2020年中考第一轮复习河北专用第一节 圆的基本性质
2020年河北中考数学一轮复习课件：§7.1 圆的有关概念及性质
5.(2018安徽,20,10分)如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.
︵
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧 BC 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.
解析 (1)尺规作图如图所示. (4分)
(2)连接OE交BC于M,连接OC.
A.π B.2π C. 2 3 D. 2 π
3
3
答案 D 设AB与CD的交点为E,∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE= 1 CD.∵CD=2 3 ,∴CE=DE= 2
3 .∵∠C=30°,∴∠AOD=60°,∴OD= sinD6E0 =2,∴OE=AE=1,
∴△AEC≌△OED,∴S阴影=S扇形AOD=Biblioteka A.25 m C.30 m
B.24 m D.60 m
答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD= 1 AB=20 m, 2
设OB=x m,则OD=(x-10)m,在Rt△OBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A.
盖这个平面图形的圆面的最小半径是
mm.
答案 50
解析 设符合条件的圆为☉O,由题意知,圆心O在对称轴l上,且点A、B都在☉O上.设OC=x mm,则OD=(70 -x)mm,由OA=OB,得OC2+AC2=OD2+BD2,即x2+302=(70-x)2+402,解得x=40,∴OA= AC2 OC2 = 302 402 =50 mm,即能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm.
∴S△BCE= 12 BC·BE= 12 ×4×6=12.故选A.
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
最新2020河北中考总复习 圆 考点复习 1教育课件
【方法指导】 1.证明某条直线是圆的切线的方法： (1)若这条直线经过圆上一点，需证明这条直线和经过这一点的半径垂 直； (2)若没有明确直线经过圆上一点，需证明圆心到这条直线的距离等于 圆的半径． 2．不能或不易直接求解的边长可转化成易求两条边长的差或和．
【变式】 (2019·石家庄新华区一模)如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝ 90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是⊙O上任意一 点，连接BC，OC.将OC绕点O按顺时针方向旋转90°，交⊙O于点D，连接
A．5 B．6 C．7 D．8
重难点2 切线的判定 (2019·邯郸模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的
直径，⊙O与BC交于点D，⊙O与AC交于点E，DF⊥AC于点F，连接DE. (1)求证：D为BC中点； (2)求证：DF与⊙O相切； (3)若⊙O的半径为5，tanC＝43，则DE＝ 6 ．
【自主解答】 解：(1)证明：连接OC， ∵MN为⊙O的切线， ∴OC⊥MN. ∵BD⊥MN，∴OC∥BD. ∴∠CBD＝∠BCO. 又∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠ABC.∴∠CBD＝∠ABC.
(2)连接AC，在Rt△BCD中，BC＝4 5，CD＝4， ∴BD＝ BC2－CD2＝8. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ACB＝∠CDB＝90°. ∵∠ABC＝∠CBD， ∴△ABC∽△CBD. ∴ABCB＝BCDB，即4AB5＝4 8 5.∴AB＝10. ∴⊙O的半径是5.
0 d④ ＞r
1 d⑤＝ r
Hale Waihona Puke 2 d⑥＜ r3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4. (1)若以2为半径作⊙C，则斜边AB与⊙C的位置关系是相离 ； (2)若以2.4为半径作⊙C，则斜边AB与⊙C的位置关系是相切； (3)若以3为半径作⊙C，则斜边AB与⊙C的位置关系是相切 ．
连线中考数学一轮复习系列专题19圆的基本性质
基础知识知识点一、圆的有关概念1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．3.确定圆的条件确定一个圆有两个基本条件①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．经过不在同一直线上的三点确定一个圆．知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念1. 弦与直径：①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.2. 弧与半圆①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做AB，②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系1. 圆的旋转不变性把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.知识点四、垂径定理1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，用符号语言叙述为：∵ CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点E∴ AE＝EB，AC BC，AD DB3. 垂径定理基本图形的性质：（1）有4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△CAM与Rt△CBM；Rt△OAM与Rt△OBM；Rt△MAD与Rt△MBD；特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．（2）有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB.弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边AB的垂直平分线．（3）有3对弧相等：AC BC，AD BD，CAD CBD．（4）添加辅助线的方法：连接半径或作垂直于弦的直径，是两种重要的添线方法．知识点五．圆周角定理1. 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等，3. 圆周角定理的推论①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．②圆内接四边形的对角互补．典型例题解析例1.（菏泽）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD弧的度数为＿＿＿＿＿．例2. （山西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为( )A．30° B．40° C．50° D．80°例3. （绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图，⊙O与矩形ABCD边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点）．已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为___________．例4. （黑龙江）直径为10cm的⊙Ｏ中，弦AB＝5cm,则弦AB所对的圆周角是．例5. (济南) 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A. 2. 3 C. 32D.3例6. （安徽）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．例7. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．巩固练习1. （湖州）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A. 35 °B.45°C. 55°D.65°2. 如图所示，在⊙O中，，那么（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．无法比较3. （嘉兴）如图，○O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8则AB的长为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）84. （钦州）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（）A．60° B．45° C．30° D．20°5. （南通）如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝_______度．6. （广元）若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=50°，则弦AB所对的圆周角的度数为 .7 . (龙岩) 如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC=45°，则弦BC= 。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
2020河北中考 考点复习课件--1圆的基本性质
难点突破
河北8年真题训练
命题点 1 垂径定理(8 年 4 考) 1．(2012·河北 T5·2 分)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)， AB⊥CD 于点 E，则下列结论正确的是(D ) A．AE>BE B.A︵D＝B︵C
C．∠D＝12∠AEC D．△ADE∽△CBE
命题点 2 圆周角定理(补充) 2．(2011·河北 T16·3 分)如图，点 O 为优弧A︵B所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点 D 在 AB 的延长线上，BD＝BC，则∠D＝ 27° ．
5．(1)如图1，∠AOB＝∠COD，下列结论：①AB＝CD；②
︵ AB
＝
︵ CD
；③△AOB≌△COD；④△AOB，△COD都是等边三角形，其中一定
成立的是 ①②③．
(2)如图2，在⊙O中，已知A︵B＝C︵D，则AC与BD的关系是(A )
A．AC＝BD
B．AC＜BD
C．AC＞BD
D．不确定
【方法指导】 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
垂径定理及其推论
文字叙述
图形示例
定 理
推
垂直于弦的直径 平分
弦，并且平分弦所对的
两条 弧
平分弦(不是直径)的直径
垂直 于弦，并且
AB为⊙O的直径，AB与CD相交于点E.
1
若AB⊥CD，则CE ＝DE＝ 2 CD，
︵ AC
＝ A︵D，则AB ⊥CD，
论
平分弦所对的两条弧．
CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为( A )
A．25 m
B．24 m
C．30 m
D．60 m
中考数学第一轮复习第七章 第1课时 圆的基本性质
◆教材知识回顾 ◆突破重庆考点 ◆体验重庆三年中考
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2020中考数学知识点：圆的基础性质公式定理
2020中考数学知识点：圆的基础性质公式定理圆是轴对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
圆的基础性质⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式:θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。
(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。
圆的知识要领不仅常考公式，又是也会直接出一些关于定理的试题。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若关于的x 方程230x x a ++=有一个根为1-，则a 的值为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．-42．新中国成立70年以来，中国铁路营业里程由52000公里增长到131000公里，将数据131000用科学记数法表示为（ ）A ．13.1×105B ．13.1×104C ．1.31×106D ．1.31×1053．平方根和立方根都是本身的数是（ ）A ．0B ．1C ．±1D ．0和±14．如图，小明为了测量大楼AB 的高度，他从点C 出发，沿着斜坡面CD 走52米到点D 处，测得大楼顶部点A 的仰角为37°，大楼底部点B 的俯角为45°，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1：2.4．大楼AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A ．32米B ．35米C ．36米D ．40米5．若x=2是关于x 的一元一次方程ax －2=b 的解，则3b －6a+2的值是( ).A ．－8B ．－4C ．8D ．46．如图，半径为3的⊙O 经过等边△ABO 的顶点A 、B ，点P 为半径OB 上的动点，连接AP ，过点P 作PC ⊥AP 交⊙O 于点C ，当∠ACP=30°时，AP 的长为（ ）A ．3B ．3或332C ．1.5D ．3或1.5 7．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++(m 是常数，且0m ≠)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．8．下列运算正确的是（ ）A ．ab•ab＝2abB ．（3a ）3＝9a 3C ．4a ﹣3a ＝3（a≥0）D ．a a b b=（a≥0，b≥0） 9．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（ ）A ．26×105B ．2.6×102C ．2.6×106D ．260×10410．若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其第三边长（ ）A ．13B ．13C ．5D ．1511．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，3），C （4，1），如果将Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°得到Rt △A′B′C′，那么点A 的对应点A'的坐标是（ ）A ．（3，3）B ．（3，4）C ．（4，3）D ．（4，4）12．我们用[a]表示不大于a 的最大整数，例如：[2.5]=2，[3]=3，[-2.5]=-3；已知,x y 满足方程组[][][][]329,30,x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩则[]2x y +可能的值有 ( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5 个二、填空题13．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是_____．14．某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽，下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数100 1 000 10 000 20 000 成活棵数 89 910 9 008 18 004 依此估计这种幼树成活的概率是____ (结果用小数表示，精确到0.1)15．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠EAC ＝30°，AC ＝12，则AE 的长为_____．16．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边AD 的垂直平分线上，如果AB ＝5，AD ＝8，tanB ＝，那么BP 的长为_____．17．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，高度CD 为____m ．18．计算：03(1)8-+-＝_____．三、解答题19．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD 、BE 、BC 于点P 、O 、Q ，连接BP 、EQ ．（1）求证：△BOQ ≌△EOP ；（2）求证：四边形BPEQ 是菱形；（3）若AB ＝6，F 为AB 的中点，OF+OB ＝9，求PQ 的长．20．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）21．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，∠ABD ＝90°，E 为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝2，求AC的长．22．如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．23．端午节是我国的传统节日，益民食品厂为了解市民对去年销量较好的花生粽子、水果粽子、豆沙粽子、红枣粽子(分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味的粽子的喜爱情况，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将两幅统计图补充完整；(3)小明喜欢吃花生粽子和红枣粽子，妈妈为他准备了四种粽子各一个，请用“列表法”或“画树形图”的方法，求出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率．24．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，﹣4）和点B（m，0），且m≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请根据观察图象说明此时y的最小值及m的值；（2）若m＝4，求抛物线的解析式（也称关系式），并判断抛物线的开口方向．25．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试营销，售价为9元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少4件，(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)日销售利润不低于960元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？(3)工作人员在统计的过程中发现，有连续两天的销售利润之和为1980元，请你算出是哪两天．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D A B B B D D C A D C二、填空题13．k≤5且k≠1．14．915．16．或717．18．－1三、解答题19．（1）见解析；（2）见解析；（3）PQ ＝152． 【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE ，由ASA 证明△BOQ ≌△EOP ；（2）由（1）得出PE=QB ，证出四边形ABGE 是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；（3）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x ，则BE=18-x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理可得62+x 2=（18-x ）2，BE=10，得到OB=12BE=5，设PE=y ，则AP=8-y ，BP=PE=y ，在Rt △ABP 中，根据勾股定理可得62+（8-y ）2=y 2，解得y=254，在Rt △BOP 中，根据勾股定理可得PO=222515544⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由PQ=2PO 即可求解．【详解】（1）证明：∵PQ 垂直平分BE ，∴PB ＝PE ，OB ＝OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠PEO ＝∠QBO ，在△BOQ 与△EOP 中，PEO B0OB 0EPOE QOB Q ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BOQ ≌△EOP （ASA ），（2）∵△BOQ ≌△EOP∴PE ＝QB ，又∵AD ∥BC ，∴四边形BPEQ 是平行四边形，又∵QB ＝QE ，∴四边形BPEQ 是菱形；（3）解：∵O ，F 分别为PQ ，AB 的中点，∴AE+BE ＝2OF+2OB ＝18，设AE＝x，则BE＝18﹣x，在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2，解得x＝8，BE＝18﹣x＝10，∴OB＝12BE＝5，设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，解得y＝254，在Rt△BOP中，PO＝222515544⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴PQ＝2PO＝15. 2．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．20．（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y＝700x，当10＜x≤90时，y＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝300x；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元．【解析】【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．【详解】（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元．由题意得：3200﹣5（x﹣10）＝2800，解得：x＝90．答：商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：当0≤x≤10时，y＝（3200﹣2500）x＝700x，当10＜x≤90时，y＝[3200﹣5（x﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝（2800﹣2500）•x＝300x；（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，函数y＝700x，y＝300x均是y随x增大而增大，而y＝﹣5x2+750x＝﹣5（x﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y随x增大而增大．由上述分析得x的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元，答：公司应将最低销售单价调整为2875元．本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．21．（1）见解析.（2）23【解析】【分析】（1）先证明四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定四边形BCDE是菱形；（2）连接AC，根据平行线的性质及角平分线的定义证得∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，即可得AB＝BC＝2，根据锐角三角函数的定义求得∠ADB＝30°，所以∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt △ACD中，即可求得AC＝23．【详解】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝2，∵AD＝2BC＝4，∴sin∠ADB＝12，∴∠ADB＝30°，∵四边形BCDE是菱形．∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝4，∴AC＝23．本题考查了菱形的判定及解直角三角形的知识，熟练运用菱形的判定方法及解直角三角形是解决问题的关键.22．（1）见解析；（2）∠EFM＝∠BMF，AM＝BM（或：M是AB中点）．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠AEF＝∠CFE，AD=BC，根据角平分线的定义和中点的定义可得∠AEM＝∠CFN，AE＝CF，利用ASA即可证明△AME≌△CNF，可得EM＝FN，∠FEM＝∠FEN，根据内错角相等可得EM//FN，即可证明四边形EMFN是平行四边形；（2）由AE=BF，AE//BF可得四边形ABFE是平行四边形，可得EF//AB，可得∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，由角平分线可得∠AEM=∠MEF，即可证明∠AEM=∠AME，可得AE=AM，由AB=AD可得M为AB中点，即可证明BM=BF，进而可得∠BMF=∠BFM，即可证明∠BFM=∠EFM，可得∠EFM+∠EFN=90°，可得四边形EMFN是矩形．【详解】(1)在□ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝12AD，CF＝12BC，又∵AD＝BC，∴AE＝CF，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE，∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC，∴∠AEM＝∠FEM＝12∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝12∠CFE，∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝12∠AEF，∠CFN＝12∠CFE，∴∠AEM＝∠CFN，在△AME和△CNF中A CAE CFAEM CFN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AME≌△CNF（ASA），∵∠FEM＝∠FEN，∴EM∥FN，∵△AME≌△CNF，∴EM＝FN，∵EM∥FN，EM＝FN，∴四边形EMFN是平行四边形．（2）∵AE=BF，AE//BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB//EF，∴∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，∵∠AEM=∠MEF，∴∠AEM=∠AME，∴AE=AM，∵E为AD中点，AB=AD，∴M为AB中点，即AM=BM，∵AE=BF，∴BM=BF，∴∠BMF=∠BFM，∴∠BFM=∠EFM，∵∠EFN=∠CFN，∴∠EFM+∠EFN=90°，即∠MFN=90°，∴四边形EMFN是矩形．故答案为：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM（或：M是AB中点）．【点睛】本题考查平行四边形的判定及矩形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.23．(1)本次参加抽样调查的居民有600人；(2)见解析；(3)16.【解析】【分析】（1）用喜欢B类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢C类的人数，再计算出喜欢A类的人数的百分比和喜欢C类的人数的百分比，然后补全条形统计图和扇形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】(1)60÷10%＝600，所以本次参加抽样调查的居民有600人；(2)喜欢C类的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120(人)，喜欢A类的人数的百分比为180600×100%＝30%；喜欢C类的人数的百分比为120600×100%＝20%；两幅统计图补充为：(3)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小明同时选中花生粽子和红枣粽子的结果数为2， 所以小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率＝212＝16． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．24．（1）y 的最小值为﹣4，m ＝﹣8；（2）21182y x x =-+ ，开口向下． 【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质得此时y 的最小值，利用对称性得到B （﹣8，0），从而确定m 的值；（2）设交点式y ＝ax （x ﹣4），再把A （﹣4，﹣4）代入求得a ＝18-，从而得到抛物线解析式，利用二次函数的性质确定抛物线开口方向．【详解】解：（1）∵该抛物线的对称轴经过点A ，∴点A （﹣4，﹣4）为抛物线的顶点，对称轴为直线x ＝﹣4，∴此时y 的最小值为﹣4；∵点B 和原点为抛物线的对称点，∴B （﹣8，0），∴m ＝﹣8；（2）当m ＝4时，即B （4，0），设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣4），把A （﹣4，﹣4）代入得﹣4＝a×（﹣4）×（﹣4﹣4），解得a ＝18-，∴抛物线解析式为y ＝18-x （x ﹣4），即y ＝18-x 2+12x ，∵a＜0，∴抛物线开口向下．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．25．（1）20(018)4432(1830)x xyx x＜≤≤⎧=⎨-+≤⎩；（2）试销售期间，日销售最大利润是1080元；（3）连续两天的销售利润之和为1980元的是第16，17两天和第25，26两天．【解析】【分析】（1）根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，根据第23天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少4件，即可求出线段DE的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D的坐标，此题得解；（2）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于960元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润;(3) 设第x天和第（x＋1）天的销售利润之和为1980元,据此列出方程，根据取值范围解答即可.【详解】（1）20(018),4432(1830).x xyx x≤≤⎧=⎨-+≤⎩＜（2）当0≤x≤18时，根据题意得，（9﹣6）×20x≥960，解得：x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得，（9﹣6）×（－4x＋432）≥960，解得：x≤28．∴16≤x≤28． 28－16＋1＝13（天），∴日销售利润不低于960元的天数共有13天．由20x＝－4x＋432解得，x＝18，当x＝18时，y＝20x＝360，∴点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×（9－6）＝1080（元），∴试销售期间，日销售最大利润是1080元．（3）设第x天和第（x＋1）天的销售利润之和为1980元．∵1980÷（9﹣6）＝660＜340×2，∴x＜17，或x＋1＞23，当x＜17时，根据题意可得20x＋20（x＋1）＝660，解得x＝16，符合，当x＋1＞23时，－4x＋432－4（x＋1）＋432＝660，解得x＝25，符合，∴连续两天的销售利润之和为1980元的是第16，17两天和第25，26两天．【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求出OD的函数关系式以及依照数量关系找出DE的函数关系式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（）A.1B.2C.3D.32．如图，AB，AC均为⊙O的切线，切点分别为B，C，点D是优弧BC上一点，则下列关系式中，一定成立的是（）A．∠A+∠D＝180°B．∠A+2∠D＝180°C．∠B+∠C＝270°D．∠B+2∠C＝270°3．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交于C、D，经过点B的直线EF分别与⊙O1、⊙O2交于E、F，且EF∥O1O2．下列结论：①CE∥DF；②∠D＝∠F；③EF＝2O1O2．必定成立的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)．若有36枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品( )A.22张B.23张C.24张D.25张5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠ABD＝24°，则∠C的度数是（）A.48°B.42°C.34°D.24° 6．已知抛物线2(0)y ax bx c a b =++>> 与x 轴最多有一个交点.现有以下四个结论：①24b ac ≥ ；②该抛物线的对称轴在y 轴的左侧；③关于x 的方程210ax bx c +++=有实数根；④0a b c -+≥ .其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，△ABC 为等边三角形，如果沿图中虚线剪去∠B ，那么∠1+∠2等于（ ）A ．120°B ．135°C ．240°D ．315°8．计算正确的是（ ）A.()020190-=B.623x x x ÷=C.()423812a b a b -=-D.45326a a a ⋅= 9．如图，DE ∥BC ，CD 平分∠ACB ，∠AED ＝50°，则∠EDC 的度数是（ ）A ．50°B ．40°C ．30°D ．25°10．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点O ，则下列判断不正确的是（ ）A ．△ABC ≌△DCB B ．△AOD ≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC11．△OAB 在第一象限中，OA ＝AB ，OA ⊥AB ，O 是坐标原点，且函数y ＝1x正好过A ，B 两点，BE ⊥x 轴于E 点，则OE 2﹣BE 2的值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．412．如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，BC ∥x 轴，∠OAB ＝90°，点C （3，2），连接OC ．以OC 为对称轴将OA 翻折到OA′，反比例函数y ＝k x的图象恰好经过点A′、B ，则k 的值是（ ）A ．9B ．133C ．16915D ．33二、填空题 13．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，AC ＝8，BD 为边AC 上的中线，点E 在边BC 上，且BE ：BC ＝3：8，点P 在Rt △ABC 的边上运动，当PD ：AB ＝1：2时，EP 的长为_____．14．02019的相反数是____.15．若x=4，则|x ﹣5|=________．16．一元二次方程2360x x -=的解是________．17．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为_______．18．一个圆锥的底面积是40cm 2，高12cm ，体积是__________cm 3．三、解答题19．先化简代数式：222111a a a a a +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，再代入一个你喜欢的数求值. 20．（1）计算：09(21)|3|+---；（2）化简：﹣2（a ﹣3）+（a+1）221．第36届全国信息学冬令营在广州落下帷幕，长郡师生闪耀各大赛场，金牌数、奖牌数均稳居湖南省第一．学校拟预算7700元全部用于购买甲、乙、丙三种图书共20套奖励获奖师生，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元，设购买甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：(1)请求出y与x的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围)；(2)若学校购买的甲、乙两种图书共14套，求甲、乙图书各多少套？(3)若学校购买的甲、乙两种图书均不少于1套，则有哪几种购买方案？22．如图，把可以自由转动的圆形转盘A，B分别分成3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字．小明和小颖两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针两区域的数字均为奇数，则小明胜；若指针两区域的数字均为偶数，则小颖胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．23．某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？24．如图是集体跳绳的示意图，绳子在最高处和最低处时可以近似看作两条对称的抛物线，分别记为C1和C2，绳子在最低点处时触地部分线段CD＝2米，两位甩绳同学的距离AB＝8米，甩绳的手最低点离地面高度AE＝BN＝1516米，最高点离地AF＝BM＝2316米，以地面AB、抛物线对称轴GH所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线C1和C2的解析式；（2）若小明离甩绳同学点A距离1米起跳，至少要跳多少米以上才能使脚不被绳子绊住？（3）若集体跳绳每相邻两人（看成两个点）之间最小距离为0.8米，腾空后的人的最高点头顶与最低点脚底之距为1.5米，请通过计算说明，同时进行跳绳的人数最多可以容纳几人？（温馨提醒：所有同学起跳处均在直线CD上，不考虑错时跳起问题，即身体部分均在C1和C2之间才算通过），（参考数据：2＝1.414，3≈1.732）25．父亲节即将到来之际，某商店准备购进A 、B 两种男装进行销售，其中每套B 种男装的进价比每套A 种男装的进价多40元用6000元购进A 种男装的数量是用2400元购进B 种男装数量的3倍.(1)求每套A 种男装和每套B 种男装的进价各是多少元：(2)若该商店本次购进B 种男装的数量比购进A 种男装的数量的2倍还多3套，该商店每套A 种男装的销售价格为280元，每套B 种男装的销售价格为350元，若将本次购进的A 、B 两种男装全部售出后获得的利润不少于6930元，那么该商店至少需要购进A 种男装多少套?【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B C D B A C D D BD C 二、填空题13．32或392或31214．-115．116．0x =或2x =17．25518．160三、解答题19．13【解析】【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的值计算.【详解】解：原式2211(1)(1)a a a a a a ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥-+-⎣⎦2(1)21(1)(1)a a a a a a +---=⋅+-11a =+. 使原分式有意义的a 值可取2， 当2a =时，原式11213==+. 【点睛】考核知识点：分式的化简求值.掌握分式的运算法则是关键.20．（1）1；（2）a 2+7.【解析】【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用完全平方公式化简得出答案．【详解】解：（1）原式＝3+1﹣3＝1；（2）原式＝﹣2a+6+a 2+2a+1＝a 2+7．【点睛】此题主要考查了实数运算以及整式运算，正确掌握运算法则是解题关键．21．(1)y ＝﹣53x+18；(2)购买甲种图书6套，乙种图书8套；(3)共有三种购买方案：①购买甲种图书3套，乙种图书13套，丙种图书4套；②购买甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套；③购买甲种图书9套，乙种图书3套，丙种图书8套．【解析】【分析】（1）根据题意设购买甲种图书x 套，乙种图书y 套即可列出方程（2）根据题意x+y=14,在于（1）组成方程组，即可解答（3）根据题意x≥1，51813x -+≥，求出解集，再根据x 为整数，即可解答【详解】(1)设购买甲种图书x 套，乙种图书y 套，则购买丙种图书(20﹣x ﹣y)套，依题意，得：500x+400y+250(20﹣x ﹣y)＝7700，∴y ＝﹣53x+18． (2)依题意，得：145-183x y y x +=⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：6{8x y ==， ∴购买甲种图书6套，乙种图书8套．(3)依题意，得：151813xx≥⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，解得：1≤x≤1015．∵x，﹣53x+18，20﹣x﹣(﹣53x+18)为整数，∴x＝3，6，9．∴共有三种购买方案：①购买甲种图书3套，乙种图书13套，丙种图书4套；②购买甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套；③购买甲种图书9套，乙种图书3套，丙种图书8套．【点睛】此题考查二元一次方程组的解和一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程组22．这个游戏规则对双方公平，见解析.【解析】【分析】利用树状图列举出所有情况，分别求得两人获胜的概率，比较大小即可得知这个游戏规对双方是否公平．【详解】这个游戏规则对双方公平，理由如下：如图所示：共9种情况，其中均为偶数的有2种结果，均为奇数的情况数有2种，所以小明获胜的概率为29、小颖获胜的概率为29，∵29＝29，∴这个游戏规则对双方公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．23．（1）y＝﹣x2+200x﹣6400（50≤x≤60且x为整数），y＝﹣2x2+300x﹣8800（60＜x≤80且x为整数）；（2）每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元.【解析】【分析】（1）由于售价为60时，每个月卖100件，售价上涨或下调影响销量，因此分为50≤x≤60和60＜x≤80两部分求解；（2）由（1）中求得的函数解析式来根据自变量x的范围求利润的最大值．【详解】解：（1）当50≤x≤60时，y＝（x﹣40）（100+60﹣x）＝﹣x2+200x﹣6400；当60＜x≤80时，y＝（x﹣40）（100﹣2x+120）＝﹣2x2+300x﹣8800；∴y＝﹣x2+200x﹣6400（50≤x≤60且x为整数）y ＝﹣2x 2+300x ﹣8800（60＜x≤80且x 为整数）；（2）当50≤x≤60时，y ＝﹣（x ﹣100）2+3600；∵a ＝﹣1＜0，且x 的取值在对称轴的左侧，∴y 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，y 有最大值2000；当60＜x≤80时，y ＝﹣2（x ﹣75）2+2450；∵a ＝﹣2＜0，∴当x ＝75时，y 有最大值2450．综上所述，每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．【点睛】本题考查的是函数方程和实际结合的问题，同学们需掌握最值的求法．24．(1) 221213911,y x 16161616y x =+=-;(2) 至少要12跳米以上才能使脚不被绳子绊住;(3) 8人． 【解析】【分析】（1）先写出点C 、D 、E 、F 的坐标，然后设解析式代入求解即可；（2）小明离甩绳同学点A 距离1米起跳，可得此点的横坐标，代入C 2解析式，即可求得；（3）用y 1减去y 2，让其等于1.5，解出相应点的横坐标，求出这两个点的横坐标之间的距离，然后用间隔0.8乘以人数减1，即可解出．【详解】解：（1）由已知得：C （﹣1，0），D （1，0），E （﹣4，1516），F （﹣4，2316）， 设C 2解析式为：2y = a ( x + 1 ) ( x - 1 )，把154,16⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得15a ＝1516， ∴116a =， ∴22111616y x =-． 由对称性，设C 1解析式21116y x c =-+，把F （﹣4，2316）代入得c ＝3916， ∴211391616y x =-+ 故答案为：抛物线C 1和C 2的解析式分别为：211391616y x =-+，22111616y x =-． （2）把x ＝﹣3代入22111616y x =-得2111916162y =⨯-=，∴至少要跳12米以上才能使脚不被绳子绊住． （3）由y 1﹣y 2＝1.5得：2213911 1.516161616x x -+-+= ∴1222,22x x ==-，∴x 1﹣x 2＝42≈4×1.414＝5.656，设同时进行跳绳的人数最多可以容纳x 人则0.8（x ﹣1）≤5.656，∴x≤8.07∴同时进行跳绳的人数最多可以容纳8人．【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要分析题意，构建函数模型，从而求解，难点在于如何分析题意列式．25．（1）每套种A 男装进价为200元，每套B 种男装进价为()23a +元；（2）该商店至少需要购进A 种男装22套.【解析】【分析】(1)关键语是"其中每套B 种男装的进价比每套A 种男装的进价多40元用6000元购进A 种男装的数量是用2400元购进B 种男装数量的3倍.”可根据此列出方程（2）本题中“购进B 种男装的数量比购进A 种男装的数量的2倍还多3套，该商店每套A 种男装的销售价格为280元，每套B 种男装的销售价格为350元，若将本次购进的A 、B 两种男装全部售出后获得的利润不少于6930元"看得出关于利润的不等式方程,组成方程组后得出未知数的取值范围,然后根据取值的不同情况,列出不同的方案【详解】（1）解：设每套A 种男装进价为x 元，则每套B 种男装的()40x +元.根据题意 得60002400340x x =⨯+ 解得200x =检验：经检验200x =是原方验程的解.4020040240x ∴+=+=元答：每套种A 男装进价为200元，每套B 种男装进价为()23a +元.（2）解：设该商店需要购进种男装 套，则需要购进种男装 套根据题意得()()()280200350240236930a a -+-+≥解得：22a ≥答：该商店至少需要购进A 种男装22套.【点睛】。
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(1)设正n边形的边长为a，则边心距r＝
R2
a 2
2
；
(2)正n边形的周长l＝na；
正n边形的面积S＝ 1 nar＝ 1 lr；
360 2
2
(3)中心角θ＝___n___.
提分要点
正多边形的有关计算常用方法是直接利用或构造出由半
径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，然后再利
用勾股定理求解．
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角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如图中
圆周角
的∠BAC
连接圆上任意两点的线段，如线段AC、AB是⊙O 定义
的弦
弦 直径 过圆心的弦，如线段AB是⊙O的直径
弦心距 圆心到弦的距离
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定义 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
半圆
圆上任意一条直径的两个端点把圆分成能够完全重合的两 条弧，每一条弧都叫做半圆
考点 3 垂径定理及其推论(10年8考，2次单独考查)
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1. 定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2. 推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3. 总结：根据圆的对称性，如图所示，有以下五个结论： (1) ¼AC B»C ； (2)___D»_A____＝ D»B ；
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名称
内容
在同圆或等圆中，相等的圆心角所 定理 对的弧相等，所对的弦也相等，如图，
若∠AOB＝∠COD，则 »AB C»D ，AB＝CD 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___相__等___，所 推论 对的弦__相__等____，如图，若 »AB C»D，则∠AOB＝_∠_C__O_D__，AB＝___C__D___ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角___相__等___，所 对的弧__相__等____，如图，若AB＝CD，则∠AOB＝∠__C_O_D__，»AB C»D
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考点 6 正多边形与圆
1. 正多边形与圆的关系 (1)正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心； (2)正多边形的半径：外接圆的半径； (3)正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角； (4)正多边形的边心距：正多边形的中心到一边的距离．
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2. 正多边形和圆的相关计算
问题5 若AC⊥BD，垂足为点F，BD＝8，AF＝2，求⊙O的半径． 解：设⊙O的半径为r， ∵AC⊥BD，BD＝8， ∴BF＝4. ∵AF＝2，则OF＝r－2. 在Rt△OBF中，OB2＝BF2＋OF2，即r2＝16＋(r－2)2， 解得r＝5. ∴⊙O的半径为5.
练习1 (2019黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧( »AB)，点O是这 段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是(»AB )的中点，点D是AB的中点， 且CD＝10 m．则这段弯路所在圆的半径为( A )
弧 优弧 大于半圆的弧，如 ¼ ABC
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劣弧 小于半圆的弧，如 ¼AC
等弧 能够完全重合的弧Fra bibliotek圆的 性质
对称性
1.圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴； 2．圆也是中心对称图形，___圆__心___是它的对称中心
旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
考点 2 弧、弦、圆心角之间的关系
(3)AE＝___B__E___； (4)AB⊥___C__D___；
(5)CD是直径．
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三． 4. 应用：半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足勾股定理OB2＝OE2＋
BE2，常用于在圆中求线段长．
考点 4 圆周角定理及其推论(10年3考，1次单独考查)
回归教材 证明：圆内接四边形对角互补. 已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O.求证：∠A＋∠C＝180°，∠ABC ＋∠ADC＝180°.老师要求几个人用合作方式完成这道题的证明过程．规 则是：每人接着前一人的步骤往下写一步，最后完成证明过程．以下是甲、 乙、丙、丁四人的接力过程，其中出现错误的人是( B )
考点 1 圆有关的概念及性质
平面上到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形叫做圆．这 圆的定义 个定点叫做圆心，定长叫做圆的 半径，以点O为圆心，OA的长为 半径的圆记作⊙O 不在同一直线上的三点确定一个圆．圆心确定圆的位置 圆的确定 ，半径确定圆的大小
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圆心角 顶点在_圆__心___的角，如图中的∠AOC，∠COB
A. 甲 B. 乙 C. 丙和丁 D. 甲和乙
题图
典例“串”考点
圆基本性质的相关计算 例 如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径．连接AB、BC、 CD、AD、DB、OD、OB.AC与BD交于点F，请回答下列问题：
问题1 若∠ACB＝30°，则∠BOC＝__1_2_0_°__ ，∠BDC＝___6_0_°__，
A. 25 m B. 24 m C. 30 m D. 60 m
练习1题图
练习2 (2019秦皇岛抚宁区台营学区期末)如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，
4
点C是优弧 »AB 上一点(不与A，B重合)，则cosC的值为____5____．
练习2题图
点击链接至练习册
1. 定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一__半____． 2. 推论：(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角___相__等___； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是___直__角___，
90°的圆周角所对的弦是___直__径___．
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考点 5 圆内接四边形
1. 概念： 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫做圆内接多边形． 2. 性质：(1)圆内接四边形的对角__互__补__，如图，∠A＋ ∠BCD＝__1_8_0_°_，∠B＋∠D＝__1_8_0_°_； (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，如图， ∠DCE＝___∠__A___．
∠AOB＝____6_0_°_ ，∠ADB＝___3_0_°___； 问题2 若∠BAC＝40°，则∠OBC＝____5_0_°__；
例题图
问题3 若⊙O的半径为2，∠AOB＝∠AOD＝60°，则AB＝____2___，AD＝____2___；
问题4 若 »AB C»D ，∠BOC＝100°，则∠AOB＝___8_0_°_，∠COD＝___8_0_°__ ；
第一节 圆的基本性质
（必考，1～2道，2～11分）
目 录
1 点对点“过”考点 2 典例“串”考点 3 中考试题中的数学文化
圆的有关概念及性质
圆周角定理及其推论
弧、弦、圆心之间的关系 圆的基本性质 圆内接四边形
垂径定理及推论
正多边形与圆
点对点“过”考点
【对接教材】冀教：九上第二十八章P145－P166，九下第二十九章P16－P19； 人教：九上第二十四章P79－P91、P105－P110； 北师：九下第三章P65－P88、P97－P99.