黑龙江省 2021届数学(理)高三9月月考

高三上学期月考 理科数学试题一、单选题（每题5分，共60分）1．已知集合{}21,A y y x x Z ==-∈，{}3sin ,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．{}1,0-2．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）．A ．1278 B ．212 C ．638D ．6332 4．已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2cos sin αααα=-( ) A ．1 B ．1- C ．27- D ．12-5．要得到函数()2cos2f x x =的图像，只需将函数()sin 2cos 244g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移34π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2113234m m m a a a -+-+=，214038m S -=，则m =（ ）.A ．1000B ．1010C ．1020D ．10307．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...,由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．189B ．1225C ．1024D ．1378 8. 边长为12的正三角形ABC 中，E 为BC 中点，F 在线段AC 上且12AF FC =，若AE 与BF 交于M ，则MA MB ⋅=（ ） A ．-12B ．27-C ．152-D ．274-9．若3cos 22sin()4παα=+，3(,)2παπ∈，则sin 2α的值为( ) A ．429-B ．529-C ．79-D ．7910．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则2(log )10f =（ ）A ．35B ．8C ．35-D ．38-11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22coscos 252A CB -+=，且ABC ∆的面积为234b ，则角B =（ ） A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π312．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB mAM =，AN nAD = （m ＞0，n ＞0），则1mn +的最小值为（ ） A ．22B ．1C ．22D ．2二、填空题（每题5分，共20分）13.已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为120，向量1232m e e =-，则m =_____．14.在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.15.若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________． 16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角4B π=且4sin 4csin csin 4sin a A C a B b B +=+，则ABC ∆的面积的最大值为_____________.三、解答题（共70分）17．（共12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足252n n nS +=,*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n nan n b a =+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18．（共12分）已知向量()cos ,sin ,(cos ,sin ),105a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α.19．（共12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1055S S =，64202a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，证明：58n b ≤ 20．（共12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足242cos 1cos cos sin cos 23C A B A B =-+．（1）求cos B 的值；（2）设ABC ∆外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围．21.（共12分）已知函数(1)()ln ()1a x f x x a R x -=-∈+ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 既有极大值，又有极小值，记12,x x 分别为函数()f x 的极大值点和极小值点，求证：1212()()();22x x f x f x f ++< （3）设m 为整数，且对于任意的正整数n ，有2111+)(1)(1),222n m ++<（1 求m 的最小值. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

22．（共10分）在平面直角坐标系中，曲线1C 的普通方程为22220x y x +--=，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 的参数方程，曲线2C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα，23,B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当240,πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2221OA OB +的取值范围．23．（共10分）已知函数()211f x x a x =---，a R ∈.（1）当5a =时，求函数()f x 的值域；（2）[]00,3x ∃∈，()001f x a x ≥+，求实数a 的取值范围.高三理科数学答案一．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DAACBBBBDCBD二．填空题13.19 14.352+ 15.24 16.82（1+） 三．解答题17.当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=+，综上：2n a n =+.（2）由（1）知()2212nn n b n +=+-+（）2T 8(41)n n n =-+ 18.（1）510a b -=44cos cos sin sin cos()55αβαβαβ⇒+=⇒-=； （2）因为0,022ππαβ<<-<<，所以0αβπ<-<，而os()4c 5αβ-=， 所以2sin()1cos (3)5αβαβ-=--=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以212cos 1sin 13ββ=-=. 因此有16sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-=. 4419.(1)cos cos cos sin cos sin sin sin cos 33443tan ,(0,),sin cos 355C A B A B A B A BB B B B π=-+∴=∴=∈=∴=(2)2(sin sin C)R A +=∴a+c=2c=2-a2222222661632(2)(2)45555425(0,2)[,4)[,2)55b ac ac a a a a a a a b b ∴=+-=+---=-+∈∴∈∴∈20.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵1055S S =，64022a a +=，()()11115(510)1045,32520,a d a d a d a d ⎧+=+⎪∴⎨+=++⎪⎩∴11a =，3d =-，∴1(1)(2)43n a n n =+-⨯-=-.（2）∵*12312311,2n n n b b b b n a a a a +++⋯+=-∈N ，① ∴1n =时，11112b a =-，∴112b =-，2n 时，*12311123111,2n n n bb b b n a a a a ---+++⋯+=-∈N ，② ①-②得：111111222n n n n n b a -⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，∴1(34)2n n b n =-⨯ 又112b =-也符合上式，∴1(34)2n n b n =-⨯，又11372n n n n b b ++-+-=， ∴当2n时，10n n b b +->；当3n 时，10n n b b --<，∴数列{}n b 先单调递增再递减，∴358n b b =. 2'2'2(1)121.()(0)(1)4(2)(1)02,0()0()+x a x f x x x x a a a f x f x --+=>+∆=-≤≤∆≤∴≥∴∞在（0，）上单调递增12211222122(1)020,12,1012,0x x a a x a a a x x x a a a x x +=->⎧>∆>=---⎨=>⎩=-+-∴>(2)当时， '12()0,(0,)(,)f x x x x >∈⋃+∞，'12()0,(,)f x x x x <∈（3）当0a <时，'12,0,()0x x f x <∴>，()f x 在+∞（0，）递增 综上：当2a ≤时，()+f x ∞在（0，）上递增 当2a >时，12(0,)(,)x x +∞，函数递增，12(,)x x 函数递减 （2）当2a>时，12121()()0,()(1)ln(1)(2)22x x f x f x f f a a a ++==-=---（） '12121211()ln (1)(1),()10()(1,)()(1)0()02()()()22a xu x x x x u x xx x u x u x u f f x f x x x f -==-->=-<++∞<=<++∴>在上递减，， 11ln 1,ln(1)ln(1)22n nx x x x <-∴+<∴+< 2111111ln(1)ln(1)11222222n n n ∴++++<+++=-< 2232111111135(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222264111(1)(1)(1)222n n e∴+++<+++=>+++递增min 1n11322m ∴∈∴=（1+）（1+）（2，e ）22.（1）曲线1C 的普通方程为22220x y x +--=，即()2213x y -+=，故曲线1C 的参数方程为13cos 3sin x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．令cos x ρθ=，sin y ρθ=，则2221:C x y -=可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()2222cos sin cos 21θρθρθ-==，故曲线2C 的极坐标方程为221cos ρθ=．（2）将点()1,A ρα，23,B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程，得1cos 21ρα=，222cos 213πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭22221211222cos 2cos 223OAOBπααρρ⎛⎫∴+=+=++ ⎪⎝⎭63cos 2πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵240,πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,664πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴33cos 2,2662πα⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴2211OA OB+的取值范围是63,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 23.（1）当5a=时，()22254,151156,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=---=⎨+-<⎩.当1≥x 时，()9,4f x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭；当1x <时，()49,4f x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.∴函数()y f x =的值域为49,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； （2）不等式()1f x a x ≥+等价于2111x a x a x ---≥+，即2111x a x x -≤-++在区间[]0,3内有解 当[]0,1x ∈时，2211112x x a x x --≤=-++，此时，211,022x -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则0a ≤；当(]1,3x ∈时，2211111122x x a x x x x x --⎛⎫≤==- ⎪-++⎝⎭， 函数112y x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间(]1,3上单调递增，当(]1,3x ∈时，114,230x x ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则43a ≤.综上，实数a 的取值范围是43,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。