教育最新K122017_2018版高中数学第二章概率6正态分布学案北师大版选修2_3

6 正态分布学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．知识点正态分布1．正态分布正态分布的分布密度函数为：f(x)＝1σ2π·exp⎩⎨⎧⎭⎬⎫－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中exp{g(x)}＝e g(x)，μ表示________，σ2(σ>0)表示________．通常用X～N(μ，σ2)表示X 服从参数为μ和σ2的正态分布．2．正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线________对称．(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的__________．(3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X<μ＋σ)＝________.②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝________.③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝________.通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有________．类型一正态曲线的图像的应用例1 如图所示是一个正态分布，试根据该图像写出正态分布的分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差．反思与感悟利用图像求正态分布的分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为12πσ.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．跟踪训练1 设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的分布密度函数图像如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2类型二利用正态分布的对称性求概率例2 设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1<X<3)；(2)P(3<X<5)；(3)P(X>5)．引申探究本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值．反思与感悟利用正态分布求概率的两个方法(1)由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故在关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X>a)；②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解．跟踪训练2 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2(2)设X～N(6,1)，求P(4<X<5)．类型三正态分布的应用例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．反思与感悟解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．跟踪训练3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是( )A．甲科总体的方差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的方差及平均数都居中D．甲、乙、丙总体的平均数不相同2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为1，则μ等于( )2A．1 B．2C．4 D．不能确定3．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级 1 000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布N (90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有( ) A ．997人 B ．972人 C ．954人 D ．683人4．设X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5)内的概率是( ) A ．95.4% B ．99.7% C ．4.6% D ．0.3%5．设随机变量X ～N (0,1)，求P (X <0)，P (－2<X <2)．1．理解正态分布的概念和分布密度曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)的值． (2)充分利用分布密度曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这两个特点． ①分布密度曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X >a )，P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P μ－b <X <μ＋b2.答案精析知识梳理 知识点 1．均值 方差2．(1)x ＝μ (2)“胖”“瘦”(3)①68.3% ②95.4% ③99.7% 0.3% 题型探究例1 解 从给出的分布密度曲线可知它关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12πσ＝12π，解得σ＝ 2. 于是该正态分布的分布密度函数的解析式是f (x )＝12π2(20)4ex --，x ∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.跟踪训练1 A [分布密度曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续曲线．当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.] 例2 解 因为X ～N (1,22)， 所以μ＝1，σ＝2.(1)P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2) ＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683. (2)因为P (3<X <5)＝P (－3<X <－1)， 所以P (3<X <5)＝12[P (－3<X <5)－P (－1<X <3)]＝12[P (1－4<X <1＋4)－P (1－2<X <1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<X <μ＋2σ)－P (μ－σ<X <μ＋σ)] ＝12×(0.954－0.683)≈0.136. (3)P (X >5)＝P (X <－3)＝12[1－P (－3<X <5)]＝12[1－P (1－4<X <1＋4)]＝0.023.引申探究解 因为X 服从正态分布N (1,22)，所以对应的分布密度曲线关于x ＝1对称．又P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，因此c ＋＋c －2＝1，即c ＝1.跟踪训练2 (1)C(2)解 由已知得μ＝6，σ＝1.∵P (5<X <7)＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，P (4<X <8)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954.如图，由正态分布的对称性知，P (4<x <5)＝P (7<x <8)，∴P (4<x <5)＝12[P (4<x <8)－P (5<x <7)]＝12×0.271≈0.136. 例3 解 由题可知μ＝110，σ＝20，P (X >90)＝P (X －110>－20)＝P (X －μ>－σ)，∵P (X －μ<－σ)＋P (－σ<X －μ<σ)＋P (X －μ>σ) ＝2P (X －μ<－σ)＋0.683＝1， ∴P (X －μ<－σ)＝0.159， ∴P (X >90)＝1－P (X －μ<－σ) ＝1－0.159＝0.841. ∴54×0.841≈45(人)， 即及格人数约为45.∵P (X >130)＝P (X －110>20)＝P (X －μ>σ)，∴P (X －μ<－σ)＋P (－σ<X －μ<σ)＋P (X －μ>σ)＝0.683＋2P (X －μ>σ)＝1， ∴P (X －μ>σ)≈0.159，即P (X >130)≈0.159. ∴54×0.159≈8(人)，即130分以上的人数约为8. 跟踪训练3 解 (1)∵X ～N (20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， ∴尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比大约是68.3%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在14～26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16～24 mm 间的零件所占的百分比大约是95.4%.∴尺寸在24～26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.7%－95.4%2＝2.15%.因此尺寸在24～26mm 间的零件大约有5 000×2.15%≈107(个)． 当堂训练1．A 2.C 3.C 4.B5．解 对称轴为X ＝0，故P (X <0)＝0.5，P (－2<X <2)＝P (0－2×1<X <0＋2×1)＝0.954.。