数学建模--收益风险分析报告
数学建模：投资收益和风险的模型
投资收益和风险的模型摘要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。
而且，大的收益总是伴随着高的风险。
在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。
为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。
随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。
传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。
一问题的提出某公司有数额为M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（Si）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买Si的期望收益率（ri）、交易费率(pi)、风险损失率(qi)以及同期银行存款利率r0（r0=3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰。
现要设计出一种投资组合方案, 使净收益尽可能大, 风险尽可能小.表1投资项目Si 存银行S0S1 S2 S3 S4 S5期望收益率ri(%) 风险损失率qi(%)3 27 22 25 23 210 2.4 1.6 5.2 2.2 1.5交易费率pi(%)0 1 2 4.5 6.5 2其中i=0,1,2,3,4,5.二问题假设及符号说明2.1 问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素, 因此所给的Si的期望收益率ri为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险, 即整个资本市场整体性风险, 它依赖于整个经济的运行情况, 投资者无法分散这种风险, 而只考虑非系统风险, 即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。
数学建模—投资的收益和风险问题
数学建模—投资的收益和风险问题投资一直是人们追逐财富增值的方式之一。
然而，投资市场的不确定性和风险给人们带来了很大的挑战。
数学建模作为一种解决问题的工具，可以帮助我们分析和评估投资的收益和风险。
本文将从数学建模的角度探讨投资的收益和风险问题。
一、投资收益的数学建模投资收益是投资者最关心的问题之一，通过数学建模我们可以对投资收益进行评估和预测。
常用的数学模型之一是股票价格的随机过程模型，其中最经典的是布朗运动模型。
布朗运动模型假设股票价格的波动符合随机游走过程，即无论是股票的上涨还是下跌都服从正态分布。
在这个模型中，我们可以通过计算出股票价格的期望回报和标准差，来评估投资的收益和风险。
除了布朗运动模型，我们还可以利用时间序列分析来预测股票价格的变动趋势。
时间序列分析是一种利用历史数据来分析未来走势的方法，通过建立股票价格与时间的数学模型，可以得到股票价格的预测值。
然而，需要注意的是，时间序列分析并不能完全预测未来的变动，因为股票价格受到很多因素的影响，例如市场供求关系、公司业绩等。
二、投资风险的数学建模除了投资收益，投资风险也是投资者非常关注的问题。
投资风险是指投资在市场变动中可能遭受的损失和波动程度，通过数学建模我们可以对投资风险进行量化评估。
常用的风险评估方法之一是价值-at-风险（Value at Risk，VaR）模型。
VaR模型以一定的概率来评估投资可能遭受的最大损失。
该模型通过构建投资组合的收益分布函数，计算出投资组合在给定概率下可能遭受的最大损失。
VaR模型可以帮助投资者合理地控制风险，制定适当的投资策略。
除了VaR模型，我们还可以利用随机模拟方法来评估投资风险。
随机模拟方法通过生成一系列符合规定分布的随机数，来模拟投资组合的收益分布。
通过模拟大量的随机数，我们可以得到投资组合可能的收益和风险情况，进而评估投资的风险。
三、数学建模在投资决策中的应用数学建模在投资决策中有着广泛的应用。
投资的收益和风险问题—数学建模论文
投资的收益和风险问题摘要本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。
分别在不考虑风险和考虑风险的情况下建立相应的数学模型，来使得投资所获得的总利润达到最大。
问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型1，用Lingo软件求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。
然后分别分析预计到期利润率、可用投资总资金和各投资项目的投资上限对总利润的影响。
发现利润与利润率成正比的关系；可用投资总额有一个上限，当投资额小于这个上限时，总利润与可用投资额成正比的关系，当大于这个上限时，可用投资额与总的利润没有关系，总利润率保持不变；各项目的投资上限均与目标值呈正相关，项目预计到期利润率越大，该项目投资上限的变动对目标值的影响越大。
问题二是一个时间序列预测问题。
分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。
两种情况下的预测思路与方法大致相同。
首先根据数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。
再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称MA(1)）。
接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。
对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。
具体答案见4.2.2.1问题的分析与求解。
同样在考虑相互影响的情况下，我们运用ARMA(3,1)模型进行预测，结果见4.2.2.2 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也没有考虑风险问题，只是约束条件改变了。
数学建模—投资的收益和风险问题
数学建模二学号：姓名：班级：投资的收益和风险问题摘要：某投资公司现有一大笔资金（8000万），可用作今后一段时间的市场投资，假设可供选择的四种资产在这一段时间的平均收益率分别为r，风险iq。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金损失率分别为i购买若干种资产时，总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。
另外，r =5%。
具体数据如下表：假定同期银行存款利率是对于第一问，我建立了一个优化的线性规划模型，得到了不错的结果。
假设5年的投资时间，我认为五年末所得利润最大可为：37.94亿。
具体如何安排未来一段时间内的投资，请看下面的详细解答。
如果可供选择的资产有如下15种，可任意选定投资组合方式，就一般情况对以上问题进行讨论，结果又如何？对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率，通过分析，发现数据中存在着相互的联系。
由此，我建立了一个统计回归模型: x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2通过这个模型，我预测了今后5年各个项目的到期利润率。
如第一个项目今后五年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年： 0.1572。
（其他几个项目的预测祥见下面的解答）考虑风险损失率时，定义计算式为：f=d*p;d为该项目5年内的到期利润率的标准差，p为到期利润率；考虑相互影响各个项目的到期利润率时，我们在第一个模型的基础上建立一新的模型：x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5(两个项目互相影响的模型)x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5(三个项目互相影响的模型)通过解方程组，我们可以预测出今后五年的到期利润率。
项目风险和收益分析报告
项目风险和收益分析报告项目风险和收益分析对于项目决策和管理是至关重要的。
在进行这项分析之前，我们必须了解项目风险和收益的概念和定义。
项目风险是指项目实施过程中可能出现的威胁和困难，可能导致项目目标无法达到或者造成不可逆转的损失。
而项目收益则是指项目实施成功后能够获得的利润、回报或者对组织产生的正面影响。
一、项目风险分析项目风险是项目管理过程中不可避免的一部分。
在进行项目风险分析时，我们可以使用不同的方法来识别、评估和应对项目风险。
首先，我们可以使用SWOT分析法来识别项目的综合风险。
SWOT分析法通过对项目的内部优势和劣势以及外部机会和威胁进行评估，帮助我们了解项目所面临的风险。
例如，项目内部的人员技术能力和资源是否足够，外部市场的需求是否稳定等。
其次，我们可以使用FMEA（故障模式与影响分析）方法来评估项目的潜在风险。
FMEA方法通过对每个可能的故障模式进行评估，确定潜在影响和严重性，从而确定关键风险和应对措施。
最后，我们还可以采用定性和定量方法来评估项目风险。
定性风险评估通过主观判断和专家意见来评估风险的可能性和影响程度。
定量风险评估则通过数学建模和数据分析来估计风险的概率和风险。
二、项目收益分析项目收益分析是评估项目价值和可行性的重要工具。
在进行项目收益分析时，我们需要考虑以下几个关键方面。
首先，我们需要确定项目的关键目标和收益，例如减少成本、提高效率、增加市场份额等。
然后，我们可以使用财务分析方法来评估这些目标的经济效益，如投资回报率、净现值和内部收益率等。
除了财务指标，我们还需要考虑项目的非财务收益。
非财务收益包括提高品牌形象、增强员工士气、改善客户满意度等。
这些非财务收益在评估项目价值时也应该纳入考虑。
最后，我们需要进行项目风险和不确定性的分析。
项目收益分析不仅需要考虑项目的潜在收益，还需要评估项目的风险和不确定性程度。
例如，市场需求的不稳定性、竞争对手的影响等都可能对项目的收益产生影响。
建模示例——投资的收益和风险
三、模型的建立与分析
1. 总体风险用所投资的 i中最大的一个风险来衡量 即 总体风险用所投资的S 中最大的一个风险来衡量,即 max{ qixi|i=1，2,…n} ， 2．购买Si所付交易费是一个分段函数 即交易费 pimax{ui, xi}; ．购买 所付交易费是一个分段函数, 即交易费= 3．要使净收益尽可能大 总体风险尽可能小 这是一个多目标规 ．要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小 这是一个多目标规 净收益尽可能大 总体风险尽可能小, n 划模型: 划模型
m Q( x) = ∑(ri − pi )xi ax
n
s.t. qi xi ≤ a0 M, i = 1,2,Ln
i =0
∑(1+ p )x
i =0 i
n
i
=M
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
如取风险水平a 如取风险水平 0＝0:0.001:0.1，可看出净收益的变 ， 化情况如图。 化情况如图。 0.3
m sα − (1− s)∑(ri − pi ) xi in
i =0
n
s.t. qi xi ≤ α, i = 1,2,Ln
∑(1+ p )x
i =0 i
n
i
=M
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
4
2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进 使就一般情况对以上问题进行讨论，
行计算: 行计算
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 元 S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 457 S10 36.8 40 2.9 248 Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 元 S11 11.8 31 5.1) 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 S14 S15 35 9.4 15 46 5.3 23 2.7 4.5 7.6 267 328 131
数学建模投资风险与收益
数学建模大作业教师： ****** 题目：投资的风险与组合学生： tigerl 学号： **********2011年5月20日投资的组合与风险******** tigerl【摘要】本文对投资的组合与风险收益问题进行了建模求解，给出了已确定收益和风险的情况下的项目投资求解结果。
模型主要确定如何对各个项目进行资金分配，以获得最大的收益，且风险最小。
本文首先对问题进行了详细的分析，而后采用比较成熟的线性规划方法对这个问题的各个变量关系进行整理，然后对问题进行了合理的简化，再对问题从不同的角度建立了3个不同的模型，然后用MATLAB进行了求解，得到了与经验一致的结果。
问题（1）的最大收益为27%，此时风险为2.5%；问题（2）的最大收益为41%，此时风险为57%。
【关键词】线性规划 MATLAB 最大收益最小风险1.问题重述市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值 ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是r。
, 且既无交易费又无风险。
（r。
=5%）（1）试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
（2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用所给数据进行计算。
2.基本假设（1）假设财务人员的评估准确，数据符合市场实际；（2）假设同期银行的存款无交易费无风险；（3）假设所有的投资回收期都相同；（4）假设总的风险以投资的项目中的风险最大的一个项目来量度。
1998年大学生数学建模优秀论文投资收益和风险问题
Rj：投资方案总的净收益率 Rji：Si 的平均净收益率，其值为 ri−pi Rjs：投资方案总的净收益 Rjsi：投资 Si 的净收益 Rjp：某一时期内的市场平均收益率 Ai：Si 所占市场份额 Hi：Si 的市场价格 Gi：Si 的上市量 Sat：投资方案满意度
5.420
11.567
0.000
1.5 25.05522 76.127
16.112
2.512
5.204
0.000
2.0 26.12382 89.114
9.822
0.329
0.735
0.000
2.4 26.83735 97.967
2.033
0.000
0.000
0.000
2.5 27.00000 100.00
问题分析
根据题中所给条件，公司的财务分析人员对 n 种资产进行了评估，估算出了 这一时期内购买 Si 的平均收益率 ri 和风险损失率 qi 。根据投资理论，衡量某种 资产的优劣需要依靠两个统计指标：平均收益率和围绕平均收益率的波动程度。
前者用于衡量资产的收益状况，其定义式为：
n
∑ ri= pij × rij j=1
问题的提出
随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置资金 进行投资。某公司有数额为 M 的资金要用于投资，公司的财务分析人员对可投资的 n 种资产 Si (i =1… n)进行了评估，预测出了 Si 的风险 qi 和平均收益率 ri。同时公司规定， 当购买若干种资产时，总风险由投资量最大的资产的风险来度量。
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投资的收益和风险目录一、摘要 (2)二、问题的提出 (2)三、问题的分析 (3)四、建模过程 (4)1、模型假设： (4)2、定义符号说明： (4)3、模型建立: (4)4、问题分析与求解 (5)（1）、问题一： (5)（2）、问题二： (7)（3）、模型求解： (8)五、模型的结果分析与评价 (8)六、模型评价与改进 (11)七、参考文献 (12)附录：Matlab程序 (12)A、问题一的求解 (12)B、问题二的求解： (12)一、摘要本方案借鉴了金融投资理论，在进一步明确“风险”和“总风险”这两个概念的基础上，将本问题归并为非线性规划问题。
对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑连个目标，总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，然而，这两目标并不是相辅相成的，在一定意义上是对立的。
随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置资金进行投资。
财富的积累需要一个过程，但投资理财有助于我们获取财富，一方面可以加速我们富裕的过程，从无到有，从少到多，实现原始财富的积累与财富的进一步增值；另一方面达到财务目标，平衡一生中的收支差距。
【关键字】：经济效益线性规划模型有效投资方案线性加权二、问题的提出随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置资金进行投资，但是现在投资的方式多样化，所存在的风险都各不相同，因此了解一些基本投资规划方案，选择合适的投资组合方案，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。
市场上有n种资产（如股票、债券、…）i S( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期购买i S的平均收益率为并预测出购买i S的风险损失率为。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的i S中最大的一个风险来度量。
购买i S要付交易费，费率为i p，并且当购买额不超过给定值i u时，交易费按购买i u计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是0r, 且既无交易费又无风险。
（0r=5%）已知n = 4时的相关数据如下：试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
(2)试就一般情况下对以上问题进行讨论，并利用一下数据进行计算。
三、问题的分析由题意可知，由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，在这里投资i S 的平均收益率为i i r x *，风险损失为i i q x *。
要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小，第一个解决方法就是进行投资组合，分散风险，以期待获得较高的收益，模型的目的就在于求解最优投资组合，当然最优投资还决定于个人的因素，即投资者对风险，收益的偏好程度，怎样解决二者的相互关系也是模型要解决的一个重要问题。
本题所给的投资问题是利用原给的数据，通过计算分析得到一种尽量让人满意的投资方案，并推广到一般情况，利用第二问进行验证，下面是实际要考虑的两点情况：（1） 在风险一定的情况下，取得最大的收益 （2） 在收益一定的情况下，所冒的风险最小当然，不同的投资者对利益和风险的侧重点不同，将在一定的围视为正常，所以只需要给出一种尽量好的模型，即风险尽量小，收益尽量大，这是一般投资者的心里。
对于模型一，在问题一的情况下，公司可对五种项目投资，其中银行的无风险，收益 =5%为定值，在投资期间是不会变动的，其它的投资项目虽都有一定的风险，但其收益可能大于银行的利率，我们拟建立一个模型，这个模型对一般的投资者都适用，并根据他们风险承受能力的不同提出多个实用于各种类型人的投资方案（一般投资者分为：冒险型与保守型。
即越冒险的人对风险损失的承受能力越强）。
对于模型二：由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，将资产的风险预期收益率用一定的表达式表示出来，在这里，投资i S 的平均收益为i i x r *,风险损失为i i q x *,使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小。
四、建模过程1、模型假设：（1）假设题设中给的参数是准确值，没有偏差，且在短时期所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变；（2）投资行为只能发生在开始阶段,中途不得撤资或追加，投资任一资产可购买量足够多，足以吸纳全部投资资金；（3）几种资产相互之间不会产生影响，例如股市的涨跌不会影响到债券的涨跌；（4）M 值足够大，大至可忽略iu 的影响。
（因为一般情况下企业的投资基本都会是成百上千万元，而iu 仅为数百元，故可忽略其影响）（5）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费，公司总会选择满意度高的方案。
2、定义符号说明：r3、模型建立:投资者的净收益为购买各种资产及银行的收益减去此过程中的交易费用。
在对资产i S 进行投资时，对于投资金额i x 的不同，所付的交易费用也有所不同，不投资时不付费，投资额大于i u时交易费为i i p x *，否则交易费为i u 。
题中所给的交易费的计算数额是一个分段函数，在实际的计算中不容易处理，但我们注意到，在表1中，i u的数值非常小，i u ∑=103++52+40=387元，对其中最大的i u来说，2u =<200元，而已知M 是一笔相当大的资金，同时交易费率i p 的值也很小，即使在i i x u 〈时，以i u来计算交易费与用i x 直接计算交费相差无几，所以，后面我们具体计算式，为简化暂不考虑i u的约束，都以i x 来答题算交易费。
4、问题分析与求解（1）、问题一：A 、问题分析： 设购买iS 的金额为ix ，所付的交易费i c (i x )，另0c (0x)=0：00()0(1~)i i i i i i i ii i x c x u x u i n p x x u→=⎧⎪=→<<=⎨⎪→≥⎩(1)因为投资额M 相当大，所以总可以假设对每个iS 的投资i x ≥iu ，这时（1）式可化简为：()(1~)i i i i c x p x i n == (2)对i S 投资的净收益：()()()i i i i i i i i i R x r x c x r p x =-=- (3)对i S投资的风险：()i i i i Q x q x = （4）对i S 投资所需总资金（投资金额i x 与所需的手续费i c (i x)之和）即：()()(1)i i i i i i i f x x c x p x =+=+ (5)当购买i S 的金额为i x （i=0~n ）,投资组合x=(0x ,1x ,……，n x)的净收益总额()()ni i i R x R x ==∑ (6)整体风险：1()max ()i i i nQ x Q x ≤≤= (7)资金约束：0()()ni i i F x f x M ===∑ (8)净收益总额R(x)尽可能大，而整体风险Q(x)又尽可能小，则该问题的数学模型可规划为多目标规划模型，即max ()min ()()0R x Q x F x M x ⎧⎪⎪⎨=⎪⎪≥⎩ (9)模型（9）属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。
假定投资的平均风险水平-q ，则投资M 的风险k=-q M ，若要求整体风险Q(x)限制在风险k 以，即Q(x)<=k ，则模型（9）可转化为：max ()()()0R x Q x k F x M x ⎧⎪≤⎪⎨=⎪⎪≥⎩ (10) B 、模型的求解：求模型（10）的最优解， 由于模型（10）中的约束条件Q(x) ≤ k,即k x m ax Q i i ≤）（ 所以此约束条件可转化为：()(1~)i i Q x k i n ≤=这是模型（10）可转化为如下的线性规划：max ()(1)(1~)0ni i ii ni i i i i r p x p x M q x k i n x ==⎧-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪≤=⎪≥⎩∑∑ (11) 给定k,可方便的求解模型（11）。
具体计算时，为了方便起见，可令M=1，于是（1+ip ）ix 可视作投资iS 的比例。
下面针对n=4,M=1的情形，按原问题给定的数据，模型（11）可变为：max 012340.050.270.190.1850.185x x x x x ++++M 012341.01 1.02 1.045 1.0651x x x x x ++++=12340.140.0150.0550.026x k x k x k x k ≤≤≤≤ 0i x ≤ (0~4)i =（2）、问题二：A 、问题分析与求解：上面我们对n=4的问题进行模型分析求解，同理对于n=15，同理可以把多目标规划模型转化为单目标模型，再进一步转为线性规划,再来求解：max ()(1)(1~)0n i i ii ni i i i i r p x p x M q x k i n x ==⎧-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪≤=⎪≥⎩∑∑具体计算时，为了方便起见，可令M=1，于是（1+ip ）ix 可视作投资iS 的比例。
下面针对n=15,M=1的情形，按原问题给定的数据，模型可变为：max1234567891011121314150.0750.1530.4340.2240.050.1060.3510.2810.3090.3390.0670.0330.3230.0490.074x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++ M1234567891011121314151.021 1.032 1.06 1.015 1.076 1.034 1.056 1.0311.027 1.02910051 1.057 1.027 1.045 1.0761x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++++++=1234567891011121314150.420.540.600.420.0120.390.680.33430.5350.400.310.0550.460.0530.23x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤0i x ≤ (1~15)i =（3）、模型求解：采用MATLAB 优化工具箱中的线性规划函数求解，它优化下列线性规划模型：X minC Ts.t b AX ≤使用格式为X=lp(C,A,b,vlb,vub,X ,N)其中vlb ，vub 分别是上下界，X0为初始值，N 表示约束条件中前N 个约束为等式约束五、模型的结果分析与评价模型一：风险投资种类n=4时，建立模型求解，任意给定投资风险上限k ，在风险不超过k 的情况下确定最优组合，列表1如下：风险k0.001 0.003 0.005 0.007 0.009 0.011 0. 0.收益y 0.0686 0.10490.14160.17820.1880.19110.19860.2032n=4是的风险收益图如下：由列表（1）和图（1）可知，收益y 随着风险上限k 的增加而增加，在0~0.0090附近增长速度最快，之后增长速度变缓慢。