2019届高考数学大一轮复习讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第3讲 函数的奇偶性与周期性含答案
高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程习题理
§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一 判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二 零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________． 解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2， 即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三 已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33， 则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点， 故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2， 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。
2019高考数学文一轮：第2章函数的概念与基本初等函数 第1讲
则 f(－a)＝( )
A．－2
B．0
C．1
D．－1
解析：选 B.因为 f(x)＝3x3＋2x＋1，
所以 f(a)＋f(－a)＝3a3＋2a＋1＋3(－a)3＋2×(－a)＋1＝2，所
以 f(－a)＝2－f(a)＝0，故选 B.
(必修 1 P18 例 2 改编)下列哪个函数与 y＝x 相等( )
A．y＝xx2
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：选 C.因为－2<1，
所 以 f( － 2) ＝ 1 ＋ log2(2 ＋ 2) ＝ 1 ＋ log24 ＝ 1 ＋ 2 ＝ 3. 因 为 log212>1，所以 f(log212)＝2log212－1＝122＝6.
所以 f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选 C.
2．已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则 f(x) ＝________． 解析：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为 f(0)＝2，所以 c＝2. 又 f(x＋1)－f(x)＝x－1， 所以ff（ （12） ）－ －ff（ （01） ）＝ ＝－ 0. 1，
(必修 1 P24 A 组 T3(4)改编)已知函数 y＝ax2－6x＋7a(a≠0) 的值域为[－2，＋∞)，则 a 的值为( )
A．－1
B．－97
C．1
D．2
解析：选 C.由 y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)知 a
＞0，且4a×7a－4a（－6）2＝－2.
即 7a2＋2a－9＝0，
求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪 一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正 整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值， 应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变 量的值是否属于相应段自变量的范围．
2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2-10函数模型及其应用课件文
4．(2017·湖北孝感模拟)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙 中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y＝aent；假设过
5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有a4 L，则 m 的值为( )
A．5
B．8
C．9
D．10
[解析] 由题意得 ae5n＝a－ae5n，可得 e5n＝0.5，若再过 m min
[答案] A
3．(2018·北京朝阳区模拟)为了缓解城市拥堵，某市对非居民
区的公共停车场制定了不同的收费标准(见下表).
地区类别 首小时内
首小时外
一类 2.5 元/15 分钟 3.75 元/15 分钟
二类 1.5 元/15 分钟 2.25 元/15 分钟
三类 0.5 元/15 分钟 0.75 元/15 分钟
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
[小题速练]
1．某沙漠地区的某天某时段气温(℃)与时间(h)的函数关系是
f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大℃
C．64℃
D．68℃
[解析] 易知当 t＝12 时，f(t)max＝43，当 t＝4 时，f(t)min＝－
甲桶中的水只有a4 L，可得 ae(5＋m)n＝a4，解得 m＝5.故选 A. [答案] A
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 二次(一次)函数模型——常考点 (2017·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们
的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害， 为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元， 搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元， 其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发 现种西红柿的年收入 P(单位：万元)、种黄瓜的年收入 Q(单位： 万元)与投入 a(单位：万元)满足 P＝80＋4 2a，Q＝14a＋120，设 甲大棚的投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为 f(x)(单 位：万元)．
2019届高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-9 函数与方程课件 文
C．y＝x2－12 D．y＝－x3
[解析] 在(－1,1)内单调递增的，只有选项 B 中的函数．
[答案] B
4．已知函数 y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的 对应值表：
则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 [解析] ∵f(2)>0，f(3)<0，∴在(2,3)内有一个零点，同理在 (3,4)，(4,5)内各有一个零点，故至少有 3 个零点． [答案] B
B．(2,3)
C．(1,2)
D．(0,1)
[解析] 因为函数 f(x)＝lgx－1x是增函数，且 f(2)＝lg2－12<0,
f(3)＝lg3－13>0，所以 f(x)只有一个零点，且所在的区间是(2,3)．故
选 B.
[答案] B
3．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A．y＝log1 x B．y＝2x－1
[温馨提示] 一个易混点：函数的零点不是点 (1)从“数”的角度看：即是使 f(x)＝0 的实数 x. (2)从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横
坐标．如：函数 f(x)＝2x＋1 的零点是__x＝ __－ __12__，但并非所有函数 都有零点．如：函数 f(x)＝x2＋1，没有零点．
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
计算各选项中区间端 确定所 [思路引导] (1) 点函数值的符号 → 在区间
[解析] (1)因为 f1e＝－12＋1e－e－2<0, f(1)＝－2<0, f(2)＝12 ln2－12<0, f(e)＝12＋e－1e－2>0，所以 f(2)f(e)<0，所以函数 f(x)＝12 lnx＋x－1x－2 的零点所在的区间是(2，e)，故选 C.
高考数学(理)大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案
第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。
全国版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲二次函数与幂函数课件理
一看符号 看二次项系数的符号,它的正负决定二次函数图象的开口方向.
二看对称轴 看对称轴和最值,它们决定二次函数图象的具体位置.
三看特殊点
看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与轴
的交点,函数图象的最高点或最低点等.
从“三看”入手,能准确判断出二次函数的图象.反之,也能从图象中得到如
调递增.
上单调递.
在(-∞,0)和
(0,+∞)
上单调递减.
图象
过定点
(0,0),(1,1)
(1,1)
考点2 幂函数
规律总结 (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,且图象过定点(1,1).
(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增.当
α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
考情解读
考点内容
课标
要求
考题取样
情境
载体
对应
考法
预测
热度
核心
素养
逻辑推理
1.二次函数
掌握
2017浙江,T5 探索创新 考法1,2 ★★★ 数学运算
直观想象
2.幂函数
了解
2020江苏,T7 课程学习 考法3
★☆☆
逻辑推理
直观想象
考情解读
本讲在高考中很少单独命题,常与其他函数、不等式、方程
命题分
等知识综合考查,命题热点为二次函数的图象和性质,对幂函数
单调性
考点1 二次函数
奇偶性
当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.
顶点
届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性教学案含解析
第3节函数的奇偶性与周期性考试要求1。
结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2。
会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1。
函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x)的定义域内任意一个x,都有f（－x)＝f（x），那么函数f(x）是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x）的定义域内任意一个x，都有f(－x）＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2。
函数的周期性（1）周期函数：对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x），那么就称函数y＝f（x)为周期函数,称T为这个函数的周期。
（2)最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。
[常用结论与微点提醒]1。
(1)如果一个奇函数f(x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0)＝0.(2）如果函数f（x）是偶函数，那么f(x)＝f（|x|).2。
奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3。
函数周期性常用结论对f（x）定义域内任一自变量的值x：(1)若f（x＋a)＝－f（x），则T＝2a（a>0）.(2)若f（x＋a)＝错误!，则T＝2a（a>0)。
（3)若f（x＋a)＝－错误!，则T＝2a（a〉0）.(4)若f(x＋a）＋f(x）＝c,则T＝2a(a〉0，c为常数).4。
对称性的三个常用结论（1)若函数y＝f（x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x)＝f(2a ＋x)，则y＝f(x）的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f(x）的图象关于点(b,0）中心对称.诊断自测1。
(新课标)2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数Ⅰ2.4二次函
自查自纠
1．(1)ax2＋bx＋c (2)a(x－h)2＋k (3)a(x－x1)(x－x2) 2 b b 4ac－b 2．(1)－ (2) － ， (3)向上 向下 2a 4a 2a 4ac－b2 4ac－b2 (4) ，＋∞ －∞， 4a 4a b b (5)－∞，－2a －2a，＋∞ 增函数 减函数 3．根 端点值 4．端点 顶点 6．{x|x≥0} {x|x≠0} (－∞，0] {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (0，＋∞) (1，1) [0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0)
上是减函数，在 上是增函数；a＜0 b ，在－2a，＋∞上是________．
3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与 x 轴交点的横坐标)是 相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的 ax2＋bx＋c≥0(或 ax2＋bx＋c≤0)解集的 4．二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值． 它只能在区间的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值． 5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布) 设 x1， x2 是实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根， 则 x1， x2 的分布范围与系数之间的关系如表所示． 或二次函数的 ，也是一元二次不等式 ．
m＜x1＜n＜x2＜p
f（m）>0， ⑤ f（n）<0， f（p）>0.
m<x1＝x2<n
Δ ＝0， ⑥ b m<－2a<n.
⑦ f(m)· f(n)<0.
只有一根在区间(m，n)内
6.幂函数 α (1)定义： 形如 y＝x (α∈R)的函数称为幂函数， 其中 x 是自变量， α 是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 图象 性质 定义 公共 值域 奇偶性 单调性 域 点 ____ 在 R 上单调递 y＝x R R 函数 增 在____上单 调递减；在 ____ y＝x2 ____ R 函数 ____上单调 递增 ____ 在 R 上单调递 ___ y＝x3 R R 函数 增 1 在____上单 ____ ____ ____ y＝x2 函数 调递增 在____和 ____ －1 y＝x ____上单调 ____ ____ 函数 递减
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.3函数的奇偶性与周期性1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称．(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．知识拓展1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( × )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ ) 题组二 教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝______. 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 4．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图像如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图像可知，当0＜x ＜2时，f (x )＞0；当2＜x ≤5时，f (x )＜0，又f (x )是奇函数，∴当－2＜x ＜0时，f (x )＜0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三 易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C ．－12 D.12答案 B解析 依题意得f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13，故选B.6．偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)． 又f (x )的图像关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一 判断函数的奇偶性典例判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝lg (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x答案 D解析 对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x ) ＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数； 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数， 故选D.(2)函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg|sin x |是最小正周期为π的偶函数． 题型二 函数的周期性及其应用1．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76 ＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.2．(2017·山东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴周期T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339.思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式典例 (1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12解析 方法一 令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. (2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x ＞0 解析 ∵当x ＞0时，－x ＜0， ∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x ＞0.命题点2 求参数问题典例 (1)设函数f (x )＝(x ＋2)(x ＋k )tan x 为奇函数，则k ＝_______________________.答案 －2解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴(x ＋2)(x ＋k )tan x ＝－(－x ＋2)(－x ＋k )tan (－x )，∴(x ＋2)(x ＋k )＝(2－x )(k －x )，x 2＋2x ＋kx ＋2k ＝2k －kx －2x ＋x 2，∴k ＝－2.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 命题点3 利用函数的性质解不等式典例 (1)已知定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案 A解析 由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)， 又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1， ∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.(2)若f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，又f (－2)＝0，则x ·f (x )<0的解集为____________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0.∵f (x )为奇函数，在(－∞，0)上是减函数，f (－2)＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f (x )>0，解得x <－2；由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0，解得x >2， ∴x ·f (x )<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便： ①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.跟踪训练 (1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增加的，若f (lg x )<0，则x 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(1，＋∞) D ．(10，＋∞)答案 A解析 由题意，函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0，不等式f (lg x )<0＝f (0)等价于lg x <0，故0<x <1， 故选A.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．函数的性质考点分析函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断典例1 (1)(2017·北京)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在R 上是增函数 B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C ．是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数 (2)(2017·荆州模拟)下列函数： ①y ＝sin 3x ＋3sin x ； ②y ＝1e x ＋1－12；③y ＝lg1－x1＋x； ④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0，其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(3)定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题： ①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图像关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 解析 (1)∵函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数， ∴函数y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数． 又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．故选B.(2)易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)由f (x )＋f (x ＋2)＝0可得 f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是4，①对；由f (4－x )＝f (x )，可得f (2＋x )＝f (2－x )，f (x )的图像关于直线x ＝2对称，②对；f (4－x )＝f (－x )且f (4－x )＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数，③对． 答案 (1)B (2)B (3)①②③ 二、函数性质的综合应用典例2 (1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝－x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132等于( ) A ．－94B ．－14C.14D.94(2)函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋2 018－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． (3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增加的．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析 (1)由f (x －2)＝f (x ＋2)，可知函数f (x )的最小正周期T ＝4，又由于该函数是奇函数， 故f ⎝⎛⎭⎫132＝f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32 ＝－⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫322＝94. (2)由已知函数y ＝x ＋2 018－ax 在[1，＋∞)上是增函数，且y ＞0恒成立．∵y ′＝1＋ax 2，令y ′≥0得a ≥－x 2(x ≥1)，∴a ≥－1.又由当x ＝1时，y ＝1＋2 018－a ＞0，得a ＜2 019. ∴a 的取值范围是[－1,2 019) . (3)∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)，又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上是减少的， ∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜32.答案 (1)D (2)[－1,2 019) (3)⎝⎛⎭⎫12，321．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x 答案 D解析 函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和B ；选项C 中，f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，且定义域为R ，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中，f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D.2．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝⎛⎭⎫－1＋21－x ，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数，故选A.3．(2017·江西南城一中模拟)已知R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x －1，则f (f (－1))等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2答案 A解析 ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f ()f (－1)＝f (－1)＝－1.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 021)等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．log 27答案 C解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝⎛⎭⎫－32，0，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2，∴f (2 021)＝－f (－1)＝－2.5．若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e的解集为( ) A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，所以f (0)＝1－a ＝0，即a ＝1，则f (x )＝e x －e －x 在R 上单调递增，且f (1)＝e －1e .则由f (x －1)＜e －1e，得f (x －1)＜f (1)，即x －1＜1，解得x ＜2，所以不等式f (x －1)＜e －1e的解集为(－∞，2)． 6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是增加的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )A ．f (0)＜f (－6.5)＜f (－1)B ．f (－6.5)＜f (0)＜f (－1)C ．f (－1)＜f (－6.5)＜f (0)D ．f (－1)＜f (0)＜f (－6.5)答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2.∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,1]上是增加的，∴f (0)＜f (0.5)＜f (1)，即f (0)＜f (－6.5)＜f (－1)．7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ， 整理得e 3x ＋1＝e 2ax＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.8．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝____________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即当x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.9．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1 ＝ 2.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增加的，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上是增加的，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12.设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈(0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)等于________．答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )， 即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1). 由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1.14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．(2017·东北四市联考)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．答案 7解析 因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个．16．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值．(1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋2)x －4，x ≥2，(a －2)x ＋4，x <2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，∴－2≤a ≤2， 故a 的取值范围为[－2,2]．(2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数，∴g (0)＝0.设x >0，则－x <0.∴g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2)x －4，x >0，0，x ＝0，(a －2)x ＋4，x <0.。