19二项式定理导学案
二项式定理+学案 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
课题： 6.3.1二项式定理课型：新授课课程标准：1. 理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。
2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单应用问题。
学科素养：数学运算、数学逻辑重点：应用二项式定理求解二项展开式难点：用计数原理证明二项式定理教学过程：一．知识回顾：1、排列数的定义，排列数公式:，组合的概念，组合数公式，组合数性质。
二．讲解新课：问题1：我们知道=a 2+2ab+b2,（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？（3）进一步地，你能写出的展开式吗？问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？1．二项式定理(a＋b)n＝_________________________ (n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．2．二项展开式的通项公式(a ＋b )n 展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝______.二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有n+1项,而不是n 项.(2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n ),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n ,即+…+=2n . (4)在排列方式上,按照字母a 的降幂排列,从第一项起,次数由n 次逐项减少1次直到0次,同时字母b 按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n 次.二、典例解析例 1.求的展开式. 例2.（1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数.例3.化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).（学导）例4.()52y x x y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中33y x 的系数为（ ）。
高中数学《二项式定理》导学案
第一章计数原理第三节二项式定理（第1课时）一、学习目标1.理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.3.培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.【重点、难点】二项式定理；二项式定理的性质.二、学习过程【情景创设】二项式定理研究的是(a+b)n的展开式,如:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=?,(a+b)4=?,(a+b)100=?,那么(a+b)n的展开式是什么?这就是本节课我们将要学习的内容.【导入新课】问题1:(1)二项式定理:(a+b)n= (n∈N+).(2)错误!未找到引用源。
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= (n∈N+).问题2:二项展开式的通项和二项式系数在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,展开式的第r+1项为(r=0,1,2…n),其中的系数错误!未找到引用源。
(r=0,1,2…n)叫作.问题3:使用二项展开式的通项要注意的问题①通项T r+1是第项,不是第r项;②通项T r+1的作用:处理与、、、等有关的问题.③二项展开式中二项式系数与展开项的系数是不同的概念.如:(a+2b)3=错误!未找到引用源。
a3+错误!未找到引用源。
a2·(2b)+错误!未找到引用源。
a·(2b)2+错误!未找到引用源。
(2b)3=a3+6a2b+12ab2+8b3,第三项的二项式系数为,第三项的系数为.问题4:使用二项式定理需要注意的问题二项式定理展开式中的a和b的位置不能颠倒,且包括a,b前面的,而且a的次数逐渐,b的次数逐渐,每一项的次数都为.答案：问题1:(1)错误!未找到引用源。
a n+错误!未找到引用源。
a n-1b+错误!未找到引用源。
a n-2b2+…+错误!未找到引用源。
二项式定理的应用导学案
二项式定理的应用导学案一、知识背景1.二项式定理二项式定理又叫做牛顿定理，是代数中的一个基本公式。
它描述的是一个二次幂的多项式被展开后各项系数的规律。
当幂为自然数时，用二项式定理展开后可以帮助我们方便地计算出原式的各项系数。
2.二项式定理的公式(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k其中，C_n^k是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的不同组合数数目。
3.二项式定理的应用二项式定理最常见的应用是展开幂函数。
在实际应用中，展开幂函数可以简化数学计算，简化问题的形式。
同时，二项式定理也是概率与统计学科中重要的基础知识，通过计算组合数的计算，可以推导出诸多与随机现象相关的公式。
二、应用导学1.现实应用\mathcal{Case\ Study}小云生病了，医生建议她吃一种辅助药。
这种辅助药有两种口味，分别是橙子味和柠檬味，分别标志为O和L。
医生建议小云每天至少吃7粒此类药，而且每天要至少吃3粒橙子味药，另外，为了保持口味新鲜，每天两种药至少要吃一种。
问题是：小云要吃完所有这种辅助药，一共要多少种方案呢？\mathcal{Solution}按照题目中要求的计算，首先给出小云每天至少吃7粒药的方案数：(O+L)^7=C_7^0O^7C_7^1O^6L+C_7^1O^6L^1C_7^1O^6L+C_7^2O^ 5L^2+C_7^3O^4L^3+C_7^4O^3L^4+C_7^5O^2L^5+C_7^6O^1L^6+ C_7^7L^7因为每天要至少吃3粒橙子味药，所以从上述式子中减去：“一天不吃橙子味药”和“一天只吃1粒橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]再从上述式子中减去“每天都只吃柠檬味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1最后，因为每天两种药至少要吃一种，所以要减去“一天只吃柠檬味药”和“一天只吃橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1-\sum\limits_{i= 0}^1C_6^i(O+L)^5将计算结果带入计算器，得到总方案数为14006种。
高中数学 二项式定理_导学案
1.3.1 二项式定理【学习目标】1. 能从特殊到一般理解二项式定理；培养学生观察、分析、解决问题的能力。
2. 深刻体会二项式定理的形成过程，熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；能正确区分“项”，“项的系数”，“二项式系数”。
3. 激发学习兴趣，培养学生不断发现问题，解决问题的能力。
【重点难点】重点：参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式，系数，字母的幂次，展开式项数的规律；应用二项式定理对二项式进行展开。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程 【学习思路】利用从特殊到一般的思想方法，观察、归纳、大胆猜想、证明从而得出二项式定理一、课前准备（预习教材P29~ P31，找出疑惑之处）复习1： ()()m n b b b a a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++2121 展开后，共有________项.复习2：4个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个从每个容器中取一个球，有_____种不同的结果，其中取到4个红球有 ____ 种不同取法，取到3个红球1个黑球有____ 种不同取法，取到2个红球2个黑球有_____种不同取法，取到4个黑球有_____种不同取法. 复习3：：在n=2,3,4时，写出 nb a )(+的展开式.2)(b a +=_______________________________________ 3)(b a += ______________________________________ 4)(b a += _______________________________________二、新课导学 二项式定理问题1：预习教材P29， 观察2)(b a +的展开式，并回答下列问题：①展开式中有哪些类型的项？这些类型的项是如何得到的？ ②展开式中各项的系数是如何确定的？问题2：你能根据问题1的分析直接对10)(b a +进行展开式吗？10)(b a +=________________________问题3：进一步分析n)(b a +的展开式将会是怎样的？ 猜想：n)(b a +=证明可从以下两个方面：①n)(b a +展开式中有哪些类型的项？这些类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？ 新知：二项式定理=+n b a )( ____________________________________________（*∈N n ）上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，其中k n C （k ＝0，1，2，…，n ）叫做___________，____________叫做二项展开式的通项，用符号 ________表示，即通项为展开式的第_____项.注意：定理中的a 、b 仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子，只要是两项相加的n 次幂，都能运用二项式定理展开。
2019高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3
1.3.1 二项式定理学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理．(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？[提示]二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示]不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为C k n a n－k b k，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为C k n b n－k a k.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )[解析](1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项C k n a n－k b k和(b＋a)n的展开式的第k＋1项C k n b n－k a k是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C r n.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于( )【导学号：95032072】A．9 B．10C．11 D．12B [由二项式定理的公式特征可知n ＝10.]3．(y －2x )8展开式中的第6项的二项式系数为( ) A ．C 68 B ．C 58(－2)5C ．C 58D ．C 68(－2)6C [由题意可知：T k ＋1＝C k 8y8－k(－2x )k＝C k8·(－2)k x k y8－k当k ＝5时，二项式系数为C 58.]4．化简：(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝________.【导学号：95032073】x 4 [(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝[(x －1)＋1]4＝x 4][合 作 探 究·攻 重 难](1)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 的展开式．(2)化简：C 0n (x ＋1)n－C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .[思路探究] (1)解答本题先将x 看成a ，－12x看成b ，利用二项式定理展开，也可以先将⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4化简后再展开．(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 4的展开式；(2)化简(x －2)5＋5(x －2)4＋10(x －2)3＋10(x －2)2＋5(x －2)．[解] (1)⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝81x 2－108x ＋54－12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －2)5＋C 15(x －2)4＋C 25(x －2)3＋C 35(x －2)2＋C 45(x －2)＋C 55(x －2)0－1 ＝[(x －2)＋1]5－1＝(x －1)5－1.已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x(1)求展开式第4项的二项式系数， (2)求展开式第4项的系数， (3)求第4项.【导学号：95032074】[思路探究] 利用二项式定理的展开式中某一项[解] 由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝C k 626－k (－1)k·x 6－3k2 (k ＝0,1,2，…，6) (1)展开式第4项的二项式系数为C 36＝20.(2)展开式第4项的系数为C 36·23·(－1)3＝－160. (3)展开式的第4项为T 4＝－160x －32.2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．[解] (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n x n －62，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n x n －32，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x)9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k C k9x 9－3k 2，所以9－3k 2＝3，k＝1，所以第二项为含x 3的项：T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3.二项式系数为C 19＝9.1．如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．[提示] 利用二项展开式的通项C k 4x 4－k·1xk ＝C k 4x 4－2k求解，令4－2k ＝0，则k ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.2．(a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？[提示] (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？[提示] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x. 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项.【导学号：95032075】[思路探究] 写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →求出n 值→修正通项公式→求x 2项的系数→考察x 指数为整数→分析求出k 值 →写出有理项[解] 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3 (－3)r x －r3＝C r n (－3)rx n －2r 3. (1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x－2.即405x 2，－61 236,295 245x －2.3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________．(2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．(1)207 (2)4 [(1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k· (－a )k x－2k＝C k 6x6－3k(－a )k，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4.][当 堂 达 标·固 双 基]1．(x －2)10展开式中x 6项的二项式系数为( )A ．－C 410 B ．C 410 C ．－4C 410D ．4C 410B [含x 6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C 410.] 2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )【导学号：95032076】A ．80B ．40C ．20D ．10B [(1＋2x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r5(2x )r＝2r C r5·x r， 令r ＝2，得22×C 25＝4×10＝40，故选B.]3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．－160x 3[由n ＝6知中间一项是第4项，因为T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.]4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．84 －212 [T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.]5．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项. 【导学号：95032077】[解] T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝⎛⎭⎫23x 2k＝⎝⎛⎭⎫23k·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎫23x 23＝8027.。
二项式定理优秀导学案
二项式定理教案一、教学目标：1．知识技能：（1）了解二项式定理是代数乘法公式的推广及推导过程；（2）理解并掌握二项式定理。
2．过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式3．情感、态度与价值观培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨二、教学重点、难点重点：用计数原理分析4)(b a +的展开式得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
三、教学过程（一）问题引入：1.在n =1, 2, 3时，写出并研究()nb a +的展开式. ()1b a += b a + ()2b a += ()()b a b a ++=222b ab a ++， ()3b a +=()()()b a b a b a +++ 322333b ab b a a +++=2.思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+= 问题：1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？4a b a 3 22b a 3ab 4b2)．各项前的系数代表着什么？各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b 的方法种数3)．你能分析说明各项前的系数吗？每个都不取b 的情况有1种，即04c ,则4a 前的系数为04c恰有1个取b 的情况有14c 种，则b a 3前的系数为14c恰有2个取b 的情况有24c 种，则22b a 前的系数为24c恰有3个取b 的情况有34c 种，则3ab 前的系数为34c恰有4个取b 的情况有44c 种，则4b 前的系数为44c则 44433422243144044)(b c ab c b a c b a c a c b a ++++=+（二）知识新授1.二项展开式定理：()+----∈++++++=+N n b a C b a C b a c b a c b ac a c b a n n n m m n m n n n n n n n n n n 0333222110)( 右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式m m n m n b a c -叫做二项展开式的通项，记作1+m T 即1C m n m m m n T ab -+= n n m n n n nc c c c c ,......,,......,,,210 叫做二项式系数注1）．二项展开式共有1+n 项，每项前都有二项式系数2）．各项中a 的指数从n 起依次减小1，到0为此各项中b 的指数从0起依次增加1，到n 为此特例：当x b a ==,1时有：n n n n r r n n n n x xc x c x c x c x +++++++=+--11221......1)1( 2. 二项式定理(公式)的特点（1）二项式系数规律：n n n n n C C C C ,,,,210（2）指数规律：对于a 为降幂排列，即01,,,a a a n n -；对于b 为升幂排列，即 n b b b ,,,10 ；每一项中b a ,的次数之和都是()()0,1,,1, -==++n n r n r r n（3）项数规律：展开式共有n+1项四、应用（例题）例1 求51⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式. 解50554145323523251415050551111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x=53351510105xx x x x x +++++ 练习1 写出()42y x -的二项展开式.例2 求91()x x-的二项展开式中3x 的系数. 解 展开式的通项为()m m m mm m m x C x x C T 29999111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 依据题意，有329=-m .解得 3=m .所以，3x 的系数是()()84123789113393-=⨯⨯⨯⨯⨯-=-C . 例3 （1）求7(12)x +展开式的第4项；（2）求第4项的二项式系数及第4项的系数. 解 展开式的通项为37333333177C 1(2)C 2T x x -+=⨯⨯=⨯⋅33358280x x =⨯=.所以，第四项为3280x（2）第4项的二项式系数为3537=C ；第4项的系数 2802133737=⨯⨯-C注意:二项式系数为)2,1,0(n m C m n =项的系数为：二项式系数与数字系数的积. 练习2 (1)求6(23)a b +展开式的第3项.(2) 10(1)x -的展开式的第6项的系数（ ）.A.610CB.610C -C.510CD.510C -。
二项式定理复习课导学案
二项式复习课导学案 编制：迟德龙一、学习目标： 二、知识梳理： 1．二项式定理公式()na b += 叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的 ，它一共有项，其中 叫做二项展开式的第1r +项，也称为通项，用1r T +表示，即1r T +＝ 2．二项式系数的性质()n a b +展开式的二项式系数01,,...nn n n C C C 有如下性质：（1） （2） （3） （4）（5）（6）3、赋值法求系数和 四、例题精选：考向一、展开二项式或公式逆用例1（1）（2009北京卷理）若5(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80 （2）.计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x = . 考向二、求指定项例2（1）（2009浙江卷理）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5（2）（2009四川卷文）61(2)2x x-的展开式的常数项是 （用数字作答）（3）．(20XX 年高考天津卷理科5)在62x x ⎛⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154- B ．154 C ．38- D ．38例3（1） (20XX 年高考山东卷理科14)若6(a x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . （2）(20XX 年高考浙江卷理科13)（13）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。
例3（1）(2009湖南卷理)在323(1)(1)(1x x x +++++的展开式中，x 的系数为_____（2）（2001上海理，8）在代数式（4x 2－2x －5）（1＋21x）5的展开式中，常数项为 ． （3）（2002全国理，16）（x 2+1）（x －2）7的展开式中x 3项的系数是 . （4）（1995全国，6）在（1－x 3）（1+x ）10的展开式中，x 5的系数是（ ）A.－297B.－252C.297D.207例4、（1）（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7（2）（20XX 年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8考向三、求系数问题例5.已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=-求（1）7210a a a a ++++ （2）721a a a +++（3）7531a a a a +++ （4）6620a a a a +++（5）26620)(a a a a +++-27531)(a a a a +++ 变式训练1、在10)32(y x -展开式中（1）求二项式系数和 （2）各项系数和（3）奇数项、偶数项的二项式系数和 （4）奇数项、偶数项的数和2、(20XX 年高考安徽卷理科12)（12）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++，则a a 1011+= .3、（1999全国理，8）若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋ax 4，则（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值为（ ）A.1B.－1C.0D.2 4、（2000年上海，9）在二项式（x －1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 .5. 设(x 2+1)(2x+1)9=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+…+a 11(x+2)11,则a 0+a 1+a 2+…+a 11= .五、能力提高1.（1997全国，16）已知（2x x a -）9的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_____. 2.（1997上海，11）若（3x +1）n （n ∈N *）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x 2的系数是_____.3.（1995上海，13）若（x +1）n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1（n ∈N *），且a ∶b ＝3∶1，那么n =_____.4.若(x-2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .(用数字作答) f(x)=a 0+a 1(1+x)+a 2(1+x)2+…+a 5(1+x)5,其中a 0,a 1,a 2,,a 5为实数,则a 3= .4．若6622106x a x a x a a )mx 1(+⋯+++=+，且63a a a a 6321=+⋯+++，则实数m 的值是__ 5. 5432)1x ()1x ()1x ()1x ()1x (-+---+---的展开式中2x 的系数 .6．如果(nx 的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是 .7.（2009重庆卷理）282()x x+的展开式中4x 的系数是（ ）A ．16B ．70C ．560D ．11208.(20XX 年高考重庆卷理科4) ()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)99. (20XX 年高考广东卷理科10)72()x x x-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).10、（20XX 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-1 11．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））()()8411+x y +的展开式中22xy 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．16813．（20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））6x ⎛⎝ 的二项展开式中的常数项为______.214、（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.15、（20XX 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =16.（2002上海春，5）若在（xx 15-）n的展开式中，第4项是常数项，则n = . 9．设102100121013579(21),x a a x a x a x a a a a a -=++++++++则的值（ ）A ．10132+B ．10132-C ．10312-D ．—10132+。
《二项式定理》导学案
课题：二项式定理学习目标：1.通过代数的乘法，归纳总结出n b a )(+的展开式；2.会求二项展开式，并能运用二项展开式的通项解决简单问题。
学习重点：二项式定理学习难点：二项式定理的应用学习过程：一、情境问题情境：运用代数乘法展开下列各式=+2)(b a =+3)(b a =+4)(b a 问题：（1）?)(100=+b a ； （2）?)(=+n b a二、新知探究思考1：上述展开式的项在形式上什么特点？思考2：上述展开式的项和系数如何产生的？思考3：能否给出展开式n b a )(+的一般性的结论？思考4：在解决上述三个“思考”的过程中，你还有什么发现？三、建构数学1.二项式定理2.二项展开式的通项3.二项式系数与项系数四、数学运用例题1.展开5)21(x +与5)21(x -练习1.（1）求7)21(x +的展开式的第4项系数和第4项的二项式系数；（2）8)1(x x -的展开式中5x 的系数为例题2.求9)33(xx +的展开式常数项以及中间两项；练习2.求52)32(xx +的展开式中的一次项.例题3.已知n x x )1(66+展开式中的第二、三、四项的二项式系数成等差数列（1）求n 的值；（2）此展开式中是否存在常数项，为什么？练习3.在二项式n x x )21(4+的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．．．.思考：若今天是星期一，则1008天后的这一天是星期几？五、课堂反馈1.5)1(x +的展开式共有 项，第4项为 ， 5)1(+x 展开式中第3项为 ；2.72）（y x -的展开式中第3项系数是 ；3.10)1(-x 的展开式中第6项的二项式系数是 ；4.6)1(xx +的展开式中的常数项是 ； 5.若n xx )1(32+展开式的各项系数之和为32，则=n . 六、课堂小结七、课后作业：1、学习案及课本35P 1、4、5、6、9、10.2、预习《1.5.2 二项式系数的性质及应用》八、课后反思。
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【学习目标】 1.能让学生根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的
通项.
2.通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、
概括的能力， 以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
3.培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．
【教学重点】用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理．
【教学难点】用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.。