中考数学教案 正多边形和圆
正多边形和圆_九年级数学教案_模板
正多边形和圆_九年级数学教案_模板教学设计示例1教学目标：（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．教学重点：正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．教学难点：对定理的理解以及定理的证明方法．教学活动设计：（一）观察、分析、归纳：观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．教师组织学生进行，并可以提问学生问题．（二）正多边形的概念：（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．（2）概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．（三）分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？（四）多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．我们以n=5的情况进行证明．已知：⊙O中，= = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．证明：（略）引导学生分析、归纳证明思路：弧相等说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．（五）初步应用P157练习1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?2．求证：正五边形的对角线相等．3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．（六）小结：知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力（七）作业教材P172习题A组2、3．教学设计示例2教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理；（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．教学活动设计：（一）提出问题：问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？（二）实践与探究：组织学生自己完成以下活动．实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．) （2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？（三）拓展、推理、归纳：（1）拓展、推理：过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．同理，点E在⊙O上．所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．（2）归纳：正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．正五边形的各顶点共圆．正五边形有外接圆．圆心到各边的距离相等．正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于．（3）巩固练习：1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．（四）正多边形的性质：1、各边都相等．2、各角都相等．观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．（五）总结知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．能力：探索、推理、归纳等能力．方法：证明点共圆的方法．（六）作业P159中练习1、2、3．教学设计示例3教学目标：（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．教学重点：综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．教学难点：综合运用知识证题．教学活动设计：（一）知识回顾1．什么叫做正多边形？2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4．正n边形的每个中心角都等于．5．正多边形的有关的定理．（二）例题研究：例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．求证：五边形ABCDE是正五边形．分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．教师引导学生分析，学生动手证明．证法1：连结OA、OB、OC，∵五边形ABCDE外切于⊙O．∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．∴∠BAO=∠OCB．又∵OB=OB∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．∴五边形ABCDE是正五边形．证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．∠B=∠C ∠1=∠2 = ．同理= = = ，即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。
24.3 正多边形和圆教学设计
24.3 正多边形和圆正多边形和圆是在学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识后的内容，是前一阶段知识的运用和提高．正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的特性．研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础．本课时注意培养学生观察、猜想、推理和迁移的能力以及具体到抽象，亲身体验知识的发生与发展的过程．利用正多边形和圆的位置关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想．【情景导入】(1)我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750≈3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧？【说明与建议】 说明：通过对“割圆术”的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能让学生对古代数学的伟大成就有所了解，增强爱国热情．建议：研究正多边形和圆的时候，可以让学生回顾在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等这两个结论．【复习导入】(1)观察下图中的等边三角形、正方形、正五边形、正六边形，你能说出这些图形的各自特征吗？(2)回顾：等边三角形和正方形的边、角各有什么性质？ (3)正多边形的定义是什么？正多边形和圆有什么关系？【说明与建议】 说明：通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．建议：为了明确正多边形的概念，可以请同学们举自己在日常生活中见过的正多边形的例子(正三角形、正方形、正六边形……)．命题角度1 与正多边形有关的计算1．(河池中考)如图，在正六边形ABCDEF 中，AC ＝23，则它的边长是(D)A ．1B. 2C. 3D ．22．(广元中考)如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是AE ︵的一点，则∠CPD 的度数是(B)A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°3．(德阳中考)已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是(B) A ．2B ．1C. 3D.324．(广州中考)已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C) A ．3 3B ．9 3C ．18 3D ．36 3命题角度2 画正多边形5．(兰州中考)如图，已知⊙O ，用尺规作⊙O 的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：如图所示，四边形ABCD 即为所求作．关于圆周率π我们知道，圆的周长C ＝2πR.但是，你知道公式中的π值是怎样算出来的吗？实际上π＝C2R ，式中圆的周长C 是可以用圆内接正多边形的周长p n 来近似代替的．如图，当圆内接正n 边形的边数不断地成倍增大时，它的周长p n 就不断地增大，并会越来越接近于圆的周长C ，于是p n 2R 的值越来越接近C2R的值．如果半径为R 的圆内接正n 边形的边长为a n ，可以求得它的内接正2n 边形的边长这个公式叫倍边公式，利用它就可以算出半径为R 的圆内接正2n 、4n 、8n 、…边形的边长，进而可计算p 2n 2R 、p 4n 2R 、p 8n 2R 、…，这些值就越来越接近于圆的周长与直径的比值C2R ，这个数就是圆周率π.π的精确值是一个无限不循环小数，就是说，π是一个无理数．π＝3.141 592 653 589 793…，应用时根据实际需要，取π的近似值．我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750＝3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，是当时世界上最先进的成就．现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．下表是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．由于C2R＝π，所以C ＝2πR.另外，根据正n 边形的面积S n ＝12r n p n ，当边数n 无限增大时，r n 趋近于R ，p n 趋近于C ，所以圆的面积S ＝12RC ＝12R ·2πR ＝πR 2.我国许多数学家对圆周率的研究做出过很大贡献．在公元前一世纪的《周髀算经》里，已谈到“周三径一”，称之为古率．西汉末年，刘歆定圆周率为3.1547，后人称做歆率．三国时魏刘徽(公元263年)，始创“割圆求周”的方法，他从圆内接正六边形算起，算到正192边形，他取3.14或15750作为圆周率，我们称3.14为徽率．到南朝祖冲之(公元429～500年)求得圆周率在3.141 592 6～3.141 592 7之间，把π＝355113叫做密率，π＝227叫做约率，后人称之为祖率，他所得的结果，精确到了七位小数，在当时世界上是最好的结果．【探究新知】问题1：针对【课堂引入】的问题进行探究．师生活动：教师演示作图，并引导学生从正多边形的定义入手来证明，让学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程． 教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程： 如图，∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，BAD ︵＝CAE ︵＝3AB ︵. ∴∠C ＝∠D.同理可证：∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ， ∴五边形ABCDE 是正五边形． ∵点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上， ∴五边形ABCDE 是圆内接正五边形．问题2：如果将圆n 等分，依次连接各等分点得到一个n 边形，这个n 边形一定是正n 边形吗？师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回答进行总结．教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n 边形．问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？请说明理由．师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解.活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念(如图)．教师提出问题：(1)正多边形的中心角怎么计算？(2)边长a ，半径R ，边心距r 之间有什么关系？ (3)正多边形的面积如何计算？师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论： 正n 边形的中心角等于360°n ，边长a ，半径R 和边心距r 的关系为(a 2)2＋r 2＝R 2. 活动二：提出问题：如何把一个圆n 等分呢？师生活动：学生小组内讨论，如果把360°的圆心角n 等分，那么弧也被n 等分，即可得到正多边形． 教师引导分析：①正方形的中心角为90°，说明相邻两条半径互相垂直；②正六边形的中心角为60°，说明相邻半径和边构成的三角形是等边三角形.面积．例2 利用手中的工具求作一个边长为3 cm 的正六边形．师生活动：学生先独立解决问题，然后小组内讨论，教师鼓励学生勇于探索实践，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．图1 图2解：方法一：如图1，以3 cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于360°÷6＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，即可得到正六边形． 方法二：如图2，以 3 cm 为半径作一个⊙O ，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取长度等于3 cm 的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各等分点即可． 【变式训练】在半径为2 cm 的圆上，用量角器作出它的圆内接正七边形． 解：(1)作⊙O ，使r ＝2 cm ； (2)计算360°7≈51.4°；(3)用量角器在圆上画一个∠AOB ＝51.4°； (4)在圆上依次截取BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝FG ︵＝GA ︵＝AB ︵；(5)依次连接AB ，BC ，…，GA ，则七边形ABCDEFG 为所作正七边形.4．如图，正方形的边长为1 dm ，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积．解：设正八边形的边长为x ，则被剪掉小直角三角形的直角边为22x ， 由题意，得x ＋2·22x ＝1， 解得x ＝2－1.所以小直角三角形的直角边为22(2－1)＝1－22. 所以正八边形的面积为12－4×12×(1－22)2＝1－2×(32－2)＝22－2.答：这个正八边形的边长为(2－1)dm ，面积为(22－2)dm 2.。
九年级数学下册《正多边形与圆》教案、教学设计
2.强调正多边形在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
-总结：“通过今天的学习，我们知道了正多边形与圆之间有很多有趣的关系。这些知识不仅可以解决数学问题，还可以应用于我们的日常生活。”
3.鼓励学生继续探索正多边形与圆的奥秘，为下一节课的学习打下基础。
4.培养学生的空间想象能力，通过观察正多边形与圆的关系，提高学生的图形感知能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，采用以下方法与过程：
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现并提出问题，激发学生的学习兴趣。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在自主探究、合作学习中发现正多边形的性质，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将通过以下步骤帮助学生掌握正多边形与圆的关系：
1.通过动态演示，引导学生观察正多边形与圆的相互关系，发现正多边形的半径、边长、中心角之间的关系。
-解释：“正多边形的每个内角都相等，外角也相等。当我们把正多边形的外接圆画出来时，可以发现圆的半径与正多边形的边长有一定的关系。”
-设计与生活相关的题目，如城市规划中的正多边形地砖铺设，让学生在解决问题的过程中应用所学知识。
4.设计分层练习，针对不同水平的学生提供不同难度的题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-基础题：主要针对正多边形的基本性质和简单计算。
-提高题：涉及正多边形与圆的综合应用，以及解决实际问题的能力。
5.开展课堂讨论和分享，鼓励学生表达自己的思考过程和解题策略，促进知识的内化和深化。
3.培养学生的审美情趣，让学生感受正多边形与圆的和谐美，激发学生对美的追求。
九年级数学上册24.3正多边形和圆(教案)
九年级数学上册24.3 正多边形和圆【知识与技术】认识正多边形和圆的关系，认识正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等观点 .会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题 .会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形 .【过程与方法】联合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，而后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题 .【感情态度】学生经历察看、发现、研究等数学活动，感觉到数学根源于生活、又服务于生活，表现事物之间是互相联系，互相作用的 .【教课要点】正多边形与圆的有关观点及其之间的运算.【教课难点】研究正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系 .一、情境导入，初步认识察看这些漂亮的图案，都是在平时生活中，我们常常能看到的利用正多边形获得的物体 .（1）你能从图案中找出多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？如何就能作出一个正多边形来？【教课说明】学生经过察看漂亮的图案，赏识生活中正多边形形状的物体 . 让学生感觉到数学根源于生活，并从中感觉到数学美 .问题（ 2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生踊跃研究、研究的热忱，并存心将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思虑研究，获得新知1.正多边形和圆的关系问题 1 将一个圆分红 5 等份，挨次连结各分点获得一个五边形，这五边形必定是正五边形吗？假如是，请你证明这个结论 .教师指引学生依据题意绘图，并写出已知和求证.已知：如图，在⊙ O 中，A 、B、C、D、E 是⊙ O 的五均分点 .挨次连结ABCDE 形成五边形 .问：五边形 ABCDE 是正五边形吗？假如是，请证明你的结论.答案：五边形 ABCDE 是正五边形 .证明：在⊙ O 中，∵AB BC CD DE EA ，∴AB=BC=CD=DE=EA，BCE C DA 3AB ，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE 是正五边形 .【教课说明】教师指引学生从正多边形的定义下手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；指引学生察看、剖析，教师率领学生达成证明过程.问题 2 假如将圆 n 均分，挨次连结各分点获得一个 n 边形，这个 n 边形必定是正 n 边形吗？答案：这个 n 边形必定是正 n 边形 .【教课说明】在这个问题中，教师要点关注学生能否会模仿证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n 边形 .从问题 1 到问题 2 是将结论由特别推行到一般，这切合学生的认知规律，并教育学生一种研究问题的方法，由特别到一般.问题 3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？假如是，说明原因；假如不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等 .各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形 .【教课说明】问题 3 的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判断圆内接多边形是正多边形，一定知足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不行 . 同时教会学生学会举反例.培育学生思想的批评性 .2.正多边形的有关观点综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等观点.正 n 边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°（ n-2）n3.正多边形和圆有关的计算问题4m 的正六边形，例 1（课本 106 页例题）有一个亭子，它的地基是半径为求地基的周长和面积（结果保存小数点后一位）.剖析：依据题意作图，将实质问题转变为数学识题.解：如图 .∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠ BOC=360°/6=60° .∴△ BOC 是等边三角形 .∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4× 6=24（ m）.过 O 点作 OP⊥ BC，垂足为 P.在 Rt△OCP 中， OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教课说明】例 1 是让学生认识有关正多边形的观点后，掌握正多边形的计算 .同时，经过例 1 指引学生将实质问题转变为数学识题，将多边形化归为三角形来解决 .例 2 经过网格来表现问题，在解决例 2 时，教师指导学生用数形联合的方法来解决问题，加深对有关观点的理解 .4.画正多边形画正多边形，往常是经过均分圆周的方法来画的.均分圆周有两种方式：（1）用量角器均分圆周 .方法一：因为在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，所以作相等的圆心角能够均分圆 .方法二：先用量角器画一个等于 360° /n 的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的 1/n，而后在圆上挨次截取这条弧的等弧，就获得圆的几均分点 .【教课说明】这两种方法能够随意均分圆，但不行防止地存在偏差.（2）用尺规均分圆正方形的作法 :如图（ 1)在⊙ O 中，尺规作两条垂直的直径，把⊙ O 四均分，进而作出正方形 ABCD. 再逐次均分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图（2）随意作一条直径AB ，再分别以 A、 B为圆心，以⊙ O 的半径为半径作弧，与⊙ O 交于 C、D 和 E、F，则 A 、C、 E、B、F、D 为⊙ O 的六均分点，按序连结各均分点，获得正六边形 ACEBFD.方法二：如图（ 3）因为正六边形的半径等于边长.所以在圆上挨次截取等于半径的弦，就将圆六均分，按序连结各均分点即可获得正六边形.【教课说明】尺规作图法是一种比较正确的均分圆的方法，但有较大的限制性，它不可以将圆随意均分.三、运用新知，深入理解1.如图，圆内接正五边形 ABCDE ，对角线 AC 与 BD 订交于点 P，则∠ APB的度数为 _______.2.边长为 2/π的正方形的内切圆与外接圆所构成的圆环的面积为_____.3.假如一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点 M 、N 分别是⊙ O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD ，正五边形 ABCDE ，正 n 边形的边 AB、BC 上的点，且 BM=CN ，连结 OM 、ON.（1）求图 1 中的∠ MON 的度数；（2）在图 2 中，∠ MON 的度数为 _____，在图 3 中，∠MON 的度数为 _____；（3）尝试究∠ MON 的度数与正 n 边形边数 n 之间的关系 .（直接写出答案）【教课说明】题 1、2 可由学生自主研究达成，题3、4 可先让学生思虑，然后教师加以提示，最后共同解答.达成教材第 106 页、 108 页的练习 .【答案】°4.解：（ 1）连结OB 、 OC. ∵正三角形ABC内接于⊙ O，∴∠ OBM=∠OCN=30°，∠ BOC=120°.又∵ BM=CN ，OB=OC，∴△ BOM ≌△ CON，∠BOM= ∠CON，∴∠ MON= ∠BOC=120°.(2)90° 72°(解法与（ 1）同样 )(3)∠ MON=360° /n.四、师生互动，讲堂小结经过这节课的学习，你知道正多边形和圆有如何的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等观点吗？你能画出正多边形吗？【教课说明】教师先提出问题，而后让学生自主思虑并回首，教师再予以增补和评论 .1.部署作业：从教材“习题”中选用 .2.达成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课第一从复习正多边形的定义下手，经过创建问题情境，将正多边形与圆密切联系，让学生发现它们之间的亲密关系，并将结论由特别推行到一般，切合学生的认识规律，经过学习正多边形中的一些基本观点，指引学生将实质问题转变为数学识题，表现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这能够发展学生的作图能力.2.均分圆周法是一种作正多边形的常有方法，经过作简单的正三角形、正方形、正六边形，向来推行到作正八边形的状况，能够向学生灌注极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的观点，它从数目上描绘变量在变化过程中的变化趋向，在高中数学中，极限思想浸透到函数、数列等章节，又连接高等数学，起着承前启后的作用 .。
中考数学教案正多边形和圆
中考数学教案正多边形和圆1．了解正多边形和圆的有关概念．2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．3．会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．一、情境导入如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？二、合作探究探究点一：正多边形的有关概念和性质【类型一】求正多边形的中心角已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心为360°÷5＝72°.【类型二】正多边形的有关计算已知正六边形ABCDEF 的半径是R ，求正六边形的边长a 和面积S .解：作半径OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，则∠AOH ＝180°6＝30°，∴AH ＝12R ，∴a ＝2AH ＝R .由勾股定理可得：r 2＝R 2－(12R )2，∴r ＝32R ，∴S ＝12·a ·r ×6＝12·R ·32R ·6＝332R 2. 方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关计算．【类型三】圆的内接正多边形的探究题如图所示，图①，②，③，…，，M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM ，ON .(1)求图①中∠MON 的度数；(2)图②中∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________； (3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系．(直接写出答案)解：图①中，连接OB ，OC .∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°.又∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°，而BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°；(2)90° 72°；(3)∠MON ＝360°n.探究点二：作圆的内接正多边形如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°； (2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．三、板书设计教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.。
(名师整理)最新中考数学专题复习《正多边形与圆的位置关系》精品教案
中考数学人教版专题复习：正多边形与圆的位置关系一、教学内容正多边形和圆1.正多边形的有关概念.2.正多边形和圆的关系.3.正多边形的有关计算.二、知识要点1.正多边形的定义各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如正三角形（即等边三角形）、正四边形（即正方形）、正五边形、正六边形、正n边形等.2.正多边形与圆的关系（1）从圆的角度看：等分圆周可获得正多边形，把圆分成n（n≥3）等份.①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.（2）从正多边形的角度看：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.13.正多边形的有关概念（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心.（2）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.（3）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离（即正多边形的内切圆的半径）.（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.正多边形的每一个中心角的度数是360°n.ORB1A1B2A2B3A3Cr4.正n边形的对称性当n为奇数时，正n边形只是轴对称图形；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.5.一些特殊正多边形的计算公式边数n内角A n中心角αn半径R 边长a n边心距r n周长P n面积S n360°120°R3R12R 33R343R2490°90°R2R22R42R 2R26120°60°R R32R6R323R22三、重点难点重点是正多边形的概念和计算，难点是正确理解正多边形和圆的关系.【典型例题】例1.如图所示，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________.线段正三角形正方形正五边形正六边形（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（3）（5）评析：因正方形、正六边形的边数为偶数，所以线段、正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.例2.（1）如果一个正多边形的中心角为24°，那么它的边数是__________.（2）正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于__________，中心角是__________.分析：利用正多边形的内角和及中心角的计算公式求解.（1）依题意得360°n＝24°，∴n＝15.（2）n×45°＝360°，∴n＝8.由内角和公式得（8－2）·180°＝1080°，∴中心角为360°8＝45°.解：（1）15，（2）1080°，45°.例3.如图所示，小明同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴在一个圆形纸片上.若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，求该圆的半径.34A BCOD分析：由题意知这个三角形是圆的内接正三角形.解：如图所示，连结OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，则正△ABC 的中心角＝360°3＝120°，∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBD ＝90°－∠BOD ＝30°，∴OD ＝12BO .又BD ＝12BC ＝12×12＝6（cm ），∴OB 2－OD 2＝62，即OB 2－（12OB ）2＝62， ∴OB ＝43cm .评析：把实际问题转化为正三角形的外接圆的问题是解题的关键.例4. 已知圆内接正方形的面积为8，求同圆内接正六边形的面积.分析：解决问题的关键是“同圆”，通过圆的半径可以把正方形的条件转化为正六边形的条件，从而解决问题.解：由正方形的面积为8，可知正方形的边长为22，设该圆半径为R ，正六边形的边长和边心距分别为a 6和r 6. 则2R ＝4，a 6＝R ，r 6＝32·a 6.∴S 6＝6×12a 6·r 6＝6×12×2×32×2＝63.例5. 用折纸的方法，可直接剪出一个正五边形（如图所示）方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等份的线折叠，再沿CD 剪5开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD 等于（ ）A . 108°B . 90°C . 72°D . 60°AB ABOOCD分析：本题考查学生的动手能力和灵活运用所学知识的能力，这里的O 点是所剪正五边形的中心，由题可知∠COD ＝36°，所以剪得的三角形正好是五边形一边和两条半径所构成的三角形的一半，所以∠OCD ＝90°. 解：B例6. 如图（1）、（2）、（3）、…、（n ），M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON .（1）求图（1）中∠MON 的度数；（2）图（2）中∠MON 的度数是__________，图（3）中∠MON 的度数是__________； （3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.分析：（1）连接OB 、OC ，注意△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝120°. （2）同理，由△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝90°. （3）由（1）（2）知，∠MON ＝∠BOC ，即∠MON ＝∠BOC ＝90°.A BCO M N A B C DOM N BC D E O MN ABOM…(1)(2)(3)(n )A解：（1）方法一：连接OB 、OC ，∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120° 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，6∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA 、OB ，∵正△ABC 内接于⊙O . AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. 又∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN ， 又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. （2）图（2）中，∠MON ＝360°4＝90°，图（3）中，∠MON ＝360°5＝72°. （3）图（n ）中，∠MON ＝360°n .评析：（1）△OBM 与△O CN 是旋转全等三角形. 图（1）中△OCN 绕点O 顺时针旋转120°，与△OBM 重合；图（2）旋转90°，图（3）旋转72°……. （2）注意由特殊到一般的思想，归纳出∠MON ＝360°n .【方法总结】1. 正n 边形的中心角为360°n ，与正n 边形的一个外角相等，与正n 边形的一个内角互补. 求中心角常用以上方法.2. 正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系式为R 2＝r 2＋（12a ）2，这是把正n 边形分成了2n 个全等的直角三角形，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题.【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题1. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 62.下列命题中正确的是（）A.正多边形都是中心对称图形B.正多边形一个内角的大小与边数成正比C.正多边形一个外角的大小随边数的增加而减小D.边数大于3的正多边形对角线都相等3.一个正多边形的中心角是36°，则其一定是（）A.正五边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形4.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A.两角互余B.两角互补C.两角互余或互补D.不能确定5.圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）A. 2∶1B. 1∶2C.3∶4D.3∶26.下列命题中：①三边都相等的三角形是正三角形；②四边都相等的四边形是正四边形；③四角都相等的四边形是正四边形；④各边都相等的圆的内接多边形是正多边形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7.已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①︵AB＝︵BC＝︵CD＝︵DA；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.则在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正四边形的条件共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个**8. A点是半圆上一个三等分点，B点是︵AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）7M NA. 1B.22C. 2 D.3－1二、填空题1.用一张圆形的纸片剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小为__________cm.2.如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正__________边形.3.正十边形至少绕中心旋转__________度，它与原正十边形重合.4.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别为S3、S4、S6，则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是__________.5.正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是__________cm.*6.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形的大理石密铺，从里向外共铺了12层（不包括正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形.若正中央正六边形地砖的边长为0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是__________.三、解答题1.解答下列各题：89（1）分别求出正十边形、正十二边形的中心角.（2）已知一个正多边形的一个中心角为18°，求它的内角的度数. （3）正六边形的两条平行边间的距离为12cm ，求它的外接圆的半径.2. 如图所示，求中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，半径为4cm 的正六边形ABCDEF 的各个顶点坐标.3. 用一块半径R ＝60cm 的圆形木料，做“八仙桌”（正方形）桌面或“八角桌”（正八边形）桌面，哪个面积大？大多少？（结果保留三个有效数字）**4. 请阅读，完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：A A A BBB CCCD DO OOM M M NNN E图1图2图3…（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM ＝AN ，连接BN 、CM ，发现BN ＝CM ，且∠NOC ＝60°. 请证明：∠NOC ＝60°.（2）如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、DM ，那么AN ＝__________，且∠DON ＝__________度.（3）如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、EM ，那么AN ＝__________，且∠EON ＝__________度.（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________.1011【试题答案】一、选择题1. B2. C3. D4. B5. B6. B7. C8. C （解析：如图所示，作点B 关于直线MN 的对称点B ’，连结OB ’，PB ’，BB ’.M N二、填空题1. 42. 七3. 364. S 6＞S 4＞S 35. 26. 39米三、解答题1. （1）正十边形的中心角为360°10＝36°，正十二边形的中心角是360°12＝30°. （2）中心角为18°的正多边形的边数为36018＝20，正二十边形的内角为（20－2）·180°20＝162°. （3）由题意得r 6＝6（cm ），由于正六边形的边长与半径相等，∴R 2＝（12R ）2＋r 62，∴34R 2＝36，R ＝43（cm ）.2. A （－4，0）、B （－2，－23）、C （2，－23）、D （4，0）、E （2，23）、F （－2，23）3. “八仙桌”的面积为7200平方厘米，“八角桌”的面积为72002平方厘米，所以“八角桌”比“八仙桌”的面积大2980平方厘米.4. （1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，在△ABN 和△BCM 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠A ＝∠ABCAN ＝BM，∴△ABN ≌△BCM . ∴∠ABN ＝∠BCM . 又∵∠ABN ＋∠OBC ＝60°，∴∠BCM＋∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°.（2）在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°.（3）在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°.（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角（n－2）·180°n.12。
九年级数学《正多边形和圆》教学设计
29.5正多边形和圆—专题复习滦州三中张梦颖教学目标（一）知识与技能进一步理解正多边形的的概念及正多边形与圆的关系。
.（二）过程与方法经历探索正多边形的有关知识的过程，感受正多边形与圆的密切关系。
（三）情感、态度与价值观培养学生的探究意识和主动参与课堂学习的良好习惯，体会本节课内容的应用价值。
享受一题多解、一题多变的乐趣教学重点：进一步理解正多边形的的概念及正多边形与圆的关系。
.教学难点：运用正多边形的有关知识进行解题。
教学方法：启发诱导法教学过程：导入语：正多边形是近几年河北省中考的热门考点，我们这节课复习正多边形和圆。
一、知识梳理(一）正多边形的定义（学生口述）各边相等，各角相等的多边形叫正多边形。
(二）正多边形中的重要角（课件展示，教师板书）外角、内角、中心角及各角的求法。
(三）正多边形与圆的关系密不可分（课件展示，教师板书）半径---半径边—-弦中心角---圆心角二、闯关训练闯关一基础热身1.如图所示，在平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则度。
1题2题2如图，边长为的正六边形内有两个三角形（数据如图），则（）。
A 3B 4C 5D 6闯关二简单应用3.（2019滦州一模）连接正八边形的三个顶点,得到如图所示的图形,下列说法中正确的有( )个A ①△AFC是等边三角形B ②连接BF,则BF分别平分∠AFC和∠ABCC ③整个图形是轴对称图形,但不是中心对称图形D ④四边形AFGH与四边形CFED的面积相等A 1B 2C 3D 4学生口述，说理由，再问做错的同学为什么错？追问：∠AFC=_______度4.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM=BN，点O是正八边形的中心，则∠MON=________度．（学生独立完成）讲解重点：①连接半径构造全等②由特殊到一般推广到正n边形闯关三拓展应用5..用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，（1）思考：用m个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正n边形，直接写出m、n的值。
九年级数学正多边形与圆教案
教案：正多边形与圆一、教学目标:1.知识与技能：了解正多边形的定义和性质，掌握计算正多边形的内角和外角的方法。
了解圆的定义和性质，掌握计算圆的周长和面积的方法。
2.过程与方法：通过让学生观察、归纳和分析，培养他们的逻辑思维和数学推理能力。
3.情感、态度和价值观：培养学生对数学的兴趣和热爱，激发他们的创造力和思维能力。
二、教学重难点:1.正多边形的定义与性质2.圆的定义与性质三、教学过程:1.正多边形的定义与性质1.1导入新知：教师以图片展示不同的多边形，引导学生观察、分析和归纳，了解正多边形的特点。
1.2引入新知：教师给出正多边形的定义，并解释其中的相关概念：边、顶点、内角、外角等。
1.3学生探究：学生利用教师提供的直尺和量角器，自行绘制正三边形、正四边形、正五边形等，并测量和计算多边形的内角和外角。
1.4解决问题：教师给出一道与正多边形相关的问题，要求学生分析并解答。
例如：一个正多边形的内角和为1080°，那么这个多边形有几条边？2.圆的定义与性质2.1导入新知：教师以实物展示不同的圆形物体，引导学生观察、分析和归纳，了解圆的特点。
2.2引入新知：教师给出圆的定义，并解释其中的相关概念：圆心、半径、直径、弧、弦等。
2.3学生探究：学生利用教师提供的圆规、直尺等工具，自行绘制圆，并测量和计算圆的周长和面积。
2.4 解决问题：教师给出一道与圆相关的问题，要求学生分析并解答。
例如：一个圆的半径为5cm，那么这个圆的周长和面积分别是多少？四、教学资源:1.图片、实物：用于展示正多边形和圆形物体。
2.工具：直尺、量角器、圆规、直尺等。
五、教学评价:1.课堂练习：通过课堂练习，检测学生对正多边形与圆的理解程度。
2.小组合作：让学生分成小组进行讨论和解决问题，培养他们的合作意识和团队精神。
3.个人作业：通过个人作业，巩固学生对正多边形与圆的知识掌握程度。
4.教学反馈：通过课后讲解和解答学生提出的问题，及时了解和纠正学生的错误，提高教学效果。
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中考数学教案正多边形和圆
1．了解正多边形和圆的有关概念．
2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．
3．会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．
一、情境导入
如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？
二、合作探究
探究点一：正多边形的有关概念和性质
【类型一】求正多边形的中心角
已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心为360°÷5＝72°.
【类型二】正多边形的有关计算
已知正六边形ABCDEF 的半径是R ，求正六边形的边长a 和面积S .
解：作半径OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，则∠AOH ＝180°6＝30°，∴AH ＝1
2R ，∴a ＝
2AH ＝R .由勾股定理可得：r 2＝R 2－(
1
2
R )2，∴r ＝
3
2R ，∴S ＝12·a ·r ×6＝12·R ·32R ·6＝33
2
R 2. 方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关计算．
【类型三】圆的内接正多边形的探究题
如图所示，图①，②，③，…，，M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正
方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接
OM ，ON .
(1)求图①中∠MON 的度数；
(2)图②中∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________； (3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系．(直接写出答案)
解：图①中，连接OB ，OC .∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠
BOC ＝120°.又∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°，而BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，
∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°；
(2)90° 72°；
(3)∠MON ＝360°
n
.
探究点二：作圆的内接正多边形
如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．
解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°； (2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；
(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD ；
(2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE ；
(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．
方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作
图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．
三、板书设计
教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.。