高二数学抛物线综合试题培优练习
2018-2019学年高二数学抛物线练习题及答案详解
2018-2019学年高二数学抛物线练习题A级——基础小题练熟练快1．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为() A．(0,1)B．(0,2)C．(1,0) D．(2,0)解析：选A由抛物线x2＝2py(p＞0)的准线为y＝－p2＝－1，得p＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A．2 B.1 2C.32D.52解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是x1＋x22＝32.3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P 作准线l的垂线，垂足为Q.若△QAF的面积为2，则点P的坐标为() A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)C．(1,2) D．(1,4)解析：选A设点P的坐标为(x0，y0)．因为△QAF的面积为2，所以12×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．4．已知点F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.74B.54C.34D．1解析：选B设A(x A，y A)，B(x B，y B)，则|AF|＋|BF|＝x A＋p2＋x B＋p2＝x A＋x B＋p＝3，则AB的中点C x A＋x B2，y A＋y B2到y轴的距离d＝x A＋x B2＝3－p2＝54.5．已知点A(0,2)，抛物线C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶5，则a的值为()A.14B.12C．1 D．4解析：选D依题意，点F的坐标为a4，0，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶5，则|KN|∶|KM|＝2∶1.∵k FN＝0－2a4－0＝－8a，k FN＝－|KN||KM|＝－2，∴8a＝2，解得a＝4.6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|＝()A．6 B．8C．12 D．16解析：选D设A y214，y1，By224，y2，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S△AOB＝12|OF|·|AB|＝2，不成立，所以y2y224－1＝y1y214－1?y1y2＝－4.由△AOB的面积为4，得12|y1－y2|×1＝4，所以y21＋y22＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝y21＋y224＋2＝16.7．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P到x轴的距离为________．解析：设点P的坐标为(x P，y P)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故x Px P－－1＝12，解得x P＝1，所以y2P＝4，所以|y P|＝2.答案：28．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝30°.直线OA的方程y＝33x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,23)．∴|AB|＝43，正三角形OAB的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 39．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为 2.答案：210．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：设A(x A，y A)，B(x B，y B)，点A在第一象限，则|AF|＝x A＋1＝3，所以x A＝2，y A＝22，所以直线AB的斜率为k＝222－1＝2 2.则直线AB的方程为y＝22(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，x A＋x B＝5 2，所以x B＝12，所以|BF|＝x B＋p2＝12＋1＝32.答案：3 2B级——中档题目练通抓牢1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是抛物线C的准线上一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点．若|PQ|＝2|QF|，则直线PF的方程为() A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0解析：选B如图，过点Q作QM⊥l于点M.∵|QF|等于点Q到准线的距离|QM|，∴|PQ|＝2|QM|，∴∠PQM＝45°，∴∠PFO＝45°，∴直线PF的倾斜角为135°，即斜率k＝－1，∴直线PF的方程为y－0＝－1×(x－2)，即x＋y－2＝0.2．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 72，4，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.72B．4C.92D．5解析：选C设抛物线y2＝2x的焦点为F，则|PF|＝|PM|＋12，∴|PM|＝|PF|－12.∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－1 2 .将x ＝72代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±7.∵7＜4，∴点A 在抛物线的外部．∴当P ，A ，F 三点共线时，|PA|＋|PF |有最小值．∵F12，0，∴|AF |＝72－122＋4－02＝5. ∴|PA|＋|PM |有最小值5－12＝92.3.如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为()A ．y 2＝32x B ．y 2＝3x C ．y 2＝92x D ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC|＝2a ，由抛物线的定义得，|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC|＝3＋3a ，2|AE |＝|AC|，所以6＝3＋3a ，从而得a ＝1，因为BD ∥FG ，所以|DB ||FG |＝|BC||FC |. 即1p ＝23，解得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x.4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py(p>0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF|＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p.联立x 2a2－y2b 2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x.答案：y ＝±22x5．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C(x 0，x 20)(x 20≠a)，A(－a ，a)，B(a ，a)，则CA ―→＝(－a －x 0，a －x 20)，CB ―→＝(a －x 0，a －x 20)．∵CA ⊥CB ，∴CA ―→·CB ―→＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0. ∴x 20＝a －1≥0，∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)6．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x.(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN的方程为y－2＝－34x，②联立①②，解得x＝85，y＝45，∴N的坐标为85，45.7.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB.则k PA＝y1－2x1－1(x1≠1)，k PB＝y2－2x2－1(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA＝－k PB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1，①y22＝4x2，②所以y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1＋y2＝－4.由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，所以k AB＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)．C级——重难题目自主选做1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A′，B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点E(－2,3)，则圆C 的方程为()A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝17 D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝26 解析：选B 设直线AB 的方程为x －1＝ty. 由x －1＝ty ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A ′(－1，y 1)，B ′(－1，y 2)．∴y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4.又∵以A ′B ′为直径的圆C 过点E (－2,3)，A ′E ――→＝(－1,3－y 1)，B ′E ――→＝(－1,3－y 2)，∴A ′E ――→·B ′E ――→＝1＋(3－y 1)(3－y 2)＝0，即y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋10＝－4－12t ＋10＝0，解得t ＝12.∴y 1＋y 2＝2，∴圆C 的圆心为－1－12，y 1＋y 22＝(－1,1)．半径R ＝|y 1－y 2|2＝y 1＋y 22－4y 1y 22＝ 5.∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝5.2．(2018·武汉调研)已知直线y ＝k(x －2)与抛物线Γ：y 2＝12x 相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N.(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA ―→·NB ―→＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由y ＝k x －2，y 2＝12x消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2＋12k 2，x 1x 2＝4，∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k2，y M ＝k(x M－2)＝k 8k 2＋14k 2－2＝14k.由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，x N ＝2y 2N ＝18k2，∴N 18k 2，14k.设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为y －14k ＝m x －18k 2，将x ＝2y 2代入上式，得2my 2－y ＋14k －m8k2＝0.∵直线l 与抛物线Γ相切，∴Δ＝1－4×2m ×14k －m 8k 2＝m －k 2k 2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB. (2)假设存在实数k ，使NA ―→·NB ―→＝0，则NA ⊥NB.∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB|.由(1)，得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·8k 2＋12k22－4×4＝1＋k 2·16k 2＋12k2.∵MN ⊥y 轴，∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋18k 2.∴16k 2＋18k 2＝121＋k 2·16k 2＋12k 2，解得k ＝±12.故存在k ＝±12，使NA ―→·NB ―→＝0.。
高二数学上抛物线综合练习测试题
高二数学上抛物线综合练习测试题1、过点)4,2(作直线l ，与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线l 有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条2、已知抛物线)0(22>=p px y的准线与圆+-2)3(x 162=y相切，则p 的值为（ ） A.21 B.1 C.2 D.4 3、过点)0,1(作斜率为2-的直线，与抛物线x y 82=交于B A ,两点，则弦AB 的长为（ ）A.132B.152C.172D.1924、已知M 是抛物线)0(22>=p px y上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为（ ）A.1B.1或4C.1或5D.4或55、已知抛物线)0(22>=p px y ，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于B A ,两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）A.1=xB.1-=xC.2=xD.2-=x6、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是（ ）A.34B.57C.58 D.3 7、等腰直角三角形AOB 内接于抛物线>=p px y (22)0，O 为抛物线的顶点，OB OA ⊥，则AOB ∆的面积是（ ）A.28pB.24pC.22pD.2p8、已知抛物线y x 42=，过焦点F 的直线l 交抛物线于B A ,两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为 30，则||||BF AF 等于（ ）A.3B.25C.2D.23 9、已知点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是（ ） A.3 B.5 C.2 D.15-10、设直线l 与抛物线x y 42=相交于B A ,两点，与圆)0()5(222>=+-r r y x 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A.)3,1(B.)4,1(C.)3,2(D.)4,2(11、直线2+=kx y 与抛物线x y82=有且只有一个公共点，则=k 12、设抛物线mx y =2的准线与直线1=x 的距离为3,则抛物线的方程为 .13、已知过抛物线x y 42-=的焦点的一条直线交抛物线于B A ,两点，且8||=AB ，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标为 .。
高中数学抛物线练习(有答案)
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中一般情况归纳：抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 抛物线
1．(2011年高考陕西卷改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．解析：因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p 2＝2， 所以p ＝4，所以抛物线方程是y 2＝8x .答案：y 2＝8x2．抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的准线方程为________．解析：抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的焦点坐标及准线方程与a 的符号无关，只与焦点所在的坐标轴有关．∵抛物线的焦点在y 轴上，∴准线方程为y ＝－4a 4，即y ＝－a . 答案：y ＝－a3．抛物线y ＝12x 2的焦点到准线的距离为________．解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124，故焦点到准线的距离为124. 答案：1244．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |的值为________．解析：由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：8一、填空题1．到定点A (3,0)和定直线l ：x ＝－3距离相等的点的轨迹是________．解析：先判断出A ∉l ，根据抛物线的定义知，动点的轨迹是以A 为焦点，l 为准线的抛物线．答案：抛物线2．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________． 解析：∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p 2＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .故填y 2＝16x . 答案：y 2＝16x3．已知定点F (0,2)，若动点M (x ，y )满足|MF |＝y ＋2，则点M 的轨迹方程为________． 解析：由已知得点M 到点F 的距离等于点M 到直线y ＝－2的距离，故点M 的轨迹方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y4．设抛物线的顶点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－1，则它的焦点坐标为________． 解析：准线与坐标轴的交点和焦点连线的中点即为顶点．答案：(5,0)5．动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是________．解析：由已知得动点P到直线x＝－2的距离等于P点到点M(2,0)的距离，故P点的轨迹为抛物线y2＝8x.答案：y2＝8x6．已知直线l经过抛物线y2＝8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若|AB|＝10，则线段AB的中点横坐标为________．解析：已知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋4＝10，∴x1＋x2＝6，所以x0＝x1＋x22＝3.答案：37．过点F(1,0)且与直线l：x＝－1相切的动圆圆心的轨迹方程是________．解析：设动圆圆心为C(x，y)，则|FC|＝d，即点C的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴轨迹方程是y2＝4x.答案：y2＝4x8．类似于抛物线的拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m后，则水面宽是________m.解析：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，将A(2，－2)代入方程得m＝－2，∴x2＝－2y，将y B＝－3代入得x B＝6，∴水面宽是2x B＝2 6.答案：2 6二、解答题9．若抛物线通过直线y＝12x与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y＝12xx2＋y2＋6x＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x＝0y＝0，或⎩⎨⎧x＝－245y＝－125，根据题意可设抛物线的方程为x2＝－2my(m>0)或y2＝－2px(p>0)，则(－245，－125)在抛物线上，∴m＝245，p＝35，∴方程为x2＝－485y或y2＝－65x.10．已知抛物线x2＝4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12,6)，求点P到点A 的距离与到x轴的距离之和的最小值．解：将x＝12代入x2＝4y，得y＝36>6，所以点A在抛物线外部．抛物线焦点为F(0,1)，准线l：y＝－1.如图所示，过P点作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1＝|PA|＋|PF|－1.由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，|PA |＋|PF |最小，所以|PA |＋|PF |的最小值为|FA |＝13，故|PA |＋|PC |的最小值为12.11．如图所示，在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上，且AM →＝12(AB →＋AC →)，点C 在x 轴上运动，求点B 的轨迹E 的方程．解：设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)(x 0≠0)．∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2. ∴2x 0·y 0－x 0＝－1，即x 20＝2y 0.① ∵点M 在y 轴上，且AM →＝12(AB →＋AC →)， ∴M 是线段BC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋x 2＝0，y ＋02＝y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，②y 0＝y 2.③ 把②③代入①得y ＝x 2(x ≠0)，∴点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)．。
高二数学抛物线训练题三 试题
高二数学抛物线训练题三一、选择题：1.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点)3,2(-，那么它的方程是〔 〕A.x y y x 342922=-=或 B.y x x y 342922=-=或 C.y x 342= D.x y 292-=2.抛物线)0(12≠=a x a y 的焦点坐标是〔 〕A.)4,0()4,0(a a -或B.)4,0(aC.)41,0()41,0(a a -或D.)41,0(a3.P(x 0,y 0)是抛物线y 2=2mx 上的任意一点，那么点P 到焦点的间隔 是( ) A.｜x 0-2m｜ B.｜x 0+2m ｜ C.｜x 0-m ｜D.｜x 0+m ｜4.边长为1的等边△AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 的抛物线方程是〔 〕A.x y 632=B.x y 632-=C.x y 632±=D.x y 332±= 5．圆心在抛物线22y x =上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程为〔 〕A.221204x y x y +---= B.22210x y x y ++-+= C.22210x y x y +--+= D.221204x y x y +--+=6.动点P 在曲线y=2x 2+1上挪动，那么点P 和定点A(0，-1)连线的中点的轨迹方程是( ) A.y=2x 2B.y=4x2C.y=6x 2D.y=8x 27．在抛物线x y 82-=中，以〔-1，-1〕为中点的弦所在的直线的方程为〔 〕 A.034=--y x B.034=++y x C.034=-+y x D.034=+-y x 8．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于P ),(11y x ，Q ),(22y x 两点，假设126x x那么|PQ|为〔 〕A.10B.8C.5D.69.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，假设AB 中点的横坐标为2，那么k 等于( ) A.0B.1C.210.直线和抛物线有且仅有一个公一共点是直线和抛物线相切的( )11.抛物线y 2=2px 上横坐标为6的点到焦点的间隔 是10，那么焦点到准线间隔 是( ) A.4B.8C.1612.过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，假设A 、B 两点在抛物线的准线上 的射影是A 1、B 1，那么∠A 1FB 1等于( ) ° ° ° D.°12013.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线，交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，假设x 1+x 2=6，那么｜AB ｜等于( )B.614.过〔0，2〕的直线l 与抛物线24y x =仅有一个公一共点，那么满足条件的直线l 一共有( )15.抛物线y 2=2px(p ＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F 的间隔 为5，那么△OFM 的面积(O 为原点)为( )B. 222=2x 的焦点，P 是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，那么｜PF ｜+｜PA ｜的最小值是( )B.27D.21 17.长度为4的线段AB 的两个端点A 、B 都在抛物线x 2=4y 上，那么线段AB 的中点M 的纵坐标的最小值为( ) A.21 B.118．点),(y x 在抛物线x y 42=上，那么22132z x y 的最小值是〔 〕A.2B.3C.4D.0 19.抛物线y=x 2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是( ) A.(21，41)B.(1，1)C.(23，49) D.(2，4)20.假设点P 在抛物线y 2=x 上，点Q 在圆(x-3)2+y 2=1上，那么｜PQ ｜的最小值等于( )A.3 -1B.210-1 D.21(11-2) 二、填空题：21．抛物线顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线02=+-y x 上，那么抛物线的方程为 。
高二选修一数学抛物线练习题
高二选修一数学抛物线练习题1. 某物体沿着抛物线运动，已知其轨迹方程为y = ax^2 + bx + c。
如果该物体从坐标原点（0,0）出发，经过点（1,2），并且在顶点处的切线斜率为4，则求出系数a、b、c的值。
解答：我们已知该物体的轨迹方程为y = ax^2 + bx + c，通过给定的条件可以得到以下方程组：1. 由经过点（1,2）得到的方程：2 = a(1)^2 + b(1) + c2. 由切线斜率为4得到的方程：4 = 2a(顶点横坐标) + b接下来，我们依次求解这个方程组：(1)根据第一条方程，我们得到a + b + c = 2；(2)根据第二条方程，我们得到2a + b = 4。
通过这两个方程，我们可以解得a = 1，b = 2，c = -1。
所以，该物体的轨迹方程为y = x^2 + 2x - 1。
2. 一枚抛物线形状的喷泉喷射的水流高度（以米为单位）可以用方程y = -x^2 + 4x表示。
求出此喷泉的最大喷射高度与对应的水平距离。
解答：该喷泉的水流高度可以由方程y = -x^2 + 4x表示，其中x代表水平距离（以米为单位），y代表喷射高度。
喷泉的最高喷射高度对应于抛物线的顶点，可以通过求解方程y = -x^2 + 4x的最高点来获得。
首先，将方程y = -x^2 + 4x转化为标准形式，我们得到 y = -(x^2 - 4x)。
然后，我们可以将括号内的式子视为一个完全平方，即(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4。
将这个完全平方代入原方程，我们得到y = -(x - 2)^2 + 4。
从中可以看出，该抛物线的顶点坐标为(2, 4)。
所以，该喷泉的最大喷射高度为4米，对应的水平距离为2米。
在这个抛物线上，对于其他水平距离，我们可以通过代入不同的x 值来求出对应的喷射高度。
以上是关于高二选修一数学中抛物线练习题的解答，希望能够帮助到你。
如果还有其他问题，可以继续提问。
高二抛物线练习题答案
高二抛物线练习题答案抛物线是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
掌握抛物线的性质和相关计算方法对于学生来说非常重要。
下面将给出一些高二抛物线练习题的答案，帮助你加深对抛物线的理解和应用。
题目一：已知抛物线的标准方程为y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0。
若该抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，则下列说法正确的是：A. A、B两点关于y轴对称B. A、B两点关于x轴对称C. A、C两点关于y轴对称D. B、C两点关于y轴对称解答：由于抛物线与x轴交于A、B两点，这意味着在这两个点上，y = 0，则将y = ax² + bx + c中的y替换为0，可得ax² + bx + c = 0。
这就是一个二次方程，它的解为抛物线的交点坐标。
而根据二次方程的性质，解的个数与二次项系数a的正负有关。
若a > 0，则开口向上，有两个不同的实数解，即A、B两点关于x轴对称；若a < 0，则开口向下，没有实数解，A、B两点在坐标轴上方，不对称于x轴。
所以选项B正确。
题目二：已知抛物线的焦点坐标为F(3, 2)，准线方程为x = 1，则该抛物线的标准方程是：A. y = (1/2)(x - 3)² + 2B. x = (1/2)(y - 3)² + 2C. x = (1/2)(y - 2)² + 3D. y = (1/2)(x - 2)² + 3解答：首先我们知道，抛物线的焦点到准线的距离等于焦准距，而焦点F(3, 2)到准线x = 1的距离为2。
所以抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c。
由于焦准距等于1/4a，我们可以得到1/4a = 2，所以a = 1/8。
再根据焦点到准线的垂直关系，可以得到抛物线的标准方程x = (1/2a)(y - k)² + h，其中焦点坐标为F(h, k)。
高二数学选修21《抛物线》练习卷
高二数学选修2－1《抛物线》练习卷知识点：1、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 4、焦半径：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02p F x P =-+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02p F y P =-+． 同步练习：1、抛物线220x y +=的准线方程是（ ）A ．12x =B ．12x =-C ．12y =D ．12y =- 2、抛物线2y x =-的焦点坐标是（ ）A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭3、抛物线24x y =-与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，O 为顶点，则（ ）A ．8AB =，4S ∆AOB = B ．8AB =，2S ∆AOB =C ．4AB =，2S ∆AOB =D ．4AB =，4S ∆AOB =4、抛物线2y ax =的准线方程为2y =，则a 的值是（ ）A ．18 B ．18- C ．8 D ．8-5、抛物线28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，若5F P =，则点P 的坐标是（ ）A ．(3,B ．(3,-C ．(3,或(3,-D ．(3,-或(3,--6、若抛物线24y x =的弦AB 垂直于x 轴，且AB =，则抛物线的焦点到直线AB 的距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．57、顶点在原点，准线方程为4y =的抛物线方程是（ ）A ．216y x =B ．216y x =-C ．216x y =D ．216x y =-8、顶点在原点，焦点为()2,0F -的抛物线方程是（ ）A ．28y x =B ．28y x =-C ．28x y =D ．28x y =-9、已知M 为抛物线24y x =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()3,1P ，则 F MP +M 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610、抛物线2y x =上到直线24x y -=的距离最短的点的坐标是（ ）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1 C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()2,411、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值是（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4 12、若双曲线22218x y b -=的一条准线与抛物线28y x =的准线重合，则双曲线的离心率是（ ）A B ． C ．4 D ．13、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标是4，则点A 与抛物线焦点的距离是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．514、直线2y kx =-交抛物线28y x =于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k 等于（ ）A ．2或1-B ．1-C ．2D ．315、已知点(),x y 在抛物线24y x =上，则22132z x y =++的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．016、若点(),x y P 到点()0,2F 的距离比它到直线40y +=的距离小2，则(),x y P 的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28y x =-C ．28x y =D ．28x y =-17、已知抛物线2112x y =上一点()12,y P ，则点P 到焦点的距离是_____________． 18、顶点在原点，准线方程为1y =-的抛物线的标准方程是_________________．19、以原点为顶点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线10x y --=上的抛物线的标准方程是_____________________________________．20、若抛物线2112x y =上一点到焦点的距离为9，则该点的坐标是____________． 21、以双曲线221169x y -=的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程是_________________________．22、抛物线240x y +=的准线方程是____________________．23、已知P 是抛物线216y x =上的一点，它到x 轴的距离为12,则它到焦点的距离是__________．24、已知抛物线22y x =的焦点F 和点()3,2A ，点P 在抛物线上，当F PA +P 取得最小值时，点P 的坐标是_______________．25、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a =_____________．26、如果过两点(),0a A 、()0,a B 的直线与抛物线223y x x =--没有交点，那么实数a 的取值范围是_____________________．27、求适合下列条件的抛物线的标准方程：()1 准线方程为14x =-； ()2 焦点到准线的距离为2；()3 经过点()3,5--．。
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一、抛物线坐标相关结论
1已知抛物线x y 22
=的焦点弦AB 的两端点坐标分别为()()2211,,,y x B y x A ，则
=2
12
1x x y y
2已知AB 是过抛物线x y 42
=焦点F 的弦，O 为原点，则=⋅
3已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于B A ,两点（A 在x 轴
上方）==
4设F 为抛物线x y 42
=的焦点，C B A ,,为该抛物线上的三点，若F 是ABC ∆的重心，则
+的值为
5已知抛物线x y 42
=，圆()112
2=+-y x F ：
，经过点F 作直线l ，自上而下顺次与两曲线交于D C B A ,,,，则CD AB ⋅的值为
6 抛物线x y C 42
=：的焦点为F ，直线l 过点()02，
P 且与抛物线C 交于B A ,两点，若2
3
=BF ，BP t AP =，则t 的值为
二、抛物线倾斜角相关结论
1.焦半径公式
1设抛物线x y C 4:2
=的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于B A ,两点，若BF AF 3=，
则直线l 的方程为
2已知点()2,1P 在抛物线()022>=p px y 上，过点()01，
M 的直线l 交抛物线于B A ,两点，若AM 3=，则直线l 倾斜角的正弦值为
3已知椭圆13
42
2=+y x 的右焦点F 是抛物线()022>=p px y 的焦点，过F 作倾斜角为
︒
60的直线交抛物线于B A ,（A 在x 轴上方）两点，则
=BF
AF
4倾斜角为︒
60的直线l 经过抛物线x y 62
=的焦点F ，且与抛物线相交于B A ,两点，A 在
x 轴上方，则=⋅FB FA
5过抛物线()022
>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点B A ,，交其准线于点C ，若
BF BC 2=，且3=AF ，则抛物线的方程为
2.焦半径倒数和
1已知F 为抛物线x y C 42
=：的焦点，过F 的直线与C 交于B A ,两点，则
=+BF
AF 11
2直线l 过抛物线x y 42
=的焦点F 且与抛物线交于B A ,两点，若线段BF AF ,的长分别为
n m ,，则n m +4的最小值为
3已知抛物线x y 162
=，过其焦点F 作直线l 交抛物线于N M ,两点，则
MF
NF 4
9
-
的最小值为
3.弦长公式
1设F 为抛物线x y C 82
=：，过F 且与倾斜角为︒
30的直线交C 于B A ,两点，则=AB
2抛物线()022
>=p px y 的焦点F ，过焦点F 倾斜角为
3
π
的直线与抛物线相交于两点B A ,，若8=AB ，则抛物线的方程为
3已知AB 是抛物线x y 42
=的焦点弦，其坐标()()2211,,,y x B y x A 满足621=+x x ，则直线
AB 的斜率为
4已知F 为抛物线x y C 42
=：的焦点，过F 作两条相互垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于
B A ,两点，直线2l 与
C 交于E
D ,两点，则
=+DE
AB 11
5已知F 为抛物线x y C 42
=：的焦点，过F 作两条相互垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于
B A ,两点，直线2l 与
C 交于E
D ,两点，则D
E AB +的最小值为
6过抛物线()022
>=p px y 焦点F 的直线交抛物线于点B A ,，交其准线l 于点C ，若F 是
AC 的中点，且4=AF ，则线段AB 的长为
4.面积公式
1设F 为抛物线x y C 32=：的焦点，过F 且倾斜角为︒
30的直线交C 于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为
2过抛物线x y 42
=的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，点O 是坐标原点，若5=AF ，
则AOB ∆的面积为
3设F 为抛物线x y C 82
=：的焦点，过F 的直线交C 于B A ,两点，8=AF ，O 为坐标
原点，则OAB ∆的面积为
三、阿基米德三角形
抛物线的弦AB ，分别过B A ,两点作抛物线的两条切线，交点为P ，弦AB 与两切线PB PA ,形成的PAB ∆称为阿基米德三角形。
1.阿基米德三角形顶点P 的坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+p x x x x 2,22121 2.阿基米德三角形底边AB 所在的直线方程为：()022121=⋅--+x x py x x x 3.阿基米德三角形底边AB 上的中线PM 平行于抛物线上的轴
4.阿基米德三角形底边AB 过抛物线内一定点，则顶点P 的轨迹为一条直线 弦过焦点的阿基米德三角形
1.阿基米德三角形的底边AB 过抛物线的焦点，则顶点P 的轨迹为准线 （F 在AB 上，则P 在准线上）
2.阿基米德三角形的底边AB 过抛物线的焦点，则PAB ∆为直角三角形，PB PA ⊥
3.阿基米德三角形的底边AB 过抛物线的焦点，则AB PF ⊥
4.阿基米德三角形的底边AB 过抛物线的焦点，则PAB ∆的最小值为2p
1过点()11
-，H 作抛物线y x 42=的两条切线HB HA ,，切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为
2已知F 为抛物线x y 42
=的焦点，P 为准线上的一点，且P 的纵坐标为4，过点P 作抛
物线的切线PB PA ,，切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为
3已知P 为抛物线()02
≠=a ax y 准线上的一点，过点P 作抛物线的切线PB PA ,，切点分
别为B A ,，若切线PA 的斜率为3
1
，则切线PB 的斜率为
4已知抛物线y x C 82
=：，过点()00,y x M 作直线MB MA ,与抛物线C 分别切于点B A ,，
且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为
5已知点()3,2-A 在抛物线px y C 22
=：的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于
点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为
6已知点()11，-M 和抛物线x y C 42=：，过点C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两
点，若︒
=∠90AMB ，则=k
7抛物线x y C 42
=：的焦点为F ，在C 上存在B A ,两点满足FB AF 3=，且点A 在x 轴
的上方，以A 为切点作C 的切线l ，l 与C 的准线相交于点M ，则点M 坐标为
8已知F 为抛物线x y C 42=：的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于不同的两点B A ,，在
B A ,两点处的切线分别为21,l l ，且21,l l 相交于点P ，设8=AB ，则点P 坐标为
9已知F 为抛物线x y C 42=：的焦点，直线l 的倾斜角为︒
30且过点F 与抛物线C 相交于不同的两点B A ,，抛物线C 在B A ,两点处的切线分别为21,l l ，21,l l 相交于点P ，则PAB ∆的面积为
10已知F 为抛物线x y C 42
=：的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点
B A ,，抛物线
C 在B A ,两点处的切线分别为21,l l ，且21,l l 相交于点P ，设36=AB ，则
PF 的值为
11已知F 为抛物线y x C 42
=：的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于不同的两点B A ,，抛
物线C 在B A ,两点处的切线分别为21,l l ，且21,l l 相交于点P ，则AB
PF 32
+
的最小值为。