自动控制原理课后习题答案第四章教学教材

自动控制原理课后习题答案第四章
第四章
4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)：
(1)
)1
5.0
)(1
2.0(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
G
（2）
)1
2(
)1
(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
G
解：(1)
)5
)(
2
(
)1
5.0
)(1
2.0(
)
(
*
+
+
=
+
+
=
s
s
s
K
s
s
s
K
s
G
，K
K10
*=
①n＝3，根轨迹有3条分支；
②起点：p1＝0，p2＝-2，p3＝-5；没有零点，终点：3条根轨迹趋向于无穷远处。

③实轴上的根轨迹：[-2,0],(
5
,-
∞
-];
④渐进线：3
7
3
5
2
-
=
-
-
=
a
σ
，
π
π
π
ϕ,
3
3
)1
2(
±
=
+
=
K
a
；
⑤分离点：
5
1
2
1
1
=
+
+
+
+
d
d
d
求解得：
79
.3
1
-
=
d（舍去），88
.0
2
-
=
d；
作出根轨迹如图所示：
(2)
*
(1)(1)
()
(21)(0.5)
K s K s
G s
s s s s
++
==
++，*0.5
K K
=
①n＝2，根轨迹有2条分支；
②起点：p1＝0，p2＝-0.5，；终点：1
1
z=-
，1
n m
-=条根轨迹趋向于无穷远处。

③实轴上的根轨迹：[-0.5,0],(
,1
-∞-];
④分离点：
111
0.51
d d d
+=
++
求解得：1
0.29
d=-
，2
1.707
d=-
；
作出根轨迹如图所示：
4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：
确定
)20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为±ｊ1的ｚ值和*K 值。

解：
020030)()20)(10()(**234*2=++++=++++=z K s K s s s z s K s s s s D 令j s =代入0)(=s D ，并令其实部、虚部分别为零，即：
02001)]1(Re[*=+-=z K j D ，030)]1(Im[*=+-=K j D
解得：63.6,30*==z K
画出根轨迹如图所示：
4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数
)102.0)(101.0()(++=
s s s K s G
要求：
(1) 画出准确根轨迹(至少校验三点)；
(2) 确定系统的临界稳定开环增益K ｃ； (3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。

分析：利用解析法，采用逐个描点的方法画出系统闭环根轨迹。

然后将s j ω=代入特征方程中，求解纯虚根的开环增益，或是利用劳斯判据求解临界
稳定的开环增益。

对于临界阻尼比相应的开环增益即为实轴上的分离点对应的开环增益。

解：（1）
5000
()
(50)(100)
K
G s
s s s
=
++
①n＝3，根轨迹有3条分支,且均趋于无穷远处；
②实轴上的根轨迹：[-50,0],(
,1
-∞-00];
③渐进线：
50100
50
3
a
σ
--
==-
，
(21)
,
33
a
kππ
ϕπ
+
==±
；
④分离点：
111
50100
d d d
+=
++
求解得：1
21.3
d=-
，2
78.8
d=-
（舍去）；
作出根轨迹如图所示：
（2）临界开环增益c K为根轨迹与虚轴交点对应的开环增益。

32
()150********
D s s s s K
=+++
令s jω
=，代入()0
D s=，并令其实部、虚部分别为零，即
2
Re[()]15050000
D j K
ωω
=-+=，3
Im[()]50000
D jωωω
=-+=
解得：1,23
500070.71,0
ωω
=±=±=
（舍去）150
c
K=
（3）系统处于临界阻尼比1
ζ=，相应闭环根位于分离点处，即要求分离点d 对应的K值。

将s＝d＝-21.3代入幅值条件：
0.0110.0219.622
K s s s
=++=
4-14 设系统开环传递函数如下，试画出b从零变到无穷时的根轨迹图。

(1)
)
)(
4
(
20
)
(
b
s
s
s
G
+
+
=
（２）
)
10
(
)
(
30
)
(
+
+
=
s
s
b
s
s
G
解：（1）22
()4420420(4)0
D s s s bs b s s b s
=++++=++++=
做等效开环传递函数
*
2
(4)(4)
()
420(24)(24)
b s b s
G s
s s s j s j
++
==
+++++-
①n=2,有2条根轨迹分支，n-m=1条趋于无穷远处；
②实轴上的根轨迹：(,4
-∞-];
③分离点
111
24244
d j d j d
+=
+++-+
整理得
2
1
2
840
8.47
0.47()
d d
d
d
+-=
=-
=舍去
出射角：1
000
180arctan290135
p
θ=+-=
根轨迹如图所示：
（2）2
()(10)30()40300
D s s s s b s s b
=+++=++=
做等效开环传递函数
*
2
3030
()
40(40)
b b
G s
s s s s
==
++
①n=2,有2条根轨迹分支，且均趋于无穷远处；
②实轴上的根轨迹：[40,0
-];
③分离点
11
40
d d
+=
+
整理得20
d=-
根轨迹如图所示：。