7、用拆项法求分数和(2)
最新六年级简便运算中的拆项法
六年级简便运算中的拆项法一、考点、热点回顾前面介绍了运算定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，今天我们学习怎样用替换法和拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算以及等差数列的求和运算及其应用。
裂项：111)1(1+-=+⨯a a a a )11(1)(1na a n n a a +-⨯=+⨯ 等差数列：1a ， 2a ，……..，n a公差d =后一项减前一项)(12a a d -=项：11+-=da a n n 和=2)(1n a a n +⨯ 二、典型例题例1：计算100991.......431321211⨯++⨯+⨯+⨯练习1：计算 ①40391......761651541⨯++⨯+⨯+⨯②55542......141321312212112⨯++⨯+⨯+⨯③4213012011216121+++++例2：计算：50481......861641421⨯++⨯+⨯+⨯练习2：计算 ①99971......971751531⨯++⨯+⨯+⨯②37331.......1391951511⨯++⨯+⨯+⨯例3：计算561542133011209127311-+-+-练习3：计算6301162091276⨯+⨯-⨯例4：641321161814121+++++练习4：25628122729232++++例5：计算 ①=++++100......321＿＿＿＿＿＿②=++++100......642＿＿＿＿＿＿③=++++99.......531＿＿＿＿＿＿方法：100......321+++++1.....9899100++++=101...101101+++（100个）=100101⨯ 由此推出求和公式：2)(1n a a n +⨯ 即：第一个数加上最后一个数的和乘以项数除以2项数=最后一数减第一个数的差除以相邻两数差练习5：计算198......963++++例6：计算100...3211.......4321132112111+++++++++++++++例7：计算 )19991...413121()20001...31211()20001...413121()19991...31211(+++⨯++++-++++⨯++++练习7：)413121()514131211()51413121()4131211(++⨯++++-+++⨯+++三、习题练习（1）502149...2122211121+++++++（2）3179121790......31521431321231121792-++-+-+-+ 一、重要方法指导：受力分析方法：（1）单体受力分析步骤：a 、分离研究对象（找受力物）b、分析环境（找施力物）c、明确作用效果（必要时可用假设情况法）d、画受力分析图注意事项：不要把受力物对外界的力施加在受力物体上；先重力、再弹力（拉力、压力）、再摩擦力。
带分数拆项法
带分数拆项法带分数拆项法是一种用于将带分数转化为一系列整数的方法，它通常用于解决一些涉及带分数的数学问题。
这种方法的基本思想是将带分数拆分为若干个整数之和，以便于进行计算和分析。
一、带分数拆项法的步骤1.将带分数转化为假分数形式。
例如，将3 2/3转化为3 + 2/3。
2.根据需要将假分数拆分为若干个整数之和。
例如，将3 + 2/3拆分为3 + 1 + 1/3。
3.对于每个整数部分进行计算或分析。
例如，对于3和1/3分别进行计算或分析。
4.将每个整数部分的计算或分析结果进行整合，得到带分数拆项法的最终结果。
二、带分数拆项法的应用带分数拆项法在数学中有很多应用，例如在有理数运算、分式运算、方程求解等领域。
下面分别举例说明：1.有理数运算例如，计算3 2/3 + 4 1/2的结果。
首先将两个带分数转化为假分数形式，即3 2/3 = 3 + 2/3，4 1/2 = 4 + 1/2。
然后分别拆分为整数部分和小数部分，即3 + 2/3 = 3 + 1 + 1/3，4+ 1/2 = 4 + 1 + 1/2。
接着分别计算每个整数部分的和，即3 + 1 = 4，4 + 1 = 5。
最后将两个整数部分的和相加，即4 + 5 = 9，得到最终结果为9。
1.分式运算例如，求解分式方程x/(2 1/3) = (x - 48)/(2 2/5)。
首先将两个带分数转化为假分数形式，即2 1/3 = 7/3，2 2/5 = 7/5。
然后利用带分数拆项法将每个分式拆分为整数部分和小数部分，即x/(7/3) = x × (3/7) + x × (2/7)，(x - 48)/(7/5) = x ×(5/7) - 48 × (5/7)。
接着对方程进行整理，即x × (3/7) + x ×(2/7) = x × (5/7) - 48 × (5/7)。
最后解出x的值为[90]，得到最终结果为x = 90。
【核心考点突破】2023学年七年级数学上册培优讲与练(人教版) 有理数混合运算的六种技巧-解析版
有理数混合运算的六种技巧（解析版）【专题精讲】有理数的混合运算是加、减、乘、除乘方的综合应用,学会运算法则是基础,运算的关键是运算的顺序,为了提高运算速度,要灵活运用运算律,还要能创造条件利用运算律,如拆数,移动小数点等,对于复杂的有理数运算,要善于观察、分析、类比与联想,从中发现可以简算的地方从而达到算得准、算得快的目的。
计算复杂算式,应遵循以下几个原则：(1)分段同时性原则:例如在计算一0.25²÷（-21）-（−1）2021+(-2)²×(-3)²的过程中,应在第一步中计算0.25² −（12）4 （−1）2021 （-2）²,（-3）²以达到高效的目的; (2)整体性原则:例如乘除混合运算统一化为乘法,统一进行约分;(3)简明性原则:计算步骤尽可能简明,能够一步计算出来的就同时算出来,不要拖沓;(4)心算原则:计算过程中,能用心算的都尽量运用心算,心算是提高运算速度的重要方法。
有理数计算常用的技巧与方法有①应用运算律;②裂项相消;③分解相约;④巧用公式;⑤利用倒数;⑥借用图形面积◎类型一：巧用凑整法计算解题方法：多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。
1．（2020·安徽·马鞍山市雨山实验学校七年级阶段练习）计算(1)()21112 2.75524⎛⎫----+-+ ⎪⎝⎭(2)5212018201740351632⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)()()36762464+-+-+(2)33243571375-++++(1)(9)(7)(6)(5)---+--+；(2)11213()() 2332---+-．4．（2022·全国·七年级专题练习）（- 48）-（- 512）+（- 44）-38◎类型二：运用拆项法计算解题方解答此类问题,先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起,利用交换律结合律得出答案。
分数拆项公式
分数拆项公式
（原创版）
目录
1.分数拆项公式的定义
2.分数拆项公式的应用
3.分数拆项公式的优点
4.分数拆项公式的注意事项
正文
1.分数拆项公式的定义
分数拆项公式，又称分数分解公式，是一种将一个分数拆分成两个或两个以上的分数的数学公式。
这种拆分方法可以使得分数的计算更加简便，同时也有助于更深入地理解分数的性质。
2.分数拆项公式的应用
分数拆项公式在数学中有广泛的应用，尤其是在代数、微积分等数学领域中。
例如，当我们需要计算一个复杂的分数时，可以通过分数拆项公式将其拆分成更简单的分数，从而简化计算过程。
此外，分数拆项公式还可以用于解决一些实际问题，如金融、物理等领域的问题。
3.分数拆项公式的优点
分数拆项公式的最大优点是能够简化分数的计算，提高计算效率。
通过分数拆项公式，可以将复杂的分数计算转化为简单的分数计算，从而降低计算难度。
此外，分数拆项公式还有助于提高对分数性质的理解，加深对数学知识的掌握。
4.分数拆项公式的注意事项
在使用分数拆项公式时，需要注意以下几点：
（1）分数拆项公式适用于任意分数，但不是所有分数都可以拆分成最简形式。
（2）在拆分分数时，需要保证拆分后的分数的和等于原分数，乘积等于原分数的乘积。
（3）在实际应用中，需要根据问题的具体要求选择合适的拆分方法，以达到最佳的计算效果。
分数的拆项公式
分数的拆项公式一、引言在数学中，分数是一种非常基础的数值形式。
分数的本质是将任意数值分成若干份，其中每一份的大小相等，最后再求出需要的份数。
本篇文章的主要内容是分数的拆项公式及其原理和实际应用场景。
分数的拆项公式，即将一个分数拆分成多个分数之和，可以帮助我们在计算中更加灵活地运用分数。
二、分数的拆项公式分数的拆项公式是指将一个分数写成多个分数之和的表达式。
对于一个分数$\frac{a}{b}$，我们可以将它拆分成$\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+...+\frac{1}{b}(\text{共}a\text{项})$的形式，即$$\frac{a}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+...+\frac{1}{b}(\text{共}a\text{项})$$这个拆项公式是非常重要的，因为它可以帮助我们在计算中更加灵活地运用分数，同时也为我们的数学思维提供了一个有效的工具。
三、拆项公式的原理分数的拆项公式本质上就是将一个分数拆分成多个相同形式的分数之和。
在分数的加减乘除计算中，通常会出现需要将分数转化成相同分母的形式，这时我们就可以运用拆项公式将一个分数转化成多个相同形式的分数之和，从而方便我们的计算。
以计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$为例，通常我们需要将两个分数转化成相同分母的形式，再进行加法计算。
但如果我们运用拆项公式，将$\frac{2}{3}$拆成$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$的形式，即$$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$$此时，因为三个分数的分母相同，我们就可以直接将分子相加，得到结果为$\frac{7}{6}$，而无需进行分母的转换。
这就是拆项公式的优势所在。
四、拆项公式的应用场景1. 分式求和在计算分数的和时，拆项公式可以帮助我们将分数转化成相同的形式，从而方便计算。
六年级(上)奥数知识讲座：第一章 第三节 《拆项法》
第一章分数的简便计算第三节拆项法1.仔细观察题目的特点，找出解题的方法。
2.想办法将分数变化形式。
讨论：①．分数的分母依次是等差数列的和，可以用求和的公式进行整理。
②．将分数的分母变成等差数列求和的形式，然后根据1除以一个数的特点改写成倒数的形式，最后将分数的分母变换成两个连续自然数相乘的形式，这样就可以利用分数拆分的方法进行简便计算了。
每个分数的分母都是若干个连续自然数的和，可以将分母用等差数列求和的形式表示出来，再根据1除以一个数就是这个数的倒数的特点进行简便计算。
[技法点睛] 本题是直接利用拆项的方法，将每个分数拆成相应的减法形式。
[技法点睛] 本题分母中的两个因数相差3，故是分数的拆分和乘法分配率的综合应用。
[技法点睛] 本题中每个分数的分母是三个连续自然数的积，直接利用拆分的规律进行计算。
[完全解题] 这道题中各分数的分子都是1，分母依次是等差数列，可将其变形为[技法点睛] 本题中每个分数的分母都是若干个连续自然数的和，可以将分母用等差数列求和的形式表示出来，再根据1除以一个数就是这个数的倒数的特点进行简便计算。
例5 (2002·第十二届《祖冲之杯》小学数学竞赛)计算[完全解题] 观察每个分数的分母，可以发现，它们都是两个相邻自然数的积。
所以可以利用分数拆分的方法进行计算。
[技法点睛] 本题巧用分数拆分的方法，分数的分母是两个连续自然数的积，分子正好是这两个自然数的和，所以可拆成这两个自然数作分母的分数单位的和。
例6 (2003·浙江省小学数学活动课冬令营)计算：[技法点睛] 根据题目的特点巧妙地将一些分数拆成两个分数的和或者两个分数的差，然后再根据加减法的性质进行简便计算。
例7 (2002·我爱数学少年夏令营)计算：[完全解题] 先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法的分配律进行简便计算。
例8 (2001·我爱数学少年夏令营)计算：。
分数运算技巧(二)拆项法
分数计算技巧二——拆项法【知识要点和基本方法：】异分母分数相加减，通常先通分，把异分母分数变成同分母分数后再相加减。
有一些分数计算题如果按照常规方法计算就会十分复杂，必须运用某些技巧，寻找简便的方法。
当分母之间存在某种特殊规律时，运用这些规律，就能使这些计算简化，如果分母是相邻的两个自然数的乘积，可以通过拆项的方法，使其中一部分分数可以相互抵消，从而简化计算过程。
一般地，可以利用下面的等式，巧妙的将分数变形，然后求分数的和。
1 (1) N N+=1N－11N+1(2)N N+=12（1N－12N+）【例题讲解：】例1计算：112⨯+123⨯+134⨯+145⨯+…+14950⨯思路点拨：112⨯=11－12 123⨯=12－13 134⨯=13－14 145⨯=14－15 (1)4950⨯=149－150解：112⨯+123⨯+134⨯+145⨯+…+14950⨯=11－12+12－13+13－14+14－15+ ……+149－150=11－150=49 50例2计算：124⨯+146⨯+168⨯+……+198100⨯思路点拨：124⨯=12（12－14）146⨯=12（14－16）168⨯=12（16－18）………198100⨯=12（198－1100） 124⨯+146⨯+168⨯+……+198100⨯ =12（12－14）+12（14－16）+12（16－18）+……+12（198－1100） =12（12－14+14－16+16－18+……+198－1100） =12（12－1100） =12×49100=49200例3 计算1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100⨯⨯ 思路点拨：1123⨯⨯=12（112⨯－123⨯） 1234⨯⨯=12（123⨯－134⨯） … … …19899100⨯⨯=12（19899⨯－199100⨯） 解： 1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100⨯⨯ =12（112⨯－123⨯）+12（123⨯－134⨯）+……+12（19899⨯－199100⨯） =12（112⨯－123⨯+123⨯－134⨯+……+19899⨯－199100⨯） =12（112⨯－199100⨯） =494919800例4 计算： 1+112++1123+++11234++++......+1123 (99100)+++++ 思路点拨：1+2=(12)22+⨯ 1+2+3=(13)32+⨯ 1+2+3+4=(14)42+⨯ … … …1+2+3+4+……+100=(1100)1002+⨯解；1+112++1123+++11234++++……+1123 (99100)+++++=1+1(12)22+⨯+1(13)32+⨯+1(14)42+⨯+……+1(1100)1002+⨯=1+2(12)2+⨯+2(13)3+⨯+2(14)4+⨯+……+2(1100)100+⨯=2（112⨯+123⨯+134⨯+……+1100101⨯）=2（1－12+12－13+13－14+14－……+1100－1101）=2（1－1 101）=199 100模仿练习题；1．134⨯+145⨯++14950⨯2．113⨯+135⨯+157⨯+……119951997⨯+119971999⨯3．1234⨯⨯+1345⨯⨯+1456⨯⨯+1567⨯⨯+1678⨯⨯+1789⨯⨯4．1+112++1123+++……+1123 (99100)++++++……+112 3 (1990)+++拓展提高：1．112+120+130+142+156+172+1902．34+328+370+3130+32083．1+12+22+12+13+23+33+23+13+……+110+210…+910+1010+910…+210+1104．11+1316+15112+17120+19130+21142+23156+25172+27190。
拆项法例题(九年级)
拆项法例题(九年级)摘要：1.拆项法概述2.拆项法的应用举例3.拆项法的解题技巧4.拆项法在九年级数学中的重要性正文：一、拆项法概述拆项法是一种在数学运算中常用的方法，它主要通过拆分数来简化运算过程，使计算变得更加简便。
在九年级的数学学习中，拆项法被广泛应用在有理数的混合运算、一元二次方程的解法等方面。
通过掌握拆项法，可以帮助学生更好地理解和解决复杂的数学问题。
二、拆项法的应用举例下面我们通过一个具体的例子来介绍一下拆项法的应用。
例题：计算表达式3/5 + 2/3 - 1/4的值。
解：我们可以通过拆项法来简化这个表达式的计算。
首先，将每个分数拆成两个分数相减的形式，得到：3/5 = 1/5 + 2/52/3 = 1/3 + 1/31/4 = 1/2 - 1/4将这些拆分后的分数代入原表达式，得到：(1/5 + 2/5) + (1/3 + 1/3) - (1/2 - 1/4)然后，我们可以对每个括号内的分数进行合并和简化，得到：3/5 + 1/3 - 1/4继续合并同类项，得到：12/20 + 20/60 - 15/60最后，将这些分数约分并相加，得到：4/5这个例子充分展示了拆项法在简化数学运算中的作用。
三、拆项法的解题技巧拆项法在解题过程中，主要需要注意以下几点：1.观察数字特点，选择适当的拆项方式。
2.注意拆项后的分数的正负性，避免出现错误。
3.在拆项过程中，可以适当地利用分数的性质进行简化。
四、拆项法在九年级数学中的重要性在九年级的数学学习中，拆项法在很多章节中都有应用，如一元二次方程的解法、有理数的混合运算等。
通过掌握拆项法，可以帮助学生更好地理解和解决复杂的数学问题，提高学生的数学运算能力。