第四章联立方程模型计量经济学-北京师范大学,袁强-18页word资料

Chapter4 联立方程模型我们关注的目标Y 可能不止一个，而是多个。

或者其中某一目标与其它目标有内在联系，如果我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。

例如，我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要知道该商品的供给曲线和需求曲线。

自然，也就存在多因多果的关系问题。

从内生性问题角度看，某一解释变量X i 从另一方面考察能成为Y 的结果，那么Y 就是原因，因为X i 中有Y 的成分，从而E （u/X i ）=0不成立（内生性问题的第3种情况）。

在第二章现代观点理念的陈述中，把Y 看成是一个随机向量，所有的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。

但由于因变量Y 的个数的增加，也就带来了许多“单方程串线性回归模型”不曾有的问题。

本章主要讨论联立的线性系统。

内容有，联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别，以及一些专题。

其中GMM 方法是本章的特色。

它把2SLS 的方法又提高了一步。

一、.基本概念和模型系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。

线性系统则认为它们的联系是线性的。

变量：描述系统状态的基本要素。

变量分成两类。

一类是内生变量，含义是，一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。

内生变量一般是系统要关注的对象。

另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。

它又分成：（1）外生变量，它的值由系统的外部给定；（2）滞后的内生变量，它的值由内生变量的前期确定。

有时，（1）（2）不加区分统称为外生变量。

不过这两种内生变量有实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。

线性模型：系统中的变量通过线性方程或随机误差项联系，称为联系系统的线性模型。

模型分成简约式（reduced formed ）和结构式（structure form ）两种：1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。

2、结构式：每个方向（方程式）由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。

结构式有以确定的经济内内涵，它们从理论模型简化而成。

一般把结构式分成四类：（1） 行为方程 （2） 技术方程 （3） 平衡方程（4） 定义方程每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。

系统的描述：Y 表示内生变量，设共有G 个内生变量：1Y ……G Y X 表示先决变量，设有M 个自变量：1X ……M XU 表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数来定。

例：简单的宏观消费－投资模型：可加随机项 不可加随机项消费方程：t t t U Y C ++=21αα 投资方程：t t t t Y Y I εββ+-+=--)(2121 平衡方程：t t t t G C I Y ++= 则：内生变量：t C ，t I ，t Y先决定量： 21,--t t Y Y t G 随机误差：t t U ,ε联立方程模型主要分成三类：（1） 似无关模型（Seemingly Unrelated Regression ）(SUR 模型)模型中每个方程都是reduced form,且有不同的先决解释变量和因变量，并有自己的参数值1,=g g β……G 。

相关联的仅是误差项。

可以理解为系统有一个相同的环境，且系统由间因果关系构成。

由此设定：()0......X |G 1=X U E g ，g=1……G这是一个很强的假定，意味着任意i U 与j X 不相关，或弱一些的假定是：()0X |g =g U E ，g=1……G,但不要求1U ……G U 不相关。

总体上，g U 可能与其他外生变量j X （g 不等于j ）相关，似无关的含义是后一种含义。

（2）面板数据模型（Panel Data ）（ PD 模型）t t t t U X Y +=β，t=1,2……Ｔ这里，先决解释变量，因变量和参数值都相同，区别的仅在于t,一般理解为不同时段，也可以是其它指标如不同地区、城市等，t U 可理解为不同的t 导致不同的随机误差。

ti U 和tj U 可以不独立，也可以不同分布等，视各种实际情况而定。

并假定：(),0X |t =t U E t=1, ……Ｔ注：1、这种简单形式的面板数据模型，可以看成是一类特殊的联立方程。

面板数据模型的联立形式在第五章中介绍。

SUR 和PD 是联立方程的特殊形式，其特点为每个内生变量Y i 都可以写成单方程的线性形式，回归正确设定。

区别是：SUR 模型每个Y i 都有自己的外生变量，而PD 则是所有Y i 都有相同的外生变量。

2、另一种介于SUR 和PD 模型的联立式称为跨方程的联立式，含义是：如果某i Y 与j Y 有中有相同的先决变量，且参数值相同，那么可将i Y 与j Y 合并成跨方程的联立式，如：并将其看成是一个整体。

（3）同时性模型（Simultanious Equation ）(SEM)这里，()h Y 是指不包括h 在内的其它变量的部分（()Y Y h ⊂）；()h Z 是批先决变量的部分（()X X h ⊂）；()h χ和()h δ是()h Y 和()h Z 的参数；t U 是随机误差，即同时性模型是把每个内生变量写成其它部分内生变量和先决变量的线性式。

因为SEM 模型中右边方程含有其它内生变量，所以内生变量G Y Y 1是同时确定的。

它不能象（1）和（2）那样，单独就可以确定。

如果我们能够通过线性变换把SEM 中的内生变量部分消去，得到它的简约式，那么SEM 也可以象SUR 和PD 那样处理。

我们把SEM 的每个Y h 移到方程的右边，使得模型形式上仍可看成一个方程左边是某内生变量，右边是其先决变量线性组合的联立方程系统，得到统一的紧凑形式：这里，Ｙ是1×Ｇ矩阵，Z 是1×M 矩阵，是可以观测抽样的；P 是G ×G 矩阵，∆是M ×G 矩阵，是未知参数；U ＝（G U U 1）是1×Ｇ矩阵，是结构误差。

假定P 可逆，否则内生变量Y 中的选择至少有一个是多余的，且∑'=U U E 时结构误差的协方差阵，是G ×G 的非奇异矩阵，那么模型可以方便地转化成简约式：因为P 与∆是未知参数，且有经济含义，系统可识别问题的提法是：当我们从简约式得到∏的估计∏ˆ，在什么条件下，我们可以从∏ˆ得到P 和∆的估计Pˆ和∆ˆ，称为系统的可识别问题。

这个问题，我们放到后面讨论，先讨论联立方程模型的估计和检验。

二、.联立方程的估计和检验1、联立方程的OLS 估计与检验（1）将SUR 模型表示成矩阵形式如下： 对任意的观测个体（或第i 次观测）， k1 k2 kG（注：k1，k2，kG 分别有k1，k2，kG 列）记成i i i i U X Y +=β， 这里i X 是G ×（k1+……kG ）=G ×K 矩阵。

（2）将PDM 模型统一表示成：i T T i U X X Y Y Y +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β 11，这里i X 是T ×K 矩阵。

（3）将SEM 模型表示成矩阵形式如下：三种表述统一成：i i i i U X Y +=β，这样联立方程类似于单方程的回归模型。

若采用ols 方法，假定：Sols1: 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛'i i U X ESols2:⎪⎭⎫ ⎝⎛'≡A i i X X E 非奇异；则类似于单方程模型：① ⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'=-i i i i Y X E X X E 1β ② 从母体中随机抽样，i=1,……,N,则得到Sols ββ−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∑∑=-=P N i i i N i i i Y X N X X N 11111ˆ 写成矩阵表达，Sols ()Y X X X ''=-1ˆβ. 对SUR ：这里X 是NG ×K 矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=iG i X X X 1，ig X 是N ×K 矩阵，,1G k k K ++= g ＝1,2……,G.对PD ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=iT i X X X 1是NT ×K 矩阵；对SEM ：X 是工具变量Z 。

（3)()11ˆ0,d N ββ---−−→A BA 这里，⎪⎭⎫ ⎝⎛''=B i i i i X U U X E（4）βˆ的渐近协方差估计V ˆ ()()()11ˆˆˆ--''''=X X X U U X X X V且βˆˆX Y U -= Vˆ称为稳健的协方差估计。

注：1）在联立方程模型中，对误差项协差矩阵Ω＝⎪⎭⎫ ⎝⎛'i i U U E 是没有任何限制的，故ΩI 2σ≠，所以ols 方法仅能保证βˆ是无偏、一致的，但不一定是有效的。

由于Ω的复杂性，一般ols 方法估计的效果是很差的。

2）关于检验，利用Wald 统计量()()()q v c V c q c W -''-=-ββˆˆˆ1，对不同的问题选择适当的c 和q ，q c H =β:0，可进行关于β的一切线性组合的检验，只要用Vˆ代替V ，不再需要任何其它假定。

2、联立方程的GLS 估计与检验Sols 估计尽管皮实，但毕竟有效性差。

如果对随机误差有更强的假定，则可对Sols 估计进行进一步的改进，称为广义最小二乘估计。

假定：SGLS1：()i i U X E ⊗＝0,含义是i U 中每个元素同i X 中每个元素都不相关，⊗是Kvoneclser 积：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B B B B B B B B B =B ⊗A mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A mn m n a a a a 1111 是一个对矩阵的线性变换。

所以SGLS1含义是：k l U X E k il ,,0∀=⎪⎭⎫ ⎝⎛'；假定SGLS2：⎪⎭⎫ ⎝⎛'=Ωi i U U E 正定，且⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω'-i i X X E 1非奇异，那么对i i i i U X Y +=β，用21-Ω作变换，得21-Ωi Y ＝21-Ωβi X ＋i U ，即*i Y ＝β*i X ＋*i U ，于是有E *i U '*i U ＝G I 。

随机抽取样本，对每个i,i=1,2,……N,做Sols ，i 个变换后的新的广义最小二乘估计，记成*βˆ， 这里X 是NG ×K 矩阵，Y 是NG ×1矩阵,并仍可以证明，*βˆ是N 渐近正态的，即()()11*,0--−→−-BA A N N dββ ，其中A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω'-i i X X E 1，B=⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω'Ω'--i i i i X U U X E 11。