2014一轮复习指导资料 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+Z k k ,2,,ππβαβα 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+≠Z k k k ，且42ππαππα 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角． 二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2222cos ,sin b a ab a b ϕϕ三、考点解析考点一 三角函数公式的直接应用例、(1)已知sin α＝35，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112(2)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－229 B ．－429 C.229 D.429[解题技法]应用三角公式化简求值的策略：(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．跟踪训练1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则)4sin(2cos παα+的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.132．已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα的值为________． 考点二 三角函数公式的逆用与变形用例、(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.跟踪训练1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b 2.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝435，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝________. 3.化简sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα－sin 2α的结果是________．考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换典例、已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ββα22a 等．考法(二) 三角公式中名的变换典例、已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解题技法]三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．跟踪训练1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.12 B.13 C.14 D.152．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πA ＝7210，A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，4，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45 D.343．已知sin α＝－45，α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223，，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136 C ．－613 D ．－136课后作业1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1 B.12 C.32 D ．－122．若2sin x ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89 B ．－79 C.79 D ．－7253．若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝－33，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα＋cos α＝( ) A ．－223 B ．±223C ．－1D ．±1 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B.2 C.22 D.335．若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，且3cos 2α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17186．已知sin 2α＝13，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.237．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα＝12，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα的值为________． 8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________. 9．若tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝16，则tan α＝________. 10．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________. 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．。
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
数学
第五节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
结束
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
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能利用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 了解它们的内在联系．
数学
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(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立
( × )
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3 2．(人教 A 版教材例题改编)已知 sin α＝－ ，α 是第四象限角，则 5
π 10 cosα＋4＝________.
7 2
1 2 ． 3．计算 cos 42°cos 18° －cos 48°cos 72° 的值为________
π 1 2 4 ． ( 北师大版教材例题改编 ) 若 tan(α ＋ β) ＝ ， tan β－4 ＝ ，则 5 4
3 π 22 ． tanα＋ 的值为________
4
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第五节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3章-第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
(2)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 ( )
课 时 作 业
tan α＋tan β (3)公式 tan(α＋β)＝ 可以变形为 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立(
【答案】 C
课 时 作 业
菜
单
高三一轮总复习理科数学 · （安徽专用）
π 2 2 3．(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知 sin 2α＝ ，是 cos α＋4 ＝ 3
自 主 落 实 · 固 基 础
( 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3
)
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菜 单
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典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 作 业
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θ π θ (2)由 θ∈(0，π)，得 0＜ ＜ ，∴cos ＞0. 2 2 2
自 主 落 实 · 固 基 础
因此 2＋2cos θ＝
θ 4cos ＝2cos . 2 2
2θ
θ θ 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos ) 2 2 θ θ θ θ 2θ ＝(2sin cos ＋2cos )(sin －cos ) 2 2 2 2 2
菜 单
)
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(4)公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)中 φ 的取值与
自 主 落 实 · 固 基 础
a，b 的值无关(
)
第三章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A.12B.32C. 3D. 2 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C2.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是 ( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4 解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|， ∵5π4＜4＜3π2，∴cos4＜0，sin4＜cos4. ∴原式＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4. 答案：D3．(2010·辽宁模拟)已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析：∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，∴tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)．又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.答案：14.sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为 ( )A.725 B.1425 C.1625 D.1925解析：∵sin(π4－x )＝35∴22cos x －22sin x ＝22(cos x －sin x )＝35. ∴cos x －sin x ＝325. ∴(cos x －sin x )2＝1－sin2x ＝1825， ∴sin2x ＝725. 答案：A5．已知α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋5π12)的值为 ( ) A.22＋36 B.22－36 C ．－22＋36 D.－22＋36解析：∵α为钝角，且sin(α＋π12)＝13， ∴cos(α＋π12)＝－223， ∴cos(α＋5π12)＝cos[(α＋π12)＋π3]＝cos(α＋π12)cos π3－sin(α＋π12)sin π3＝(－223)·12－13·32＝－22＋36. 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值．解：(1)法一：因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin[⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 法二：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45或sin x ＝－35.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35.sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.7.已知A 、B ( ) A.5π4 B.7π4 C.5π4或7π4 D.9π4解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22， 又∵π2A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π4.答案：B8．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于 ( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°或120°解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝25＋24sin(A ＋B )＝37， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝12，∴C ＝30°或150°.当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，此时3sin A ＋4cos B ＜3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sin A ＋4cos B ＝6相矛盾，∴C ＝30°. 答案：A9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β＝255.因α为锐角，故sin α ＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×123.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π20＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.10.(2010·晋城模拟)已知向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.14解析：a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14. 答案：B11．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值为________．解析：∵cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－(32sin α＋12cos α) ＝－45答案：－4512．(文)已知点M (1＋cos2x,1)，N (1，3sin2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，设y ＝OM ON(O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并求f (x )在[0，π2]上的最小值．解：(1)依题意得：O M ＝(1＋cos2x,1)，O N＝(1，3sin2x ＋a )， ∴y ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a .∴f (x )的最小正周期为π.(2)若x ∈[0，π2]，则(2x ＋π6)∈[π6，7π6，∴－12sin(2x ＋π6)≤1，此时y max ＝2＋1＋a ＝4，∴a ＝1， y min ＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(12，－12)．(1)若a·b ＝22，a·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值． 解：(1)∵a·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)＝22， ① a·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14， ② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2α－β＜π2由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎨⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12， ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， ∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴tan α＝8±82－4×3×36＝8±286 ＝4±73.。
【方法】高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式教师用书
【关键字】方法第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝.3．有关公式的变形和逆用(1)公式T(α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．(2)公式C2α的变形：①sin2α＝(1－cos 2α)；②cos2α＝(1＋cos 2α)．(3)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；②sin α±cos α＝sin.4．辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )[答案] (1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A．－ B.C．－ D.D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]3．若tan θ＝－，则cos 2θ＝( ) A ．－ B ．－ C.D.D [∵cos 2θ＝＝.又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.]4．(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)＝sin x ＋cos x 的最小值为________． －2 [函数f(x)＝2sin 的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________. [由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4， 可得＝，即tan(α＋β)＝. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]三角函数式的化简(1)化简：＝________. 【导学号：】 (2)化简：.(1)2cos α [原式＝＝2cos α.] (2)原式＝ ＝＝＝cos 2x.[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] (2017·浙江镇海中学测试卷一)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255A [2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α，由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，得tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tanπ4＝－13，即3sin α＝－cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±1010， 而－π2<α<0，所以sin α＝－1010，故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－255.]三角函数式的求值☞角度1 给角求值(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°＝( )A.12B.32C. 3D. 2(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. (1)C(2)1[(1)原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]☞角度2 给值求值(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725(2)(2017·浙江金华十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358 B.1＋538 C.1－358D.1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. (2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A.] ☞角度3 给值求角已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12 B.π3 C.π4D.π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22.∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.14分[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (1)(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________.【导学号：】(1)B (2)1 [(1)法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.(2)f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)． ∴f (x )max ＝1.] [思想与方法]三角恒等变换的三种变换角度(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． [易错与防范]1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆．课时分层训练(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12D.23A [因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.]2.cos 85°＋sin 25°cos 30°c os 25°等于( )A ．－32B.22C.12D ．1C [原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin 30°－25°＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.]3．(2017·杭州二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5B.92C.52D ．2B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B.]4．(2017·浙江模拟训练卷(三))若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) 【导学号：】A.35 B.45 C.74D.34D [由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得sin θ≥cos θ>0，则sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝9＋67＋716＝3＋74，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝9－67＋716＝3－74，两式相加得sin θ＝34.]5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A.π12B.π6 C.π4D.π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.] 二、填空题6.sin 250°1＋sin 10°________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10° ＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12.]7．(2017·浙江模拟训练卷(四))已知函数f (x )＝4cos 2x ＋(sin x ＋3cos x )2，则函数f (x )的最小正周期为________，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的值域为________.【导学号：】π [4＋3，4＋23] [f (x )＝7cos 2x ＋sin 2x ＋23sin x cos x ＝1＋3(1＋cos 2x )＋3sin 2x ＝4＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故函数f (x )的最小正周期为π.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴4＋3≤f (x )≤4＋23，故函数f (x )的值域为[4＋3，4＋23]．] 8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.6分 (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.10分又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.14分 10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值. 【导学号：】[解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.6分 (2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x ).10分由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第四象限角， ∴cos 2α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45.故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝145.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72C [∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12.] 2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值是________；cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值是________． 13 79 [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－2π3＝1－2· cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝79.] 3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域. 【导学号：】 [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .8分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，12分 f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.15分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1) $cos(\alpha-\beta): cos(\alpha-\beta)=cos\alphacos\beta+sin\alpha sin\beta$2) $cos(\alpha+\beta): cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta$3) $sin(\alpha+\beta): sin(\alpha+\beta)=sin\alphacos\beta+cos\alpha sin\beta$4) $sin(\alpha-\beta): sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta$5) $tan(\alpha+\beta):tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}$6) $tan(\alpha-\beta): tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}$2.二倍角的正弦、余弦、正切公式1) $sin2\alpha: sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$2) $cos2\alpha: cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha$3) $tan2\alpha: tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$3.常用的公式变形1) $tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}$2) $cos2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}$，$sin2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}$3) $1+sin2\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^2$，$1-sin2\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)^2$，$\sin\alpha+\cos\alpha=2\sin\frac{\alpha+\beta}{4}$基础题必做1.若$tan\alpha=3$，则$\frac{sin2\alpha}{2sin\alphacos\alpha}$的值等于$2tan\alpha=2\times3=6$。
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)； (2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β(两式相除、上同下异)．(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况．(2)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[熟记常用结论]1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.2．降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. 4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． 5．辅助角公式：一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．－210 B.210C ．－7210D.7210解析：选C ∵α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 3．已知tan α＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.14 B.13 C.12D ．－3解析：选B ∵tan α＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13. 4．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝________.解析：∵cos x ＝34，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝18.答案：185．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________.解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.答案：17考点一公式的直接应用[基础自学过关][题组练透]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112解析：选A 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.2．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，即sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23，故选A.3．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－12，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 34．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解：(1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35， sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝－725×12＋2425×32＝243－750.[名师微点]三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 考点二三角函数公式的逆用与变形用[师生共研过关][典例精析](1)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________. (2)sin 10°1－3tan 10°＝________. (3)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.[解析] (1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1， 可得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1， 即tan(A ＋B )＝－1，又因为A ＋B ∈(0，π)， 所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.(2)sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10° ＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.(3)sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10° ＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.[答案] (1)22 (2)14(3)－1 [解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (3)倍角公式变形：降幂公式．[提醒] tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．[过关训练]1．(2019·西安模拟)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B ．－16C.12D.23解析：选A cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1－sin 2α2，∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－232＝16. 2．(2018·益阳模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－45考点三公式的灵活应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 角的变换[例1] (1)(2019·开封模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A.32B. 3C.12D.33(2)(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为( ) A.725 B.72－818C ．－17250D.25[解析] (1)cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＋cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6cos π6＝33. (2)∵α为锐角，∴0＜α＜π2，π6＜α＋π6＜2π3，设β＝α＋π6，由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13，得sin β＝223，sin 2β＝2sin βcos β＝－429，cos 2β＝2cos 2β－1＝－79，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－π4＝sin 2βcos π4－cos 2βsin π4＝⎝⎛⎭⎫－429×22－⎝⎛⎭⎫－79×22＝72－818.[答案] (1)D (2)B考法(二) 三角函数式的变化[例2] (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°. [解] (1)由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0，∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2 ＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2 ＝－2cos θ2cos θ，故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.[规律探求]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14. 2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45.。
高考数学(文)一轮复习 3-5两角和与差的正弦、余弦和正切公式
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝54×3 1010＋53×－
10
10
＝9
10 50 .
22
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考的值．
解 ∵sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝3 1010， cosβ＝9 5010，sinβ＝135010. ∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cosβ－cos(α－β)sinβ＝－2254.
4．sinα±cosα＝
π 2sinα±4.( √ )
5.11－ ＋ttaannθθ＝tanπ4＋θ.( × )
6．存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( √ )
7．在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．( × )
8
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
4．[课本改编]scions77°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°的值为(
)
A．2＋ 3
B．2－ 3
C．2
1 D.2
解析 原式＝ scions1155°°－－88°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°＝ csoins1155°°ccooss88°°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝ 1t＋an4ta5n°4－5°ttaann3300°°＝
公式名
公式
二倍角的正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
二倍角的余弦 cos2α＝ cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1
二倍角的正切
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第五节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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考纲要求
1.会用向量的数量积推导出 两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式 导出两角差的正弦、正切公 式． 3.能利用两角差的余弦公式 导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系.
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∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α 7 2 3 2 4 25 2 2 ＝ 10 ×5＋ 10 ×5＝ 50 ＝ 2 .……………………10 分 π 3 由2<β<π 得 β＝4π.……………………………………12 分 2 3 (另也可求得 cos β＝－ 2 ，得 β＝4π)．
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π 4 3 (2)∵0<α<2，sin α＝5，∴cos α＝5.…………………6 分 π 又 0<α<2<β<π，∴0<β－α<π. 2 π 由 cos(β－α)＝ 10 ，得 0<β－α<2. 98 7 2 ∴sin(β－α)＝ 10 ＝ 10 ，……………………………8 分
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【考向探寻】
利用公式化简三角函数式．
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【典例剖析】 (1) 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是 A．4cos 4－2sin 4 C．2sin 4－4cos 4 (2)化简下列各式： 2sin 50° ＋sin 80° 1＋ 3tan 10° ① ； 1＋cos 10° 2cos2α－1 ② π π . 2tan4－αsin24＋α
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∵θ 为钝角，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝ sin θ－cos θ2 ＝ 1－2sin θcos θ＝ 4 2 5 .② 7 2 由①②得 sin θ＝ 10 .
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cos 2α
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三角函数式化简要遵循的“三看”原则 (1)一看“角”．这是最重要的一点，通过角之间的关系，
把角进行合理拆分与拼凑，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确定 使用的公式． (3)三看“结构特征”．分析结构特征，可以帮助我们找到 变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
2
3 π π 所以 sin α＝ 2 ，故 α＝3，所以 tan α＝tan 3＝ 3，故选 D.
答案：D
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3．已知 3 A.5
π π 1 α∈2，π，tanα＋4＝7，则
cos α 等于(
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(1)
α α sin α＝2sin 2· 2 cos
→
α 2tan 2 sin α＝ 2α 1＋tan 2
→ 求出sin α的值 (2) 已知cosβ－α，sin α → sinβ－α，cos α → 利用β＝β－α＋α可求得sin β → 求得β
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【活学活用】 cos 10° 1．化简：(tan 10° 3) sin 50° － .
sin 10° － 解：原式＝cos 10° cos 10° sin 3 ＝ sin 50°
10° 3cos 10° － sin 50°
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α 1 (1)∵tan 2＝2， ∴sin
α α＝sin2·＝2sin 2
α α 2cos 2………………………2 分
α α α 2sin 2cos 2 2tan 2 ＝ α α＝ α……………………………3 分 sin22＋cos22 1＋tan22 1 2×2 4 ＝ 1 ＝5.…………………………………………4 分 1＋22
4 α＝－5.
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答案：D
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4．已知
π 3 sinθ＋4＝5，θ
为钝角，则 sin θ＝________.
π 解析：方法一：sinθ＋4＝
2 3 2 (sin θ＋cos θ)＝5
3 2 ∴sin θ＋cos θ＝ 5 .① 18 两边平方得 1＋2sin θcos θ＝25. 7 ∴2sin θcos θ＝－25.
提示：asin x＋bcos x＝ a ＋b
2
2
a 2 2sin x＋ a ＋b
b cos x＝ a2＋b2(sin xcos φ＋cos xsin φ) a2＋b2 ＝ a ＋b
2 2
sin(x＋φ).其中tan
b φ＝a.
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π 3π 5π 方法二：因为 θ 为钝角，所以 θ＋4∈ 4 ， 4 ， 又
π 3 sinθ＋4＝5， π 4 cos θ＋4 ＝ － 5 ，所 以
所以
sin
π π θ＝ sin θ＋4－4 ＝
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常用变形为：
tan α＋tan β＝ tan α－tan β＝ tan αtan β＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β) ； tan(α－β)(1＋tan αtan β) ；
tan α＋tan β 1－ tanα＋β
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B．2sin 4 D．－2sin 4
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题号 (1) (2)
分析 利用倍角公式化简即可，注意符号问题． 利用诱导公式、两角和(差)公式化简.
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(1)解析：原式＝ 2×2cos24＋2 sin 4－cos 42 ＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.
π π π 3 π sinθ＋4· 4－cosθ＋4· 4＝5× cos sin
2 4 2 7 2 － × 2 － 5 2 ＝ 10 .
7 2 答案： 10
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5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝______.
1 解析：2sin 15° 15° cos ＝sin 30° 2，A 不正确；cos215° ＝ 3 －sin 15° ＝cos 30° 2 ，B 选项正确． ＝
2
答案：B
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2．若 于( ) 2 A. 2 C. 2
π α∈0，2，且
考情分析
1.从考查内容看，利用两角和 与差的正弦、余弦、正切公式 进行三角函数式的化简、求值 是高考的重点，公式的逆用、 变形应用是高考的热点． 2.从考查题型看，三种题型都 可能出现，常将公式变形与三 角函数的性质结合在一起考 查，一般属中档题.
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答案：D
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②原式＝
cos 2α
π 2 π 2tan4－α· 4－α cos
cos 2α cos 2α ＝ π π ＝ π ＝cos 2α＝1. 2sin4－αcos4－α sin2－2α
.
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பைடு நூலகம்
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二、二倍角公式 sin 2α＝ cos 2α＝ 2sin αcos α . cos2α－sin2α ＝
2tan α 1－tan2α
2cos2＝ α－1
1－2sin2α ；
tan 2α＝
.
常用变形为： sin2α＝
1－cos2α 2
解析：∵2α＝(α＋β)＋(α－β)， ∴tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] tanα＋β＋tanα－β 3＋5 8 4 ＝ ＝ ＝ ＝－7. 1－tanα＋βtanα－β 1－3×5 －14
4 答案：－7
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三、形如 asin x＋bcos x 的式子的化简(辅助角公式)