b ﹣a= ． 17．若直线x ﹣y=1与直线（m+3）x+my ﹣8=0平行，则m= ．18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f （x ）=x ﹣lnx 的单调减区间为 ．三、解答题19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，BC=2AB=2AD=4BE ，平面PAB ⊥平面ABCD ，（Ⅰ）求证：平面PED ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为，求二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角的余弦值．20．如图，F 1，F 2是椭圆C ： +y 2=1的左、右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两个动点，且线段AB 的中点M在直线l ：x=﹣上．（1）若B 的坐标为（0，1），求点M 的坐标；（2）求•的取值范围．21．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++<．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：=1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．24．如图，正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E．（Ⅰ）求证：AE=EB；（Ⅱ）若EF•FC=，求正方形ABCD的面积．闵行区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，+==+=f（a），f′（a）=+=，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=时，+取得最小值．②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），f′（a）=﹣=﹣，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=﹣时，+取得最小值．综上可得：当a=或时，+取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．【答案】D【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．3．【答案】C【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．4．【答案】C【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n ﹣2，故通项公式a n=（﹣1）n+1（3n﹣2）．故选：C．5．【答案】B【解析】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）∴F'（x0）=0，又由a＜x0＜b，得出当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0，∴x=x0是F（x）的极小值点故选B．【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．6．【答案】B【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]=x x（lnx+1），令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（）最小，故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．7． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A 选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.考点：旋转体的概念. 8． 【答案】A 【解析】试题分析：取BC 的中点E ，连接,ME NE ，2,3ME NE ==，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以15MN <<，故选A ．考点：点、线、面之间的距离的计算．1【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题． 9． 【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．故选：A ．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．10．【答案】C【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2+4ai 是实数，∴4a=0，解得a=0．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．11．【答案】A【解析】试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．考点：几何体的结构特征．12．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h （x ）=，有两个交点，当=2时，h （x ）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b ∈（，4），故选：D ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题13．【答案】 4 ．【解析】解：由题意得f ′（1）=3，且f （1）=3×1﹣2=1所以f （1）+f ′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f （a ）与f ′（a ）．14．【答案】②③④【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力． 由(1,4)λμ+=-a b 得124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩，∴21λμ=⎧⎨=⎩，①错误；a 与b 不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；记OA =a ，由OM μ=+a b 得AM μ=b ，∴点M 在过A 点与b 平行的直线上，③正确；由2μλ+=+a b a b 得，(1)(2)λμ-+-=0a b ，∵a 与b 不共线，∴12λμ=⎧⎨=⎩，∴2(1,5)μλ+=+=a b a b ，∴④正确；设(,)M x y ，则有2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩，∴21331133x y x y λμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩且260x y -+=，∴(,)λμΩ表示的一条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)-，其长度为15．【答案】（﹣1，0）．【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5）△ABC的形状随着直线AC：y=kx+5斜率的变化而变化，将直线AC绕A点旋转，可得当C点与C1（2，5）重合或与C2（2，3）重合时，△ABC是直角三角形，当点C位于B、C1之间，或在C1C2的延长线上时，△ABC是钝角三角形，当点C位于C1、C2之间时，△ABC是锐角三角形，而点C在其它的位置不能构成三角形综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k＜0即k的取值范围是（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．【答案】2．【解析】解：f（x）=ae x+bsinx的导数为f′（x）=ae x+bcosx，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为k=ae0+bcos0=a+b，由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae0+bsin0=a=﹣1，解得a=﹣1，b=1，则b﹣a=2．故答案为：2．17．【答案】 ．【解析】解：直线x ﹣y=1的斜率为1，（m+3）x+my ﹣8=0斜率为两直线平行，则=1解得m=﹣．故应填﹣．18．【答案】（0,1）【解析】考点：本题考查函数的单调性与导数的关系三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD=AB ，AB ⊥PA ∴PA ⊥平面ABCD 结合AB ⊥AD ，可得分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系o ﹣xyz ，如图所示… 可得A （0，0，0）D （0，2，0），E （2，1，0），C （2，4，0）， P （0，0，λ） （λ＞0）∴，，得，，∴DE ⊥AC 且DE ⊥AP ，∵AC 、AP 是平面PAC 内的相交直线，∴ED ⊥平面PAC ． ∵ED ⊂平面PED ∴平面PED ⊥平面PAC（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC 的一个法向量是，设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）∴cos＜，由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）∵B的坐标为（0，1），且线段AB的中点M在直线l：x=﹣上，∴A点的横坐标为﹣1，代入椭圆方程+y2=1，解得y=±，故点A（﹣1，）或点A（﹣1，﹣）．∴线段AB的中点M（﹣，+）或（﹣，﹣）．（2）由于F1（﹣1，0），F2（1，0），当AB垂直于x轴时，AB的方程为x=﹣，点A（﹣，﹣）、B（﹣，），求得•=．当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的斜率为k ，M（﹣，m ），A （x 1，y 1 ），B （x 2，y 2），由可得 （x 1+x 2）+2（y 1+y 2）•=0，∴﹣1=﹣4mk ，即k=，故AB 的方程为 y ﹣m=（x+），即y=x+ ①．再把①代入椭圆方程+y 2=1，可得x 2+x+•=0．由判别式△=1﹣＞0，可得0＜m 2＜．∴x 1+x 2=﹣1，x 1•x 2=，y 1•y 2=（•x 1+）（x 2+），∴•=（x 1﹣1，y 1 ）•（x 2﹣1，y 2）=x 1•x 2+y 1•y 2﹣（x 1+x 2）+1=．令t=1+8m 2，则1＜t ＜8，∴•==[3t+]．再根据[3t+]在（1，）上单调递减，在（，8）上单调递增求得[3t+]的范围为[，）．综上可得，[3t+]的范围为[，）．【点评】本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，直线和二次曲线的关系，考查计算能力，属于难题．21．【答案】（1）131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，其前项和为()1114414n -<+.考点：数列与裂项求和法．122．【答案】【解析】解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2=1，由可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．23．【答案】【解析】解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以解得a=2．（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），于是所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．【点评】本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，24．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，且四边形ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，由切割线定理得EA2=EF•EC，故AE=EB．（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，∴BF==，解得a=2，∴正方形ABCD的面积为4．【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。
2022-2023学年上海市闵行中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市闵行中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线()12:0,:00l ax y b l bx y a ab -+=+-=≠的图象只可能是如图中的A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】试题分析：1l 的方程即y ax b =+，斜率等于a ，在y 轴上的截距为b ．2l 的方程即y bx a =-+，斜率等于b -，在y 轴上的截距为a ．在B 中，由1l 的图象可得00a b ><，，可得00a b >->，，而由2l 的图象可知选项B 正确，故选B ． 【解析】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【思路点睛】首先根据直线的一般方程将直线的方程化为斜截式，先假设其中一条直线正确，得出,a b 的符号，然后再看另一条直线的斜率和截距得到的,a b 是否与前者是否符一致，由此即可得到答案．2．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．0,2⎡⎣B ．(0,2C ．[]0,8D ．(]0,8【答案】D【分析】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案, 【详解】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ，令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ， 可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||2OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立， 即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合， 故22(0,8]m n +∈， 故选：D3．设()()1122,,,M x y N x y 为不同的两点，直线1122:0,δ++++==++ax by cl ax by c ax by c，下列命题正确的有（ ）．①不论δ为何值，点N 都不在直线l 上； ②若1δ=，则过点,M N 的直线与直线l 平行； ③若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；④若1δ>，则点,M N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】D【分析】由220ax by c ++≠可得①正确，分0b ≠和0b =两种情况讨论可得直线MN 与直线l 平行，可得②正确，当1δ=-时，可得到1212022x x y y a b c ++⋅+⋅+=，从而得到③正确，当1δ>时可得()()11220ax by c ax by c ++++>和1122ax by c ax by c ++>++，然后可得④正确. 【详解】因为1122ax by cax by cδ++=++中，220ax by c ++≠，所以点N 不在直线l 上，故①正确当0b ≠时，根据1δ=得到11221ax by c ax by c ++=++，化简得2121y y ax x b-=--，即直线MN 的斜率为a b -，又直线l 的斜率为ab-，由①可知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行当0b =时，可得直线MN 与直线l 的斜率都不存在，也满足平行，故②正确 当1δ=-时，得到11221ax by cax by c ++=-++，化简得1212022x x y y a b c ++⋅+⋅+= 而线段MN 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l 经过MN 的中点，故③正确 当1δ>时，得到11221ax by c ax by c++>++，所以11220ax by cax by c ++>++， 即()()11220ax by c ax by c ++++>，所以点,M N 在直线l 的同侧 且1122ax by c ax by c ++>++，可得点M 与点N 到直线l 的距离不等， 所以延长线与直线l 相交，故④正确 综上：命题正确的有4个 故选：D【点睛】本题考查的是直线的方程、两直线平行的判定以及一元二次不等式表示的区域，考查了学生的分析能力和转化能力，属于中档题.4．当m 变化时，不在直线()21220m x my -+--=上的点构成区域G ，(,)P x y 是区域G3y + ） A ．(1,2) B．⎤⎥⎝⎦C．⎫⎪⎪⎣⎭D ．(2,3)【答案】B【分析】原方程化为关于m的方程2(220xm y m x -+-+-=，得22(1)(1x y -+<，OM ，ON 夹角记作α，直线OP 与圆相切，进而得[)0,30α∈︒︒，即可求解 【详解】原方程化为关于m的方程2(220xm y m x -+-+-=，0x ≠时，∆<0，得22(1)(3)1x y -+-<，当0x =，3y =时，点()03，不在直线310my m --=上，所以区域G 是以点()1,3A 为圆心，半径为1的圆的内部（除()03，外不包括圆上点），33(,)22OM =，(,)OP x y =，OM ，OP 夹角记作α， 由,A M 坐标可知,,O A M 三点共线，且60AOx ∠=，当直线OP 与圆相切于点P ，Q 时，1,2AP AQ OA ===，所以此时30,AOP AOQ ∠=∠=，因此[)0,30α∈︒︒，2233322cos ,123x y x y α+⎛⎤=∈ ⎥ +⎝⎦． 故选：B二、填空题5．直线250x y +-=的倾斜角的大小为_____________. 【答案】1arctan 2π-【分析】先求出斜率，即可求出倾斜角.【详解】直线250x y +-=的斜率为12k =-，所以倾斜角为1arctan 2π-.故答案为：1arctan 2π-6．已知两点(3,2)A ，(1,5)B -，直线l ：1y kx =-与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围________ 【答案】1k或6k ≤-【分析】直线1y kx =-恒经过定点(0,1)P -，利用斜率公式求解即可 【详解】由题意，直线1y kx =-恒经过定点(0,1)P -，由直线的斜率公式，可得2(1)5(1)1,63010PA PB k k ----====----， 要使直线:1l y kx =-与线段AB 有公共点，1k 或6k ≤-故答案为：1k或6k ≤-【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线过定点问题，是基础题 7．过点(1,2)，且法向量为(3,4)-的直线的点法向式方程为__________ 【答案】()()31420x y ---= 【分析】根据点法式方程可直接求解.【详解】过(1,2)，且法向量为(3,4)-的直线的点法向式方程为：()()31420x y ---=， 故答案为：()()31420x y ---=8．求过点()2,3P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程_____. 【答案】320x y -=或50x y +-=【分析】分直线经过原点和不经过原点两种情况讨论求解. 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为32y x =，化为320x y -=. 当直线不经过原点时，设直线的截距式为x y a +=，把点()2,3P 代入可得：23a +=，∴5a =.∴直线的方程为：5x y +=. 故答案为：320x y -=或50x y +-= 9．已知直线1l 的方程为31y x ，直线2l 的方程为320x y -+=，则直线1l 与2l 的夹角为__________. 【答案】4arctan 3【分析】直线1l 的斜率为3k =，直线2l 的斜率为13k '=，设直线1l 与2l 的夹角为α，则tan 1k k kk α'-='+，由此能求出直线1l 与2l 的夹角． 【详解】直线1l 的方程为31y x ，直线2l 的方程为320x y -+=，则直线1l 的斜率为3k =，直线2l 的斜率为13k '=， 设直线1l 与2l 的夹角为α，则1343tan 113133k k kk α-'-==='++⨯，∴直线1l 与2l 的夹角为4arctan3． 故答案为：4arctan3． 10．已知直线20x y m -+=（0m >）与直线30x ny +-=互相平行，且它们之间的距离m n +=______. 【答案】0【分析】根据两直线平行求出n m ，即可得到m n +. 【详解】因为直线20x y m -+=（0m >）与直线30x ny +-=互相平行， 所以2n =-且3m ≠-.d ==因为0m >，解得：2m =. 所以0m n +=. 故答案为：011．已知入射光线经过点4()3,M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(2,6)N ，则反射光线所在直线的方程为________． 【答案】660x y --=【详解】试题分析：()3,4M -关于直线l ：30x y -+=的对称点为()1,0M '，所以反射光线所在直线的方程是直线M N '的方程: 606(2)660.21y x x y --=-⇒--=- 【解析】反射直线12．直线310ax y a ++-=恒过定点M ，则直线2360x y +-=关于M 点对称的直线方程为_________．【答案】23120x y ++=【分析】根据直线过定点的求法可求得M 点坐标，根据关于M 对称的两条直线平行，且到M 点距离相等可构造方程求得结果.【详解】由310ax y a ++-=得：()()310x a y ++-=，当3x =-时，1y =，()3,1M ∴-； 设直线2360x y +-=关于M 点对称的直线方程为230x y C ++=，=12C =或6C =-（舍），∴直线2360x y +-=关于M 点对称的直线方程为23120x y ++=.故答案为：23120x y ++=.13．已知2222(1)210++++=a x a y x 表示圆，则实数a 的值是_______．【答案】12-0.5- 【分析】把方程2222(1)210++++=a x a y x 化为()222221121122a x a y a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，根据题意可得22211102a a a⎧=+⎪⎨->⎪⎩，解之即可得解.【详解】解：把方程2222(1)210++++=a x a y x 化为()222221121122a x a y a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭， 因为此曲线表示圆，所以22211102a a a⎧=+⎪⎨->⎪⎩，解得12a =-.故答案为：12-.14．经过(0,1)P 的直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=分别交于12P P 、两点,且满足122PP PP =，则直线l 的方程为__________. 【答案】1y =【分析】先讨论可得当直线l 的斜率不存在时，不满足条件，设出直线的斜截式方程，结合122PP PP =，，求出直线的斜率，可得直线的方程． 【详解】解：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=的交点1P 、2P 的坐标分别为100,3⎛⎫⎪⎝⎭，()0,8，则170,3PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()20,7PP =不满足122PP PP =，， 故直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为：1y kx =+，则直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=的交点1P 、2P 的横坐标分别为731k -，72k +，122PP PP =，， 7702(0)312k k ∴-=--+， 解得：0k =，故直线l 的方程为：1y =； 故答案为：1y =【点睛】本题考查的知识点是直线的方程，直线的交点坐标，分类讨论思想，难度中档． 15．在平面直角坐标系xOy 中，定义两点()11,P x y 、()22,Q x y 之间的“直角距离”为：12(,)d P Q x x =-12y y +-，现有以下命题：①若P 、Q 是x 轴上的两点，则12(,)d P Q x x =-；②已知(2,3)P ，()22sin ,cos Q αα，则(,)d P Q 为定值；③原点O与直线10x +=上任意一点P 之间的直角距离(,)d P O④若||PQ 表示P 、Q两点间的距离，那么||(,)PQ P Q ≥． 其中真命题是__________（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③④【分析】由120=y y =根据新定义可判断①；根据三角函数的有界性和同角关系可判断②；由直角距离定义以及绝对值函数求最值可判断③；由两点距离公式和基本不等式可判断，可判断④．【详解】若P 、Q 是x 轴上的两点，则120=y y =，故12(,)d P Q x x =-；故①正确；已知(2,3)P ，()22sin ,cos Q αα,则2222(,)|3cos ||2sin |3cos 2sin 4d P Q θθθθ=-+-=-+-=为定值，故②正确； 设(,)P x y，则10(,)11101122x x d P O x y x x x x x ⎧⎛+≥⎪ ⎪⎝⎭⎪⎛⎪=+=+=-+-<< ⎨ ⎝⎭⎪⎪⎛⎪-+-≤- ⎪⎝⎭⎩， (),d P O 在(),0x ∈-∞上单调递减，在()0x ∈+∞，上单调递增，故当0x =时，()min ,d O P =③正确 若||PQ 表示P 、Q两点间的距离，那么||PQ ， 1212(,)||||d P Q x x y y =-+-，2222()()a b a b ++，221212122()||||x x x x y y --+-|(,)PQ d P Q ，则2||(,)2PQ d P Q ，故④正确；故答案为：①②③④16．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线l ：0ax by c 的同侧，设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于22}，{}22(,)|2,,Q x y x y x y =+≤∈R ，记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈，{(,)|(,)}T x y x y Q S =∈，则由T 中的所有点所组成的图形的面积是__________ 【答案】2π【分析】根据条件确定集合P ,Q T 确定的轨迹，求面积即可. 【详解】过12,F F 分别作l 的垂线，垂足分别为,M N ,由题意可知：12122FM F N AF -==, 又214F F =,所以1245AF F ∠=,()()12900,2,0,2F AF A A ∠'=-，,所以集合P 表示的轨迹为与22,AF A F '平行，且分别为直线2AF 及其向上的部分，以及直线2A F '及其向下的部分，Q 对应的轨迹为以原点为圆心，半径为2r =的圆及其内部，由于11222,90,2AF F AF OQ r =∠===,因此直线2AF 与圆相切， 所以T 对应的轨迹恰好为圆及其内部， 故面积为2π 故答案为：2π三、解答题17．已知关于x 的实系数一元二次方程220x x m ++=的两根为1x ､2x . （1）若1x ､2x 为虚数，1Im 0>x ，且13=x ，求1x 和m 的值； （2）若122x x -=，求m 的值.【答案】（1）11=-+x ，9m =；（2）0m =或2.【分析】（1）根据题意，设两虚根分别为121i,1i x b x b =-+=--，其中0b >，因为13=x ，求得b =12,x x ，进而求得m 的值；（2）根据题意，分两个实根和两个虚根，两种情况讨论，利用韦达定理和虚根的性质，结合122x x -=，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，关于x 的实系数一元二次方程220x x m ++=的两个虚根为1x ､2x ， 可得440m ∆=-<，即1m ，因为1Im 0>x ，可得设两虚根分别为121i,1i x b x b =-+=--，其中0b >，又因为13=x ，可得13x ==，解得b =所以11=-+x ，21x =--，又由12(1(19x x =-+⋅--=，即129m x x ==.（2）由关于x 的实系数一元二次方程220x x m ++=的两根为1x ､2x ，①若方程有两个实根1x ､2x ，则440m ∆=->，可得1m <，且12122,x x x x m +=-=，则22121211222)4(2)4(4x x x x x x x x +=-=---=，解得120x x =，所以0m =；②若方程有两个虚根，则440m ∆=->，可得1m ， 设为121i,1i x b x b =-+=--，不妨设0b >， 可得122i 22x x b b -===，解得1b =，所以121i,1i x x =-+=--，则12(1i)(1i)2x x =-+--=， 所以122m x x ==，综上可得，实数m 的值为0或2.18．已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，B 的平分线BN 所在直线方程为250x y --=，求： （Ⅰ）顶点B 的坐标； （Ⅱ）直线BC 的方程【答案】（Ⅰ）(1,3)B --（Ⅱ）617450x y --=【分析】（Ⅰ）设()00,B x y ，可得AB 中点坐标，代入直线250x y --=可得00210x y --=；将B 点坐标代入直线250x y --=得00250x y --=，可构造出方程组求得B 点坐标；（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''，根据点关于直线对称点的求解方法可求得293,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，因为A '在直线BC 上，根据两点坐标可求得直线方程. 【详解】（Ⅰ）设()00,B x y ，则AB 中点坐标为：0051,22x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 005125022x y ++∴⨯--=，即：00210x y --= 又00250x y --=，解得：01x =-，03y =-()1,3B ∴--（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''则1255125022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-'''⋅-=⎩'⎪，解得：293,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭ BC ∴边所在的直线方程为：()335312915y x -++=++，即：617450x y --= 【点睛】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.19．如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3MON ∠=-，6OA =（百米），Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3（百米），6105（百米），现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r at =（百米）（09t ≤≤，01a <<）.当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2（百米/分钟）的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.【答案】（1）92；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析【分析】（1）建立如图平面直角坐标系，易得()60A ，，直线ON 的方程为3y x =-，()0,3Q x ()00x >，由点到直线距离，求出()33Q ，，从而直线AQ 的方程为()6y x =--，联产方程组求出B 的坐标，由此能求出轨道的长；（2）将喷泉记为圆P ，由题意得()39P ，，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则2BC t =，09t ≤≤，从而()39C t t -+-，，若喷泉不会洒到观光车上，则22PC r >对[]09t ∈，恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.【详解】（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则由题设得：()6,0A ，直线ON 的方程为3y x =-，()0,3Q x （00x >）.03361010x +=，解得03x =，所以()3,3Q . 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩得3,9,x y =-⎧⎨=⎩即()3,9B -，故()2236992AB =--+=答：水上旅游线AB 的长为92km .（2）将喷泉记为圆P ，由题意可得()3,9P ，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则2BC t =，09t ≤≤，所以()3,9C t t -+-.若喷泉不会洒到观光车上，则22PC r >对[]0,9t ∈恒成立，即()22226212364PC t t t t at =-+=-+>，当0=t 时，上式成立，当(]0,9t ∈时，1826a t t<+-，min 186626t t ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，当且仅当32t =时取等号， 因为()0,1a ∈，所以r PC <恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.答：喷泉的水流不会洒到观光车上.【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题. 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1)若1h =，求异面直线BM 与1A C 所成角的大小；(2)若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的大小；(3)若3h =，求点M 到平面1A BC 的距离．【答案】(1)2π (2)6arctan(3)1【分析】（1）作1MN AC ∕∕交11A C 于点N ，连接1,BN A B ，则BMN ∠即为异面直线BM 与1A C 所成角或补角，在BMN △中，分别求出,,BM MN BN ，即可得解；（2）若2h =，则M 为1CC 的中点，证明1AM A M ⊥，1AB A M ⊥，即可证得1A M ⊥平面ABM ，则1A BM ∠即为直线1BA 与平面ABM 所成角或补角，从而可得出答案； （3）设点M 到平面1A BC 的距离为d ，根据11M A BC B A CM V V --=，利用等体积法即可得出答案.【详解】(1)解：作1MN AC ∕∕交11A C 于点N ，连接1,BN A B ， 则BMN ∠即为异面直线BM 与1A C 所成角或补角，由1MN AC ∕∕，得111C M C N MC NA =，则112NA =，134MN AC =， 在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，又11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又AB AC ⊥，即1111A B AC ⊥，因为1111A B AA A ⋂=，所以11A C ⊥平面11ABB A ，又1A B ⊂平面11ABB A ，所以111AC A B ⊥，则1A B =，92BN =，3BC BM ==， 在BMN △中，45819cos 0BMN +-∠==， 所以2BMN π∠=，即异面直线BM 与1A C 所成角的大小为2π；(2)解：若2h =，则M 为1CC 的中点， 则122AM A M ==因为2221116AM A M AA +==，所以1AM A M ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又AB 平面ABC ，所以1AA AB ⊥，因为AB AC ⊥，1AA AC A =， 所以AB ⊥平面11ACC A ，因为1A M ⊂平面11ACC A ，所以1AB A M ⊥，又AB AM A =，所以1A M ⊥平面ABM ，所以1A BM ∠即为直线1BA 与平面ABM 所成角或补角，又BM ⊂平面ABM ，所以1A M BM ⊥，在1Rt A BM △中，123,22BM AM == 则11226tan 23A M A BM BM ∠== 所以16A BM ∠= 即直线1BA 与平面ABM 所成角的大小为6(3)解：设点M 到平面1A BC 的距离为d ，111322232B A CM V -=⨯⨯⨯⨯=， 在1A BC 中，1125,22A B AC BC ===，则BC 边上得高为20232-=， 故11322262A BC S =⨯⨯=， 因为112M A BCB A CM V V --==，即11223A BC S d d ⋅==，所以1d =，即点M 到平面1A BC 的距离为1.21．定义向量(,)OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+，函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”为(,)OM a b =，其中O 为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）设()3sin()4sin 2g x x x π=++，求证：()g x S ∈； （2）已知()cos()2cos h x x x α=++且()h x S ∈，求其“相伴向量”的模；（3）已知(,)M a b (0)b ≠为圆22:(2)1C x y -+=上一点，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，当点M 在圆C 上运动时，求0tan 2x 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2（3）[⋃.【分析】（1）把()g x 化为sin cos a x b x 形式，由定义证明；（2）把()h x 化为sin cos a x b x 形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模；（3）先根据定义得到函数()f x 取得最大值时对应的自变量0x ，再结合几何意义求出b a的取值范围，由正切的二倍角公式及函数的单调性可得结论．【详解】（1）()3sin()4sin 2g x x x π=++3cos 4sin x x =+，其“相伴向量”为(4,3)， ∴()g x S ∈；（2）()cos()2cos h x x x α=++cos cos sin sin 2cos x x x αα=-+sin sin (cos 2)cos x x αα=-++，其“相伴向量”为(sin ,cos 2)OM αα=-+，∴(OM =-=（3）向量(,)OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+)x ϕ+，其中cos ϕϕ==当2,2x k k Z πϕπ+=+∈时，()f x 取得最大值，故02,2x k k Z ππϕ=+-∈，∴01tan tan(2)2tan a x k b ππϕϕ=+-==， ∴0022022tan 2tan 21tan 1()a x b x a b a x b a b⨯===---，b a表示直线OM 的斜率，由几何意义知3[(0,]3b a ∈，令b m a =，则01tan 21x m m=-，3[(0,]3m ∈， 当[m ∈时，01tan 21x m m=-单调递减，∴00<tan 2x m ∈时，01tan 21x m m=-单调递减，∴0tan 20x <，综上所述，0tan 2[(0,3]x ∈．【点睛】本题考查新定义问题，主要考查平面向量的几何意义，考查三角函数的恒等变换的应用，解题关键是利用b m a=的几何意义求出它的取值范围，由函数单调性求出0tan 2x 的取值范围．考查了学生的运算求解能力，属于难题．。
2018-2019学年上海市闵行区高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 用数学归纳法证明 1+12+13+…+12n −1＜n （n ∈N *，n ＞1）时，第一步应验证不等式（ ）A. 1+12<2B. 1+12+13<2C. 1+12+13<3D. 1+12+13+14<32. 在三角形ABC 中，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，点P 在直线AB 上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CP⃗⃗⃗⃗⃗ 可用a ⃗ 、b ⃗ 表示为（ ） A. CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗B. CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗C. CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ −b ⃗ D. CP⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b⃗3 3. 如果实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，那么3x +2y 的最大值是（ ）A. 4√3B. 24√3C. 6√2D. 484. 已知曲线Γ：1x 3+1y 4=1，则下列正确的是（ ）A. 曲线Γ关于y 轴对称B. 曲线Γ与x 轴相交C. x 取值范围是(−∞,0)∪(0,+∞)D. y 无限趋近于零时，x 也无限趋近零二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 计算：n →∞lim1−2nn+2=______． 6. 已知向量a ⃗ =(2，−3)，b ⃗ =(m ，6)，且a ⃗ ∥b ⃗ ，则实数m =______．7. 若线性方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1的增广矩阵为(32，则|y x 2−3|=______． 8. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 8=9，a 4=3，则a 5=______．9. 若关于x 、y 的二元一次方程组{5x +6y =−1λx−12y=2有无穷多解，则λ=______． 10. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x −2y ≤0x +2y −2≤0，则z =2x +y 的最大值为______．11. 点M （-1，0）到双曲线x 2−y 29=1的渐近线的距离为______．12. 正方形ABCD 的边长为√3，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 13. 已知椭圆M ：x 2m+y 23=1(m ＞3)，M 与两直线y =kx ，y =-kx （k ≠0）有不同的交点，这四个点与M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则m =______．14. 已知⊙A ：x 2+y 2+2x -15=0，过点B （1，0）的动直线l （与x 轴不重合）交⊙A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点P ，则点P 的轨迹方程为______． 15. 已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2是a 1与a 4的等比中项．记b n =a 2n ，若对任意n ∈N *，都有1b 1+1b 2+⋯+1b n＜3，则d 的取值范围是______．16. 若a ∈R ，直线l 1：x +ay -3a =0与l 2：ax -y -4a =0交于点P ，点P 的轨迹C 与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点，O 为坐标原点（A 、B 异于原点O ），则满足|PB |-|PA |=|OA |-|OB |的位于第一象限内的点P 坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分） 17. 已知双曲线Γ的两个焦点与椭圆x 264+y 228=1的两个焦点相同，且Γ的一条渐近线为x −√3y =0，求Γ的标准方程．18. 已知a ⃗ =(√3，1)，b ⃗ =(0，1)．（1）求a ⃗ 的单位向量a 0⃗⃗⃗⃗ ；（2）若a ⃗ +λb ⃗ 与a ⃗ −λb ⃗ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．19. 某日，在我某海警基地码头O 处，发现北偏东60°方向的海面上有一艘可疑船只位于A 处，在测定可疑船的行驶方向后，基地指挥部命令海警巡逻艇从O 处即刻出发，以可疑船速度的2倍航速前去拦截，已知O 和A 相距60海里．（1）若可疑船只以40海里/小时的速度朝正北方向逃跑，则我海警巡逻船最少要用多少小时可以截获可疑船只（精确到0.01小时）？（2）若巡逻艇和可疑船在追逃过程中均未改变航向和航速，在点P 处恰好截获可疑船只，在如图所示的平面直角坐标系中，求点P 的轨迹方程．20. 对于数列{a n }、{b n }，设S(n)=a 1b n +a 2b n−1+a 3b n−2+⋯a n b 1，n ∈N ∗．（1）若a 1=2，a 2=4，且S （n ）=3•2n +1-4n -4，求b 1，b 2；（2）若a n =3n ，S(n)=3n+1−3n −3，求数列{b n }的通项公式；（3）若a n =4n ，存在正整数i 、j 、k 、λ、μ（i ＜j ＜k ），使λa j ，10a i ，μa k 成等差数列，求λ，μ的值． 21. 已知椭圆Γ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点B （0，b ），过点B 且与BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，DF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求证：b =√32a ；（2）若过B 、D 、F 2三点的圆与直线l ：x +y =0相交于E 、F 两点，且|EF|=2√7，求Γ的方程； （3）若a =2，过F 2且不与坐标轴垂直的直线与Γ交于P 、旦两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B．直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．2.【答案】D【解析】解：∵，且；∴；∴．故选：D．根据即可得出，从而求出，并且，从而可得出．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．3.【答案】A【解析】解：根据题意，实数x，y满足3x2+4y2=12，即，设x=2cosθ，y=sinθ，则3x+2y=6cosθ+2sinθ=4sin（θ+），又由-4≤4sin（θ+）≤4，则3x+2y的最大值4；故选：A．根据题意，设x=2cosθ，y=sinθ，则有3x+2y=4cosθ+2sinθ，进而利用两角和与差的三角函数，由三角函数的性质分析可得答案．本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x、y．椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.【答案】D【解析】解：当y=-y时，+=1，即为+=1，故曲线Γ关于x轴对称，因为y≠0，故曲线Γ与x轴不相交，由=1-，即x=，则y≠±1且y≠0，故x取值范围是（-∞，-1）∪（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）当y无限趋近于零时，x也无限趋近零，故选：D．根据曲线的方程，分别判断即可．本题考查了曲线方程的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题5.【答案】-2【解析】解：===-2．故答案为：-2．直接利用数列极限的运算法则，求解即可．本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．6.【答案】-4【解析】解：∵；∴12+3m=0；∴m=-4．故答案为：-4．根据即可得出2•6-（-3）•m=0，解出m即可．考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．7.【答案】-1【解析】解：由题意，可根据增广矩阵的定义，得到：，解得：．∴==1×2-（-3）×（-1）=-1．故答案为：-1．本题可根据增广矩阵的定义将增广矩阵中的数字还原到线性方程组中去解出x、y的值，然后利用二阶行列式的求法即可得出结果．本题主要考查增广矩阵的定义将增广矩阵中的数字还原到线性方程组中去解出x、y的值及二阶行列式的求法．本题属基础题．8.【答案】6【解析】解：在等差数列{a n}中，a1+a8=9，a4=3，∴a1+a8=9=a4+a5，解得a5=6，故答案为：6．直接根据等差数列的性质a1+a8=a4+a5，即可求出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】-10【解析】解：关于x、y的二元一次方程组有无穷多解，则直线λx-12y=2与5x+6y=-1重合，则==，解得λ=-10．故答案为：-10．由题意知直线λx-12y=2与5x+6y=-1重合，列方程求出λ的值．本题考查了两直线的位置关系应用问题，是基础题．10.【答案】52【解析】解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z=2x+y得y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点B 时，截距最大，即z最大．解方程组得x=1，y=，即B（1，）．∴z的最大值为2×1+=．故答案为：．作出可行域，由目标函数变型得y=-2x+z，根据可行域找出最优解即可．本题考查了简单的线性规划，作出可行域寻找最优解是解题关键，属于中档题．11.【答案】3√1010【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为：3x+y=0，点M（-1，0）到双曲线的渐近线的距离是：=．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．12.【答案】2√3【解析】解：•=（+）•（+）=（+）•（+）=+=2．故答案为：2．由=+=+，=+=+代入化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13.【答案】3+2√3【解析】解：∵四个点与M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，∴y=kx，y=-kx（k≠0）的夹角为60°∴不妨令k＞0，则k=，再令在第一象限的交点为P，由，解得x2=，∴y2=3x2=，∴|OP|2=，∴=m-3，解得m=3+2或m=3-2（舍去），故m=3+2，故答案为：3+2．由题意可得y=kx，y=-kx（k≠0）的夹角为60°，不妨令k＞0，则k=，再令在第一象限的交点为P，求出点P的坐标可得=m-3，解得即可本题考查了椭圆的简单性质和直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力和转化能力，属于中档题14.【答案】x24+y23=1【解析】解：∵|AD|=|AC|，PB∥AC，故∠PBD=∠ACD=∠ADC，∴|PB|=|PD|，故|PA|+|PB|=|PA|+|PD|=|AD|．又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，∴|PA|+|PB|=4，由题设得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，由椭圆的定义可得点P的轨迹方程为．故答案为：．由题意画出图形，利用平面几何知识可得|PA|+|PB|=4，再由椭圆定义得点P的轨迹方程．本题考查曲线方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．15.【答案】[13，+∞）【解析】解：等差数列{a n}的公差d＞0，且a2是a1与a4的等比中项，可得a22=a1a4，即（a1+d）2=a1（a1+3d），即为a1=d，（d＞0），可得a n=nd，=2n d，对任意n∈N*，都有，即为（++…+）=•=（1-）＜3恒成立，由（1-）＜，可得3≥，又d＞0，即有d≥．则d的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，可得首项和公差的关系，可得=2n d，由等比数列的求和公式和不等式的性质，解d的不等式可得所求范围．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质、求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】(7225，9625)【解析】解：将直线l1的方程变形得x+a（y-3）=0，由，得，所以，直线l1过定点M（0，3），同理可知，直线l2过定点N（4，0），且l1⊥l2，设点P的坐标为（x，y），则MP⊥NP，，，，化简得，易求得点P的轨迹交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，3），易知，AB为点P的轨迹圆的一条直径，由于|PB|-|PA|=|OA|-|OB|=4-3=1，由于AB是点P轨迹圆的一条直径，则∠APB=90°，由勾股定理可得|PB|2+|PA|2=|AB|2=25，联立得，解得，由于点P在第一象限，则x＞0，y＞0，由两点间的距离公式得|PA|2=（x-4）2+y2=16，联立得，解得．因此，点P的坐标为．故答案为：．分别求出直线l1与直线ll2所过的定点M、N，并由两直线的方程得出两直线垂直，由PM⊥PN，求出点P的轨迹方程，可求出点A、B的坐标，由AB为点P轨迹圆的一条直径得出∠APB为直角，于是得出勾股定理|PA|2+|PB|2=|AB|2=25，结合题干中的条件得出|PA|和|PB|的值，再利用两点间的距离公式以及点P的轨迹方程可求出点P的坐标．本题考查轨迹方程，解决本题的关键在于找出直线所过的定点以及垂直条件，考查计算能力，属于难题．17.【答案】解：双曲线Γ的两个焦点与椭圆x264+y228=1的两个焦点相同，可得c=6，Γ的一条渐近线为x−√3y =0，设双曲线方程：x23−y2=λ，可得：3λ+λ=36，解得λ=9．所以双曲线方程为：x227−y 29=1．【解析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，然后求解双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：（1）由单位向量的概念得：a0⃗⃗⃗⃗ =a⃗|a⃗ |=（√32，12）或a0⃗⃗⃗⃗ =-a⃗|a⃗ |=（-√32，−12）故答案为：（√32，12）或（-√32，−12）（2）由已知有：a⃗+λb⃗ =（√3，1+λ），a⃗-λb⃗ =（√3，1-λ），由a⃗+λb⃗ 与a⃗−λb⃗ 的夹角为锐角，则{(a⃗+λb⃗ )⋅(a⃗−λb⃗ )＞0a⃗+λb⃗ 与a⃗−λb⃗ 不共线，即{λ≠0λ2<4，即实数λ的取值范围为：（-2，0）∪（0，2），故答案为：（-2，0）∪（0，2）【解析】（1）由单位向量的概念得：=，运算可得解；（2）由，的夹角为锐角，则两向量数量积大于0且不共线，则由与的夹角为锐角，则，计算可得解．本题考查了两个向量的夹角公式及数量积运算，属易错题．19.【答案】解：（1）设所需时间为t小时，则OP=80t，AP=40t，OA=60，在△OAP中，∠OAP=180°-60°=120°，由余弦定理可得OP2=OA2+AP2-2OA•AP•cos∠OAP，即(80t)2=602+(40t)2−2×60×40t×(−12)，化简得4t2-2t-3=0，由于t＞0，解得t=√13+14≈1.15小时；（2）设点A的坐标为（x0，y0），则x0=60cos30°=30√3，y0=60sin30°=30，所以，点A的坐标为(30√3，30)．由题意知，OP=2AP，设点P的坐标为（x，y），由两点间的距离公式可得√x2+y2=2√(x−30√3)2+(y−30)2，化简得(x−40√3)2+(y−40)2=1600，因此，点P的轨迹方程为(x−40√3)2+(y−40)2=1600．【解析】（1）设所需时间为t小时，于是得出OP=80t，AP=40t，OA=60，并得出∠OAP=120°，在△AOP中，由余弦定理OP 2=OA 2+AP 2-2OA•AP•cos ∠OAP ，可求出t 的值；（2）先求出点A 的坐标，并设点P 的坐标为（x ，y ），结合已知条件得出OP=2AP ，利用两点间的距离公式并化简可得出点P 的轨迹方程．本题考查解三角形与轨迹方程，解决本题的关键在于找出合适的三角形，根据题中条件选择合适的定理求解，另外在求轨迹方程时，将一些几何元素代数化，考查计算能力，属于中等题． 20.【答案】解：（1）令n =1得，s 1=12-8=4=a 1b 1=2b 1∴b 1=2令n =2得，s 2=24-12=12a 1b 2+a 2b 1=2b 2+4×2 ∴b 2=2（2）s n =3n+1−3n −3=3n b 1+3n−1b 2+⋯…+3b n 等式两边同除以3n +1得3n −n−13n=b 13+b 232+……+bn 3n令c n =bn 3n 则c 2+c 2+……+c n =3n −n−13n①c 1+c 2+……+c n -1=3n−1−n 3n−1②①-②的c n =2n−13n，又因为c n =bn 3n∴b n =2n -1；（3）因为λa j ，10a i ，μa k 成等差数列 所以20a i =λa j +μa k∵a n =4n ＞0，∴λ，μ为正整数 ∴λa j ，μa k 为正整数∴20a i ≥λa j +μa k ≥2√λμa j a k 即20×4i ≥2√λμ4(λ+μ) ∴10×22i ≥√λμ2(j+k) ∴√λμ≤10×22i−(j+k)∵i ，j ，k 为正整数且i ＜j ＜k ， ∴2i -（j +k ）≤-3 ∴√λμ≤10×2-3=54， ∴λ=μ=1． 【解析】（1）将n 分别带成1，2可得；（2）将a n =3n 代入，等式两边同除以3n+1，构造数列{}，运用前n 项和与通向的关系可得．（3）利用等差中项的性质及基本不等式，由λμ的范围可得．本题主要考查了数列的通项公式，前n 项和公式，等差中项等知识，计算b n 时用到了构造数列，属于难题21.【答案】（1）证明：设D （x 0，0）（x 0＜0），由F 2（c ，0），B （0，b ），得F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-c ，b ），BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 0，-b ），∵F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−cx 0−b 2=0，得x 0=−b 2c ，故DF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（b 2c−c ，0），又F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2c ，0），故由DF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得b 2c−c =2c ，∴b 2=3c 2=3（a 2-b 2），则4b 2=3a 2， ∴b =√32a ；（2）解：由（1）知，b =√3c ，故a =2c ，此时，点D 的坐标为（-3c ，0）， 又△BDF 2是直角三角形，故其外接圆圆心为F 1（-c ，0），半径为2c ， ∴圆心F 1（-c ，0）到直线x +y =0的距离d =√2=√2．∴|EF |=2√4c 2−c 22=2√7，解得c =√2，b =√6，a =2√2，所求椭圆Γ的方程为x 28+y 26=1；（3）如a =2，则b =√3，椭圆方程为x 24+y 23=1．得F 2（1，0），∵直线l 过F 2且不与坐标轴垂直， 故可设直线l 的方程为：y =k （x -1），k ≠0． 由{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2-8k 2x +4k 2-12=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则有x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，由题意，M （x 1，-y 1），故直线QM 的方向向量为a ⃗ =(x 2−x 1，y 2+y 1)， ∴直线QM 的方程为x−x 1x 2−x 1=y+y 1y2+y 1，令y =0，得x =y 1(x 2−x 1)y 2+y 1+x 1=x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=k(x 1−1)x 2+k(x 2−1)x 1k(x 2−1)+k(x 1−1) =2kx 1x 2−k(x 1+x 2)k(x 1+x 2)−2k=2x 1x 2−(x 1+x 2)(x 1+x 2−2)=2⋅4k 2−123+4k 2−8k 23+4k 28k 23+4k 2−2=4．即直线QM 与x 轴交于定点（4，0）．∴存在点N （4，0），使得M 、Q 、N 三点共线． 【解析】（1）设D （x 0，0）（x 0＜0），利用，得b 2=3c 2，结合隐含条件证得结论；（2）求出点D的坐标，利用△BDF2是直角三角形，得到其外接圆圆心为F1（-c，0），半径为2c，然后利用垂径定理求解c，得到a，b，则椭圆方程可求；（3）直线l过F2且不与坐标轴垂直，设直线l的方程为：y=k（x-1），k≠0．与椭圆联立，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合韦达定理，求解直线QM的方向向量，求解直线QM的方程，求解直线QM 与x轴交于定点（4，0）得结论．本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的方程的求法，三点共线，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。
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上海市闵行中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ． 3． 若，[]0,1b ∈，则不等式221a b +≤成立的概率为（ ）A ．16π B ．12π C ．8π D ．4π 4． 设集合,,则( )ABC D5． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7 D ．5 6． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.7． 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN的值是（ ）A ．B ．C ．1:D (18． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）A ．B ． C. D ．9． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）A ．平行B ． 重合C ． 垂直D ．相交但不垂直 10．已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．(,22)-∞B ．(,22]-∞C ．(0,22]D ．(22,)+∞ 11．满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x xf e e = C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 12．执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．14．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 _________ 。
15．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ．16．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18．（本题12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且2sin a B ．111] （1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC ∆的面积．19．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。
（1） 求数列的通项公式。
（2）记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.20．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．21．（本小题满分12分）设f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x （a ≠0）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ＞0，使f （x ）∈[e －1，e 2]对于x ∈[1，e]时恒成立，若存在求出a 的值，若不存在说明理由．22．（本小题满分16分）在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求()h x 的表达式；（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）上海市闵行中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析（参考答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 【答案】A【解析】考点：1、充分条件与必要条件；2、复数的运算.【方法点睛】本题主要考查复数的运算及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 2． 【答案】A 【解析】考点：二元一次不等式所表示的平面区域. 3． 【答案】D 【解析】考点：几何概型． 4． 【答案】C【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。
5． 【答案】C【解析】试题分析：因为三个数1,1,5a a a -++等比数列，所以()()()2115,3a a a a +=-+∴=，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{}n a 的前三项，为111,,842，公比为，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以为首项，12为公比的等比数列，则不等式1212111n n a a a a a a +++≤+++等价为()1181122811212n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，整理，得722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈，故选C. 1考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 6． 【答案】C.【解析】由题意得，[11]A =-，，(,0]B=-∞，∴(0,1]U A C B =，故选C.7． 【答案】D 【解析】考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M 到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 8． 【答案】A【解析】试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 9． 【答案】C 【解析】试题分析：由直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=，则sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=，所以两直线是垂直的，故选C. 1 考点：两条直线的位置关系. 10．【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+,且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数,()()()()()()(],,,,0,222x x x xxxe e e e e g x h x eg x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈ 使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立, 即22022xxx xe ee e a--+--≥恒成立, ()2222x x x xx xx xe e e ea e e e e -----++∴≤=--()2x x x xe e e e--=-++, 设x x t e e -=-，则函数x x t e e -=-在(]0,2上单调递增,220t e e -∴<≤-, 此时不等式2t t +≥当且仅当2t t=,即t =, 取等号,a ∴≤故选B. 考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.11．【答案】D. 【解析】12．【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．【答案】A 【解析】14．【答案】【解析】设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部， 且点A 与圆心O 之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sin θ==，∴cos θ=，tan θ==，∴tan2θ===，故答案为：。