(完整版)小学奥数周期问题教师版(可编辑修改word版)
奥数周期问题(可编辑修改word版)
六年级数学讲义周期问题一、教学衔接上次作业检查及讲解二、教学内容（一）知识介绍周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。
在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。
这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
（二）例题精讲例题 1：2001 年 10 月 1 日是星期一，问 10 月 25 日是星期几？分析：我们知道，每个星期有 7 天，也就是说以 7 天为一个周期不断地重复。
那么从 10 月1 日到10 月25日经过了 25—1=24（天）。
因此用除法算式解答。
解：（1）、从 10 月1 日到10 月25 日有：25—1=24（天）（2）、24 天里有多少个星期余多少天？24÷7=3（个星期）……3（天）（说明 24 天中包含 3 个星期还多 3 天，最后一天起，再过 3 天就应是星期四）答：10 月25 日是星期四。
巩固练习：1、2001 年5 月3 日是星期四，问 5 月20 日是星期几？2、2008 年8 月1 日是星期三，问 8 月28 日是星期几？例题 2：100 个 3 相乘，积的个位数字是几？分析：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。
解：（1）、1×3=3……1个3 相乘积的个位数字是：3（2）、3×3=9……2个3 相乘积的个位数字是：9（3）、3×3×3=27……3个3 相乘积的个位数字是：7（4）、3×3×3×3=81……4个3 相乘积的个位数字是：1（5）、3×3×3×3×3=243……5个3 相乘积的个位数字是：3（已经重复出现）（说明：可以发现积的个位数分别以 3、9、7、1 不断出重复出现的。
(完整word版)小学奥数周期问题(五年级)
周期问题一、知要点周期是指事物在运化的展程中，某些特点循往来出，其两次出所的叫做周期。
在数学上，不有研究周期象的分支，而且平解也常常遇到与周期象有关的。
些数学只要我展某种周期象，并充足加以利用，把要求的和某一周期的等式相，就能找到解关。
二、精精【例 1】流水上生小木球涂色的次序是：先 5 个，再 4 个黄，再 3 个，再 2 个黑，再 1 个白，尔后又依次 5 、 4 黄、 3 、2 黑、 1 白⋯⋯这样涂下去，到 2001 个小球涂什么色？【思路航】依照意可知，小木球涂色的次序是 5 、 4 黄、 3 、 2 黑、 1 白，即5＋4＋3＋2＋1=15 个球一个周期，不断循。
因 2001÷15=133⋯⋯ 6，也就是 133 个周期余 6 个，每个周期中第 6 个是黄的，因此第 2001 个球涂黄色。
1：1. 跑道上的彩旗按“三面、两面、一面黄”的律插下去，第50 面插什么色？2. 有一串珠子，按 4 个的， 3 个白的， 2 个黑的序重复排列，第160 个是什么色？⋯⋯，小数点后边第100 个数字是多少？- 1 -【例 2】有 47 灯，按二灯、四灯、三黄灯的序排列着。
最后一灯是什么色的？三种色的灯各占数的几分之几？【思路航】（ 1）我把二灯、四灯、三黄灯 9 灯看作一， 47÷ 9=5 （）⋯⋯ 2（），余下的两是第 6 的前两灯，是灯，因此最后一灯是灯；（2）由于 47÷ 9=5（）⋯⋯ 2（），因此灯共有 2×5＋2=12（），占数的 12/47 ；灯共有4×5=20（），占数的 20/47 ；黄灯共有 3×5=15（），占数的 15/47 。
2：1.有 68 面彩旗，按二面的、一面的、三面黄的排列着，些彩旗中，旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共 2000 ，按律排列着：○●○○○●○○○●○○⋯⋯，第2000珠子是什么色的？其中，黑珠共有多少？3.在 100 米的跑道两每隔 2 米站着一个同学。
小学奥数——周期性行程问题 教师题库版
【最值问题】1、一条单线铁路上有A,B,C,D,E 5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟?【解析】两列火车同时从A,E两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.从图中可知:AE的距离是:225+25+15+230=495(千米),两车相遇所用的时间是:495÷(60+50)=4.5(小时),相遇处距A站的距离是:60×4.5=270(千米),而A,D两站的距离为:225+25+15=265(千米),由于270千米>265千米,因此从A站开出的火车应安排在D站相遇,才能使停车等待的时间最短.因为相遇处离D站距离为270-265=5(千米),那么,先到达D站的火车至少需要等待:1156055060÷+÷=(小时) ，1160小时=11分钟2、从花城到太阳城的公路长12公里．在该路的2千米处有个铁道路口，是每关闭3分钟又开放3分钟的．还有在第4千米及第 6 千米有交通灯，每亮2分钟红灯后就亮3分钟绿灯．小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？【解析】画出反映交通灯红绿情况的s t-图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是0.5 千米／分钟，此时恰好经过第6千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要24分钟．3、下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。
小学奥数 周期问题.教师版与学生版
1. 掌握各种周期问题的求解方法．2. 培养学生观察、分析和逻辑推理能力。
知识点说明：周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类： 1．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。
主要方法有观察法、逆推法、经验法等。
主要问题有年月日、星期几问题等。
⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？这个数列的周期是2，1829÷=，所以第18个数是2．⑵如果比整数个周期多n 个，那么为下个周期里的第n 个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列的周期是3，16351÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是1．⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(161)271-÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是2．板块一、图形中的周期问题 【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：●●○●●○●●○…你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90330÷=，正好有30个周期，第90个是白球．100333÷=…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．【答案】第90个是白球，第100个是黑球【巩固】 美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序例题精讲知识精讲 教学目标周期问题排列的：○●○○○●○○○●○○○……那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为102425÷=…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25126+=（个）【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有26个【巩固】 黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。
小学奥数周期问题教师版之欧阳家百创编
第八讲：周期循环与数表规律欧阳家百（2021.03.07）知识点说明周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类：1．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。
主要方法有观察法、逆推法、经验法等。
主要问题有年月日、星期几问题等。
⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？÷=，所以第18个数是2．这个数列的周期是2，1829⑵如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是1．这个数列的周期是3，16351⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？-÷=⋅⋅⋅，这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(161)271所以第16个数是2．板块一、图形中的周期问题【例 1】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：●●○●●○●●○…你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？【解析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周÷=，正好有30个周期，第90期里的第几个．因为90330÷=…1，有33个周期还多1个，所以，个是白球．100333第100个是黑球．【巩固】美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：○●○○○●○○○●○○○……那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？【解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个÷=…2，所以最后一个珠子是第这样的珠子．因为10242526个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1+=个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25126（个）【例 2】小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．⑴第73颗是什么颜色的？⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？【解析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组÷=(组)……3(颗)，第73颗是第15组的第3有5颗．73514颗，所以是蓝色的．⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有5945⨯=(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．列式：592⨯+452=+47=(颗)⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式：524⨯+10414=+=(颗)．【巩固】 奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？【解析】 这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为2855÷=…3，所以28个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字．【巩固】 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？【解析】 从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．734181=⨯+，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯．【例 3】 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后 又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问：⑴第150盏灯是什么颜色？⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？【解析】 ⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是54110++=（盏）灯．150(541)15÷++=，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．⑵如果是200盏灯，就是200(541)20÷++=的周期．每个周期都有4盏蓝灯，20480⨯=（盏） 前200盏彩灯中有80盏蓝灯．【巩固】 在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？【解析】50(225) 5÷++=…5．52212⨯+=（个）． 【巩固】 小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．⑴最后1枚是几分硬币⑵这200枚硬币一共价值多少钱？【解析】 ⑴每个周期有3216++=枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断200633÷=……2，所以最后一枚是1分硬币⑵每个周期中6枚硬币共价值13221512⨯+⨯+⨯=（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了12332398⨯+=（分），所以，这200枚硬币一共价值398分．【巩固】 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？【解析】 1963÷=…1,1462÷=…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．【巩固】 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？【解析】 这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有591327++=（朵）花．因为249279÷=……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法：（方法1）249(5913)9÷++= (6)红花有：59550⨯+=（朵）绿花有：139117⨯=（朵）红花比绿花少：1175067-=（朵）（方法2）249(5913)9÷++=……6，一个周期少的：1358-=（朵），9872⨯=（朵），余下的6朵中还有5朵红花，所以72567-=（朵）.【例 4】 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A ”，第二组是“们，B ”……⑴写出第62组是什么？⑵如果“爱，C ”代表1991年，那么“科，D ”代表1992年……问2008年对应怎样的组？【解析】 （1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ABCDEFG ”七个字母为一个周期62512÷=……2 ,6278÷=……6，所以第62组是“们，F ” ⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“DEFGABC ” 七个字母为一个周期：2008199117-=（组），1753÷=……2 1772÷=……3，所以2008年对应的组为“学，F ”．【巩固】 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第50组是什么？【解析】 要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第一行“新北京新÷=…2，第50个字就是奥运”是6个字一个周期，5068北．再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期，÷=…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一5077起，第50组就是“北奥”．【例 5】如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。
(完整版)三年级奥数第5专题-周期问题
第五讲周期问题（一）〖知识要点〗1、什么是周期问题？在日常生活中有一些按照一定的规律不断重复的现象，如人的十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期七天等等。
像这样常碰到的有一定循环出现的问题，我们称为周期问题。
2、解题步骤：（1）观察、分析数、图形或事物的变化是否重复循环出现并具有周期性。
（2）每几个数循环一次，谁开始谁结束，周期长度是多少。
（3）每个循环节按什么次序排列。
（4）利用除法算式求出余数，根据余数得出正确的结果。
〖例题精讲〗例1、两个小朋友比赛智力，一位小朋友画出了一组图形（排列如下），根据排列的规律。
请算出第60个图形是（），第121个图形是（）。
〔分析与解答〕：每3个图形为一组，称为一个周期。
60÷3=30(组)，没有余数，说明30个图形里刚好有30个周期。
（即为）121÷3＝40（组）……1（个），说明121个图形中含有40个周期多1个，所以第121个图形就是重复40个周期后的第1个图形。
〖我真行1〗按照“数学奥林匹克比赛数学奥林匹克比赛数学奥林匹克比赛……”依次排列，第100个字是（）。
例2、黑珠、白珠共202个，穿成一串（如下图所示），在这串珠子中，最后一个珠子是（）颜色的，这种颜色的珠子共有（）个。
……202÷4=50……2（黑色）50+1=51（个）〖我真行2〗有一些灯泡按照“一黄三红四白”的顺序排列，第30个灯泡是（）色，第260个灯泡是（）色。
例3、一个小朋友写了这样一列数“4、1、3、2、4、1、3、2、4、1、3、2……”，你能很快算出这列前54个数字之和是多少吗？〔分析与解答〕：上面一列数中，从第一个数字开始重复出现的部分是“4132”，周期数是4。
要求这列数字的和，就要先求出这列数里一共有多少组“4132”。
54÷4＝13（组）……2（个），因此前13组数字之和是（4＋1＋3＋2）×13＝130；余下两个数的和是4＋1＝5。
小学奥数之周期问题(一)
小学奥数之周期问题（一）
1．有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？
2．1997年元旦是星期三，那么，同年12月1日是星期几？
3．国庆节，路旁挂起了一盏盏彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏。
那么，第80盏灯应是什么颜色的？
4．1998 表示1998个7连乘，它的结果末位上的数字是几？
下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？
5．把1\7化成小数，请回答：
（1）小数点后面第80个数字是几？
（2）小数点后面前80个数字的和是多少？
6．把1\81化成小数后，小数点后面100位数字之和是多少？
7．今天是星期一，从明天开始第1800天是星期几？
有同样大小的红珠、白珠、黑株共有160个？按4个红株，
8．3个白株，2个黑株的顺序排列着。
黑株共有几个？第101个株子是什么颜色？
9．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年号。
如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？
10．科学家进行一项试验，每隔6小时做一次记录。
第10次记录时，挂钟的时针恰好指向7，问：做第几一次记录时，时针指向几？
11．12415表示15个124连乘，所得积的末位数字是几？
12．下面是一个11位数，每三个相邻数字之和都是15，你知道问好表示的数字是几吗？这个11位数水多少？。
(完整版)小学奥数周期问题教师版
第十四讲 : 周期问题知识点说明周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特点有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决相关周期性问题的重点是确立循环周期.分类： 1 ．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年代日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：第一要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依照；其次要确立解题的打破口。
主要方法有察看法、逆推法、经验法等。
主要问题有年代日、礼拜几问题等。
⑴察看、逆推等方法找规律，找出周期．确立周期后，用总量除以周期，假如正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；比如： 1，2，1，2， 1，2，那么第 18个数是多少？这个数列的周期是 2 ，182 9 ，所以第18 个数是 2．⑵假如比整数个周期多n 个，那么为下个周期里的第n 个；比如： 1，2，3，1， 2，3， 1 ， 2 ， 3 ，那么第 16 个数是多少？这个数列的周期是 3 ，163 5 1，所以第16个数是1．⑶假如不是从第一个开始循环，能够从总量里减掉不是循环的个数后，再连续算．比如： 1，2，3，2， 3，2，3，那么第 16 个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是2， (16 1) 2 7 1 ，所以第16 个数是 2．板块一、图形中的周期问题【例 1】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下边的规律摆列：●●○●●○●●○你知道它们所摆列的这些小球中，第90 个是什么球？第100 个又是什么球呢？【分析】认真察看图中球的摆列，不难发现球的摆列规律是： 2 个黑球， 1 个白球； 2 个黑球， 1 个白球；也就是按“ 2 个黑球， 1 个白球”的次序循环出现，所以，这道题的周期为3（ 2 个黑球， 1 个白球）．再看看90、100 里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，假如有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90 330 ，正好有30个周期，第90 个是白球．100 3 331，有 33 个周期还多 1 个，所以，第100 个是黑球．【稳固】美美有黑珠、白珠共 102 个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下边的次序摆列的：○●○○○●○○○●○○○那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这类颜色的珠子数目不够，你能帮她算出这类颜色在这串珠子中共有多少个吗？【分析】察看能够发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白” 4 个珠子构成一组，而且不停重复出现的．我们先算出102 个珠子能够这样摆列成多少组，还余多少．我们能够依据摆列周期判断出最后一个珠子的颜色，还能够求出有多少个这样的珠子．因为102 4 25 2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有 1 个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有 25 1 26（个）【例 2】小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色摆列．⑴第 73颗是什么颜色的？⑵第 10颗黄珠子是重新起第几颗？⑶第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间（不包含这两颗红珠子）共有几颗珠子？【分析】⑴ 这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的次序摆列，每一组有 5 颗．73 5 14( 组)3(颗 )，第 73颗是第 15 组的第 3 颗，所以是蓝色的．⑵第 10 颗黄珠子前面有完好的9 组，一共有 5 9 45(颗)珠子．第10 颗黄珠子是第l0 组的第 2颗，所以它是重新数的第47 颗．列式：59 2 45 2 47 (颗)⑶第 8 颗红珠子与第11 颗红珠子之间一共有14 颗珠子．第8 颗红珠子与第11 颗红珠子之间有完好的两组 (第 9、 10 组 )，共 l0 颗珠子，第8 颗红珠子后边还有 4 颗珠子，所以是14 颗．列式：5 2 4 10 4 14(颗)．【稳固】奥运会就要到了，京京特地做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你”挨次摆列，第28 个字是什么字？【分析】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复摆列，即 5 个字为一个周期．因为28 5 5 3，所以28个字里含有 5 个周期还多 3 个字，即第 28 个字就是所列一个周期中的第 3 个字，所以第28 个字是“欢”字．【稳固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后边都紧接着有 3 盏彩灯．那么第 73 盏灯是什么颜色的灯？【分析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号挨次是：1，5，9，13，，这些编号被 4 除所得的余数都是1．73 4 18 1，即73被4除的余数是1，所以第73 盏灯是白灯．【例 3】节日的夜景真美丽，街上的彩灯依照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 1 盏黄灯，而后又是5盏红灯、 4 盏蓝灯、 1 盏黄灯、这样排下去．问：⑴第 150 盏灯是什么颜色？⑵前 200 盏彩灯中有多少盏蓝灯？【分析】⑴街上的彩灯依照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 1 盏黄灯，这样一个周期变化的，实质上一个周期就是 5 4 1 10（盏）灯．150(5 4 1) 15 ，150 盏灯恰巧15 个周期，所以第150 盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．⑵假如是200 盏灯，就是200 (5 4 1) 20 的周期．每个周期都有 4 盏蓝灯，20480 （盏）前 200 盏彩灯中有80 盏蓝灯．【稳固】在一根绳索上挨次穿 2 个红珠、 2 个白珠、 5 个黑珠，并按此方式频频，假如重新开始数，直到第 50 颗，那么此中白珠有多少颗？【分析】 50 (2 2 5) 5 5．5 2 2 12（个）．【稳固】小莉把平常积蓄下来的200 枚硬币按 3 个 1 分， 2 个 2 分， 1 个 5 分的次序摆列起来．⑴最后 1 枚是几分硬币⑵这 200 枚硬币一共价值多少钱？【分析】⑴每个周期有 3 2 1 6 枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，依据余数来判断200 6 332，所以最后一枚是 1 分硬币⑵每个周期中 6 枚硬币共价值 1 3 2 2 1 512（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，就能够获得一共价值多少了12 33 2 398 （分），所以，这200 枚硬币一共价值398 分．【稳固】桌子上摆了好多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的序次摆列，一共19 枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？【分析】19631,622,所以 ,第 19 枚硬币是一角的 ,第 14 枚硬币是五角的．14【稳固】有249朵花，按 5 朵红花， 9 朵黄花， 13 朵绿花的次序轮番摆列，最后一朵是什么颜色的花？这 249 朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？【分析】这些花按 5 红、 9 黄、 13 绿的次序轮番摆列，它的一个周期内有 5 9 13 27 （朵）花．因为249 27 96，所以，这249 朵花中含有9 个周期还余下 6 朵花．按花的摆列规律，这 6 朵花中前 5 朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法：（方法 1） 249 (5913)96红花有：595（朵）绿花有：139（朵）红花比绿花少：11750（朵）5011767（方法 2） 249 (5913)96，一个周期少的：13 58（朵），9 872 （朵），余下的6朵中还有 5 朵红花，所以72 5 67（朵） .【例 4】以下图，每列上、下两个字（字母）构成一组，比如，第一组是“我， A ”，第二组是“们，B ”我们爱科学我们爱科学我A B C D E F G A B C D⑴写出第62 组是什么？⑵假如“爱， C ”代表1991年，那么“科， D ”代表1992年问2008年对应如何的组？【分析】（ 1）要求第62 组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上边一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下边一行则是以“ABCDEFG ”七个字母为一个周期62 5 12 2 ,627 86，所以第62组是“们， F ”⑵ 2008 是 1991 以后的第17 组，此刻上边一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下边一行则按“ DEFGABC ”七个字母为一个周期：2008 1991 17 （组）， 17 5 3217 7 2 3 ，所以 2008 年对应的组为“学， F ”．【稳固】在图所示的表中，将每列上、下两个字构成一组，比如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第 50 组是什么？新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会【分析】要知道第50 组是哪两个数，我们第一要弄清楚第一行和第二行的第50 个字分别应当是什么．第82，第50 个字就是北．再看第二行“奥林一行“新北京新奥运”是 6 个字一个周期，506匹克运动会” 是7 个字一个周期，50 771，第50 个字就是奥．把第一行和第二行合在一同，第 50 组就是“北奥”．【例5】如右图，是一片刚才收割过的稻田，每个小正方形的边长是1 米，A、B、C 三点四周的暗影部分是圆形的水洼。
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第十四讲:周期问题知识点说明周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类： 1．图形中的周期问题；2.数列中的周期问题；3.年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。
主要方法有观察法、逆推法、经验法等。
主要问题有年月日、星期几问题等。
⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，…那么第 18 个数是多少？这个数列的周期是 2，18 ÷ 2 = 9 ，所以第 18 个数是 2．⑵如果比整数个周期多n 个，那么为下个周期里的第n 个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第 16 个数是多少？这个数列的周期是 3，16 ÷ 3 = 5 ⋅⋅⋅1，所以第 16 个数是 1．⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第 16 个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是 2，(16 - 1) ÷ 2 = 7 ⋅⋅⋅1 ，所以第 16 个数是 2．板块一、图形中的周期问题【例1】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：●●○●●○●●○…你知道它们所排列的这些小球中，第90 个是什么球？第100 个又是什么球呢？【解析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2 个黑球，1 个白球；2 个黑球，1 个白球；……也就是按“2 个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2 个黑球，1个白球）．再看看90、100 里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90 ÷ 3 = 30 ，正好有30 个周期，第90 个是白球．100 ÷ 3 = 33 …1，有33 个周期还多1 个，所以，第100 个是黑球．【巩固】美美有黑珠、白珠共102 个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：○●○○○●○○○●○○○……那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？【解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4 个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102 个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为102 ÷ 4 = 25 …2，所以最后一个珠子是第26 个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1 个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25 + 1 = 26 （个）【例2】小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．⑴第73 颗是什么颜色的？⑵第10 颗黄珠子是从头起第几颗？⑶第8 颗红珠子与第11 颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？【解析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5 颗．73 ÷ 5 = 14 (组)……3(颗)，第73 颗是第15 组的第 3 颗，所以是蓝色的．⑵第10 颗黄珠子前面有完整的9 组，一共有5 ⨯ 9 = 45 (颗)珠子．第10 颗黄珠子是第l0 组的第2颗，所以它是从头数的第47 颗．列式：5 ⨯ 9 + 2 = 45 + 2 = 47 (颗)⑶第8 颗红珠子与第11 颗红珠子之间一共有14 颗珠子．第8 颗红珠子与第11 颗红珠子之间有完整的两组(第9、10 组)，共l0 颗珠子，第8 颗红珠子后面还有4 颗珠子，所以是14 颗．列式：5 ⨯ 2 + 4 = 10 + 4 = 14 (颗)．【巩固】奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28 个字是什么字？【解析】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5 个字为一个周期．因为28 ÷ 5 = 5 …3，所以28 个字里含有5 个周期还多3 个字，即第28 个字就是所列一个周期中的第3 个字，所以第28 个字是“欢”字．【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3 盏彩灯．那么第73 盏灯是什么颜色的灯？【解析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，……，这些编号被4 除所得的余数都是1．73 = 4 ⨯18 + 1 ，即73 被4 除的余数是1，因此第73 盏灯是白灯．【例3】节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5 盏红灯、再接4 盏蓝灯、再接1 盏黄灯，然后又是5 盏红灯、4 盏蓝灯、1 盏黄灯、……这样排下去．问：⑴第150 盏灯是什么颜色？⑵前200 盏彩灯中有多少盏蓝灯？【解析】⑴街上的彩灯按照5 盏红灯、再接4 盏蓝灯、再接1 盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是5 + 4 +1=10 （盏）灯．150 ÷ (5 + 4 +1) =15 ，150 盏灯刚好15 个周期，所以第150 盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．⑵如果是200 盏灯，就是200 ÷ (5 + 4 + 1) = 20 的周期．每个周期都有 4 盏蓝灯，20 ⨯ 4 = 80 （盏）前200 盏彩灯中有80 盏蓝灯．【巩固】在一根绳子上依次穿2 个红珠、2 个白珠、5 个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50 颗，那么其中白珠有多少颗？【解析】50 ÷ (2 + 2 + 5) = 5 …5．5 ⨯ 2 + 2 = 12 （个）．【巩固】小莉把平时积存下来的200 枚硬币按3 个1 分，2 个2 分，1 个5 分的顺序排列起来．⑴最后1 枚是几分硬币⑵这200 枚硬币一共价值多少钱？【解析】⑴每个周期有3 + 2 + 1 = 6 枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断200 ÷ 6 = 33 ……2，所以最后一枚是1 分硬币⑵每个周期中6 枚硬币共价值1⨯3+2⨯2+1⨯5=12（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了12 ⨯ 33 + 2 = 398 （分），所以，这200 枚硬币一共价值398 分．【巩固】桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19 枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？【解析】19 ÷ 6 = 3 …1,14 ÷ 6 = 2 …2,所以,第19 枚硬币是一角的,第14 枚硬币是五角的．【巩固】有249 朵花，按5 朵红花，9 朵黄花，13 朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249 朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？【解析】这些花按5 红、9 黄、13 绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5 + 9 + 13 = 27 （朵）花．因为249 ÷ 27 = 9 ……6，所以，这249 朵花中含有9 个周期还余下6 朵花．按花的排列规律，这6 朵花中前5 朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法：（方法1）249 ÷ (5 + 9 + 13) = 9 (6)红花有：5 ⨯ 9 + 5 = 50 （朵）绿花有：13 ⨯ 9 = 117 （朵）红花比绿花少：117 - 50 = 67 （朵）（方法2）249 ÷ (5 + 9 +13) = 9 ……6，一个周期少的：13-5=8（朵），9⨯8=72（朵），余下的6 朵中还有 5 朵红花，所以72 - 5 = 67 （朵）.【例4】如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A ”，第二组是“们，⑵如果“爱，C ”代表1991 年，那么“科，D ”代表1992 年……问2008 年对应怎样的组？【解析】（1）要求第62 组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ ABCDEFG ”七个字母为一个周期62 ÷ 5 = 12 ……2 , 62 ÷ 7 = 8 ……6，所以第62 组是“们，F ”⑵2008 是1991 之后的第17 组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“ DEFGABC ” 七个字母为一个周期：2008 - 1991 = 17 （组），17 ÷ 5 = 3 (2)17 ÷ 7 = 2 ……3，所以 2008 年对应的组为“学，F ”．【巩固】在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第50 组是什么？新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……【解析】要知道第50 组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50 个字分别应该是什么．第一行“新北京新奥运”是6 个字一个周期，50 ÷ 6 = 8 …2，第50 个字就是北．再看第二行“奥林匹克运动会”是7 个字一个周期，50 ÷ 7 = 7 …1，第50 个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第50 组就是“北奥”．【例5】如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1 米，A、B、C 三点周围的阴影部分是圆形的水洼。
一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0 号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于 A 点对称的 1 号位；不久，它又飞到关于 B 点对称的 2 号位；接着，它飞到关于 C 点对称的 3 号位，再飞到关于 A 点对称的 4 号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。
由此推断，2004 号位和 0 号位之间的距离是多少米？【解析】0 米。
根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到 0 号位置！2004 是4 的倍数，所以第 2004 号位和 0 号位之间的距离是 0 米。
板块二、数列中的周期问题【例6】小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…你知道他写的第81 个数是多少吗？你能求出这81 个数相加的和是多少吗？【解析】⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3 依次重复排列，那么每个周期就有5 个数．81 个数则是16 个周期还多1 个，第1 个数是7，所以第81 个数是7，81 ÷ 5 = 16 (1)⑵每个周期各个数之和是：7 + 0 + 2 + 5 + 3 = 17 ．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．17 ⨯16 + 7 = 279 ，所以，这81 个数相加的和是279．【巩固】根据下面一组数列的规律求出 51 是第几个数？1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……【解析】观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，0～4 共五个数，则可列式为：5×9＋1=46，即 51 为第 46 个数。