高三数学9月月考试卷
山西省忻州市2025届高三上学期9月月考数学试题(含答案)
山西省忻州市2025届高三上学期9月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|y =lg(2−x )},B ={x ∈N|y = 4−x 2}，则A ∩B =( )A. {0,1,2}B. {0,1}C. (−2,2)D. (0,2)2.已知a ∈R,b ∈R ，且(2+i )(1−ai )=2+bi ，则a +b =( )A. −1B. 0C. 1D. 23.已知命题p:∃x >0,x 2>2x ，则p 的否定为( )A. ∀x >0,x 2≤2xB. ∀x >0,x 2>2xC. ∃x >0,x 2≤2xD. ∃x ≤0,x 2≤2x4.在平行四边形ABCD 中，AP =2PB ，则PD =( )A. 23AB +ADB. −23AB +ADC. 13AB +ADD. −13AB +AD 5.如果随机变量ξ∼B (n,p )，且E (3ξ)=12,D (ξ)=43，则p =( )A. 14 B. 13 C. 12 D. 236.已知x >0,y >0,x +y +2xy =4，则x +y−xy 的最小值为( )A. 32B. 2C. 12D. 17.已知数列{a n }满足a n +1a n +a n +1a n +2=2，且a 2=a 12a 1+1,a 3=17，则3a 100=( )A. 165 B. 167 C. 169 D. 1718.已知a >0，设函数f (x )=e 2x +(2−a )x−ln x−ln a ，若f (x )≥0在(0,+∞)上恒成立，则a 的取值范围是( )A. (0,1e ]B. (0,1]C. (0,e ]D. (0,2e ]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a >0，则函数f(x)=a x −2a 的图象可能是( )A. B. C. D.10.已知函数f (x )=2sin(2x +φ)(|φ|<π2)，且f (x )≤|f (π6)|，则下列结论正确的是( )A. φ=π6B. f(x)在区间[π2,π]上单调递增C. 若x1,x2为方程f(x)=2的两个解，则|x2−x1|的最小值为2πD. 若关于x的方程f(x)=a在区间[0,π4]上有且仅有一个解，则a的取值范围为[1,3)∪{2}11.已知函数f(x)的定义域为R，设g(x)=f(x+2)−1，若g(x)和f′(x+1)均为奇函数，则( )A. f(2)=1B. f(x)为奇函数C. f′(x)的一个周期为4D. ∑2024k=1f(k)=2024三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
江西省丰城中学2025届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)
江西省丰城中学2025届高三上学期9月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合,集合,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.2．已知集合A 和集合B 满足：有2个元素,有6个元素,且集合A 的元素个数比集合B 的元素个数多2个,则集合A 的所有子集个数比集合B 的所有子集个数多( )A.22B.23C.24D.253．下列选项中表示同一函数的是( )A.与 B.与C.D.与4．已知二次函数满足，，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A. B.C. D.5．下列说法正确的是( )A.“”是“”的必要不充分条件B.命题“,”的否定是“,”C.的充要条件是D.“”是“函数的最小正周期为2”的充分不必要条件6．已知函数=，满足对任意成立，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.2{|0}A x x x =-={|13}B x x +=∈-≤<N ()1A B ⊆ ()1A B ∈ A B =∅A B B= A B A B ()0f x x =()1g x =()f x x =()2x g x x=()f x =()1g x x =-()1,01,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,0()1,0xx x g x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩()f x (2)1f =-(1)()f x f x -=()f x ()f x =2447x x -++2447x x ++2447x x --+2447x x -+-a b >22a b >(0,)x ∀∈+∞11x x +>(0,)x ∀∈+∞11x x+≤22cos sin 1αβ+=αβ=πω=()()2sin f x x ωϕ=+()f x (),023,0x a x a x a x ⎧<⎪⎨-+≥⎪⎩12x x ≠0>()0,1a ∈10,3a ⎛⎤∈⎥⎝⎦()2,a ∈+∞3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭7．已知,A. B. C. D.8．已知函数的定义域为R ,是偶函数,是奇函数,则的最小值为( )A.eB.9．已知函数与的定义域均为R ，为偶函数，且，，则下面判断错误的是( )A.的图象关于点中心对称B.与均为周期为4的周期函数C.D.二、多项选择题10．若集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则M ，N 可能是( )A.，B.，C.，D.，11．已知实数,且,则下列结论正确的是( )A.a =1e =c =ab c>>a c b >>b a c >>b c a>>()f x ()e x y f x =+()3e x y f x =-()f x ()f x ()g x (1)f x +()3()1f x g x -+=()(1)1f x g x --=()f x (2,1)()f x ()g x 20221()2022i f i ==∑2023()0i g i ==∑{0,2,4,6}M ={4}N ={}2|1M x x =<{|1}N x x =>-{|lg }M x y x =={}|e 5x N y y ==+{}22(,)|M x y x y =={(,)|}N x y y x ==,a b +∈R 21a b +=ab 22b +121b a -<<-三、填空题12．已知幂函数过点,若,则实数a 的取值范围是____________.13．若关于x 的不等式在区间上有解,则实数m 的取值范围是____________.14．已知,,若中恰含有一个整数,则实数a 的取值范围是_______________.四、解答题15．已知集合,,全集.(1)当时,求;(2)若,当时,求实数a 的取值范围.16．已知函数(1)若,求实数m 的值;(2)若,求实数a 的取值范围.17．哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗,利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层.本次施工要建造可使用30年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.由于建造工艺及耗材等方面的影响,该教学楼每年的能源消耗费用T （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：当时,时,;若不建隔热层,每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小.并求最小值.18．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求m ，n 的值：()f x ⎛ ⎝()(3)12f a f a <-+2320x mx m -+-≥[]1,2{}2230A x x x =+->{}2210,0B x x ax a =--≤>A B {}123A x a x a =-≤≤+{}14B x x =-≤≤U =R 1a =()U A BðA B ⊆A ≠∅()25,01,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪+⎩()4f m =()6f a <-05x ≤≤()T x =10x <≤()()213023560T x x x =-+()f x ()f x ()f x 2()1mx nf x x +=+[1,1]-()11f =(2)试判断函数的单调性，并证明你的结论；(3)求使成立的实数a 的取值范围.19．俄国数学家切比雪夫(П.Л.Чебышев,1821-1894)是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合I 上的函数,以及函数,切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.（1）若,,求函数与的“偏差”;（2）若,,求实数b ,使得函数与的“偏差”取得最小值.()f x ()()2110f a f a -+-<()f x ()(),g x kx b k b =+∈R ()(y f x g =-I ∈()f x ()g x ()[]()20,1f x x x =∈()1g x x =--()f x ()g x ()[]()21,1f x x x =∈-()g x x b =+()f x ()g x参考答案1．答案：B解析：由题意得,,结合各选项知B 正确.故选B.2．答案：C解析：设集合A 和集合B 的元素个数分别为x ,y ,则由有2个元素,有6个元素可知,.即①.又因为集合A 的元素个数比集合B 的元素个数多2个,所以②.联立①②可得,,即集合A 和集合B 的元素个数分别为5和3,所以集合A 的所有子集个数和集合B 的所有子集个数分别为,,所以,故选：C.3．答案：D解析：对于A ，因为定义域为，而的定义域为R ，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；对于B ，因为定义域为R ，而的定义域为，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；对于C ，易知函数的定义域为R ，而域为，的值域为R ，两函数值域不同，故不能表示同一函数；对于D ，易知函数和的定义域为R ，值域为，且，所以是同一函数.故选：D.4．答案：A{}0,1A ={}{}1,21B A B =⇒= {}0,1,2A B = A B A B (2)(2)26x y -+-+=8x y +=2x y -=5x =3y =5232532224-=()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()g x ()f x ()g x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x =()1x x =-()f x =[)0,+∞()1g x x =-()f x ()g x {1,1}-,01,0()1,01,0xx x x g x x x ⎧≠≥⎧⎪==⎨⎨-<⎩⎪=⎩解析：根据题意，由得：图象的对称轴为直线设二次函数为，因的最大值是8，所以，当，即二次函数，由得：，解得：，则二次函数，故选：A.5．答案：D解析：对于A,“若,则”是假命题,因为,而;“若,则”是假命题,因为,而,即“”是“”的既不充分也不必要条件,A 错误;对于B,命题“,”是全称量词命题,其否定是存在量词命题,因此它的否定是“,”,B 错误;对于C,当成立,因此成立,不一定有,C 错误;对于D,当时,函数的最小正周期为2;当函数的最小正周期为2时,或.所以“”是“函数的最小正周期为2”的充分不必要条件.D 正确.故选：D.6．答案：C解析：因为对任意成立，(1)()f x f x -=()f x x =21()(0)2f x a x k a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭()f x 0a <x =182f k ⎛⎫== ⎪⎝⎭21()8(0)2f x a x a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭(2)1f =-21(2)2812f a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭4a =-221()484472f x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭a b >22a b >12>-221(2)<-22a b >a b >22(2)1->21-<a b >22a b >(0,)x ∀∈+∞11x x+>(0,)x ∃∈+∞11x x+≤α==22sin 1αβ+=22cos sin 1αβ+=αβ=πω=()()2sin f x x ωϕ=+()()2sin f x x ωϕ=+πω=πω=-πω=()()2sin f x x ωϕ=+1x x ≠0>所以为R 上的增函数，所以，解得，即，故选：C.7．答案：C 解析：因为因为有：,由有：,所以上单调递减,因为,,,因为,所以,故A,B,D 错误.故选：C.8．答案：B解析：因为函数为偶函数,则,即,①又因为函数为奇函数,则,即,②联立①②可得,由基本不等式可得,当且仅当时,即当时,等号成立,故函数的最小值为故选：B.9．答案：C解析：因为为偶函数，所以①，所以的图象关于直线轴对称，()f x ()0120203a a a a a >⎧⎪->⎨⎪≤-⨯+⎩2a >()2,a ∈+∞ln 22a ==1e ===()f x =()f x '=21ln ()0x f x x -'=>0e x <<21ln ()0x f x x -'=<e x >()f x =)e,+∞()ln 2ln 4424a f ===()1ln e e e e b f ===()ln 999c f ==94e >>b a c >>()e x y f x =+()()e e x x f x f x --+=+()()e e x x f x f x ---=-()3e x y f x =-()()3e 3e x x f x f x ---=-+()()3e 3e x x f x f x -+-=+()e 2e x x f x -=+()e 2e x x f x -=+≥=e 2e x x -=1ln 22x =()f x ()1f x +()()11f x f x +=-+()f x 1x =因为等价于②，又③，②+③得④，即，即，所以，故的周期为4，又，所以的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得，故的图象关于点中心对称，且，故选项A 正确，由，可得，且，故，故，因为与值不确定，故选项错误，因为，所以，,,所以，故，故，所以选项D 正确，故选:.10．答案：ACD解析：根据Venn 图可知，对于A ，显然，故A 正确；对于B ，，，则，故B 错误；对于C ，，，则，故C 正确；对于D ，，或，，，则，故D 正确.故选：ACD 11．答案：AD()()11f x g x --=()()11f x g x --=()()31f x g x -+=()()132f x f x -+-=()()132f x f x +++=()()22f x f x +=-()()()422f x f x f x +=-+=()f x ()()13g x f x =--()g x ()()132f x f x ++-=()f x ()2,1()21f =()()22f x f x +=-()21f =()01f =()41f =()()132f f +=()()()()12344f f f f +++=20221(i)5054(1)(2)2021(1)i f f f f ==⨯++=+∑()1f ()3f C ()()31f x g x -+=()10g =()30g =()()013g f =-()()211g f =-()()()()022130g g f f +=-+=⎡⎤⎣⎦()()()()01230g g g g +++=20230(i)50600i g ==⨯=∑C N M ÜN M Ü{|11}M x x =-<<{|1}N x x =>-M N ⊆{|0}M x x =>{|5}N y y =>N M Ü{(,)|M x y y x ==}y x =-{(,)|}N x y y x =={(,)|}N x y y x ==N M Ü解析：对于A,因为,,所以当且仅当对于B,因为,,所以,,所以所以所以当对于C,因为,,,时,取等号,对于D,因为由选项B 知,所以,所以,所以,所以,所以D 正确,故选：AD.12．答案：解析：设幂函数,因为函数图象过点,则则,且在单调递减.所以由,,a b +∈R 21a b +=12a b =+≥≤2a b ==,a b +∈R 21a b +=01a <<120b a =->0a <<2222222(12)54155a a a a a a b ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭+a =22b +,a b +∈R 21a b +=()11122333b a a b b a b a b ⎛⎫=++=++≥+=⎪⎭+ ⎝==1b =-+2a b +=221a a -==--0a <<1112a <-<-1211a -<<--2241a <-<-20221a <--<-1021b a -<<-23,32⎛⎫⎪⎝⎭()f x x α=⎛ ⎝22α===12()f x x-==)0,+∞()f x ()0,+∞()(3)12f a f a <-+可得所以实数a 的取值范围是.故答案为：.13．答案：解析：,不等式,即上有解.设,,则,令,,设,,,则在区间上单调递增,故,即.故要使上有解,则.即实数m 的取值范围是.故答案为：.14．答案：解析：由题意,得或,;因为,所以若中恰含有一个整数,则,则10320132a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩a <<23,32⎛⎫⎪⎝⎭23,32⎛⎫⎪⎝⎭[)2,-+∞[]1,2x ∈ ∴2320x mx m -+-≥m ≥]1,222()3x g x x-=-[]1,2x ∈2(3)6(3)77()(3)633x x g x x x x--+--==---+--3t x =-[]1,2t ∈7()6h t t t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭[]1,2t ∈22277()10t h t t t -⎛⎫'=--=> ⎪⎝⎭()h t []1,2min ()(1)2h t h ==-min ()(2)2g x g ==-m ≥]1,22m ≥-[)2,-+∞[)2,-+∞{}2|230{|1A x x x x x =+->=>3}x <-{}{2|210,0=|B x x ax a x a x a =--≤>-≤≤A B {}2A B =,即,两边平方,得,解得,即实数的取值范围为;故填.15．答案：(1)(2)解析：(1)当时,,,则或,故;(2)若,当时,需满足,解得.16．答案：(1)或(2)解析：(1)当时,,解得或（舍去）;当时,,解得所以m 的值为3或(2)当时,,不符合题意,,且,解得.{|10}x x -≤<1[0,]21a ={}05A x x =≤≤{}14B x x =-≤≤{|0U A x x =<ð5}x >(){|10}U A B x x =-≤< ðA B ⊆A ≠∅12311234a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩0a ≤≤12334-716x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭0m ≥()254f m m =-=3m =3m =-0m <()141f m m ==+m =34-0a ≥()2556f a a =-≥->-<0a ∴()161f a a =<-+716a -<<-所以a 的取值集合是.17．答案：(1),;(2)当解析：(1)由题意知若不建隔热层,每年能源消耗费用为5万元,,解得,当时,当时,(2)当时,当且仅当当时,当时,,所以,当时,18．答案：(1)，；(2)上为增函数.证明见解析；(3)解析：（1）由题意，在中，函数是奇函数，且，可得即；716x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭20k =()26008(05)3412357(510)22x x x f x x x x ⎧+≤≤⎪⎪+=⎨⎪-+<≤⎪⎩x =(f x ()054k T ∴==20k =05x ≤≤20()830834f x x x x =+⨯=++510x <≤()()2211303023587602f x x x x x x =⨯-++=-+()26008(05)3412357(510)22x x x f x x x x ⎧+≤≤⎪⎪+∴=⎨⎪-+<≤⎪⎩05x ≤≤()60086003232()834803433433f x x x x x =+=++-≥-=++x =510x <≤7x =()min ()793f x f ==113x =(f x 2m =0n =()f x =1,1]-[)0,1[1,1]x ∈-2()1mx n f x x +=+()11f =(0)0f =0n =，则，，；经验证满足题意.（2）由题意及（1）得，上为增函数.证明如下：在中，设，则，，，，即，在上为增函数；（3）由题意，（1）及（2）得，在中，为奇函数，，即，，解得，a 的取值范围是19．答案：（1）3解析:（1）,因,所以,则,故函数与的“偏差”为3;为)1m n +=2m =∴2m =0n =()f x =1,1]-2()1mx n f x x +=+[1,1]x ∈-1211x x -≤<≤1212221222()()11x x f x f x x x -=-=++ 1211x x -≤<≤∴120x x -<121x x <∴12())0(f x f x -<12()()f x f x <∴()f x [1,1]-[1,1]x ∈-2()1mx n f x x +=+()f x ∴()()f x f x =--∴2(1)(1)0f a f a -+-<22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-∴21111a a -≤-<-≤01a ≤<∴[)0,1()()22112y f x g x x x x ⎛⎫=-=++=+ ⎪⎝⎭[]0,1∈[]0,1x ∈113,222x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]2131,324y x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x（2）令,,因为,,,当,即,则,由于当,即,则,由于当,,且,即则当,,且,即则;当,,且,即则;当,,即时,则()()()2212t x f x g x x x b x b ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭[]1,1x ∈-()()212h x t x x b ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭[]1,1∈-[]1,1x ∈-131,222x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦2190,24x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦104b --=b =211024x b ⎫---≥⎪⎭()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭b -2b -=104b -->b <211024x b ⎫--->⎪⎭()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭b -2b ->104b --<()120t b -=->124b b +<-14b -<<()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-2b <-<104b --<()120t b -=->124b b +>-b >()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭+1948+>104b --<()120t b -=->124b b +=-b =()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭+1948+=104b --<()120t b -=-<2b >()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭+14+>当,,即时,则综上,104b --<()120t b -=-=2b =()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭+14+=b =。
上海市新川中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷
上海市新川中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷一、填空题1．已知集合{2},{1}A xx B x x =≤=≥-∣∣，则A B =I ． 2．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则sin θ=. 3．函数y = 4．已知正实数a 、b 满足1ab =，则4a b +的最小值等于．5．在今年的“抗疫”战斗中，某医疗组现有3名医生和2名护士，需派遣其中两名医护人员去执行任务，则“至少有一名医生”的概率为.6．已知常数0m >，6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 项的系数是60，则m 的值为． 7．函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为．8．若函数ln(1)ln(1)y x a x =+--为奇函数，则实数a 的值为．9．已知函数()()2223ln 9f x f x x x =⋅-+'，则()1f =． 10．若关于x的方程13xm ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m 的取值范围. 11．若对任意[1,2]x ∈，均有22||x a x a x x -++=+，则实数a 的取值范围为． 12．若函数32,0e ,0x x x y ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩的图像上点A 与点B 、点C 与点D 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a 的取值范围是．二、单选题13．已知a 、b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a 、b 都是偶数”的（ ）条件 A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要14．已知非零实数,a b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）．A ．22a b >B ．11a b>C ．22a b ab >D ．22a b b a > 15．已知函数()2210log 0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．][(),42,-∞-⋃+∞B ．[]1,2-C ．[)(]4,00,2-UD ．[]4,2--16．已知函数()()y f x x =∈R ，其导函数为()y f x '=，有以下两个命题：①若()y f x '=为偶函数，则()y f x =为奇函数；②若()y f x '=为周期函数，则()y f x =也为周期函数．那么（ ）．A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题三、解答题17．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥．(1)求证：⊥BC 平面1D DB ；(2)求点D 到平面1BCD 的距离．18．已知集合212x A x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，集合{}2B x x a =-≤． (1)当1a =-时，求A B U ；(2)若“x B ∈”是“x A ∉”的充分条件，求实数a 的取值范围．19．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下：①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E （单位：EXP ）与游玩时间t （单位：小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50．（1）当1a =时，写出累积经验值E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为()H t ，若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a 的取值范围．20．已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.(1)若()f x =()f x 的值域；(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值； (3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式.21．已知函数()()22ln f x ax a x x =-++，其中a R ∈．(Ⅰ)当1a =时，求曲线y =f (x )在点()()1,1f 处的切线方程；(Ⅱ)当a >0时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为−2，求a 的取值范围；(Ⅲ)若1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()112222f x x f x x +<+恒成立，求a 的取值范围．。
重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。
云南2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含答案
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B = （）A.(2,3] B.[1,2)C.(,4)-∞ D.[1,4)【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，再利用交集含义即可得到答案.【详解】{(2)(4)0}{24}B xx x x x =--<=<<∣∣，而{|13}A x x =≤≤，则(2,3]A B ⋂=.故选：A.2.已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（）A.2,10z z ∀∈+<CB.2,10z z ∀∈+≥C C.2,10z z ∃∈+<C D.2,10z z ∃∈+≥C 【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知：2:,10p z z ∃∈+<C 的否定为2,10z z ∀∈+≥C .故选：B3.正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（）A.7B.5C.3D.1【答案】C【解析】【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可；【详解】由题意可得()23152a a a -=，又正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，所以()()2111224a d a a d +-=+，即()()222444d d +=+，解得3d =或1-（舍去），故选：C.4.若sin160m ︒=，则︒=sin 40（）A.2m -B.2-C.2-D.2【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式求出sin 20︒，然后结合平方公式和二倍角公式可得.【详解】因为()sin160sin 18020sin 20m ︒=︒-︒=︒=，所以cos 20︒==，所以sin 402sin 20cos 202︒=︒︒=故选：D5.已知向量(1,2),||a a b =+= ，若(2)b b a ⊥- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.10-C.10D.5【答案】C 【解析】【分析】联立||a b += 和(2)0b b a ⋅-=求出,b a b ⋅ 即可得解.【详解】因为(1,2)a = ，所以a =，所以222||27a b a b a b +=++⋅=，整理得222b a b +⋅=①，又(2)b b a ⊥- ，所以2(2)20b b a b a b ⋅-=-⋅=②，联立①②求解得11,2b a b =⋅= ，所以12cos ,10a b a b a b⋅〈〉=== .故选：C 6.函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（）A.{}1-B.{0}C.{1}D.{1,1}-【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义得()))()222()ln lnln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=得1k =±，即可验证单调性求解.【详解】)()lnf x kx =+是奇函数，故()))()222()ln ln ln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=，则22211x k x +-=，210k -=，解得1k =±，当1k =-时，)()lnf x x ==，由于y x =在0,+∞为单调递增函数，故()lnf x =0,+∞单调递减，不符合题意，当1k =时，)()lnf x x =+，由于y x =在0,+∞为单调递增函数且()00f =，故)()ln f x x =为0,+∞单调递增，根据奇函数的性质可得)()ln f x x =+在上单调递增，符合题意，故1k =，故选：C7.函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（）A.16 B.76C.136D.16或76【答案】B【解析】【分析】根据()2π3,2π2f T T =≤<求解即可.【详解】由题知，当2πx =时()f x 取得最大值，即π(2π)3sin 2π36f ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π2π,Z 62k k ω+=+∈，即1,Z 6k k ω=+∈，又()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，所以13ππ2π266T T ≤-=<，所以2π12T ω≤=<，所以76ω=.故选：B8.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC = ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，则E 的离心率为（）A.9B.7C.5D.3【答案】D 【解析】【分析】设(),A m n ，表示出,,,OA OC AF BF，根据0,0AB OC AC BF ⋅=⋅= 列方程，用c 表示出,m n ，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得.【详解】设(),A m n ，则()(),,,0B m n F c --，则()()(),,,,,OA m n AF c m n BF c m n ==--=+，因为23AF FC = ，所以()555,222n AC AF c m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以()()55533,,,22222n c n OC OA AC m n c m m ⎛⎫⎛⎫=+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，所以222253302220c OA OC m m n AF BF c m n ⎧⎛⎫⋅=--=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=--=⎩ ，得34,55m c n c ==，又(),A m n 在椭圆上，所以222291625251c ca b+=，即()()222222229162525c a c a c a a c -+=-，整理得4224255090a a c c -+=，即42950250e e -+=，解得259e =或25e =（舍去），所以3e =.故选：D【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A 坐标与c 的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（）A.{}n a 为等差数列B.{}n a 不可能为常数列C.若{}n a 为递增数列，则0k >D.若{}n S 为递增数列，则1k >【答案】AC 【解析】【分析】根据,n n a S 的关系求出通项n a ，然后根据公差即可判断ABC ；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D .【详解】当1n =时，112a S k ==-，当2n ≥时，()()()221212122n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=-----=-+⎣⎦，显然1n =时，上式也成立，所以()22n a kn k =-+.对A ，因为()()()1222122n n a a kn k k n k k -⎡⎤-=-+---+=⎣⎦，所以是以2k 为公差的等差数列，A 正确；对B ，由上可知，当0k =时，为常数列，B 错误；对C ，若为递增数列，则公差20k >，即0k >，C 正确；对D ，若{}n S 为递增数列，由函数性质可知02322k k >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得23k >，D 错误.故选：AC10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（）A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB ；作差比较，结合自变量范围即可判断C ；作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，结合图象可判断D .【详解】对AB ，由题知()()1215E y E y ====，因为110.820y x =+，220.7525y x =+，所以()()120.82060,0.752515E x E x +=+===，解得()()1250,20E x E x =≈==，所以()()12E x E x >=，故A 正确，B 错误；对C ，因为111200.2y x x -=-，[]10,100x ∈，所以10200.220x ≤-≤，即110y x -≥，所以C 正确；对D ，作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，如图所示：由图可知，当12100y y =<时，有21x x <，又因为0.820y x =+单调递增，所以当12y y >时必有12x x >，D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（）A.(1)0f '=B.4是()f x '的一个周期C.(2024)0f =D.()f x 的图象关于点(2,1)对称【答案】ABD 【解析】【分析】注意到()f x '为偶函数则()()2f x f x -+=，由()(1)1f x f x -+=+两边求导，令0x =可判断A ；()()11f x f x --='+'结合导函数的奇偶性可判断B ；利用()f x 的周期性和奇偶性可判断C ；根据()()2f x f x -+=和()(1)1f x f x -+=+可判断D .【详解】因为()f x '为偶函数，所以()()f x f x -'='，即()()f x f x c --=+，而(1)(1)2f f -+=，故2c =-，故()()2f x f x +-=，又(1)f x +为偶函数，所以()(1)1f x f x -+=+，即()()2f x f x =-，所以()2()2f x f x -+-=，故()(2)2f x f x ++=即()2(4)2f x f x +++=，()()4f x f x =+，所以4是()f x 的周期，故B 正确.对A ，由()(1)1f x f x -+=+两边求导得()()11f x f x --='+'，令0x =得()()11f f -'='，解得()10f '=，A 正确；对C ，由上知()()2f x f x +-=，所以()01f =，所以()()(2024)450601f f f =⨯==，C 错误；对D ，因为()()2f x f x +-=，()()2f x f x =-，故()2(2)2f x f x -++=，故()f x 的图象关于2,1对称，故选：ABD【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数的奇偶性关系，以及对()(1)1f x f x -+=+两边求导，通过代换求导函数的周期.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为______．【答案】1y =##10y -=【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.【详解】因为()e xf x x =-，则()01f =，又()e 1xf x '=-，所以()00f '=，所以曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为1y =．故答案为：1y =13.若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为__________．【答案】1-##1-+【解析】【分析】根据复数对应的点cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在y x =得212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.【详解】cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭对应的点为cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故cos 21sin sin 2θλθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由于()0,πθ∈，故sin 0θ>，则2sin 1111sin sin sin 122sin θλθθθθ==≤++++，当且仅当1sin 2sin θθ=，即2sin 2θ=，解得π3π,44θθ==时等号成立，114.过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =__________．【答案】【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得223332122k AB k +=+=，解得213k =，即可求解()111:AM y x x y k=--+得11M x ky x =+，即可代入求解.【详解】2:3C y x =0，根据题意可知直线l 有斜率，且斜率不为0，根据对称性不设直线方程为34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立直线34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与23y x =可得22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，故2121223392,16k x x x x k ++==，故21223332122k AB x x p k +=++=+=，解得213k =，直线()111:AM y x x y k=--+，令0y =，则11M x ky x =+，同理可得22N x ky x =+，如下图，故()()()211221212121M N MN x x ky x ky x k y y x x k x x =-=+--=-+-=+-，()()22221212233192141483316k MN k x x x x k ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=++-=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故答案为：83四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．（1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，ABC V 的面积为33，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3C =；（2）23.【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面积公式求出c ，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得a b +，可得周长.【小问1详解】由余弦定理角化边得，2222202b c a a b c bc +--+⨯=，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题知，13123c ⨯=，即233c =，由三角形面积公式得1πsin 233ab =，所以43ab =，由余弦定理得()222π42cos 333a b ab a b ab +-=+-=，所以()2416433a b +=+=，所以3a b +=，所以ABC V 的周长为33a b c ++=+=16.如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==．（1）证明：AB PC ⊥；（2）若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）19.【解析】【分析】（1）转化为证明AB ⊥平面12O O CP ，利用圆台性质即可证明；（2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】由题知，因为AB 为圆2O 的直径，所以AC BC ⊥，又4,AB AC ==AB ==，因为2O 为AB 的中点，所以2O C AB ⊥，由圆台性质可知，12O O ⊥平面ABC ，且12,,,O O P C 四点共面，因为AB ⊂平面ABC ，所以12O O AB ⊥，因为122,O O O C 是平面12O O CP 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面12O O CP ，因为PC ⊂平面12O O CP ，所以AB PC ⊥.【小问2详解】圆台12O O的体积(2211ππ237π3V r =⋅+⋅⨯=，其中11r PO =，解得11r =或13r =-(舍去).由（1）知122,,O O AB O C 两两垂直，分别以2221,,O B O C O O 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3)A B C P -，所以(4,0,0),(2,1,3),(2,2,0)AB BP BC ==-=-.设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则230,220,n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩解得,3,x y x z =⎧⎨=⎩于是可取(3,3,1)n =.设直线AB 与平面PBC 的夹角为θ，则sin cos ,19AB n θ===，故所求正弦值为19.17.已知函数()ln f x x ax =+．（1）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）若()1,()e()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．【答案】（1）1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数()ln xh x x=-，利用导数求最值即可；（2121内，利用零点方程代入()0g x ，使用放缩法即可得证.【小问1详解】()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，等价于ln xa x≤-在(0,)+∞上恒成立，记()ln x h x x =-，则()2ln 1x h x x='-，当0e x <<时，ℎ′<0，当e x >时，ℎ′>0，所以ℎ在()0,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增，所以当e x =时，ℎ取得最小值()ln e 1e e eh =-=-，所以1a e≤-，即a 的取值范围1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【小问2详解】当1a =时，()()e()eln ,0xxg x f f x x x =-=->，则1()e x g x x'=-，因为1e ,xy y x==-在(0,)+∞上均为增函数，所以()g x '在(0,)+∞单调递增，又()121e 20,1e 102g g ⎛⎫=-''=- ⎪⎝⎭，1存在0x ，使得当∈0,0时，()0g x '<，当∈0,+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，所以()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.因为01e 0x x -=，即00ln x x =-，所以00000()e ln =e x x g x x x =-+，因为01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且=e x y x+1上单调递增，所以012001()=e e 2x g x x +>+，又9e 4>，所以123e 2>，所以00031()=e 222xg x x +>+=.18.动点(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x <．记点M 的轨迹方程为Γ．（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值；（3）已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++= ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）2（3）3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得PT =，即可由二次函数的性质求解，（3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，将其代入双曲线方程即可求解.【小问1详解】根据(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于3434=，化简得2233x y -=，由于|||y x <，故2233x y -=，即2213y x -=.【小问2详解】设(,)P x y，PT ====故当3y =时，PT 最小值为2【小问3详解】联立:2(0)l y kx k =+>与2233x y -=可得()223470k x kx ---=，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则12122247,33k x x x x k k-+==--，故()212122444,3k y y k x x k+=++=+-设存在点C 满足0GA GB GC ++= ，则1201200433x x x y y y ++=⎧⎪⎨++=⨯⎪⎩，故()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，由于()00,C x y 在2233x y -=，故22222443333k k k k ⎛⎫-⎛⎫--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得421966270k k -+=，即()()2231990k k --=，解得2919k =或23k =（舍去），由于()22Δ162830k k =+->，解得27k<且23k ≠，故2919k =符合题意，由于0k >，故31919k =，故022024,344334k x k k y k ⎧=-=-⎪⎪-⎨-⎪==-⎪-⎩,故3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故存在3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得0GA GB GC ++= 19.设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ．（1）写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；（2）证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；（3）设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解，1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（3）21113929nn E n ⎛⎫=+--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）列出所有()11,a b 和()22,a b 的情况，再利用古典概型公式计算即可；（2）构造得1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用等比数列公式即可；（3）由（2）得()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，再分n n a b >，n n a b =和n n a b <讨论即可.【小问1详解】当抛掷一次硬币结果为正时，()()11,1,0a b =；当抛掷一次硬币结果为反时，()()11,0,1a b =.当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，()()22,2,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，()()22,1,2a b =.所以，12210,42P P ===.【小问2详解】由题知，1n n a b -≤，当n n a b >，且掷出反面时，有()()11,,1n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，当n n a b <，且掷出正面时，有()()11,1,n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，所以()()()()()1111112222n n n n n n n n n n P P a b P a b P a b P a b P +⎡⎤=>+<=>+<=-⎣⎦，所以1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11133P -=-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.【小问3详解】设n n a b >与n n a b <的概率均为n Q ，由(2)知，()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦显然，111110222E =⨯+⨯=.若n n a b >，则1n n a b =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b =，则当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b <，则1n n b a =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，11n n a a +=+.所以1n n a a +=时，期望不变，概率为111122262nn n Q P ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦;11n n a a +=+时，期望加1，概率为1111111124226262n nn n Q P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以()11111112144626262nn nn nn n E E E E +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-++⨯--=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故12112111111444626262n n n n n n E E E -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+--+--⎢⎥⎢⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1111111446262n E -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--++--⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦011111111444626262n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111241612n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21113929nn ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.经检验，当1n =时也成立.21113929nn E n ⎛⎫∴=+-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分1n n a a +=和11n n a a +=+时讨论，最后再化简n E 的表达式即可.。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={x|(x +1)(x−4)<0}，B ={x|2x +a <0}，且A ∩B ={x|−1<x <3}，则a =( )A. 6B. 4C. −4D. −62.已知z 1+i =1−1i ，则|−z |=( )A.2B.22C. 2D. 13.已知f(x)=sin (ωx−π3)(ω∈N)的图象与直线y =a 在区间[0,π]上存在两个交点，则当ω最大时，曲线y =f(x)的对称轴为( )A. x =π24+kπ4，k ∈Z B. x =π30+kπ5，k ∈Z C. x =5π24+kπ4，k ∈Z D. x =π6+kπ5，k ∈Z4.函数f(x)=2x +2−xln( x 2+1−x)的图象大致为( )A. B.C. D.5.若平面单位向量a ，b ，c 满足〈a ,b〉=π6，b ⋅c =0，a ⋅c <0，则|b 2c ||a +c |( )A.5B.3C.153D.536.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派.苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中.图(1)是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD ，如图(2)，砖雕厚度为6cm ，AD =80cm ，CD =3AB ，CD 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为(单位：cm 2)( )A. 3200πB. 480π+960C. 6880π+960D. 3680π+9607.已知过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，且|AB|=2x 0+1，Q(t,−2−t)，若点P 在抛物线C 上，则|PQ|的最小值为( )A.3 24B.3 22C.3 34D.328.已知数列{a n }满足a 1=3,a n +1−a n =2,4b n =(−1)n +1(1a n +1a n +1)，若数列{b n }的前n 项和为T n ，不等式3T n <λ(3−5λ)(n ∈N ∗)恒成立，则λ的取值范围为( )A. (110,+∞)B. (15,+∞)C. (110,12)D. (15,25)二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学(含解析)
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合，若，则集合可以为（）A. B. C. D.2．若复数，则（ ）AB.C. 1D. 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert 常数约为（参考数据：，）（ ）A ．1.12B ．1.13C．1.14D ．1.155．已知，且，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数与函数的图象交点个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为.{}215=∈<N M x x {}05⋃=≤<M N x x N {}4{}45≤<x x {}05<<x x {}5<x x 232022202320241i i i i +i i z =-+-++- z =2b a = a b 60︒2a b - b 12br 12b- 32b- 32b C t I C I t λ=λ7.5A 60h 25A 15h λlg 20.301≈lg 30.477≈,(0,π)αβ∈cos α=sin()αβ+=αβ-=4π34π4π-34π-2()()ln 0f x x ax b x =++≥a 2-1-12()ln 1f x x =-()πsin 2g x x ={}n a ()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，设是的正整数解，则的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B ．随机变量服从正态分布，若，则C ．一组数据的线性回归方程为，若，则D ．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A ．动点B ．与不可能垂直C ．三棱锥体积的最小值为D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A 在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）A ．B ．是锐角三角形C ．四边形D ．三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.13．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若，则的最大值为________.14．将这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为，若，n nn a ⎤⎥=-⎥⎦n 2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+n 12310x x x x 、、、、()12210i i x x i --=≤≤110x x 、X ()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=()0.34P x a <=0.5a =()(),1,2,3,4,5,6i i x y i = 23y x =+6130i i x ==∑6163i i y ==∑2χ1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C CDD 1//B F 1A BE F 1B F 1A B 11B D EF -1311B D DF -25π22:2(0)C y px p =>F x D l F C ,A B AF M y N MN NF =l ABD △MNDF 22||BF FA FD ⋅>[]01,4x ∃∈20040x ax -+>a ABC ∆BC =3A π=A 14BF BC =AE AF ⋅ 1,2,3,4,5,6,7()1,2,,7i a i = 47a =，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n 项和为，若恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.123567a a a a a a ++<++ABC △A B C a b c ()4sin sin sin -=-A b B c A B a ABC△ABC △{}n a n n S 222n n n a a n S +-={}n a 21na nb =-{}nc 11n n n n b c b b ++=⋅{}n c n T ()12n T n λ-+≤λ1OO A BCDE -F BC ,B C FG A 122,OB OO AB AC ====CG BF ⊥//DF ABE FOD GOD G OD18．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.①求；②记，，求.19．如果函数 F (x )的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 y =f (x )，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表及轴围成图形面积为4.(1)若 ，求 的表达式；(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.E y =(2,1)-E 12,l l ()(,0n n P p p )*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD E MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2nn p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N 211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()()F x f x '=()()d f x x F x ⎰=()0f x ≥()()()baf x dx F b F a =-⎰x a x b ==，x 22d x x x C ⎰=+C ()()222204xdx C C =+-+=⎰0,1,2x x y x ===x ()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，()f x 2y x =6y x =-+()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，R m ∈[)0,a b ∞∀∈+，a b >()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰m()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++()0f x ≥2()g x x ax b =++1x >()0g x ≥01x <<()0g x <(1)0(0)0g g =⎧⎨≤1010a b a b b ++=⇒=--⎧⎨≤1a ≥-1．C2．C 【详解】6．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴4x ≥()()ln 1ln 31f x x g x =-≥>≥24x <<()ln 1ln10f x x g =-≥=>2x =()ln 1ln10sin πf x x =-===①当时，点，②当时，③当时，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 11,,0,242x y p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝MNF V MN l 11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为则可知为等边三角形，即且∥x 轴，可知直线[5,)+∞00040x ax -+>[]1,4x ∀∈240x ax -+≤4≥+a x x[]1,4()4f x x x=+[]1,2[]2,4()()145f f ==()max 5f x =5a ≥a [5,)+∞11812345621+++++=310S ≤333310360A A ⨯⨯=4=at ()0>t ABC △2sin =⋅a R A 2sinB =⋅b R 2sin =⋅c R C ()22sin sin sin sin -=-t A B C A B ABC △()sin sin =+C A B ()()22sin sin sin sin -=+-t A B A B A B ()()()221sin sin cos2cos2sin sin 2+-=--=-A B A B A B A B 2222sin sin sin sin -=-t A B A B 1=t 4=a 12． 【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.13．14．360【解析】∵，∴，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。
2024-2025学年上海杨浦高级高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1杨浦高中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.不等式211x −>的解集是________.2.已知集合102x P x x ⎧⎫+=≤⎨⎬−⎩⎭，(,)Q a =+∞，若P Q ⊂，则实数a 的取值范围是________.3.若平面向量(3,4)a =，2b =，6a b ⋅=−，则向量a b 、的夹角为________.4.在(2)n x +的展开式中（其中n 是正整数），各项的系数和为729，则4x 项的系数 为________.5.已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()32x f x e x =+−，当0x <时，()f x =________.6.已知2z i =+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程240x x m −+=的一个根，Im()m z ⋅=________.7.等差数列{}n a 的首项13a =，公差为d ，若34a =，则111n n d a +∞−=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑________.8.已知a βγ、、是不同的平面，l m n 、、是不同的直线，下列命题中：(1)若,,,l m l α⊥βαβ=⊥则m ⊥β；(2)若//,,,m n αβ⊂α⊂β则//m n ；(3)若,,//,l m l m ⊥αβγ=则β⊥α且γ⊥α；(4)若,,,l α⊥βγ⊥βαγ=则l ⊥β，所有真命题的序号是________.9.已知(,6)P m 是第二象限角α终边上的一个点，且24tan 27α=−，将OP 绕原点O 顺时针旋转4π至OP '，则点P '的坐标为________.210.如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A 、B ，岛上安装了信号接收塔.舰艇P 沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A 、B 是曲线的焦点.当P 在小岛B 正北方向1P 处时，测得距小岛B 3海里.当舰艇航行至小岛B 西偏南60︒的2P 处时，测得距小岛B 1.5海里.在以线段AB 中点为圆心、1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P 在航行的过程中，会放下巡逻船Q ，巡逻船在以PB 为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是________.11.已知正数a ，b ，c 满足1c <，4a b +=，则()211ab bc c +−的最小值为________. 12.已知数列{}n a 是有无穷项的等差数列，首项10a ≥，公差0d >，且满足：①38是数列{}n a 中的项；②对任意的正整数,m n ()m n ≠，都存在正整数k ，使得m n k a a a =.则这样的不同等差数列共有________个.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期是（ ） A ．6πB ．3πC ．32πD ．32π 14.下列函数在区间(0,)+∞上为严格减函数的是（ ） A ．cos y x =B ．2x y =C ．2y x −=D ．21y x =−15.在正方体1111ABCD A B C D −中，3AB =，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在三角形1A BD 内有一动点P （包括边界），则PA PE +的最小值是（ ） A ．2B．C ．3D．316.已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和圆22:10210E x y x +−+=上的动点，若抛物线C 的焦点为F ，则2PQ QF +的最小值为（ ） A ．6B．2+C．D．4+三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，且365a a =−，816S =−. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(),21,12,2n n na n kb k N k n k =−⎧=∈≥⎨=⎩，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 对于函数()y f x =，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x −=−，则称()y f x =为“准奇函数”. （1）已知函数()31x f x x −=+，试问()y f x =是否为“准奇函数”？说明理由； （2）若()3x g x m =+为定义在[]1,1−上的“准奇函数”，试求实数m 的取值范围.419.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在圆锥PO 中，AC 为圆锥底面的直径，B 为底面圆周上一点，点D 在线段BC 上，26AC AB ==，2CD DB =. （1）证明：AD ⊥平面BOP ；（2）若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角 O BP A −−的余弦值.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知函数()22x x af x =+，其中a 为实常数. （1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =； （2）讨论函数()y f x =的奇偶性；（3）当1a =时，用定义证明函数()y f x =在[0,)+∞上是严格增函数，并解不等式()(2)1f x f x >+.521.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题（i ）问满分6分，（ii ）问满分8分.中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用.门、窗装饰图案成为园林建筑中最有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆1C 和圆2C 组成，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，圆2C 以线段12F F 为直径. （1）设计如图所示的洞窗，椭圆1C 的离心率应满足怎样的范围? （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.（i ）从1F 射出的任意一束光线1F A 照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB ，B 为切点，然后用量角器探究猜测1AF B 是定值，请帮他们证明上述猜想;（ii ）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点P 是1C 上的一个动点，P 、Q 关于原点对称，过P 和Q 分别做圆的切线，交于R 、S ，求四边形装饰PRQS 面积S 的取值范围.图1 图2 图36参考答案一．填空题 1.(,0)(1,)−∞+∞ 2.1a <− 3.3arccos 5π− 4.60 5.32x e x −−++ 6.5−7.348.（3）、（4）9.( 10.无论P 在何处，以PB 为直径的圆均与布满暗礁的圆外切 11.2 12.69 11.已知正数a ，b ，c 满足1c <，4a b +=，则()211ab bc c +−的最小值为________. 【答案】2【详解】由题意知()211124c c c c +−⎛⎫−≤= ⎪⎝⎭，当12c =时取等号， 故()()2124419119119122228a b a b ab bc c ab b ab b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+≥+=+=+=+=++ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭1911010288b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当33b a ==时取等号， 综上，当11,3,2a b c ===时，()211ab bc c +−的最小值为2. 12.已知数列{}n a 是有无穷项的等差数列，首项10a ≥，公差0d >，且满足：①38是数列{}n a 中的项；②对任意的正整数,m n ()m n ≠，都存在正整数k ，使得m n k a a a =.则这样的不同等差数列共有________个. 【答案】69【详解】设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项， 由已知m n k a a a =，设12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+，则由等差数列定义得()2121k k a a xd k k d −==−⋅.因为0d ≠，所以21x k k Z =−∈， 即数列{}n a 的每一项均是整数，所以数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数.7由题意，设38k a =，则138k a d +=+是数列{}n a 中的项， 所以38(38)d ⋅+是数列{}n a 中的项.设38(38)m a d =⋅+，则38(38)38383738()m k a a d d m k d −=⋅+−=⨯+=−⋅， 即(38)3837m k d −−⋅=⨯.因为*38,m k Z d N −−∈∈，故d 是3837⨯的约数. 所以1,2,19,37,219,237,1937,3837d =⨯⨯⨯⨯，.当1d =时，138(1)0a k =−−≥，得1,2,,38,39k =⋯，故138,37,,2,1,0a =⋯，共39种可能；当2d =时，1382(1)0a k =−−≥，得1,2,,18,19,20k =⋯，故138,36,34,,4,2,0a =⋯，共20种可能；当19d =时，13819(1)0a k =−⨯−≥，得1,2,3k =，故138,19,0a =，共3种可能； 当37d =时，13837(1)0a k =−−≥，得1,2k =，故138,1a =，共2种可能； 当38d =时，13838(1)0a k =−⨯−≥，得1,2k =，故138,0a =，共2种可能； 当237d =⨯时，138237(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能； 当1937d =⨯时，1381937(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能； 当3837d =⨯时，1383837(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能. 综上，满足题意的数列{}n a 共有392032211169+++++++=（种）. 经检验，这些数列均符合题意. 二、选择题13．A 14．C 15．C 16．C15.在正方体1111ABCD A B C D −中，3AB =，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在8三角形1A BD 内有一动点P （包括边界），则PA PE +的最小值是（ ） A ．2 B．C ．3D．【答案】C【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()13,0,3A ，()3,3,0B ，()0,0,0D ，()3,0,0A ，()3,1,0E ， ()3,3,0DB ∴=，()13,0,3DA =，()10,0,3AA =，设A 关于平面1A BD 的对称点为(),,A x y z '，则()13,,3A A x y z '=−−−，()3,,AA x y z '=−，设平面1A BD 的法向量(),,n a b c =，则1330330DB n a b DA n a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，解得：1b =−，1c =−，()1,1,1n ∴=−−，A ∴与A '到平面1A BD 的距离1133AA n A A n x y d nn'⋅⋅−++====，又AA //n '，3x y z ∴−=−=−，1x ∴=，2y =，2z =，()1,2,2A '∴，3PA PE PA PE A E ''∴+=+≥==（当且仅当,,A P E '三点共线时取等号），即PA PE +的最小值为3.16.已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和圆22:10210E x y x +−+=上的动点，若抛物线C 的焦点为F，则2PQ QF +的最小值为（ ） A．6 B ．2+C ．D ．4+【答案】C9【详解】由抛物线2:4C y x =，可得焦点坐标为(1,0)F ，又由圆2210210x y x +−+=， 可化为22(5)4x y −+=，可得圆心坐标为(5,0)E ，半径2r =， 设定点(,0)M t ，满足12QF QM =成立，且00(,)Q x y即=2200(5)4x y −+=，代入两边平方可得： 20(4)16t x t −=−，解得4,(4,0)t M =，所以定点M 满足12QF QM =恒成立， 可得22(|)PQ QF PQ QM +=+，如图所示， 当且仅当1,,M P Q 在一条直线上时， 此时PQ QM +取得最小值||PM ， 即22(|)2PQ QF PQ QM PM +=+≥，设(,)P x y ，满足24y x =，所以22PQ QF PM +≥=，2PQ QF +≥2x =时，等号成立。
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（1）求 的值；
（2）证明 在 上是增函数；
（3）解不等式 。
21．在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE= a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=
∠DEA=90°．
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；
（2）若 为 中点，求证： 平面
6．已知圆C的参数方程为 （ 为参数），P是圆C与y轴的交点，若以圆心C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P圆C的切线的极坐标方程是.
7．（本题6分）过点 作倾斜角为 的直线与曲线 交于点 ，求
的最小值及相应的 的值。
8．（本题10分）当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n年时，兔子数量用 表示，狐狸数量用 表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有 只，狐狸数量有 只。请用所学知识解决如下问题：
① ②
③ ④
其中成立的是（）
A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④
5．f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝（）
A．3－cos2xB．3＋cos2xC．3－sin2xD．3＋sin2x
6．若函数f (x)满足 ，且 则函数y=f(x)的图象与函数
的图象的交点的个数为（）
A．3B．4C．6D．8
∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，
∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．
∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．
∴FG的长即F点到平面PDE的距离．13分
在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，
（3）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，
∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，
∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．
∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．8分
在直角△PAE中，AG＝ a．在直角△PAD中，AH＝ a，
（3）求二面角A-PD-E的正弦值；
（4）求点C到平面PDE的距离
22．设函数 ，当点 是函数 的图象上的点时，点 是函数 的图象上的点。
（1）求出函数 的解析式；
（2）若当 时，恒有 ，试确定 的取值范围。
参考答案
一、选择题：
1．D 2．C 3．A4．D5．B6．B 7．A 8．A9．A 10．B
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
18．已知函数 。
（1）当 时，求 的最大值和最小值。
（2）若 在 上是单调函数，且 ，求 的取值范围。
19．已知命题 和 是方程 的两个实根，不等式 对任意实数 恒成立；命题 只有一个实数 满足不等式 ，若命题 是假命题，命题 是真命题，求 的取值范围。
21．解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2 a,∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．3分
（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。 ， 为 中点，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE6分
贵州省兴义市清华实验学校高三9月月考
数 学试题
一、选择题：
1．已知集合 ， ，且 ，若 ，
则（）
A． B．
C． D．
2．函数 的定义域为 ，则 的取值范围是（）
A． 或 B．
C． D．
3．若 ，则函数 与 的图象（）
A．关于 轴对称B．关于 轴对称
C．关于直线 对称D．关于原点对称
4．对于 ，给出下列四个不等式
∴FG= a．
∴点C到平面PDE的距离为 a．（或用等体积法求）
22．解：
（1）设 ，则 ，又 ，
则 ，所以 。
（2） ，定义域为 ，又 ，则有 ，
所以
，
令
在区间 上单调增，
理科学生做（选择填空题每题4分）
1．A；2．D；3．C；4．2；
5． ；6． 或 ；
7．解：设直线为 ，（1分）
代入曲线并整理得 （2分）
二、填空题：
11．[1,5] 12． 13．－114．
15．216．
三、解答题：
17．解：（1） ．
又 ， ，即 ， ．
（2） ， ，
且 ，
，即 的取值范围是 ．
18．解：（1） 时， 。由 ，当 时， 有最小值为 ，当 时， 有最大值为 。
（2） 的图象的对称轴为 ，由于 在 上是单调函数，所以 或 ，即 或 ，所求 的取值范围是
19．解：（1） 和 是 的两根，所以
又 ，则有 。因为不等式 对任意实数 恒成立，所以 ，所以
由题意有
由命题“ 或 ”是假命题，命题“ 且 ”是假命题，有 假 假，所以 。
20．解：（1）令 ，则
（2） 且 时， ，因为 ，又当 时， ，所以 ，所以 在 上单调增。
（3）令 ，则 ；令 ，
则
所以 ，所以
7．若四面体的六条棱中有五条长为 ，则该四面体体积的最大值为（）
A． B． C． D．
8．已知偶函数y=f(x)在[－1，0]上为单调递减函数，又 、 为锐角三角形的两内角，则
（）
A． B．
C． D．
9．菱形ABCD的边长为 ，H分别在AB、BC、CD、DA上，且
，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为（）
1．矩阵 的逆矩阵是（）
A． B． C． D．
2．表示x轴的反射变换的矩阵是（）
A． B． C． D．
3．极坐标方程 表示的曲线为（）
A．一条射线和一个圆B．两条直线
C．一条直线和一个圆D．一个圆
4．若曲线 在矩阵 的作用下变换成曲线 ，则 的值为______。
5．点 是椭圆 上的一个动点，Fra bibliotek 的最大值为___________。
A． B． C． D．
10．已知定义在R上的奇函数 为偶函数，对于函数 有下列几种描述，
（1） 是周期函数（2） 是它的一条对称轴
（3） 是它图象的一个对称中心（4）当 时，它一定取最大值
其中描述正确的是（）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）
理科学生做（选择填空题每题4分）
（1）列出兔子与狐狸的生态模型（ 、 的关系式）；
（2）求出 、 关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。
二、填空题：
11．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为；
12． 的值域为；
13．y=f(x)是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1, ，则 =；
则 （4分）
所以当 时，即 ， 的最小值为 ，此时 。（6分）
8．解：（1） ……………………2
（2）设 ，
∴ =……=
又矩阵M的特征多项式 =
令 得： ……………………4’
特征值 对应的一个特征向量为
特征值 对应的一个特征向量为 ……………………6’
且
∴ =
∴ ………………………………8
（3）当n越来越大时， 越来越接近于0， , 分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。……10
∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝ ＝ ．
∴二面角A-PD-E的正弦值为 ．10分
（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,BC=DE=a,AB=AE=2a,取AE中点F，连CF，
∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．
∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE 平面PDE，CF 平面PDE，
14．已知方程 的两根为 ，且 ，则 的取值范围是；
15．在△ABC中，A．B．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，若A．B．c成等差数列，sinB= 且△ABC的面积为 ，则 =.
16．若对终边不在坐标轴上的任意角 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是；
三、解答题：
17．已知函数 ， ．
（1）求 的最大值和最小值；