中考数学总复习分层提分训练：圆的基本性质含答案(以2010-2012年真题为例)
中考数学复习《圆的基本性质》练习题含答案
中考数学复习 圆的基本性质一、选择题1．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠OBC ＝50°，则∠A 的度数是( A ) A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°【解析】∠A ＝12∠COB ＝12(180°－2∠OBC )＝12(180°－2×50°)＝40°.,第1题图) ,第2题图)2．如图为4×4的网格，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是( B ) A ．△ACD 的外心 B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ABC 的内心3．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )A ．26πB ．13π C.96π5 D.3910π5【解析】连结OA ，∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，∴AM ＝12AB ＝6，∵OM ∶MD ＝5∶8，∴设OM ＝5x ，DM ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，∴AM ＝12x ＝6，∴x ＝12，∴OA ＝132，∴⊙O 的周长＝2OA ·π＝13π.故选B.,第3题图) ,第4题图)4．如图，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是弧AB 上一点，则∠ACB ＝( D ) A ．110° B ．120° C ．122° D ．119°【解析】因为同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以与∠AOB 所对同弧的圆周角度数为12∠AOB ＝61°，由圆内接四边形对角互补，得∠ACB ＝180°－61°＝119°，故选D.5．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O 的直径AB ＝100，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M (最高点)，此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止．设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 与t 之间的关系是( C )【解析】设运动员的速度为v ，则运动的路程为v t ，设∠BOC ＝α，当点C 从B 运动到M 时，∵v t ＝α·π·50180＝5πα18，∴α＝18v t 5π，在直角三角形中，∵d ＝50sin α＝50sin 18v t5π，∴d 与t之间的关系d ＝50sin 18v t 5π，当点C 从M 运动到A 时，d 与t 之间的关系d ＝50sin(180－18v t5π)，故C 正确．二、填空题6．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB ︵上一点．若∠OAB ＝25°，∠OCA ＝40°，则∠BOC 的大小为__30__度．【解析】∵∠BAO ＝25°，∠ACO ＝40°，OA ＝OC ，∴∠C ＝∠CAO ＝40°，∴∠CAB ＝∠CAO －∠BAO ＝15°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝30°.,第6题图) ,第7题图)7．如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为__70°__．【解析】∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，∴∠DOE ＝180°－40°＝140°，∴∠P ＝12∠DOE ＝70°.8．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是__522__．,第8题图) ,第9题图)9．如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长度为__76__．【解析】连结OD ，∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，∴AB ⊥CD ，∴∠OHD＝∠BHD ＝90°，∵cos ∠CDB ＝DH BD ＝45，BD ＝5，∴DH ＝4，∴BH ＝BD 2－DH 2＝3，设OH＝x ，则OD ＝OB ＝x ＋3，在Rt △ODH 中，由勾股定理得x 2＋42＝(x ＋3)2，解得x ＝76，∴OH＝76. 若点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为__2－3或2＋3__．【解析】存在两种情况，当△ABC 为钝角三角形时，连结OB ，OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，OB ＝OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝2，OA ⊥BC 于点D ，∴CD ＝1，OD ＝22－12＝3，∴S △ABC ＝BC ·AD 2＝2×（2－3）2＝2－3；当△ABC 为锐角三角形时，连结OB ，OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，OB ＝OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝2，OA ⊥BC 于点D ，∴CD ＝1，OD ＝22－12＝3，∴S △ABC ＝BC ·DA 2＝2×（2＋3）2＝2＋3，由上可得，△ABC 的面积为2－3或2＋ 3.三、解答题11．如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°.(1)求∠EBC 的度数； (2)求证：BD ＝CD .解：(1)∠EBC ＝22.5° (2)证明略12．如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC ＝13，求AB 的长．解：如图，作直径AE ，连结CE ，∴∠ACE ＝90°，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝90°，∴∠ACE ＝∠AHB ，∵∠B ＝∠E ，∴△ABH ∽△AEC ，∴AB AE ＝AHAC，∵AC ＝24，AH ＝18，AE ＝2OC ＝26，∴AB ＝18×2624＝39213．如图，A ，P ，B ，C 是圆上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°，AP ，CB 的延长线相交于点D .(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)若∠P AC ＝90°，AB ＝23，求PD 的长． 解：(1)∵∠ABC ＝∠APC ，∠BAC ＝∠BPC ，∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形 (2)∵△ABC 是等边三角形，AB ＝23，∴AC ＝BC ＝AB ＝23，∠ACB ＝60°.在Rt △PAC 中，∠PAC ＝90°，∠APC ＝60°，AC ＝2 3.∴AP ＝2.在Rt △DAC 中，∠DAC ＝90°，AC ＝23，∠ACD ＝60°，∴AD ＝6.∴PD ＝AD －AP ＝6－2＝414. 如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°. (1)判断△ABC 的形状；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．解：(1)等边三角形(2)PA ＋PB ＝PC.证明：如图，在PC 上截取PD ＝PA ，连结AD.∵∠APC ＝60°， ∴△PAD 是等边三角形，∴PA ＝AD ，∠PAD ＝60°.又∵∠BAC ＝60°， ∴∠PAB ＝∠DAC. ∵AB ＝AC, ∴△PAB ≌△DAC ，∴PB ＝DC. ∵PD ＋DC ＝PC, ∴PA ＋PB ＝PC(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 面积最大．理由：如图，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E, 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F .∵S △PAB ＝12AB·PE ，S △ABC ＝12AB·CF ，∴S 四边形APBC＝12AB (PE ＋CF )．∵当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 直径，∴四边形APBC 面积最大．又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝3，∴S 四边形APBC ＝12×2×3＝3。
中考数学分类(含答案)圆的有关性质.docx
中考数学分类（含答案）的有关性一、1 ．（ 2010 安徽省中中考 ） 如 ，⊙ O 点 B 、 C 。
心 O 在等腰直角△ ABC 的内部， ∠ BAC ＝ 90 0 ，OA ＝1 ， BC ＝ 6 ， ⊙ O 的半径 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ）A ）10 B ）2 3C ）3 2D ） 13【答案】 C2 ．（ 2010 安徽蚌埠二中）以半 的一条弦BC （非直径） 称 将弧BC 折叠后与直径 AB 交于点 D ，若AD2，且AB 10， CB 的DB3 A ．45 B ．4 3C ．4 2D ．4【答案】 A3 ．（2010 安徽 湖 ）如 所示，在 ⊙ O 内有折 OABC ，其中 OA ＝ 8 ，AB ＝ 12 ，∠ A ＝∠ B ＝ 60 °，BC 的 （）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】 D4 ．（ 2010 甘 州） 有下列四个命 ：①直径是弦；② 三个点一定可以作 ；③三角形的外心到三角形各 点的距离都相等；④半径相等的两个半 是等弧．其中正确的有 A ．4个B ．3个C ．2个D ． 1个【答案】B5 ．（ 2010甘肃兰州）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、 B 的读数分别为86 °、 30 °，则∠ACB的大小为A．15 B ．28C．29 D ．34【答案】B6 ．（ 2010江苏南通）如图，⊙ O 的直径 AB =4，点 C 在⊙ O 上，∠ ABC =30°，则 AC的长是A． 1 B ． 2C ．3D ． 2【答案】 D7 ．（ 2010山东烟台）如图，△ABC 内接于⊙ O ， D 为线段 AB 的中点，延长OD 交⊙ O于点 E ，连接AE ， BE ，则下列五个结论①AB ⊥ DE, ② AE=BE, ③ OD=DE,④∠ AEO=∠C, ⑤,正确结论的个数是A、2B、3C、4D、5【答案】 B8 ．（ 2010台湾）如图(二)，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD 与 AC 交于E 点，且 OD AC 。
中考复习讲义 圆的基本概念与性质含答案.doc
圆的基本概念与性质内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作»AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
一 与圆有关概念【例1】 判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( )中考说明自检自查必考点中考必做题（7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHGFE DC B A【答案】B【例3】 如图，直线12l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】 如图，ABC ∆内接于O e ，84AB AC D ==，，是AB 边上一点，P 是优弧¼BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．证明：∵P 是优弧¼ABC 的中点∴»»PBPC = ∴PB PC =在PBD ∆与PCA ∆中， ∵4PB PC PBD PCB BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴PBD PCA SAS ∆∆≌（）．∴PD PA =，即4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．【例5】 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ⇒⇒⇒⇒滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ⇒⇒⇒⇒滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为_________【答案】4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．二 垂径定理及其应用【例6】 如图，AB 是O e 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若82BC ED ==，，求O e 的半径．【答案】（1）不同类型的正确结论有：22290•ABC BE CE BD DC BED BOD A AC OD AC BC OE BE OB S BC OE BOD BOE BAC ==∠=︒∠=∠⊥+==⋯V P V V V ①；②弧弧；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨是等腰三角形；⑩∽（2）∵OD BC ⊥，∴12BE CE ==4BC =设O e 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-，在Rt OEB V中，由勾股定理得： 22222224OE BE OB R R +=-+=，即（），解得：5R = ，∴O e 的半径为5．【例7】 如图，在O e 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______【答案】23【例8】 如图，D 内接于O e ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O e 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤»¼12AB ACB =，正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】A【例9】 如图，AB 为O e 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）AA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【答案】B【例10】 如图，AB 是O e 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O e 的直径为（ ）BAA ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A【例11】 如图，O e 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O e 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ） A ．1B C ．2D ．【答案】D【例12】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A ．2BC ．D ．3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD==，由勾股定理得半径OA =ODCBA【例13】 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）． （2）OE5． ∴将水排干需：50.510÷=小时．【例14】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）ABCDA ．5米B ． 8米C ．7米 D．米 【答案】B【例15】 如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8OC CD ==,则AE =_______OBA【答案】2【例16】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6 【答案】A【例17】 已知，如图，1O e 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O e 的半径。
初中数学《圆的基本性质》中考集锦(含答案)
初中数学《圆的基本性质》好题集锦一、圆的有关线段和角1．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BOC ＝120°，延长BO 交⊙O 于D 点．(1)试求∠BAD 的度数； (2)求证：△ABC 为等边三角形．2．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD ． (1)求证：AD ＝AN ；(2)若AB ＝24，ON ＝1，求⊙O 的半径．3．已知,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,点C ．、P 在AB 的两侧,AC =21AB ,连接CP ,BP ． (Ⅰ)如图①,若CP 经过圆心,求∠P 的大小；(Ⅱ)如图②,点D 是PB 上一点,CD ⊥PB ,若CP ⊥AB ,求∠BCD 的大小．4．如图，⊙P 的圆心的坐标为(2，0)，⊙P 经过点)25,4(B ．(1)求⊙P 的半径r ；(2)⊙P 与坐标轴的交点A ，E ，C ，F 的坐标；(3)点B 关于x 轴的对称点D 是否在⊙P 上，请说明理由．5．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF =BF ；（2）若CD =6，AC =8，求CE 的长．6．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ． （1）求证：∠DAC ＝∠DBA ； （2）求证：P 是线段AF 的中点；（3）连接CD ，若CD ＝3，BD ＝4，求⊙O 的半径和DE 的长．7．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD ＝60°，DC＝DE．求证：（1）AB＝AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．二、圆与四边形8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC 的外接圆O于点E，连结A E.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连结CO，求证：CO平分∠BCE.9．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．10.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．11．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有________．（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD①证明：四边形ABCD是“十字形”；②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．三、圆的综合运用12．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD┴OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．13．如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD（1）求证：∠C=∠D；（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围(用含r的代数式表示)．14．如图，有两条公路OM、ON相交成 30°角，沿公路OM方向离O点 80 米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心 50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为 18 千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．15．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D 两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F．（1）求证：∠BFC=∠ABC．（2）若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长．《圆的基本知识好题》参考答案1.解：(1)∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°(直径所对的圆周角是直角)．(2)证明：∵∠BOC ＝120°，∴∠BAC ＝21∠BOC ＝60°.又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形． 2.(1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°，∵∠ANE ＝∠CNM ，∴∠BAM ＝∠BCD ， ∴∠BAM ＝∠BAD ，，∴△ANE ≌△ADE (A S A )，∴AN ＝AD ；(2)解：∵AB ＝42，AE ⊥CD ,∴AE ＝22，又∵ON ＝1，∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，OD ＝OE ＋ED ＝2x －1，解图，连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，第2题解图3.解:(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵AC =21AB ,∴∠ABC =30°,∴∠A =90°－∠ABC =60°, ∴∠P =∠A =60°;(Ⅱ) ∵AB 是⊙O 的直径,AC =21AB , ∴∠A =60°,∴∠BPC =∠A =60°, ∵CD ⊥PB ∴∠PCD =90°－BPC =30°,∵CP ⊥AB ,AB 是⊙O 的直径, ∴BC =BP ,∴∠P =∠BCP =60°,∴∠BCD =∠BCP －∠PCD =60°－30°=30°.4..解：(1)过点B 作x 轴的垂线，交x 轴于点G ，连接BP . 则点G 坐标为(4，0)．在Rt △PBG 中，PG ＝4－2＝2，BG ＝25，斜边PB ＝241∴⊙P 的半径r ＝241.(2)点E 坐标为(2－241，0)，点F 坐标为(2＋241，0)∵点A 坐标的y 值＝25，∴点A 坐标为(0，25)．点C 坐标为(0，－25)． (3)∵⊙P 关于x 轴对称，又∵B 与D 关于x 轴对称，∴D 在⊙P 上．5.证明：如图．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，又∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝90°.∴∠2＝90°－∠ACE ＝∠A . 又∵C 是弧BD 的中点，∴∠1＝∠A .∴∠1＝∠2，∴ CF ＝BF .（2）此时，CE =5246.（1）证明：∵BD 平分∠CBA ， ∴∠CBD ＝∠DBA ，∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD ， ∴∠DAC ＝∠DBA ；（2）证明：∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°，∵DE ⊥AB 于E ， ∴∠DEB ＝90°，∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，∴∠1＝∠5＝∠2， ∴PD ＝P A ，∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB ＝90°，∴∠3＝∠4， ∴PD ＝PF ，∴P A ＝PF ，即P 是线段AF 的中点；（3）解：连接CD ， ∵∠CBD ＝∠DBA ，∴CD ＝AD ，∵CD ＝3，∴AD ＝3， ∵∠ADB ＝90°，AB ＝5，⊙O 的半径为2.5，∵DE ×AB ＝AD ×BD ，∴5DE ＝3×4， ∴DE ＝2.4．即DE 的长为2.4．7.（1）证明：∠ABF ＝∠ADC ＝120°﹣∠ACD ＝120°﹣∠DEC ＝120°﹣（60°+∠ADE ）＝60°﹣∠ADE ， 而∠F ＝60°﹣∠ACF ， 因为∠ACF ＝∠ADE ，所以∠ABF ＝∠F ，所以AB ＝AF ．（2）证明：四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABD ＝∠ACD ， 又DE ＝DC ，所以∠DCE ＝∠DEC ＝∠AEB ， 所以∠ABD ＝∠AEB ， 所以AB ＝AE ． ∵AB ＝AF ，∴AB ＝AF ＝AE ，即A 是三角形BEF 的外心．8.(1)根据圆周角定理知∠E ＝∠B ， 又∵∠B ＝∠D ，∴∠E ＝∠D .∵AD ∥CE ，∴∠D ＋∠DCE ＝180°， ∴∠E ＋∠DCE ＝180°，∴AE ∥DC ，∴四边形AECD 为平行四边形． (2)如图，连结OE ，OB ，由(1)得四边形AECD 为平行四边形， ∴AD ＝EC .又∵AD ＝BC ，∴EC ＝BC . ∵OC ＝OC ，OB ＝OE ， ∴△OCE ≌△OCB (SSS )，∴∠ECO ＝∠BCO ，即OC 平分∠BCE .9.11.解：连接OB ，OC ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BOC =90°，∴∠BPC =21∠BOC =45°；（2）解：过点O 作OE ⊥BC 于点E ， ∵OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE =45°，∴OE =BE ，∵OE 2+BE 2=OB 2 ， ∴BE = 24 ∴BC =2BE =2810.解析：（1）∵A B 是直径， ∴∠AEB =90°，∴AE ⊥BC ， ∵AB =AC ，∴BE =CE ，∵AE =EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形， ∵AC =AB ，∴四边形ABFC 是菱形．（2）设CD =x ．连接BD ． ∵AB 是直径，∴∠ADB =∠BDC =90°， ∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2， ∴（7+x ）2﹣72=42﹣x 2， 解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD=157822=-， ∴S 菱形ABF C=158． ∴S 半圆=ππ84212=⨯11.15. （1）菱形，正方形（2）解：①如图1，连接AC ，BD∵AB ＝AD ，且CB ＝CD∴AC 是BD 的垂直平分线，∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是“十字形”②如图，设AC 与BD 交于点O∵AB =AD ，AC ⊥BD∴∠BAO =∠BAD =30°同理可证∠BCO =45°在Rt △ABO 中，OB =1AO =AB ×cos30°=3OB =OC =1∴AC =AO +CO =1+3， BD =2∴ 四边形ABCD 的面积=21×AB ×BD =21×2×（1+3）=1+3（3）解：如图2∵∠ADB +∠CBD ＝∠ABD +∠CDB ，∠CBD ＝∠CDB ＝∠CAB ，∴∠ADB +∠CAD ＝∠ABD +∠CAB ，∴180°﹣∠AED ＝180°﹣∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＝90°，∴AC ⊥BD ，过点O 作OM ⊥AC 于M ，ON ⊥BD 于N ，连接OA ，OD ，∴OA ＝OD ＝1，OM 2＝OA 2﹣AM 2 ， ON 2＝OD 2﹣DN 2 ， AM ＝21AC ，DN ＝ 21BD ，四边形OMEN 是矩形，∴ON ＝ME ，OE 2＝OM 2+ME 2 ，∴OE 2＝OM 2+ON 2＝2﹣41（AC 2+BD 2） 设AC ＝m ，则BD ＝3﹣m ，∵⊙O 的半径为1，AC +BD ＝3，∴1≤m≤2，∴41423≤≤OE由图可知：以 50m 为半径画圆，分别交 ON 于 B ，C 两点，AD ⊥BC ，BD =CD =21BC ，OA =80m ， ∵在 Rt △AOD 中，∠AOB =30°，AD = 21OA = 21×80=40m ， 在 Rt △ABD 中，AB =50，AD =40，由勾股定理得：BD =30m ， 故BC =2×30=60 米，即重型运输卡车在经过 BC 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为 18 千米/小时，即300 米/分钟，∴重型运输卡车经过 BC 时需要 60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 12 秒．15.（1）连接PA ，如图1所示．∵PO ⊥AD ，∴AO =DO ．∵AD =2，∴OA =．点P 坐标为（﹣1，0），∴OP =1．∴PA ==2．∴BP =CP =2． ∴B （﹣3，0），C （1，0）． （2）连接AP ，延长AP 交⊙P 于点M ，连接MB 、MC ．如图2所示，线段MB 、MC 即为所求作． 四边形AC MB 是矩形．理由如下∵△MCB 由△ABC 绕点P 旋转180°所得，∴四边形ACMB 是平行四边形．∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB =90°．∴平行四边形ACMB 是矩形．过点M 作MH ⊥BC ，垂足为H ，如图2所示．在△MHP 和△AOP 中，∵∠MHP =∠AOP ，∠HPM =∠OPA ，MP =AP ，∴△MHP ≌△AOP ．∴MH =OA =，PH =PO =1．∴OH =2．∴点M 的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG 的大小不变．∵四边形ACMB 是矩形，BMC =90°．EG ⊥BO ，∴∠BGE =90°．∴∠BMC =∠BGE =90°．∵点Q 是BE 的中点，∴QM =QE =QB =QG ．∴点E 、M 、B 、G 在以点Q 为圆心，QB 为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG =2∠MBG ．∵∠COA =90°，OC =1，OA =，∴tan ∠OCA =．∴∠OCA =60°．∴∠MBC =∠BCA =60°．MQG =120°．∴在旋转过程中∠MQG 的大小不变，始终等于120°．16.（1）证明：连结AD ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，∵CF ⊥BD ，∴∠BEF =90°，∵∠ABD +∠ADB =90°，∠ABD +∠BFE =90°，∴∠BFC =∠ADB ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵∠ACB =∠ADB ，∴∠BFC =∠ABC .（2）解：连结CD ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD =90°，∵∠BFC =∠ABC ，∴BC =CF =6，∵BD =10，∴CD =8在Rt △BCE 中，BE=518，CE =524，56 EF ， ,∴AF =AB -BF =1059。
2024年中考数学一轮复习考点精析与真题精练—圆的基本性质
2024年中考数学一轮复习考点精析与真题精练—圆的基本性质→➊考点精析←一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ，圆锥的侧面积为S 圆锥侧=12ππ2l r rl ⋅=．圆锥的表面积：S 圆锥表=S 圆锥侧+S 圆锥底=πrl +πr 2=πr ·（l +r ）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．→➋真题精讲←题型一圆周角和圆心角1．（2023·云南·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点．若66BOC ∠=︒，则A ∠=（）A．66︒B．33︒C．24︒D．30︒【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵ BCBC =，66BOC ∠=︒，∴1332A BOC ∠=∠=︒，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在O 中，若30ACB ∠=︒，6OA =，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A．12πB．6πC．4πD．2π【答案】B 【分析】根据圆周角定理求得60AOB ∠=︒，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵ AB AB =，30ACB ∠=︒，∴60AOB ∠=︒，∴260π66π360S =⨯=．故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，连接BD ，41DCA ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A．41︒B．45︒C．49︒D．59︒【答案】C【分析】由CD 是O 的直径，得出90DBC ∠=︒，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出41ABD ACD ∠=∠=︒，进而即可求解．【详解】解：∵CD 是O 的直径，∴90DBC ∠=︒，∵ AD AD =，∴41ABD ACD ∠=∠=︒，∴904149ABC DBC DBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点．若35BAC ∠=︒，则AOB ∠等于（）A．140︒B．120︒C．110︒D．70︒【答案】A 【分析】连接OC ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接OC ，如图所示：点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点，BC AC ∴=，12BOC AOC AOB ∴∠=∠=∠， 35BAC ∠=︒，根据圆周角定理可知270BOC BAC ∠=∠=︒，2140AOB BOC ∴∠=∠=︒，故选：A．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．5．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，BC AD ∥，AC BD ⊥．若120AOD ∠=︒，AD =CAO ∠的度数与BC 的长分别为（）A．10°，1C．15°，1【答案】C 【分析】过点O 作OE AD ⊥于点E ，由题意易得45CAD ADB CBD BCA ∠=∠=︒=∠=∠，然后可得30OAD ODA ∠=∠=︒，1602ABD ACD AOD ∠=∠=∠=︒，122AE AD ==，进而可得122CD CF CD ====，最后问题可求解．【详解】解：过点O 作OE AD ⊥于点E ，如图所示：∵BC AD ∥，∴CBD ADB ∠=∠，∵CBD CAD ∠=∠，∴CAD ADB ∠=∠，∵AC BD ⊥，∴90AFD ∠=︒，∴45CAD ADB CBD BCA ∠=∠=︒=∠=∠，∵120AOD ∠=︒，OA OD =，3AD =∴30OAD ODA ∠=∠=︒，1602ABD ACD AOD ∠=∠=∠=︒，1322AE AD ==∴15CAO CAD OAD ∠=∠-∠=︒，1cos30AE OA OC OD ====︒，105BCD BCA ACD ∠=∠+∠=︒，∴290,18030COD CAD CDB BCD CBD ∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒，∴1222,22CD OC CF CD ====∴21BC CF ==；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．6．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在O 中，弦AB CD ，相交于点P ，若4880A APD ∠=︒∠=︒，，则B ∠的度数为（）A．32︒B．42︒C．48︒D．52︒【答案】A 【分析】根据圆周角定理，可以得到D ∠的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出B ∠的度数．【详解】解：48A D A ∠=∠∠=︒ ，，48D ∴∠=︒，80APD APD B D ∠=︒∠=∠+∠ ，，804832B APD D ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出D ∠的度数．7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在O 中，半径,OA OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若19ABC ∠=︒，则BAC ∠=（）A．23︒B．24︒C．25︒D．26︒【答案】D 【分析】根据,OA OB 互相垂直可得 ADB 所对的圆心角为270︒，根据圆周角定理可得12701352ACB ∠=⨯︒=︒，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，半径,OA OB 互相垂直，∴90AOB ∠=︒，∴ ADB 所对的圆心角为270︒，∴ ADB 所对的圆周角12701352ACB ∠=︒=︒，又 19ABC ∠=︒，∴18026BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒，故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．8．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，圆的半径为7，60BAC ∠=︒，则弦BC 的长度为___________．【答案】73【分析】连接,OB OC ，过点O 作OD BC ⊥于点D ，先根据圆周角定理可得2120BOC BAC ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的三线合一可得60BOD ∠=︒，2BC BD =，然后解直角三角形可得BD 的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接,OB OC ，过点O 作OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒ ，2120BOC BAC ∴∠=∠=︒，,OB OC OD BC =⊥Q ，1602BOD BOC ∴∠=∠=︒，2BC BD =，∵圆的半径为7，7OB ∴=，7sin 6032BD OB ∴=⋅︒=，23BC BD ∴==故答案为：73【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ∠=︒，则ABC ∠=________︒．【答案】35【分析】由同弧所对的圆周角相等，得55,A CDB ∠=∠=︒再根据直径所对的圆周角为直角，得90ACB ∠=︒，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：,A CDB ∠∠Q 是 BC所对的圆周角，55,A CDB ∴∠=∠=︒AB 是O 的直径，90ACB ∠=︒ ，在Rt ACB △中，90905535ABC A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．10．（2023·上海·统考中考真题）如图，在O 中，弦AB 的长为8，点C 在BO 延长线上，且41cos ,52ABC OC OB ∠==．(1)求O 的半径；(2)求BAC ∠的正切值．【答案】(1)5(2)94【分析】（1）延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，先根据圆周角定理可得90BAD ∠=︒，再解直角三角形可得10BD =，由此即可得；（2）过点C 作CE AB ⊥于点E ，先解直角三角形可得6BE =，从而可得2AE =，再利用勾股定理可得92CE =，然后根据正切的定义即可得．【详解】（1）解：如图，延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，由圆周角定理得：90BAD ∠=︒，弦AB 的长为8，且4cos 5ABC ∠=，845AB BD BD ∴==，解得10BD =，O ∴ 的半径为152BD =．（2）解：如图，过点C 作CE AB ⊥于点E ，O 的半径为5，5OB ∴=，12OC OB =，31522BC OB ∴==，4cos 5ABC ∠=，45BE BC ∴=，即41552BE =，解得6BE =，2AE AB BE ∴=-=，2292CE BC BE =-=，则BAC ∠的正切值为99224CE AE ==．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．题型二切线定理11．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，AB 切O 于点B ，连接OA 交O 于点C ，BD OA ∥交O 于点D ，连接CD ，若25OCD ∠=︒，则A ∠的度数为（）A．25︒B．35︒C．40︒D．45︒【答案】C【分析】如图，连接OB ，证明90∠=︒ABO ，25CDB ∠=︒，可得250BOC BDC ∠=∠=︒，从而可得40A ∠=︒．【详解】解：如图，连接OB ，∵AB 切O 于点B ，∴90∠=︒ABO ，∵BD OA ∥，25OCD ∠=︒，∴25CDB ∠=︒，∴250BOC BDC ∠=∠=︒，∴40A ∠=︒；故选：C.【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键．12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于点C ，连接AC ，若50ACD ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒【答案】B 【分析】连接OC ，先根据圆的切线的性质可得90OCD ∠=︒，从而可得40OCA ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接OC ，直线CD 与O 相切，OC CD ∴⊥，90OCD ∴∠=︒，50ACD ∠=︒ ，40OCA ∴∠=︒，OA OC = ，40BAC OCA ∴∠=∠=︒，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．13．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点A 是O 外一点，AB ，AC 分别与O 相切于点B ，C ，点D 在 BDC上，已知50A ∠=︒，则D ∠的度数是___________．【答案】65︒【分析】连接,CO BO ，根据切线的性质得出90ACO ABO ∠=∠=︒，根据四边形内角和得出130COB ∠=︒，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图,CO BO ，∵AB ，AC 分别与O 相切于点B ，C ，∴90ACO ABO ∠=∠=︒，∵50A ∠=︒，∴360909050130COB ∠=︒-︒-︒-︒=︒，∵ BCBC =，∴1652D BOC ∠=∠=︒，故答案为：65︒．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得130COB ∠=︒是解题的关键．14．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，BC 与O 相切于点B ，连接OB ，若65ABC ∠=︒，则BOD ∠的大小为__________．【答案】50︒【分析】证明90OBC ∠=︒，可得906525OBD ∠=︒-︒=︒，结合OB OA =，证明25A OBA ∠=∠=︒，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：∵BC 与O 相切于点B ，∴90OBC ∠=︒，∵65ABC ∠=︒，∴906525OBD ∠=︒-︒=︒，∵OB OA =，∴25A OBA ∠=∠=︒，∴22550BOD ∠=⨯︒=︒，故答案为：50︒【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键．15．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点，且56APB ∠=︒．若点C 是O 上异于点,A B 的一点，则ACB ∠的大小为___________．【答案】62︒或118︒【分析】根据切线的性质得到90∠=∠=︒PAO PBO ，根据四边形内角和为360︒，得出AOB ∠，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接,AC BC ，当点C 在优弧 AB 上时，∵,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点∴90∠=∠=︒PAO PBO ，∵56APB ∠=︒．∴360909056124AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒∵ AB AB =，∴1622ACB AOB ∠=∠=︒，当点C '在 AB 上时，∵四边形AC BC '是圆内接四边形，∴180118C C '∠=︒-∠=︒，故答案为：62︒或118︒．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键．16．（2023·四川·统考中考真题）如图，45ACB ∠=︒，半径为2的O 与角的两边相切，点P 是⊙O 上任意一点，过点P 向角的两边作垂线，垂足分别为E ，F ，设t PE =+，则t 的取值范围是_____．【答案】4t ≤≤+【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得2CD DH ==，再求得t PE PQ EQ =+=，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：设O 与ACB ∠两边的切点分别为D 、G ，连接OG OD 、，延长DO 交CB 于点H ，由90OGC ODC OGH ∠=∠=∠=︒，∵45ACB ∠=︒，∴45OHC ∠=︒，∴OH ==∴2CD DH ==，如图，延长EP 交CB 于点Q ，同理2PQ PF =，∵2t PE PF =+，∴t PE PQ EQ =+=，当EQ 与O 相切时，EQ 有最大或最小值，连接OP ，∵D 、E 都是切点，∴90ODE DEP OPE ∠=∠=∠=︒，∴四边形ODEP 是矩形，∵OD OP =，∴四边形ODEP 是正方形，∴t 的最大值为224EQ CE CD DE ==+=+；如图，同理，t 的最小值为22EQ CE CD DE ==-=；综上，t 的取值范围是4t ≤≤．故答案为：4t ≤≤．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得t EQ =是解题的关键．17．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点C 作O 的切线CD ，交AB 的延长线于点D ，过点A 作AE CD ⊥于点E ．(1)若25EAC ∠=︒，求ACD ∠的度数．(2)若2,1OB BD ==，求CE 的长．【答案】(1)115︒(2)CE =【分析】（1）根据三角形的外角的性质，ACD AEC EAC ∠=∠+∠即可求解．（2）根据CD 是O 的切线，可得90OCD ∠=︒，在Rt OCD △中，勾股定理求得CD =根据OC AE ∥，可得CD OD CE OA=，进而即可求解．【详解】（1）解：∵AE CD ⊥于点E ，∴90AEC ∠=︒，∴9025115ACD AEC EAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）∵CD 是O 的切线，OC 是O 的半径，∴90OCD ∠=︒．在Rt OCD △中，∵2,3OC OB OD OB BD ===+=，∴225CD OD OC =-=．∵90OCD AEC ∠=∠=︒，∴OC AE∥∴CD OD CE OA =532CE =，∴253CE =．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，F 是AD 延长线上一点，连接CD CF ，，且DCF CAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若直径310,cos 5AD B ==，求FD 的长．【答案】(1)详见解析(2)907【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；(2)根据已知条件可知FCD FAC ∽，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段FD 的长度．【详解】（1）证明：连接OC ，∵AD 是O 的直径，∴90ACD ∠=︒，∴90ADC CAD ∠+∠=︒，又∵OC OD =，∴ADC OCD ∠=∠，又∵DCF CAD ∠=∠，∴90DCF OCD ∠+∠=︒，即OC FC ⊥，∴FC 是O 的切线；（2）解：∵3,cos 5B ADC B ∠=∠=，∴3cos 5ADC ∠=，∵在Rt ACD 中，3cos ,10,5CD ADC AD AD∠===∴3cos 106,5CD AD ADC =⋅∠=⨯=∴8AC =，∴34CD AC =，∵FCD FAC F F ∠=∠∠=∠，，∴FCD FAC ∽，∴34CD FC FD AC FA FC ===，设3FD x =，则4310FC x AF x ==+，，又∵2FC FD FA =⋅，即2(4)3(310)x x x =+，解得307x =（取正值），∴9037FD x ==，【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．19．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF 与O 相切；(2)若41sin 5BF AFE =∠=，，求BC 的长．【答案】(1)见解析(2)245BC =【分析】（1）利用圆周角定理得到2EOB EAB ∠=∠，结合已知推出CAB EOB ∠=∠，再证明OFE ABC ∽△△，推出90OEF C ∠=∠=︒，即可证明结论成立；（2）设O 半径为x ，则1=+OF x ，在Rt OEF △中，利用正弦函数求得半径的长，再在Rt ABC △中，解直角三角形即可求解．【详解】（1）证明：连接OE ，∵ =BEBE ，∴2EOB EAB ∠=∠，∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴245BC ==．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．题型三垂径定理20．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在O 中，30OA BC ADB BC ⊥∠=︒=，，，则OC =（）A．1B．2C．D．4【答案】B 【分析】连接OB ，由圆周角定理得60AOB ∠=︒，由OA BC ⊥得，60COE BOE ∠=∠=︒，CE BE ==，在Rt OCE 中，由sin 60CE OC =︒，计算即可得到答案．【详解】解：连接OB ，如图所示，，30ADB ∠=︒ ，223060AOB ADB ∴∠=∠=⨯︒=︒，OA BC ⊥，60COE BOE ∴∠=∠=︒，113322CE BE BC ===⨯在Rt OCE 中，603COE CE ∠=︒，32sin 6032CE OC ∴==︒，故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长l 的近似值计算公式：2MN l AB OA=+．当4OA =，60AOB ∠=︒时，则l 的值为（）A．1123-B．113-C．823-D．843-【答案】B【分析】连接ON ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．【详解】连接ON ，根据题意， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ⊥，得ON AB ⊥，∴点M ，N ，O 三点共线，∵4OA =，60AOB ∠=︒，∴OAB 是等边三角形，∴4,60sin 60OA AB OAN ON OA ==∠=︒=︒=，，∴4,60sin 60OA AB OAN ON OA ==∠=︒=︒=，∴(22441144MN l AB OA-=+=+=-故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．22．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（）A．20mB．28m C．35m D．40m【答案】B 【分析】由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，根据垂径定理，得到37m 2AD =，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，()7m OD OC CD R ∴=-=-，OC 是半径，且OC AB ⊥，137m 22AD BD AB ∴===，在Rt △ADO 中，222AD OD OA +=，()2223772R R ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，解得：156528m 56R =≈，故选：B.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．23．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，12,5AC BC ==，则MD 的长是________．【答案】4【分析】根据圆周角定理得出90ACB ∠=︒，再由勾股定理确定13AB =，半径为132，利用垂径定理确定OM AC ⊥，且6AD CD ==，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵12,5AC BC ==，∴13AB =，∴11322AO AB ==，∵点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，∴OM AC ⊥，且6AD CD ==，∴52OD ==，∴4MD OM OD AO OD =-=-=，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．24．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，O 是一个盛有水的容器的横截面，O 的半径为10cm ．水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，则水面AB 的宽度为_______cm ．【答案】16【分析】过点O 作OD AB ⊥于点D ，交O 于点E ，则12AD DB AB ==，依题意，得出6OD =，进而在Rt AOD 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点O 作OD AB ⊥于点D ，交O 于点E ，则12AD DB AB ==，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，O 的半径为10cm ．∴1046OD =-=cm ，在Rt AOD 中，22221068AD AO OD =--cm∴216AB AD ==cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．25．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长度是________寸．【答案】26【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，AB=可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x 由6的方程，求解方程可得2x的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OA，AB=寸，，且10⊥AB CDAE BE∴==寸，5==，设圆O的半径OA的长为x，则OC OD xQ，CE=1OE x∴=-，1在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：222x x--=，化简得：222125(1)5-+-=，x x xx=，即226∴=（寸）．CD26故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．26．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点A 在第一象限内，A 与x 轴相切于点B ，与y 轴相交于点,C D ．连接AB ，过点A 作AH CD ⊥于点H ．(1)求证：四边形ABOH 为矩形．(2)已知A 的半径为4，OB ，求弦CD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵A 与x 轴相切于点B ，∴AB x ⊥轴．∵,AH CD HO OB ⊥⊥，∴90AHO HOB OBA ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHOB 是矩形．（2）如图，连接AC ．四边形AHOB 是矩形，AH OB ∴==在Rt AHC 中，222CH AC AH =-，3CH ∴==．点A 为圆心，AH CD ⊥，2CD CH ∴=6=．【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．。
中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。
人教版 圆的基本性质提高训练题(含答案)
人教版第二十四章 24.1圆的有关性质提高训练题（含答案）1、如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．解析：由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2，∴AB==4；②当∠A'FE=90°时，如图2，∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，∴∠ABF=90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC=∠CBA'=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；2、如图所示，M N为⊙O的直径，A是半圆上靠近N点的三等分点，B是的中点，P是直径M N上的一动点，圆O的半径为1，观察图形并思考，P A＋P B有最小值吗？若有，求出最小值是多少．解析：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故答案为：．3、已知圆O的直径CD=10cm，AB是圆O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，求AC的长4、如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=．∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=．5、如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在Rt△AOC中，AO==2，∵a＜0，∴a=﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．7、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.8、如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是30≤x≤60．9、如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点（点F不与B、C重合），A是BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．（1）当α=50°时，求β的度数;（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.解：（1）连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=12∠AOB=12×40°=20°, 即β=20°.（2）β=45°-12α. 证明：由（1）知∠BOM ＝90°-α.又∠C ＝β＝12∠AOB, ∴β＝12（90°-α）＝45°-12α.10、如图，O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，如图所示：则DF CF =，132AG BG AB ===， 2EG AG AE ∴=-=，在Rt BOG ∆中，2OG ==，EG OG ∴=，EOG ∴∆是等腰直角三角形，45OEG ∴∠=︒，OE ==，75DEB ∠=︒，30OEF ∴∠=︒，12OF OE ∴==在Rt ODF ∆中，DF ==2CD DF ∴==故选：C ．11、如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】A【解析】解：连接AC ，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒， DC CB =，1352CAB DAB ∴∠=∠=︒， AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A ．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质12、如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D【解析】解：如图，∵∠ADC ＝30°，∴∠AOC ＝2∠ADC ＝60°．∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ， ∴． ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°．故选：D ．【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理13、半径为5的 O 是锐角三角形ABC 的外接圆,AB ＝AC,连接OB,OC,延长CO 交弦AB 于点D.若△OBD 是直角三角形,则弦BC 的长为______.【答案】【解析】∵△OBD 为直角三角形,∴分类讨论:如图,当∠BOD ＝90°时,∠BOC ＝90°,在Rt △BOC 中,BO ＝OC ＝5,∴BC ＝当∠ODB ＝90°时,∵OB ＝OC,设∠OBC ＝∠OCB ＝x,∴∠BOD ＝2x,∠BOC ＝180°－2x,∴∠ABO ＝90°－2x,∠ABC ＝∠ACB ＝90°－x,∴∠A ＝2x,∵∠BOC＝2∠A,即180－2x ＝2×2x,∴x ＝30°,∴∠BOC ＝120°,∵OB ＝OC ＝5,∴BC ＝综上所述,BC 的长度为14、如图，AC 是⊙O 的弦，AC =5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC =45°，若点M 、N 分别是 A C 、BC 的中点，则 M N 的最大值是____________．【答案】2【解析】∵MN 是△ABC 的中位线，∴MN=12AB ．当AB 为⊙O 的直径时，AB 有最大值，则MN 有最大值．当AB 为直径时，∠ACB=90°，∵∠ABC =45°，AC =5，∴AB=MN=2． 【知识点】中位线定理；圆周角定理及其推论15、如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．（1）尺规作图：作BAC ∠的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．【思路分析】（1）利用基本作图作AD 平分BAC ∠，然后连接OD 得到点E ；（2）由AD 平分BAC ∠得到12BAD BAC ∠=∠，由圆周角定理得到12BAD BOD ∠=∠，则BOD BAC ∠=∠，再证明OE 为ABC ∆的中位线，从而得到//OE AC ，12OE AC =． 【解题过程】解：（1）如图所示；（2）//OE AC ，12OE AC =． 理由如下：AD 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠， 12BAD BOD ∠=∠， BOD BAC ∴∠=∠，//OE AC ∴，OA OB =，OE ∴为ABC ∆的中位线，//OE AC ∴，12OE AC =． 【知识点】作图-基本作图；圆周角定理16、在平面内，给定不在同一条直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．（1）求证：AD=CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．CB A【思路分析】【解题过程】（1）∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠ AD ＝CD∴AD=CD（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1.。
中考数学专题复习之圆的基本性质 练习题及答案
圆的基本性质A级基础题1．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个2．(2012年江苏苏州)如图X5－1－1，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是()A．20°B．25°C．30°D．40°图X5－1－1图X5－1－2图X5－1－33．(2011年四川成都)如图X5－1－2，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD＝()A．116°B．32°C．58°D．64°4．(2012年四川广元)如图X5－1－3，A，B是⊙O上两点．若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为()A.2rB.3r C．r D．2r5．(2011年四川乐山)如图X5－1－4，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M.若∠BOC＝40°，则∠ABD＝()A．40°B．60°C．70°D．80°图X5－1－4图X5－1－56．(2012年山东泰安)如图X5－1－5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()A．CM＝DM B.C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD7．(2011年甘肃兰州)如图X5－1－6，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为()A．6 B．13 C.13 D．213图X5－1－6图X5－1－78．(2012年贵州六盘水)当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图X5－1－7(单位：cm)，那么该圆的半径为______ cm.9．(2011年福建漳州)如图X5－1－8，AB是⊙O的直径，，∠COD＝60°.(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC∥BD.图X5－1－810．(2011年湖南长沙)如图X5－1－9，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB ＝40°，∠APD＝65°.(1)求∠B的大小；(2)已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长.图X5－1－911．(2012年宁夏)如图X5－1－10，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．图X5－1－1012．(2012年湖南长沙)如图X5－1－11，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.图X5－1－11B级中等题13．(2012年安徽)如图X5－1－12，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________°.图X5－1－12图X5－1－1314．(2011年福建福州)如图X5－1－13，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足() A．R＝3r B．R＝3rC．R＝2r D．R＝2 2r15．(2011年云南曲靖)如图X5－1－14，点A，B，C，D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC ＝30°.(1)求∠BOC的度数；(2)求证：四边形AOBC是菱形．图X5－1－14C级拔尖题16．(2011年江苏南京)如图X5－1－15，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a ＞2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 3，则a的值是()图X5－1－15A．2 3B．2＋ 2C．2 3D．2＋ 317．(2011年上海)如图X5－1－16，点C，D分别在扇形AOB的半径OA，OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M，N.(1)求线段OD 的长；(2)若tan ∠C ＝12，求弦MN 的长．图X5－1－1618．(2012年上海)如图X5－1－17，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是弧AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E .(1)当BC ＝1时，求线段OD 的长；(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；(3)设BD ＝x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．图X5－1－17圆的基本性质1．B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.2569．解：(1)△AOC 是等边三角形，理由如下： ∵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. ∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵，∴OC ⊥AD .又∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即BD ⊥AD . ∴OC ∥BD .10．解：(1)∵∠CAB ＝∠CDB (同弧所对的圆周角相等)，∠CAB ＝40°，∴∠CDB ＝40°.图D54又∵∠APD ＝65°，∴∠BPD ＝115°. 在△BPD 中， ∠B ＝180°－∠CDB －∠BPD ＝25°.(2)如图D54，过点O 作OE ⊥BD 于点E ，则OE ＝3. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BD .∴OE ∥AD .又∵O 是AB 的中点，∴OE 是△ABD 的中位线． ∴AD ＝2OE ＝6.11．解：如图D55，连接BD .图D55∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AD . 又∵CF ⊥AD ，∴BD ∥CF . ∴∠BDC ＝∠C .又∵∠BDC ＝12∠BOC ，∴∠C ＝12∠BOC .∵AB ⊥CD ，∴∠C ＝30°，∴∠ADC ＝60°.12．解：(1)在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°， ∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°. ∵∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．图D56(2)如图D56，连接OB .∵△ABC 为等边三角形，⊙O 为其外接圆， ∴O 为△ABC 的外心， ∴BO 平分∠ABC .∴∠OBD ＝30°，∴OD ＝8×12＝4.13．60 14.C15．(1)解：∵点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，OC ⊥AB ，∴. ∵∠ADC ＝30°，∴∠AOC ＝∠BOC ＝2∠ADC ＝60°. ∴∠BOC 的度数为60°.(2)证明：∵， ∴AC ＝BC ，AO ＝BO . ∵∠BOC 的度数为60°，∴△BOC 为等边三角形，即BC ＝BO ＝CO . ∴AO ＝BO ＝AC ＝BC ， ∴四边形AOBC 是菱形． 16．B17．解：(1)如图D57，∵CD ∥AB ， ∴∠OAB ＝∠C ，∠OBA ＝∠D . ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∴∠C ＝∠D ， ∴OC ＝OD .∵OA ＝3，AC ＝2， ∴OC ＝5，∴OD ＝5.(2)过点O 作OE ⊥CD ，垂足为E ，连接OM .图D57在Rt △OCE 中，OC ＝5，tan ∠C ＝12，设OE ＝x ，则CE ＝2x .由勾股定理，得x 2＋(2x )2＝52，解得x 1＝5，x 2＝－5(舍去)，∴OE ＝ 5. 在Rt △OME 中，OM ＝OA ＝3， ME ＝OM 2－OE 2＝32－(5)2＝2. ∴MN ＝2ME ＝4.18．解：(1)如图D58，图D58∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12.∴OD ＝OB 2－BD 2＝152. (2)如图D59，存在，DE 的长度是保持不变的． 连接AB ，则AB ＝OB 2＋OA 2＝2 2.∵D 和E 分别是BC ，AC 的中点，∴DE ＝12AB ＝ 2.图D59图D60(3)如图D60，设BD ＝x ，得OD ＝4－x 2.∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝45°. 过点D 作DF ⊥OE ，则DF ＝4－x 22，EF ＝22x ，∴y ＝12DF ·OE ＝4－x 2＋x 4－x 24(0＜x ＜2)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的基本性质
一级训练
1．(2012年山东泰安)如图5－1－12，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()
A．CM＝DM B. CB＝ DB C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
图5－1－12 图5－1－13 图5－1－14 2．(2012年云南)如图5－1－13，AB，CD是⊙O的两条弦，连接AD，BC，若∠BAD＝60°，则∠BCD的度数为()
A．40°B．50°C．60°D．70°
3．(2012年四川德阳)如图5－1－14，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝()
A．45° B. 60°C．90° D. 30°
4．已知：如图5－1－15，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为()
A．45°B．35°C．25°D．20°
图5－1－15 图5－1－16 图5－1－17
5．(2012年江苏苏州)如图5－1－16，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上， AB＝ BC，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是()
A．20°B．25°C．30°D．40°
6．如图5－1－17，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为() A．80°B．60°C．50°D．40°
7．(2012年贵州黔东南州)如图5－1－18，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为()
A．35°B．45°C．55°D．75°
图5－1－18 图5－1－19 图5－1－20 8．(2012年湖南益阳)如图5－1－19，点A，B，C在圆O上，∠A＝60°，则∠BOC＝______度．
9．(2012年贵州六盘水)如图5－1－20，已知∠OCB＝20°，则∠A＝______度．
10．(2011年广东肇庆)如图5－1－21，四边形ABCD是圆的内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是()
A．115°B．105°C．100°D．95°
图5－1－21 图5－1－22 图5－1－23
二级训练
11．(2012年广东深圳)如图5－1－22，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的
OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为() 坐标为(0,3)，M是第三象限内
A．6 B．5 C．3 D．3 2 12．(2012年湖北黄冈)如图5－1－23，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝12, EB＝2，则⊙O的直径为()
A. 8
B. 10 C．16 D．20 13．(2012年山东泰安)如图5－1－24，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧 AB上一点(不与A，B重合)，则cos C的值为________．
图5－1－24
三级训练
14．(2012年山东济宁)如图5－1－26，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A
作⊙O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ，连接PC ，BC . (1)猜想：线段OD 与BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论； (2)求证：PC 是⊙O 的切线．
图5－1－26
15．(2012年广东梅州)如图5－1－25，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E . (1)求证：△ADE ∽△BCE ；
(2)如果AD 2＝AE ·AC ，求证：CD ＝CB .
图5－1－25
参考答案
1．D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.A 8．120 9.70 10.B 11.C 12.D 13.45
14．(1)解：猜想：OD ∥BC ，CD ＝1
2
BC .证明如下：
∵OD⊥AC，∴AD＝DC. ∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB.
∴OD是△ABC的中位线．
∴OD∥BC，OD＝1
2BC.
(2)证明：如图D19，连接OC，设OP与⊙O交于点E.
图D19
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴ AE＝ CE，∴∠AOE＝∠COE.
在△OAP和△OCP中，
∵OA＝OC，∠AOE＝∠COE，OP＝OP,
∴△OAP≌△OCP(SAS)．∴∠OCP＝∠OAP.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.∴PC是⊙O的切线．
15．证明：(1)∵∠A与∠B都是 CD所对的圆周角，∴∠A＝∠B. 又∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE∽△BCE.
(2)∵AD2＝AE·AC，
∴AE
AD＝
AD
AC.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC.
又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°. ∴∠AED＝90°.
∴AC⊥BD，∴CD＝CB.。