分数的拆项
分数拆项与裂项
分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级(上)奥数知识讲座：第一章 第三节 《拆项法》
第一章分数的简便计算第三节拆项法1.仔细观察题目的特点，找出解题的方法。
2.想办法将分数变化形式。
讨论：①．分数的分母依次是等差数列的和，可以用求和的公式进行整理。
②．将分数的分母变成等差数列求和的形式，然后根据1除以一个数的特点改写成倒数的形式，最后将分数的分母变换成两个连续自然数相乘的形式，这样就可以利用分数拆分的方法进行简便计算了。
每个分数的分母都是若干个连续自然数的和，可以将分母用等差数列求和的形式表示出来，再根据1除以一个数就是这个数的倒数的特点进行简便计算。
[技法点睛] 本题是直接利用拆项的方法，将每个分数拆成相应的减法形式。
[技法点睛] 本题分母中的两个因数相差3，故是分数的拆分和乘法分配率的综合应用。
[技法点睛] 本题中每个分数的分母是三个连续自然数的积，直接利用拆分的规律进行计算。
[完全解题] 这道题中各分数的分子都是1，分母依次是等差数列，可将其变形为[技法点睛] 本题中每个分数的分母都是若干个连续自然数的和，可以将分母用等差数列求和的形式表示出来，再根据1除以一个数就是这个数的倒数的特点进行简便计算。
例5 (2002·第十二届《祖冲之杯》小学数学竞赛)计算[完全解题] 观察每个分数的分母，可以发现，它们都是两个相邻自然数的积。
所以可以利用分数拆分的方法进行计算。
[技法点睛] 本题巧用分数拆分的方法，分数的分母是两个连续自然数的积，分子正好是这两个自然数的和，所以可拆成这两个自然数作分母的分数单位的和。
例6 (2003·浙江省小学数学活动课冬令营)计算：[技法点睛] 根据题目的特点巧妙地将一些分数拆成两个分数的和或者两个分数的差，然后再根据加减法的性质进行简便计算。
例7 (2002·我爱数学少年夏令营)计算：[完全解题] 先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法的分配律进行简便计算。
例8 (2001·我爱数学少年夏令营)计算：。
分数运算技巧(二)拆项法
分数计算技巧二——拆项法【知识要点和基本方法：】异分母分数相加减，通常先通分，把异分母分数变成同分母分数后再相加减。
有一些分数计算题如果按照常规方法计算就会十分复杂，必须运用某些技巧，寻找简便的方法。
当分母之间存在某种特殊规律时，运用这些规律，就能使这些计算简化，如果分母是相邻的两个自然数的乘积，可以通过拆项的方法，使其中一部分分数可以相互抵消，从而简化计算过程。
一般地，可以利用下面的等式，巧妙的将分数变形，然后求分数的和。
1 (1) N N+=1N－11N+1(2)N N+=12（1N－12N+）【例题讲解：】例1计算：112⨯+123⨯+134⨯+145⨯+…+14950⨯思路点拨：112⨯=11－12 123⨯=12－13 134⨯=13－14 145⨯=14－15 (1)4950⨯=149－150解：112⨯+123⨯+134⨯+145⨯+…+14950⨯=11－12+12－13+13－14+14－15+ ……+149－150=11－150=49 50例2计算：124⨯+146⨯+168⨯+……+198100⨯思路点拨：124⨯=12（12－14）146⨯=12（14－16）168⨯=12（16－18）………198100⨯=12（198－1100） 124⨯+146⨯+168⨯+……+198100⨯ =12（12－14）+12（14－16）+12（16－18）+……+12（198－1100） =12（12－14+14－16+16－18+……+198－1100） =12（12－1100） =12×49100=49200例3 计算1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100⨯⨯ 思路点拨：1123⨯⨯=12（112⨯－123⨯） 1234⨯⨯=12（123⨯－134⨯） … … …19899100⨯⨯=12（19899⨯－199100⨯） 解： 1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100⨯⨯ =12（112⨯－123⨯）+12（123⨯－134⨯）+……+12（19899⨯－199100⨯） =12（112⨯－123⨯+123⨯－134⨯+……+19899⨯－199100⨯） =12（112⨯－199100⨯） =494919800例4 计算： 1+112++1123+++11234++++......+1123 (99100)+++++ 思路点拨：1+2=(12)22+⨯ 1+2+3=(13)32+⨯ 1+2+3+4=(14)42+⨯ … … …1+2+3+4+……+100=(1100)1002+⨯解；1+112++1123+++11234++++……+1123 (99100)+++++=1+1(12)22+⨯+1(13)32+⨯+1(14)42+⨯+……+1(1100)1002+⨯=1+2(12)2+⨯+2(13)3+⨯+2(14)4+⨯+……+2(1100)100+⨯=2（112⨯+123⨯+134⨯+……+1100101⨯）=2（1－12+12－13+13－14+14－……+1100－1101）=2（1－1 101）=199 100模仿练习题；1．134⨯+145⨯++14950⨯2．113⨯+135⨯+157⨯+……119951997⨯+119971999⨯3．1234⨯⨯+1345⨯⨯+1456⨯⨯+1567⨯⨯+1678⨯⨯+1789⨯⨯4．1+112++1123+++……+1123 (99100)++++++……+112 3 (1990)+++拓展提高：1．112+120+130+142+156+172+1902．34+328+370+3130+32083．1+12+22+12+13+23+33+23+13+……+110+210…+910+1010+910…+210+1104．11+1316+15112+17120+19130+21142+23156+25172+27190。
分数拆项与裂项
分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。
拆项法例题(九年级)
拆项法例题(九年级)摘要：1.拆项法概述2.拆项法的应用举例3.拆项法的解题技巧4.拆项法在九年级数学中的重要性正文：一、拆项法概述拆项法是一种在数学运算中常用的方法，它主要通过拆分数来简化运算过程，使计算变得更加简便。
在九年级的数学学习中，拆项法被广泛应用在有理数的混合运算、一元二次方程的解法等方面。
通过掌握拆项法，可以帮助学生更好地理解和解决复杂的数学问题。
二、拆项法的应用举例下面我们通过一个具体的例子来介绍一下拆项法的应用。
例题：计算表达式3/5 + 2/3 - 1/4的值。
解：我们可以通过拆项法来简化这个表达式的计算。
首先，将每个分数拆成两个分数相减的形式，得到：3/5 = 1/5 + 2/52/3 = 1/3 + 1/31/4 = 1/2 - 1/4将这些拆分后的分数代入原表达式，得到：(1/5 + 2/5) + (1/3 + 1/3) - (1/2 - 1/4)然后，我们可以对每个括号内的分数进行合并和简化，得到：3/5 + 1/3 - 1/4继续合并同类项，得到：12/20 + 20/60 - 15/60最后，将这些分数约分并相加，得到：4/5这个例子充分展示了拆项法在简化数学运算中的作用。
三、拆项法的解题技巧拆项法在解题过程中，主要需要注意以下几点：1.观察数字特点，选择适当的拆项方式。
2.注意拆项后的分数的正负性，避免出现错误。
3.在拆项过程中，可以适当地利用分数的性质进行简化。
四、拆项法在九年级数学中的重要性在九年级的数学学习中，拆项法在很多章节中都有应用，如一元二次方程的解法、有理数的混合运算等。
通过掌握拆项法，可以帮助学生更好地理解和解决复杂的数学问题，提高学生的数学运算能力。
分数拆项与裂项
分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数拆项与裂项
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通 项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简 便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ，那么有 ab1 1 (1 1) ab ba a b(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3)1 1[ 1 1]n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)1 1[11]n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b a b 1 1 （2） a2 b2 a2 b2 a bab ab ab b aab ab ab b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小六数学第13讲：分数裂项与分拆
第十三讲分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：③对于分子不是1的情况我们有：2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”③分母上几个因数间的差是一个定值。
3.复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
4. “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：①②裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
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分数的拆项
【专题简析】
前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。
一般地，
形如1
a×(a+1)＝
1
a
－
1
a+1
；
形如1
a×（a+n）＝
1
n
×（
1
a
－
1
a+n
），
形如a+b
a×b ＝
1
a
+
1
b
等等。
同学们可以结合例题思考其中的规律。
【经典题例】
例题1。
计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…..+
1
99×100
练习1计算下面各题：
1.
1
4×5
+
1
5×6
+
1
6×7
+…..+
1
39×40
2.
1
10×11
+
1
11×12
+
1
12×13
+
1
13×14
+
1
14×15
3. 1
2+
1
6+
1
12+
1
20+
1
30+
1
42 4. 1－
1
6+
1
42+
1
56+
1
72
例题2。
计算：1
2×4+
1
4×6
+
1
6×8
+…..+
1
48×50
练习2计算下面各题：
1.
1
3×5
+
1
5×7
+
1
7×9
+…..+
1
97×99
2.
1
1×4
+
1
4×7
+
1
7×10
+…..+
1
97×100
3.
1
1×5
+
1
5×9
+
1
9×13
+…..+
1
33×37
4.
1
4+
1
28+
1
70+
1
130+
1
208
例题3。
计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －15
56
练习3计算下面各题：
1. 112 +56 －712 +920 －1130
2. 114 －920 +1130 －1342 +1556
3. 19981×2 +19982×3 +19983×4 + 19984×5 +19985×6
4. 6×712 －920 ×6+ 11
30 ×6
例题4。
计算：12 +14 +18 +116 +132 +1
64
练习4计算下面各题：
1. 12 +14 +18 +………+1256
2. 23 +29 +227 +281 +2243
3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
例题5。
计算：（1+12 +13 +14 ）×（12 +13 +14 +15 ）－（1+12 +13 +14 +15 ）×（12 +13 +1
4 ）
练习5
1. （12 +13 +14 +15 ）×（13 +14 +15 +16 ）－（12 +13 +14 +15 +16 ）×（13 +14 +15 ）
2. （18 +19 +110 +111 ）×（19 +110 +111 +112 ）－（18 +19 +110 +111 +112 ）×（19 +110 +111 ）
【思考题】
1. 2.
3211⨯⨯＋4321⨯⨯＋5431⨯⨯＋6541⨯⨯＋7
651
⨯⨯。