2019届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第二次月考试题 数学理试题
湖南省衡阳八中2019届高三上学期第二次月考数学(理科)试题
2018-2019学年湖南省衡阳八中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合[]1,2A =-，B ={}2,y y x x A =∈，则A B =（ ） A ．[]1,4B ．[]1,2C ．[]1,0-D ．[]0,22．设i 是虚数单位，复数1a ii++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．23．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 中，2a ，7a 是函数()242f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前8项和等于（ ）A ．﹣16B ．8C ．16D ．5．下列命题错误的是（ ）A ．命题“0x R ∃∈，20013x x +＞”的否定是“x R ∀∈，213x x +≤”B ．若p q ∧是假命题，则p ，q 都是假命题C ．双曲线22123x y -=的焦距为D ．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a α∈，且//b a 6．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ） A ．45B ．35C ．45-D ．35-7．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈则()1f x dx π-⎰=（ ） A ．2π+ B ．2πC ．22π-+D ．24π-8．若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，lnx c e =，则（ ）A ．b c a ＞＞B ．c b a ＞＞C ．b a c ＞＞D ．a b c ＞＞9．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ ） A ．23x π=B ．3x π=C ．6x π=D ．12x π=10．已知Rt ABC ，点D 为斜边BC 的中点，62AB =，6AC =，12AE ED =，则A EE B等于（ ）A ．﹣14B ．﹣9C ．9D ．1411．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．316πB ．318πC ．48164πD 12．若函数()y f x =，x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时，()()212,0122,12x x f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪-⎩≤≤＜＜函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量a 与b 的夹角为30︒，且1a =，21a b -=，则b = ．14．设实数,x y 满足约束条件220402x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤，则yz x =的最大值是 ．15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢．若甲先拿，则下列说法正确的有： ．①若4n =，则甲有必赢的策略； ②若6n =，则乙有必赢的策略； ③若7n =，则乙有必赢的策略； ④若9n =，则甲有必赢的策略．16．ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1a =，D 是以BC 为直径的圆上一点，则AD 的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．如图，已知AD 是ABC 内角BAC ∠的角平分线． （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求AD 的长．18．如图，OAB 由0y =，8x =，2y x =围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上有一点()2,M t t ， （1）求以M 为切点2y x =的切线l 方程；（2）若l 与0y =，8x =两直线分别交于,P Q 两点，试确定M 的位置，使PQA 面积最大．19．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD 为等边三角形，2AD D E AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求二面角C BE D --的余弦值的大小．20．若数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足11b =，22b =，且1n n n n a b b nb ++=． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--+＜对一切n N *∈，求实数λ的取值范围．21．已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若3a =，2b =，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为1x ，()212x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '＜． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题12分）22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若8AB =，求α的值． [选修4-5：不等式选讲]（本题12分）23．已知定义在R 上的函数()f x x m x =-+，m N *∈，若存在实数x 使得()2f x ＜成立． （1）求实数m 的值；（2）若,1αβ＞，()()6f f αβ+=，求证：4194αβ+≥．2018-2019学年湖南省衡阳八中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】先分别求出集合A 和B ，由此利用交集定义能求出A B ． 【解答】解：∵集合[]1,2A =-，{}[]2,0,4B y y x x A ==∈=，∴[]0,2A B =． 故选：D ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简1a ii++，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出a 的值．【解答】解：由题意得，()()()()()1111112a i i a a ia i i i i +-++-+==++- 1122a a i +-=+， 因为复数1a ii ++为纯虚数，所以102102a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-， 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，以及纯复数的定义的应用，属于基础题． 3．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当()0f x '＜时，函数()f x 单调递减，当()0f x '＞时，函数()f x 单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数()y f x =的图象可能【解答】解：由当()0f x '＜时，函数()f x 单调递减，当()0f x '＞时，函数()f x 单调递增， 则由导函数()y f x '=的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B ， 故选：D ．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．4．【分析】由韦达定理得274a a +=，从而{}n a 的前8项和()8274S a a =+，由此能求出结果． 【解答】解：∵等差数列{}n a 中，2a ，7a 是函数()242f x x x =-+的两个零点， ∴274a a +=，∴{}n a 的前8项和()82744416S a a =+=⨯=． 故选：C ．【点评】本题考查等差数列的前8项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．【分析】利用命题的否定形式判断A 的正误；复合命题的真假判断B 的正误；双曲线的焦距判断C 正误；异面直线的位置关系判断D 的正误．【解答】解：命题“0x R ∃∈，20013x x +＞”的否定是“x R ∀∈，213x x +≤”满足命题的否定形式，A 正确；若p q ∧是假命题，则p ，q 都是假命题，不正确，因为两个命题一个是假命题，则p q ∧是假命题，所以B 不正确；双曲线22123x y -=的焦距为，正确；设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a α⊂，且//b α，满足直线与平面平行的判定定理，平面的基本性质，所以D 正确； 故选：B ．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查． 6．【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos sin sin sin 424445x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．7．【分析】由21cos 2arcsin cos 22t x tdt dt C +=⎰=⎰=+，得到()()0110100arcsin sin cos 2x f x dx xdx x πππ---⎛⎰=⎰+⎰=+- ⎝⎭， 由此能求出结果．【解答】解：∵()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈，21cos2cos 2ttdt dt +=⎰=⎰sin 2arcsin 242t t x C C =++=++，∴()1100sin f x dx xdxππ--⎰=⎰+⎰()010arcsin cos 2x x π-⎛=+- ⎝⎭=﹣2．故选：D ．【点评】本题考查函数的定积分的求法，考查导数、不定积分、定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．【分析】利用对数函数的单调性判断出0a ＜；由于,b c 的指数相同，所以研究一个幂函数的单调性；利用幂函数的单调性判断出,b c 的大小，,b c 都是幂得到,b c 全正，比较出,,a b c 的大小．【解答】解：∵()1,1x e -∈ ∴ln ln10a x ==＜即0a ＜考察幂函数()ln x f t t = ∵ln 0x ＜∴当t ＞0时，()f t 是减函数 ∵12e ＜∴ln ln 102xx b c e ⎛⎫== ⎪⎝⎭＞＞所以有b c a ＞＞ 故选：A ．【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较大小、考查利用幂函数的单调性比较大小． 9．【分析】首先利用正弦函数的图象的伸缩变换和平移变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到：y=sin （2x+）的图象，再向右平移6π个单位长度， 得到函数：()sin 2sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，令262x k πππ-=+()k Z ∈，解得：23k x ππ=+()k Z ∈， 当0k =时，3x π=．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用．10．【分析】建立坐标系，求出各点坐标再计算数量积． 【解答】解：以AC ，AB 为坐标轴建立平面直角坐标系，则()6,0C ，(B ，∴(D ，∵12AE ED =，∴(E ，∴(AE =，(EB =-， ∴AE EB =﹣1+10=9． 故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．11．【分析】可得该几何体是六棱锥，底面是正六边形，有一条侧面垂直底面．过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心，根据三视图的数据求出球的半径即可．【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P ABCDEF -，底面是正六边形，有一PAF 侧面垂直底面，且P 在底面的投影为AF 中点，过底面中心N 作底面垂线，过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心O ， 设PAF 的外接圆半径为r ，()222122r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得1716r =，∴1516MH ON ==，则该几何体的外接球的半径R ，∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是2481464S R ππ==． 故选：C ．【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查几何体三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，是中档题．12．【分析】根据题意，由函数()f x 在[)0,2上的解析式，分析可得函数()f x 在[)0,2上的最值，结合a 级类周期函数的含义，分析可得()f x 在[]6,8上的最大值，对于函数()g x ，对其求导分析可得()g x 在区间()0,+∞上的最小值；进而分析，将原问题转化为()()min max g x f x ≤的问题，即可得382m +≤，解可得m 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数()f x ，当[)0,2x ∈时，()()212,0122,12x x f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪-⎩≤≤＜＜，分析可得：当01x ≤≤时，()2122f x x =-，有最大值()102f =，最小值()312f =-，当12x ＜＜时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则此时有()3122f x -＜＜， 又由函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =； 则在[)6,8∈上，()()326f x f x =-，则有()124f x -≤≤， 则()()()()()82644821608f f f f f =====，则函数()f x 在区间[]6,8上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数()212ln 2g x x x x m =-+++，有()()()212221x x x x g x x x x x-++-'=-++==， 分析可得：在()0,1上，()0g x '＜，函数()g x 为减函数，在()1,+∞上，()0g x '＞，函数()g x 为增函数， 则函数()g x 在()0,1上，由最小值()312f m =+， 若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立， 必有()()min max g x f x ≤，即382m +≤， 解可得132m ≤，即m 的取值范围为13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故选：B ．【点评】本题考查函数的最值问题，注意将题目中“[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立”转化为函数的最值问题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【分析】根据,30a b =︒＜＞，1a =，对21a b -=的两边平方即可得出关于b 的方程，解方程即可得出b 的值．【解答】解：,30a b =︒＜＞，1a =，21a b -=； ∴()2222244cos304231a ba ab b b b -=-︒+=-+=；∴22330b b -+=； 解得3b =．【点评】考查向量夹角的概念，以及向量数量积的运算及计算公式．14．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识求出y z x=的最小值． 【解答】解：由y z x=的几何意义可知可行域内的点与坐标原点连线的斜率，作出实数,x y 满足约束条件220402x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤可行域如图：yz x=经过点A 时， 直线的斜率最大，由24y x y =⎧⎨+=⎩，解得()2,2A ．此时yz x=的最大值为：1， 故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 15． 【分析】考虑n 与4的关系，调整甲、乙取球的个数，可使赢球的可能性． 【解答】解：若4n =，由于甲先拿，最多3个，一定是乙赢，故①错误；若6n =，由于甲先拿，最少1个，最多3个，可以甲最多拿2个，甲可以拿到最后一个球， 则甲有必赢的策略，故②错误；若7n =，由于甲先拿，最少1个，最多3个，则甲有必赢的策略，故③错误； 若9n =，由于甲先拿，最少1个，最多3个，不管怎样甲可以拿到最后一个球， 甲有必赢的策略，故④正确． 故答案为：④．【点评】本题考查取球游戏，考查取胜的策略，考查推理能力，属于基础题．16．【分析】根据4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a=1，利用正弦定理和三角形内角和定理即可求解A ，作ABC的外接圆，当AD 经过ABC 的外接圆的圆心且垂直于BC 时，AD 最大．即可求解．【解答】解：由4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1a =，得a s i n 4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦定理sin sin 4B A C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C +），∴()sin sin 4A C A C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得cos sin sin sin A C A C =．∵sin 0C ≠， ∴cos sin A A = 即4A π=．作ABC 的外接圆，当AD 经过ABC 的外接圆的圆心且垂直于BC 时，AD 最大．设BC 中点为O ，此时OA=112tan 2tan 8OB OAB π==∠．那么：AD =OA OD +112+=+．1+．【点评】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理以及△ABC 的外接圆的最大值问题．属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【分析】（1）根据AD 是BAC ∠的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立； （2）根据余弦定理，先求出BC 的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD 的长． 【解答】解：（1）∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴BAD CAD ∠=∠， 根据正弦定理，在ABC 中，sin sin BAD ADBBD BA∠∠=， 在ADC 中，sin sin DAC ADCDC AC∠∠=，∵()sin sin sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠， ∴sin sin BAD DB ADB AB ∠=∠，sin sin DAC DC ADC AC ∠=∠，∴AB DBAC DC=； （2）根据余弦定理，222cos 2BA AC BC BAC AB AC+-∠=⋅⋅，即22221cos120221BC +-︒=⨯⨯，解得BC = 又AB DBAC DC =， ∴21DB DC =， 解得CD，BD； 设AD x =，则在ABD 与ADC 中， 根据余弦定理得，cos 60︒=22121x x +-⎝⎭⋅⋅， 且cos 60︒=222222x x +-⎝⎭⋅⋅， 解得23x =，即AD 的长为23．【点评】本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目． 18． 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式求得切线方程； （2）利用切线方程，得到,P Q 两点坐标．求出面积后，用导数方法求得最大值． 【解答】解：（1）∵2y x =，∴2y x '=，∴切线的斜率为2t ，∴切线方程为()()2208y t t x t t -=-＜≤，（2）令0y =，得2t x =，∴,02tP ⎛⎫⎪⎝⎭；令8x =，得216y t t =-，∴()28,16Q t t - ∴()232118162064224PQAt St t t t t ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 通过求导得知：当163t =时，面积取得最大值，此时16256,39M ⎛⎫⎪⎝⎭．【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属中档题．19．【分析】（1）设22AD DE AB a ===，以AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF ∥平面BCE ．（2）求出平面BCE 的一个法向量和设平面BDE 的一个法向量，利用向量法能证明二面角C BED --的余弦值．【解答】证明：（1）设22AD DE AB a ===，以AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立如图所示的坐标系，()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,,,0,,2A C a B a D a E a a ．∵F 为CD 的中点，∴32a F ⎛⎫⎪⎪⎝⎭．32AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(),BE a a =，()2,0,BC a a =-， ∴()12AF BE BC =+，AF ⊄平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE ．解：（2）设平面BCE 的一个法向量m =(),,x y z ，则020m BE ax az m BC ax az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得()1,m =．设平面BDE 的一个法向量m =(),,x y z ，(),BD a a =-，则00n BE ax az n BD ax az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令x =()3,1,0n =-．∴6cos m n m n m n⋅=⋅＜,＞=．故二面角C BE D --的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20． 【分析】（I ）数列{}n b 满足11b =，22b =，且1n n n n a b b nb ++=．可得112a +=，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．可得12n n nb nb +=，化为12n n b b +=，利用等比数列的通项公式可得n b ． （Ⅱ）设数列{}n c 满足111222n n n n n a n nc b -++===，利用“错位相减法”可得数列{}n c 的前n 项和为n T ，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出．【解答】解：（I ）∵数列{}n b 满足11b =，22b =，且1n n n n a b b nb ++=． ∴112a +=，解得11a =．又数列{}n a 是公差为2的等差数列， ∴()12121n a n n =+-=-． ∴12n n nb nb +=，化为12n n b b +=， ∴数列{}n b 是等比数列，公比为2． ∴12n n b -=．（Ⅱ）设数列{}n c 满足111222n n n n n a n nc b -++===， 数列{}n c 的前n 项和为21231222n n nT -=++++， ∴21112122222n n nn nT --=++++， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--， ∴n T =1242n n -+-． 不等式()112nn n n T λ--+＜，化为：()12142nn λ---＜，()2n k k N *=∈时，1242n λ--＜，∴3λ＜． ()21n k k N *=-∈时，1242n λ---＜，∴2λ-＞．综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系、“错位相减法”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 21． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出()()()121211*********212ln 21x x x x x x x h x x x a b x x x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫+⎝⎭'-=---=- ⎪+⎝⎭+．令()1201x t t x =＜＜，则()()()21ln 011t r t t t t -=-+＜＜，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵()()23ln 2,0,2h x x x x x =--∈+∞，∴()()()()2311132132,0,x x x x h x x x x x x--+--+'=--==∈+∞ 令∴()()()3110x x h x x--+'==得：13x =当103x ＜＜时，()0h x '＞，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当13x ＞时，()0h x '＜，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()15ln 336h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极大值，()h x 极小值不存在．（Ⅱ）证明：∵函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x ＜＜， ∴()21111ln 02a h x x x bx =-=，()222222ln 02h x x x bx =-=， ∴()()2212111222ln ln 22a a h x h x x x bx x x bx -=--- =()()22121212ln ln 02a x x x xb x x ----= 即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+- 又∵()()()()1h x f x g x ax b x'''=-=-+，1202x x x +=， ∴()1201222x x h x ab x x +⎛⎫'=-+ ⎪+⎝⎭， ∴()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+'-=---⎪+⎝⎭=()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤--+-⎢⎥+⎣⎦ =()()1212122ln ln x x x x x x ---+=12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+．令()1201x t t x =＜＜，则()()()21ln 011t r t t t t -=-+＜＜， ∴()()()()222141011t r t t t t t--'=-=++＜， ∴()r t 在()0,1上单调递减，故()()10r t r =＞，∴12112221ln 01x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+＞，∴()()120x x h x '-＞0，又∵120x x -＜，∴()00h x '＜．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想以及不等式的证明，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题12分）22． 【分析】（Ⅰ）直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 普通方程，曲线C 的极坐标方程转化为22cos 4sin ρθρθ=，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=，能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）代入曲线C ：24x y =，得到：22cos 4sin 40t t αα--=，由此利用弦长公式能求出α的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）．∴消去参数t ，得直线l 普通方程为sin cos cos 0ax ay α-+=， ∵曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=，即22cos 4sin ρθρθ=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为C ：24x y =．… （Ⅱ）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）代入曲线C ：24x y =，得到：22cos 4sin 40t t αα--=，…（8分）∴122488cos AB t t α=-===，∴cos α=，∴4πα=或34πα=．…【点评】本题考查直线的普通方程与曲线的直角坐标方程的求法，考查α的求法，考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（本题12分）23． 【分析】（1）x m x x m x m -+--=≥，要使2x m x -+＜有解，则2m ＜，m N *∈，解得m ；（2）,1αβ＞，()()21216f f αβαβ+=-+-=，可得4αβ+=．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵x m x x m x m -+--=≥， ∴要使2x m x -+＜有解，则2m ＜，解得22m -＜＜． ∵m N *∈，∴1m =．（2）证明：,1αβ＞，()()21216f f αβαβ+=-+-=， ∴4αβ+=， ∴()411414αβαβαβ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥ =141955444βααββ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当4βααβ=即83α=，43β=时“=”成立，故4194αβ+≥．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第二次月考试题数学(文)Word版含答案
衡阳市八中2019届咼三第二次月考试题文科数学命题人：彭源审题人：吕建设请注意：时量120分钟满分150分第I卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求•1•已知集合A= {1,2,3,4} , B = {x x 二 n2,n ? A}，则A“B二（）A. {1,2}B.{1,4}C.{2,3}D.{9,16}b + i2*•已知复数a+ 2i = （a,b是实数），其中i是虚数单位，则复数a+ bi的共轭复数是i（）A. 1+ 2iB.- 1+ 2iC.1- 2iD.- 1- 2ip 13*•已知直线l的倾斜角为q且过点（、、3,1），其中sin（q- £）=-，则直线l的方程为（）A. \ 3x- y- 2=0 B.3x + y - 4 = 0 C. x-、、3y = 0 D.3x+ 3y- 6= 04•中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第2天走了（）A • 24 里 B. 48 里 C • 96 里D.192 里b= log23, c = log4 7，则a,b,c 的大小关系为(6.已知向量a, b满足|a | = 1 , |a，b|—-7 ,A.PB.PC.2pD.虫A. a < b < cB. b < a < cC. c < a < bD. a< c< bb = 0 3, -1），则a, b的夹角等于（7•已知x, y满足约束条件右z= ax+ y的最大值为4，贝U a=（）A. 3B.2C.- 2D.- 35.已知a =3 6 3 68.设D,E,F 分别为DABC 三边BC,CA, AB 的中点，贝U EB+ FC =(f (2)= o ,则下列说法正确的是(范围为()第n 卷(非选择题，共 90分)4小题，每小题5分，共20分•把答案填在答题卡的相应位置.2 p13*.若 sin 2q= ?,，贝y cos (q+ -)=14.若过点P(2,3)作圆M :x 2 - 2x+ y 2= 0的切线I ，则直线l 的方程为 A. (- ? ,e]B. (- ? ,e)C. (- e, + ?)D.[- e,+ ?) 1 H A. BC 2 1 B. AD 2 C. BC D .T D2的正方体ABCD- A i B 1C 1D 1中，A^的中点是过点A 作与 截面PBC 平行的截面，则该截面的面积为A2、2 B2..3 C.2..6 D. 4大值，则d 的取值范围是 ai = 21， 公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当 n = 8时S n 取得最 ( ) 217A.卜 3,- )B.(- ,- 3) 8 2C. (- 3,- 21)D. [-?-3)11.已知函数 f(x)= 2si n( wx+j)(w> < p 相邻两条对称轴间的距离为A. w= 2B. 函数 y= f(x- p)是偶函数C.函数f(x)的图象关于点(乎，0)对称D. 函数 f(x)在轾p,- p 上单调递增12.已知函数f (x)=x —+ k(ln x- x)，若 x = 1 是函数 x f (x)的唯一极值点，贝U 实数k 的取值二、填空题：本大题共 9•如图，在棱长为 10*.在等差数列中｛a ｝。
湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学上学期第二次月考试题文
衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学请注意： 时量120分钟 满分150分第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求. 1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则AB = ( )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++=(,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( )A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( )20y --=40y +-=C.0x -=360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b << 6.已知向量,a b 满足||1=a，||+=a b1)=-b ，则,a b 的夹角等于( )A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( )C A 1A.12BC B.12AD C.BC D.AD 9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，11AB 的中点是P ，过点1A作与 截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( )A.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( ) A. 21[3,)8--B.7(,3)2--C. 21(3,)8--D. 7[,3)2--11.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p，且()02f p=，则下列说法正确的是( ) A. 2w= B. 函数()y f x =-p 是偶函数 C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称 D. 函数()f x 在,2轾p犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( )A. (,]e -?B.(,)e -?C.(,)e -+?D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13*.若1sin 2,2q=，则2cos ()4pq+= . 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_______2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.(本小题12分) ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知c o ss 3.C c a -= (1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC边上一点，且sin 3BDC ?，求BD .18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?．(1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪的前n 项和n T ．19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A BC -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB AC ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积.B 1C 120*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为(1)求圆M 的标准方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程.21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a xf x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性；(2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值．22.(本小题10分) (选修4-5：不等式选讲) 已知不等式|||3|6x x x +-<+的解集为(,)m n ．(1)求,m n 的值；(2)若0,0,0x y nx y m >>++=，求证：16x y xy +?．衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学参考答案命题人：彭源 审题人：吕建设请注意： 时量120分钟 满分150分第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求. 1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则AB = ( B )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++= (,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( A )A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( B )20y --=40y +-=C.0x -=360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( C )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( D ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b << 6.已知向量,a b 满足||1=a，||+=a b1)=-b ，则,a b 的夹角等于( A )A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( B )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( D )A.12BC B.12AD C.BC D.AD 9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，11A B 的中点是P ，过点1A作与 1截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( C )A.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( C ) A. 21[3,)8--B.7(,3)2--C. 21(3,)8--D. 7[,3)2--11.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p，且()02f p=，则下列说法正确的是( D ) A. 2w= B.函数()y f x =-p 是偶函数C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称D. 函数()f x 在,2轾p犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( A )A. (,]e -?B.(,)e -?C.(,)e -+?D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.若1sin 2,2q=，则2cos ()4p q+= 14. 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 4310x y -+= 或 20x -= .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_163p__2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值95. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.(本小题12分) ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知c o ss 3.C c a -= (1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC边上一点，且sin 3BDC?，求BD . 解：(1)3cos sin cossin sin b C cB BC C B A -=\-=sin sin sin tan C B B C B \-=\=- 20,3B B p<<p \=(2)在ABC D 中，由2222cos b a c ac B =+-得23400c c +-=，5c ∴=由sin sin c b C B =得57sin 2sin sin 3C C π=∴=在BCD D 中，由sin sin BD a C BDC =∠得4514BD =.18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?． (1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪的前n 项和n T ． 解：(1)当1n 时，111211S a a =-\=11122(1)21n n n n n n S a n S a n a a +++=-\=-+\=+112(1)n n a a +\+=+\{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得：212log 2nn n n a b n +=\==，212111111()(21)(21)22121n n b b n n n n -+\==--+-+111111(1)2335212121n nT n n n \=-+-++-=-++19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A BC -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB AC ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积.(1)证明：取AB 的中点O ，连结1,AO CO ，易证1,,AB AOAB CO ^^AB \^平面11,AOC AB AC \^(2)解：由22211112cos AC AA AC AA AC CAA =+-?得，1AC =，又2221111,AO CO AO CO AC AO CO ==\+=\^由(1)可知1AB AO ^，1AO \^平面ABC 1111111112223A BBC C ABC A B C A ABC A ABC ABC V V V V S AO ----D \=-===20*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线 20x y +-=所得弦长为1B 1C 1(1)求圆M 的方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程. 解：(1)设圆M 的方程为：222()(0)x a y r a -+=? 则圆心M 到直线20x y +-=由题意得：222242a r r ìï+=ïïïíï+=ïïïî由题意得204a r ì=ïïíï=ïî 所以所求圆M 的方程为：224x y +=(2) 由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+则圆心M 到直线lAB =(或由12()AB x x =+AB =又点(0,2)P -到直线l 的距离等于d=，所以13(42PAB S AB dD ==-因为20k ³，所以当0k =时，max()PAB S D =所以所求直线l 方程为：10y -=21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a x f x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性；(2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值． 解：(1) 21()()(1)ln (0)2F x xf x x a x a x x ==+-->，则 (1)()()(1)a x x a F x x a x x+-¢=+--=当0a £时，()0F x ¢>，所以函数()F x 在(0,)+?上单调递增； 当0a >时，若(0,)a ，则()0F x ¢<，若(,)a +?，则()0F x ¢> 所以函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；综上可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增；当0a >时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；(2) 函数()f x 有两个零点等价于21()(1)ln (0)2F x x a x a x x =+-->有两个零点. 由(1)可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增，()F x 最多一个零点，不符合题意。
2019年湖南省衡阳市第八中学高三上学期模拟检测数学(理)试题(详细解析)
于 E, F 两点，若 OE OA ，
OF OB ，（
, 0 ），则 的最小值为（
）
A. 2 3 7
B. 3 3 7
C. 3 2 3 7
D. 4 2 3 7
【答案】D
【解析】
由
A,M,D
三点共线可知，存在实数
t，使得
A. [3, 4]
B. (3, )
C. (, 4]
D. (3, 4]
【答案】D 【解析】 【分析】 化简集合 Q,根据集合的并集运算即可.
【详解】由题意得， P [0, 4] ， Q (3, 3) ， ∴ P Q (3, 4] ，故选 D.
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.
【详解】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率 p 30 3 ， 100 10
设军旗的面积为 S ，由题意可得：
S 112
3 10
，∴ S
3 10
112
363 10
mm2
.
本题选择 B 选项.
【点睛】本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题.
6.在 OAB 中， OA 4OC ， OB 2OD ， AD, BC 的交点为 M ，过 M 作动线 l 分别交线段 AC, BD
粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A. 726 mm2 5
B. 363 mm2 10
C. 363 mm2 5
3
D. 363 mm2 20
【答案】B
【解析】 【分析】
根据实验结果的古典概型概率，可知军旗面积与圆形金币面积的比值，即几何概型的概率，从而求解.
衡阳市八中高三第二次月考数学试题答案.docx
衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题答案 （考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ）A. 向右平移π6B. 向左平移π6C. 向右平移 π12D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ） A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ．978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B ．(10,)+∞C ．(1,2)(10,)⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B )A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞) 【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ．()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而512π 3π-xy 2O12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3 【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<<二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B = 【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则(0)f 的值是 .解：353(),,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662k ππϕπϕπ+=⇒+=+ 2,,3223k k Z ππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2)(0)2sin()333f x x f ππ∴=-∴=-=-16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x ex --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
衡阳八中高三数学上第二次月考检测(文)
衡阳八中2019秋高三数学上第二次月考检测（文）衡阳八中2019秋高三数学上第二次月考检测（文）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A. B. C. D.3.已知点在第三象限，则角的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限4.函数的定义域为( )A. B. C. D.5.设则( )A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是( )A. 是奇函数B. 的图像关于直线对称C. 的周期是D. 的图像关于对称7.函数在(0，1)内有零点.则( )A.bB.bC.08. 函数的图象大致为( )9. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A. B.C. D.10.已知函数，若恒成立，则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题：本大题共5小题。
每小题5分，请将答案填写在答卷相应的位置上。
11. 已知，则12.曲线y= 在x=1处的切线方程为___________13.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________14. 设集合M={(x，y)|x2+y2= ，，yR}，N={(x，y)| ，，yR}，若MN恰有两个子集，则由符合题意的构成的集合为______15.已知定义域为R的函数，则=________;的解集为___________ .三、解答题：本大题共6个小题(要有解答过程)。
16.(本小题满分12分)已知函数.(1) 求的值; (2) 若，求.17. (本小题满分12分)已知函数在x=1处有极小值1.(1)求的值;(2)求出函数f(x)的单调区间.18.(本小题满分12分)如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面, .(1)求证: .(2)若19. (本小题满分13分)已知函数。
2019届高三上学期第二次月考数学试题.docx
1.设全集 1/= {0,1,2,3,4},集合A = {1,2,3}, 8 ={2,4},则An (QB )=()A. {0,1,3}B. {1,3}C. {1,2,3}D. {0,1,2,3} 1. B2. 如下图所示，观察四个儿何体，其中判断正确的是()2. ［答案］C［解析］图①不是由棱锥截來的，所以①不是棱台；图②上.下两个面不平行，所以②不是所以④是棱柱；很明显③是棱锥.A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件D.既不充分也不必耍条件4. B5. 设(1 + 2Q(a + i)的实部与虚部相等，其中Q 为实数，贝归=()A. -3B. -2C. 2D. 3 5. 【答案】A6. 下列命题正确的个数是() ®AB + BA = 6；②0 伽=0；③代-AC = BC ；④0-AB = 0A. 1B. 2 C- 3 D. 4 6. A3.已知复数z= 1 ■ . + /,则复数Z 的模|z|=(1-1c. V104. “兀>2”是“〒_4>o”的( 圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形,且每相邻两个川边形的公共边平行,C.充要条件8. A9. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁〜18岁的根据上图可得这100名学生中体重在（56.5, 64. 5）的学生人数是（）. A. 20 B. 30 C. 40D. 509. C10. C7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下图（单位：cm ）,体的表面积为（）则该几何A. 12n cm 2 侧视图B. 15 n cm 2C. 24 n cm 2D. 36JI cm 2 7.C8.己知九V 满足不等式x-y>0x+y-3>0,则函数z = x + 3y 取得最大值是() x<3A. 12(B) 9 (C) 6 (D) 310.在矩形ABCD 中，0为AC 的中点,A. — (3tz + 2/?)B. 扫亠）C. ^(3a-2b)5俯视冬•— 6-1止视冬男生体重（kg ）,得到频率分布直方图如下：体重（kg ）（第9题）BC = 3a 、CD = 2b 、则 AO =(11. 下列不等式正确的是（）A. %1 2 +1 > —2xB.+ —T =- > 4 (x > 0)C. x + 丄 n 2D. sin x 4 ----------- ' 2 (x H k7r)x sinx11. A12. 已知向量 a,b,满足 Q ・b=0,Q = b=l,贝 ij a-b =() A. 0 B. 1 C. 2 D. V2-12. D.22【解析】由己知有I ：-亦=(：-7)2 = ： —2打+/ =1 —0+1 = 2,所以\a-b\=y/2-. —2考点：|a|2=Q ,向量的数量积运算.13. 已知直线与平面则下列四个命题中假命题是()• • •14. C15. 答案：C13又••• SbAEF= 4 S, S%R= 4 SA-如果d 丄a"丄那么a//b B. 如果a 丄a.a!!b,那么/?丄a C. 如果d 丄％a 丄伏那么/?//&D. 如果a 丄a.b! !a ,那么a 丄b13. C14.己知样本的平均数为4,方差为 3,则 %] +9,花 +9,X 3 +9^X 4 +9,X 5 +9的平均数和方差分别为（A. 4 和 3B. 4 和 12C. 13 和 3D. 13 和 1215. 在面积为S 的△/!比的内部任収一点P,s则的面积小于㊁的概率为（）丄A. 41 B-23 C. 4解析：如图所示，矿为△初C 的中位线.S 当点P 位于四边形砂71内时，氐破的面枳小于N3 S4S 3:./\PBC 的面积小于㊁的概率为7?=~5=4-16、命题 0： VxeR,x 3 4+l>l,则初是 _____________________________________________ 16. Kx G R, %2 4-1 < 117. 设向量a 二（尢 对1）, b 二（1，2）,且a 丄/?，则尸 ________ ・【答案】3【解析】由题意’讥=0,兀+ 2（兀+1） = 0,・*-彳・18. 已知一个几何体的三视图如图3所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于 _________40 18. —319、一个体枳为8",的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是________________________________________________________________________19. 12/rcm 2 :20. 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）(80,85) 185,90) 190,95) (95,100) 频数（个）51020153 根据频数分布表计算苹果的重量在［90,95）的频率；4 用分层抽样的方法从重量在［80,85：和［95,100）的苹果中共抽取4个，其中重量在［80,85）的有几个?正视图⑶ 在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在［80,85)和［95,100)中各有1个的概率・2020.(1)重量在[90,95)的频率=一=0.4 ；(2)若采用分层抽样的方法从重量在［80,85)和［95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数=(3)设在［80,85)屮抽収的一个苹果为兀，在［95,100)屮抽取的三个苹果分别为a,b,c ,从抽出的4个苹果中,任取2个共有(x,a),(x,b),(x,c),a/?),(Q,c),0,c)6种情况，其中符合“重量在［80,85)和［95,100)中各有一个”的情况共有(兀卫),(兀“),(兀,c)种；设“抽出的4 个苹果中，任取2个，求重量在［80,85)和［95,100)中各有一个”为事件A,则事件A的概21.如图，在矩形血尬9中，〃〃丄平面力庞；AE=EB=BC二2,尸为必'上的点，且处丄平U ACE.(1)求证：九LL平面〃必；(2)求证：皿〃平而BFD.(3)求三棱锥E-ABF的体积.E21.证明：⑴・・•初丄平面肋E AD//BC・•・BCA_平面ABE,则AEL BC又•・•〃、丄平而彳6K :.AEIBF:.AEV平面磁(2)依题意可知：6■是化的中点，•: BFI平面彳传，:・CEA_BF.又BC=BE, :.F是应'的中点.在△力兀中，连接FG则FG//AE. 又/冈平面BFD, FGu平面BFD, :.AE//平面BED.A.723.D。
湖南省衡阳八中高三数学上学期第二次月考试题 文(含解析)
衡阳市八中2015届高三第二次月考试题文科数学【试卷综析】试题考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说比较高，综合知识、创新题目的题考的有点少,试题适合阶段性质考试.一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【题文】1．已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R=≥∈=<∈，则M N =（）A.[0,1] B.(0,1) C.(0,1] D.[0,1)【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为集合N={x|-1<x<1,x∈R},所以M N =[0,1)故选D. 【思路点拨】先化简各集合，然后利用数轴求交集.【题文】2．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．1y x=- B.tany x= C．3y x= D．2logy x=【知识点】函数的奇偶性与单调性. B3 B4【答案解析】C 解析：由奇偶性定义排除A、D两个选项，由单调性定义得选项C正确, 故选C.【思路点拨】利用函数奇偶性、单调性的定义得出选项.【题文】3.已知点(cos,tan)Pαα在第三象限，则角α的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】任意角的三角函数. C1【答案解析】B 解析：由题意得cos0cos0tan0sin0αααα<<⎧⎧⇒⎨⎨<>⎩⎩，所以角α的终边在第二象限，故选B.【思路点拨】由已知得cos0cos0tan0sin0αααα<<⎧⎧⇒⎨⎨<>⎩⎩，利用数据函数定义确定角α的终边所在象限.【题文】4.函数()f x=的定义域为（）A. [2,2]- B.(0,2] C.(0,1)(1,2) D. (0,1)(1,2]【知识点】函数的定义域. B1【答案解析】D 解析：要使函数有意义，需使240ln 0x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得01x <<或12x <≤，故选D.【思路点拨】根据函数有意义的条件获得关于x 的不等式组，从而求得函数的定义域.【题文】5．设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >> 【知识点】数值大小的比较. E1【答案解析】C 解析：因为()2122log 1,2,log log 0,a b πππ=∈==-<()2210,1c ππ-==∈，所以a>c>b ，故选C.【思路点拨】先化简各数并确定这些值的符号或所在范围，然后判断它们的大小关系.【题文】6．将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）A.()y f x =是奇函数 B.()3y f x =的图像关于直线2x π=对称C.()y f x =的周期是πD.()y f x = 的图像关于02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称【知识点】平移变换；诱导公式. C2 C3【答案解析】D 解析：将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数sin cos 2y x xπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即函数()f x 是余弦函数，由余弦函数的图像性质得选项D 正确，故选D.【思路点拨】由平移变换及诱导公式得()cos f x x=，即函数()f x 是余弦函数，由余弦函数的图像性质得正确选项.【题文】7.函数3()34f x x x b =+-在(0，1)内有零点．则（ ） A ．b>0 B ．b<1 C ．0<b<1 D ．b<21【知识点】导数的应用；零点的意义. B12 B9【答案解析】C 解析：因为()2330f x x'=+>恒成立，所以()f x是R上的增函数，而函数()f x在（0,1）上有零点，所以()()004001134010f bbbf<⎧-<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨+->>⎩⎪⎩，故选C. 【思路点拨】先由导数法确定函数的单调性，得到函数()f x在（0,1）上是单调增函数，又()f x在（0,1）上有零点，所以()()004001134010f bbbf<⎧-<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨+->>⎩⎪⎩【题文】8. 函数()ln2f x x=-的图象大致为（）【知识点】函数的定义域；函数的奇偶性. B1 B4【答案解析】B 解析：因为函数()f x定义域为{}|2x x R x∈≠±且，所以排除选项C、D，又因为函数()f x是偶函数，所以排除选项A，故选B.【思路点拨】排除法：由定义域是{}|2x x R x∈≠±且，排除选项C、D，又函数()f x是偶函数，所以排除选项A，故选B.【题文】9. 函数),2,0)(sin(RxxAy∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．)48sin(4π-π-=xyB．)48sin(4π-π=xyC．)48sin(4π+π=xyD．)48sin(4π+π-=xy【知识点】函数()siny A xωϕ=+的图像与性质. C4【答案解析】D 解析：由图像可得A=4，周期T=16，所以28Tππω==，因为6是函数增区间上的零点，所以003 684ππϕϕ⨯+=⇒=-,所以函数解析式为34sin4sin8484y x xππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.【思路点拨】根据图像求得振幅、周期和初相，从而获得函数的解析式.【题文】10.已知函数22,0,()ln(1),0x x xf xx x⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|1f x ax≥-恒成立，则a的取值范围是（）（A）[2,0]-（B）[2,1]- (C) [4,0]- (D) [4,1]-【知识点】函数的图像；直线与二次曲线的位置关系. B8 H8【答案解析】C 解析：设()g x=22,0()ln(1),0x x xf xx x⎧-≤=⎨+>⎩，()1h x ax=-，()h x是恒过定点（0，-1）的直线，在同一坐标系下画两函数图象得由图可知当过定点（0,-1）的直线()h x从与x轴平行绕定点（0,-1）顺时针旋转到与()220x x x-≤相切时，|()|1f x ax≥-恒成立，把1y ax=-代入()220y x x x=-≤得：()2210(0)x a x x-++=≤，由0∆=得4a=-，所以[]4,0a∈-，故选C.【思路点拨】在同一坐标系下画两函数()g x=()f x与()1h x ax=-的图像，由图可知当过定点（0,-1）的直线()h x从与x轴平行绕定点（0,-1）顺时针旋转到与()220x x x-≤相切时，|()|1f x ax≥-恒成立，把1y ax=-代入()220y x x x=-≤得：()2210(0)x a x x-++=≤，由0∆=得4a=-，所以[]4,0a∈-.二、填空题：本大题共5小题。
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衡阳市八中2019届高三第二次月考试题理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝[－1，2]，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A.[1，4]B.[1，2]C.[－1，0]D.[0，2]2.设i 是虚数单位，复数a ＋i1＋i为纯虚数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.23.函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( )4．已知等差数列{}n a 中，27,a a 是函数2()42f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前项和等于（ ） A ． B ． C ． D ． 错误！未找到引用源。
5．下列命题错误的是（ ）A.命题“ 2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“ 2,13x R x x ∀∈+≤”;B.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题C. 双曲线22123x y -=的焦距为D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α6．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．35- 7．已知函数()[](],,0, 0,1,sinx x f x x π∈-=∈则()1f x dx π-=⎰（ ）A. 2π+B.2πC. 22π-+D.24π- 8.若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln x c e =，则（ ）A ． b c a >>B ．c b a >> C. b a c >> D ．a b c >> 9．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ ） A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π=D. 23x π= 10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，62AB =, 6AC =, 12AE ED =,则AE EB ⋅等于 （ ）A. 14-B. 9-C. 9D.1411．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.316π B. 318π C. 48164πD. 4812．若函数()y f x =， x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时，()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈， ()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D. 13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角为030，且1a =，21a b -=，则b = ．14．设实数,x y 满足约束条件220402 x y x y y --⎧⎪⎨+≤-≥⎪⎩≤，则y z x =的最大值是_______.15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。
若甲先拿，则下列说法正确的有： __________．① 若n =4，则甲有必赢的策略； ②若n =6，则乙有必赢的策略； ③ 若n =7，则乙有必赢的策略； ④若n =9，则甲有必赢的策略。
16. ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别,,,a b c且满足)4b C π=+，1a =，D 是以BC 为直径的圆上一点，则AD 的最大值为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题12分）如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D . （1）证明：AB BDAC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长．18．（本题12分）如图，OAB 由20,8,y x y x ===围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上有一点2(,)M t t ，（1）求以M 为切点2y x =的切线l 方程；（2）若l 与0,8y x ==两直线分别交于,P Q 两点，试确定M 的位置，使PQA∆面积最大。
19.（本题12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点. (1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求二面角C －BE －D 的余弦值的大小.20.（本题12分）若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ＋1b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ<T n ＋n2n －1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.21.（本题12分）已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（本题12分） 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，若8AB =，求a 的值． 23.选修4-5：不等式选讲（本题12分）已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，若存在实数x 使得f (x )<2成立.(1)求实数m 的值；(2)若,1,()()6,f f αβαβ>+=求证：4194αβ+≥。
衡阳市八中2019届高三第二次月考试题理科数学答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝[－1，2]，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( D )A.[1，4]B.[1，2]C.[－1，0]D.[0，2]2.设i 是虚数单位，复数a ＋i1＋i为纯虚数，则实数a 的值为( A ) A.－1B.1C.－2D.23.函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( D )4．已知等差数列{}n a 中，27,a a 是函数2()42f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前错误！未找到引用源。
项和等于（ C ）A ． 错误！未找到引用源。
B ． 错误！未找到引用源。
C ． 错误！未找到引用源。
D ． 错误！未找到引用源。
5．下列命题错误的是（ B ）A.命题“ 2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“ 2,13x R x x ∀∈+≤”;B.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题C. 双曲线22123x y -=的焦距为D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α6．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ D ）A ．45B ．35C ．45-D ．35- 7．已知函数()[](],,0, 0,1,sinx x f x x π∈-=∈则()1f x dx π-=⎰（ D ）A. 2π+B.2π C. 22π-+ D.24π- 8.若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln x c e =，则（ A ）A ． b c a >>B ．c b a >> C. b a c >> D ．a b c >> 9．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ C ） A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π=D. 23x π=10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，62AB =, 6AC =, 12AE ED =,则AE EB ⋅等于 （ C ）A. 14-B. 9-C. 9D.1411．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ C ）A.316π B. 318π C. 48164πD. 12．若函数()y f x =， x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时， ()()212,01,{ 22,12,x x f x f x x -≤≤=-<<函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈， ()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ B ）A. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D. 13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角为030，且1a =，21a b -=，则b =．14．设实数,x y 满足约束条件220{40 2x y x y y --≤+-≥≤，则yz x=的最大值是_______.1 15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。