与圆的基本性质有关的计算与证明 专题练习题
2023年数学中考真题：圆的有关计算及证明精选(一)
圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。
（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。
（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。
5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。
7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线 ，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。
专题训练. 圆的基本性质--八大题型总结(拔尖篇)- 九年级数学上册 (浙教版)
专题3.12圆的基本性质章末八大题型总结（拔尖篇）【题型1动态图形的扫过的面积的计算】（2023秋·江苏·九年级专题练习）2．如图，半圆O的直径时停止滑动，若M是（2023·黑龙江鸡西·校考三模）3．在平面直角坐标系中，已知()2,0A ，()3,1B ，()1,3C ；(1)将ABC 沿x 轴负方向平移2个单位至111A B C △，画图并写出1C 的坐标____________；(2)以1A 点为旋转中心，将111A B C △逆时针方向旋转90︒得22A B C 1△，画图并写出2C 的坐标_____；(3)在平移和旋转过程中线段BC 扫过的面积为___________．（2023秋·浙江·九年级专题练习）4．如图所示，扇形OAB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，60O ∠=︒，1OA =．(1)求O 点运动的路径长；(2)求O 点走过路径与射线l 围成的面积．【题型2圆周角定理有关的计算与证明】【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径（2023秋·北京西城·九年级北京八中校考期中）5．如图，已知：过O 上一点A 作两条弦AB 、AC ，且45BAC ∠=︒，(AB ，AC 都不经过)O 过A 作AC 的垂线AF 交O 于D ，直线BD ，AC 交于点E ，直线BC ，DA 交于点F ．(1)证明：BE BF =；(2)探索线段AB 、AE 、AF 的数量关系，并证明你的结论．（2023秋·湖北·九年级期末）6．已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．(1)如图①，当120BAC ∠=︒时，请直接写出线段(2)如图②，当90BAC ∠=︒时，试探究线段(1)求ADB ∠的度数；(2)求AC 的长度；(3)判定四边形AFBC 的形状，并证明你的结论．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期中）8．如图，在O 的内接四边形(1)若75DAE ∠=︒，则(2)过点D 作DE AB ⊥(3)若62AB AE ==、【题型3垂径定理的实际应用】【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径条弧．（2023秋·河北石家庄9．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，圆的半径为5厘米，上”太阳与海平线的位置关系是（2023秋·浙江台州·10．我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG=4m，FH=2.4m，点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）11．如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，右边画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（）A．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为210米B．桥拱正下方的桥面EF的实际长度约为500米C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米D．桥面上BF段的实际长度约200米(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦【题型4由点与圆的位置关系求求最值】【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为当d＝r时，点在圆上，当d＜（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）13．如图，在平面直角坐标系中，已知点为半径的圆上运动，且始终满足（2023秋·山东泰安·九年级校联考期末）15．如图，点()34P P ，，半径为大值是（）A ．32B ．52（2023秋·河南驻马店·九年级平舆县第二初级中学校考期末）16．如图，Rt ABC 中，AB 的最小值为（2023秋·安徽淮北·九年级校考期末）的直径，18．如图，AB是O+的最小值为（点，则PC PDA．22B．2（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）19．如图，A、B是半圆O上的两点，的最小值为．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）20．（1）如图①，在ABC 中，120A ∠= ，5AB AC ==．尺规作图：作ABC 的外接圆O ，并直接写出ABC 的外接圆半径R 的长．（2）如图②，O 的半径为13，弦24AB =，M 是AB 的中点，P 是O 上一动点，求PM 的最大值．（3）如图③所示，AB ，AC 、 BC是某新区的三条规划路，其中6km AB =，3km AC =，60BAC ∠= ， BC 所对的圆心角为60 ，新区管委会想在 BC路边建物资总站点P ，在AB ，AC 路边分别建物资分站点E 、F ，也就是，分别在 BC、线段AB 和AC 上选取点P 、E 、F ．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P E F P →→→的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE 、EF 和FP ．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE 、EF 、FP 之和最短，试求PE EF FP ++的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）【题型6动点的运动轨迹长度计算】（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）22．如图，已知90ABC ∠=︒停止，圆心O 运动的路程是（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）23．如图，有一块长为4cm 、宽为3cm 的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点化为12A A A →→，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿滚到点2A 的位置经过的路径长为（）A ．10cmB ．3.5cm π（2023·浙江温州·校考三模）24．图1是挂桶式垃圾车的联动装置，通过钢轴先后作两次旋转移动垃圾桶，实现对垃圾桶提升和翻转，将垃圾桶内的垃圾自动收入车厢．图2，图110cm,AB =303cm,30cm BC CD ==【题型7正多边形与圆】【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）25．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A ，B ，C ，D ，E ，F 在圆上．若两个大正六边形的边长均为小正六边形的边长是（）A ．33-B ．2312-C ．312+D ．1312-（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）26．如图，已知O 的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG （① DF 的长为2π；②2DF OF =；③ODE 为等边三角形；④S 正八边形【题型8圆锥侧面积的相关计算】【方法点拨】解决此类问题掌握圆锥侧面积的计算公式是关键，并且能够灵活运用（2023秋·全国·九年级专题练习）29．小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为缝（接缝忽略不计）()1你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？()2如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（2023秋·江苏·九年级专题练习）31．如图是一张直角三角形卡片，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为（2023秋·全国·九年级专题练习）32．如图，在一张四边形ABCD的纸片中，、交于点E、径的圆分别与AB AD(1)求证：DC与A的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)过点B作A(3)若用剪下的扇形AEF围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？。
小学五年级圆练习题
小学五年级圆练习题圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
这个距离称为半径。
下面是一些适合小学五年级学生的圆练习题：1. 圆的基本性质- 问题：什么是圆心，半径，直径？圆心和半径有什么关系？- 答案：圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离，直径是穿过圆心的最长弦，长度是半径的两倍。
2. 圆的周长- 问题：已知圆的半径是3厘米，求这个圆的周长。
- 答案：圆的周长公式是 \( C = 2\pi r \)，其中 \( r \) 是半径。
将半径3厘米代入公式，得 \( C = 2 \times 3.14 \times 3 = 18.84 \) 厘米。
3. 圆的面积- 问题：如果圆的半径是4厘米，那么它的面积是多少？- 答案：圆的面积公式是 \( A = \pi r^2 \)。
将半径4厘米代入公式，得 \( A = 3.14 \times 4^2 = 50.24 \) 平方厘米。
4. 圆与正方形的比较- 问题：如果一个圆的直径和正方形的边长相等，都是10厘米，哪个图形的面积更大？- 答案：圆的面积是 \( 3.14 \times (10/2)^2 = 78.5 \) 平方厘米，正方形的面积是 \( 10 \times 10 = 100 \) 平方厘米。
所以正方形的面积更大。
5. 圆的切线- 问题：什么是圆的切线？圆的切线有哪些特点？- 答案：圆的切线是一条刚好接触到圆的直线，且只接触一点。
切线在接触点处的切线与半径垂直。
6. 圆的弧和扇形- 问题：什么是弧？什么是扇形？- 答案：弧是圆上任意两点之间的曲线部分。
扇形是圆心角和它所对的弧以及两条半径所围成的图形。
7. 圆的对称性- 问题：圆有哪些对称性？- 答案：圆是轴对称图形，任何经过圆心的直线都是它的对称轴。
8. 圆的周长和面积的比较- 问题：如果两个圆的周长相等，它们的面积也相等吗？- 答案：是的，如果两个圆的周长相等，根据周长公式 \( C =2\pi r \)，它们的半径也相等，因此它们的面积也相等。
专题13 与圆的基本性质有关的计算与证明(原卷版)
九年级数学下册解法技巧思维培优专题13 与圆的基本性质有关的计算与证明考点一弧、弦、圆心角̂、CD̂的度数【典例1】（2019•港南区四模）P是⊙O外一点，P A、PB分别交⊙O于C、D两点，已知AB别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°【典例2】（2019•福建模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（）A．√3B．√5C．2√3D．2√5【典例3】（2019•洛阳一模）如图，矩形ABCD、半圆O与直角三角形EOF分别是学生常用的直尺、量角器与三角板的示意图．已知图中点M处的读数是145°，则∠FND的读数为．【典例4】（2019•长白期末）如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．【典例5】（2019•句容市期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．̂=CD̂．（1）求证：BD̂的度数为58°，求∠AOD的度数．（2）若AC考点二圆周角【典例6】（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°̂所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为AB̂上一点，∠AOP 【典例7】（2020•望花区二模）如图，在⊙O中，AB＝55°，则∠POB的度数为．【典例8】（2019•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝．【典例9】（2019•肇源期末）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D＝∠E．（1）求证：∠ADC＝∠CBE；（2）求证：CB＝CE；（3）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．卡点三垂径定理【典例10】（2019•渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．2.5【典例11】（2019•利川市一模）如图，CD 为⊙O 直径，CD ⊥AB 于点F ，AE ⊥BC 于E ，AE 过圆心O ，且AO ＝1．则四边形BEOF 的面积为（ ）A ．√3B ．√32C ．√34D ．√38【典例12】（2019•海南模拟）如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为AB̂的中点，若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为 ．【典例13】（2019•金山区一模）如图，AB 是⊙O 的弦，∠OAB ＝30°．OC ⊥OA ，交AB 于点C ，若OC ＝6，则AB 的长等于 ．【典例14】（2019•青州市期中）如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB＝8cm，CD＝2cm（1）求⊙O的面积；（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．【典例15】（2019•杨浦区三模）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH ＝5，CD=4√5，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．（1）求圆O的半径；（2）如果AE＝6，求EF的长．巩固练习1．（2019•南关区校级期末）如图，AB是直径，BĈ=CD̂=DÊ，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．（2019•鼓楼区校级月考）如图，在⊙O中，AĈ=2AB̂，则以下数量关系正确的是（）A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB3．（2019•成都校级月考）如图，⊙O中，∠AOB＝80°，点C、D是⊙O上任意两点，则∠C+∠D的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°4．（2019•玄武区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB 的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm5．（2019•南沙区一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．2√15B．8C．2√10D．2√136．（2019•余杭区期末）如图，点A，B，C都在⊙O上∠AOC＝130°，∠ACB＝40°，∠AOB＝，弧BC＝．7．（2010•扬州）如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝度．8．（2020•新宾二模）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝4，则⊙O的半径为．9．（2019•沙坪坝区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD ＝57°，则∠BCD等于．10．（2019•海南一模）如图，AB是⊙O的直径，M、C为⊙O上的点，四边形POMN为矩形，BC＝4，AC ＝6，则AN＝．11．（2019•海淀区校级月考）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F为⊙O上一点，且满足∠AFC＝22.5°，AB＝8，则CD的长为．12．（2019•东城区校级期中）如图，点P是⊙O内一点，（1）过点P画弦AB，使点P是AB的中点，并简述作图过程．（2）连接OP并延长交⊙O于点C，若AB＝8，PC＝2，求⊙O的半径．13．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．̂=BĈ；（2）AE＝CE．求证：（1）AD14．（2019•崇明一模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE＝2．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．15．（2019•岳西校级期中）如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；（2）在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否AC的中点？为什么？。
中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)
专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。
2023 年九年级数学中考专题训练——圆的计算和证明(附答案)
1．如图，在ABC中，AB AC=，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作O 的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：A BOF∠=∠；(2)若4AB=，1DF=，求AE的长．2．如图，AB是O的直径，点C在O上，ABC∠的平分线与AC相交于点D，与O过点A的切线相交于点E．(1)猜想EAD的形状，并证明你的猜想；(2)若8AB=，6AD=，求BD的长．3．如图所示，Rt△ABC中∠ACB＝90°，斜边AB与⊙O相切于D，直线AC过点O并于⊙O相交于E、F两点，BC与DF交于点G，DH⊥AC于H．(1)求证：∠B＝2∠F；(2)若HE＝4，cos B＝35，求DF的长．4．如图，O的直径23AB=点C为O上一点，CF为O的切线，OE AB⊥于点O，分别交AC，CF于D，E两点．(1)求证：ED EC=；(2)若30∠=︒，求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和．A5．已知PA，PB分别与O相切于点A，B，C为O上一点，连接AC，BC．∠的大小；(1)如图①，若70∠=︒，求ACBAPB∠的大小．(2)如图②，AE为O的直径交BC于点D，若四边形PACB是平行四边形，求EAC6．如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，BDC A⊥，交AD的延长线于∠=∠，CE AD点E．(1)求证：CD与O相切：(2)若4CE=，2DE=，求AD的长，7．如图，四边形ABCD为平行四边形，边AD是O的直径，O交AB于F点，DE为O的切线交BC于E，且BE BF=，BD和O交于G点．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若O半径52r=，5BG=BF长．8．如图，O为ABC的外接圆，AB为直径，ABC∠的角平分线BD交O于点D，过点D作O 的切线DE，交BC的延长线于点E．(1)求证：DE BC⊥；(2)若1CE=，3DE=O的半径．9．如图，AB是O的直径，CA与O相切于点A，且AB AC=．连接OC，过点A作AD OC⊥于点E，交O于点D，连接DB．(1)求证：ACE BAD△△≌；(2)连接BC交O于点F．若6AD=，求BF的长．10．在Rt ABC中，90C∠=︒，以AC为直径的O与AB相交点D、E是BC的中点．(1)判断ED与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径为3，DEC A∠=∠，求DC的长．11．如图，在ABC中，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D，DE是O的切线，且DE BC⊥，垂足为点E．(1)求证AB BC=；(2)若3DE=，610AC=O的半径．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O在AC上，过点C作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，过点O作OE BC，交⊙O于点E，连接CE交AB于点F．(1)求证：CE平分∠ACB；(2)连接OD，若CF=CD=6，求OD的长．13．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径⊙O的交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交BA 延长线于点E，延长CA交⊙O于点F，交DE于点G，连接DF．(1)求证：点E为线段CF垂直平分线上一点；，BE=8，求AF的长．(2)若sin∠E=3514．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是AC的中点，连接OD，交AC于点E ，作BF ∥CD ，交DO 的延长线于点F ．(1)求证：四边形BCDF 是平行四边形．(2)若AC =8，连接BD ，tan∠DBF =34，求直径AB 的长及四边形ABCD 的周长．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交AC 于点F ，交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AC 于点E ．(1)求证：DE ⊥AC ；(2)若⊙O 的直径为5，25sin B =EF 的长． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．(1)求证：△CBE ∽△CPB ；(2)当43AB =34CF CP =时，求扇形COB 的面积． 17．如图，AB 为O 的直径，ACB ∠的角平分线交O 于点D ，交AB 于点E ，CAB ∠的角平分线交CD 于点F ．(1)求证：ADB 为等腰直角三角形；(2)求证：2DF DE DC =⋅．18．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上的点（在AB 同侧），过点D 的圆的切线交直线AB 于点E ．(1)若2AB =，1BC =，求AC 的长；(2)若四边形ACDE 是平行四边形，证明：BD 平分ABC ∠．19．如图，AB 与O 相切于点B ，BC 为O 的弦，OC OA ⊥，OA 与BC 相交于点P ．(1)求证：AP AB =； (2)若4OB =，3AB =，求线段BP 的长．20．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，AD BC ⊥，垂足为D ，直径AE 平分BAD ∠，交BC 于点F ，连接BE ．(1)求证：AEB AFD ∠=∠；(2)若10AB =，5BF =，求DF 的长；(3)若点G 为AB 的中点，连接DG ，若点O 在DG 上，求:BF FC 的值．参考答案：1．(1)见解析 (2)83AE =【分析】(1)首先根据等边对等角可证得C ODB ∠=∠，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得AEB OBF ∠=∠，即可证得ABE OFB △∽△，再根据相似三角形的性质即可求得．（1）证明：AB AC =C ABC ∴∠=∠ OB OD =ODB OBD ∴∠=∠C ODB ∴∠=∠AC OD ∴∥A BOF ∴∠=∠（2）解：如图：连接BEAB 是O 的直径，AB =490AEB ∴∠=︒，122OB OD AB === BF 是O 的切线90OBF ∴∠=︒AEB OBF ∴∠=∠又A BOF ∠=∠ABE OFB ∴△∽△AE AB OB OF∴=又213OF OD DF =+=+=423AE ∴=，解得83AE = 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得ABE OFB △∽△是解决本题的关键．2．(1)等腰三角形，证明见解析； (2)145.【分析】（1）利用角平分线和∠C =∠BAE =90°，得出∠E =∠4，从而得到AD =AE 可得三角形的形状；（2）先证明△BCD ∽△BAE ，利用相似比得到得出即34AE DC AB BC ==，若设CD =3x ，则BC =4x ，BD =5x ，再利用勾股定理得到（4x ）2+（6+3x ）2=82，然后解方程求出x 后计算5x 即可．(1)猜想：△EAD 是等腰三角形,证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∵AB 为直径，∴∠C =90°，∴∠2+∠3=90°，∵AE 为切线,∴AE ⊥AB ，∴∠E +∠1=90°，∴∠E =∠3，而∠4=∠3，∴∠E =∠4，∴AE =AD ，∴△EAD 是等腰三角形；(2)∵∠2=∠1，∴Rt △BCD ∽Rt △BAE ，∴CD ：AE =BC ：AB ， 即34AE DC AB BC ==， 设CD =3x ，BC =4x ，则BD =5x ，在Rt △ABC 中，AC =AD +CD =3x +6，∵（4x ）2+（6+3x ）2=82，解得x 1=1425，x 2=-1（舍去）， ∴BD =5x =145． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；也考查了利用勾股定理和相似比进行几何计算．3．(1)见解析； (2)85【分析】（1）连接OD ，由题意可得：90ODA =∠°，再根据∠ACB ＝90°，可得B AOD ∠=∠，由圆周角定理可得2AOD F ∠=∠，即可求解；（2）由（1）可得B AOD ∠=∠，则3cos 5OH AOD OD ∠==，设OD OE r ==，求得半径r ，由勾股定理求得DH ，再由勾股定理即可求得DF ．（1）解：连接OD ，如下图：∵AB 与⊙O 相切于D ，∴OD AB ⊥，即90ODA =∠°，∴90A AOD ∠+∠=︒，又∵∠ACB ＝90°，∴A B ∠∠=︒+90，∴B AOD ∠=∠，由圆周角定理可得：2AOD F ∠=∠，∴2B F ∠=∠；（2）解：∵DH ⊥AC∴90DHO ∠=︒，由（1）得B AOD ∠=∠， ∴3cos cos 5OH B AOD OD =∠==， 设OD OE OF r ===，则4OH r =-， 则435r r -=，解得10r =， 则6OH =，16HF OH OF =+= 由勾股定理可得：228DH OD OH -=， 由勾股定理可得：2285DF DH HF +=【点评】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的性质定理，圆周角定理，三角形内角和的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．4．(1)见解析 3π-【分析】（1）连接OC ，则OC CF ⊥，故90ACE ACO ∠+∠=︒，又90ADO A ∠+∠=︒，且A ACO ∠=∠，可得ACE ADO EDC ∠=∠=∠，故ED EC =； （2）过点C 作CG AB ⊥于G ，结合三角函数的知识求得CG 与CE 的长，从而利用COE BOC COB COH S S S S S =+--△△阴影扇形扇形求得阴影部分的面积之和．（1）证明：连接OC ，CF 是O 的切线，∴OC CF ⊥，∴90ACO ACE ∠+∠=︒，OE AB ⊥，∴90ADO A ∠+∠=︒，OA OC =，∴A ACO ∠=∠，∴ACE ADO ∠=∠， 又ADO CDE ∠=∠，∴ACE CDE ∠=∠，∴ED EC =．（2）解：过点C 作CG AB ⊥于G ，30A ACO ∠=∠=︒，∴260BOC A ∠=∠=︒， ∴33sin 6032CG OC =︒==， 9030COE BOC ∠=︒-∠=︒，90OCE ∠=︒，∴3tan 3031CE OC =︒==． 1133122COE S OC CE =⨯⨯==△， 260(3)3602COB S ππ=⨯⨯=扇形， 230(3)3604COH S ππ=⨯⨯=扇形， 113333222BOC S OB CG =⨯⨯==△ ∴333324COE BOC COB COH S S S S S πππ-=+--=-=△△阴影扇形扇形 【点评】本题属于圆的综合题，涉及到了圆的切线的性质，扇形面积的计算方法，以及三角函数相关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法．5．(1)55°(2)30°【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质可得∠OAP =∠OBP =90°，再根据四边形内角和等于360度求出AOB ∠，再由圆周角定理即可求出结果；（2）连接AB ，EC ，由切线长定理以及平行四边形的性质可证明四边形PACB 是菱形，进而证明△ABC 是等边三角形，进一步可得结论．（1）如图①，连接OA 、OB ，∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP =∠OBP =90°，∵∠APB =70°，∴∠AOB =360°-90°-90°-70°=110°∴∠ACB =12∠AOB =11102⨯︒=55°； （2）如图②，连接AB ，EC ，∴,BAE BCE ∠=∠∵PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，∴,PA PB =∵四边形PACB 是平行四边形，∴四边形PACB 是菱形，∴,AC BC =∵PA 是O 的切线，且AE 是O 的直径，∴,AE PA ⊥∵四边形APBC 是平行四边形，∴PA //BC∴,AE BC ⊥即∠90,ADB ︒=∴∠90,BAD ABD ︒+∠=∵AE 是O 的直径，∴∠90,ACE ︒=即∠90,ACD BCE ︒+∠=∵∠,BAD BCE =∠∴∠,ABD ACB =∠∴,AB AC =∴,AB AC BC ==即△ABC 是等边三角形，∴∠60,ABC BAC ACB ︒=∠=∠=∵,AE BC ⊥ ∴116030.22EAC BAC ︒︒∠=∠=⨯= 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．6．(1)见解析(2)6【分析】(1) 连接OD ，然后根据圆的性质和已知可以得到90ODC ∠=︒，即可证得CD 与O 相切；（2）由已知可以得到AEC CED ∽，再根据三角形相似的性质和已知条件即可求出AD 的值．（1）证明：连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，即90ODB ADO ∠+∠=︒，∵OA OD =，∴ADO A ∠=∠，又∵BDC A ∠=∠；∴90ODB BDC ∠+∠=︒，即90ODC ∠=︒∴CD 是O 切线.（2）∵CE AE ⊥，∴90∠=∠=︒E ADB ，∴DB //EC ，∴DCE BDC ∠=∠，∵BDC A ∠=∠，∴A DCE ∠=∠，∵E E ∠=∠，∴AEC CED ∽， ∴CE AE DE CE=， ∴2CE DE AE =⋅，∴162(2)AD =+，∴6AD =．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆切线的判定方法、三角形相似的判定和性质是解题关键．7．(1)证明过程见解析(2)2【分析】（1）连接DF ，通过证明Rt △DFB ≌Rt △DEB （HL ）得到DF =DE ，证明△ADF ≌△CDE （ASA ）得到AF =CE ，即可证明四边形ABCD 是菱形；（2）连接AG，根据等腰三角形三线合一的性质得到DG=GB，设BF=x，则AF=5-x，利用勾股定理可得2222-=-，列出方程求解即可得到BF的长．AD AF DB BF（1）证明：连接DF，如图所示∵DE是切线，AD是直径∴∠ADE=90°，∠DF A=90°∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DEB=90°，∠CDF=90°∴∠DFB=∠DEB=90°又∵BF=BE，DB=DB∴Rt△DFB≌Rt△DEB（HL）∴DF=DE∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C又∵∠AFD=∠DEC∴△ADF≌△CDE（AAS）∴AF=CE∴AB=CB∴四边形ABCD是菱形（2）解：连接AG，如图所示∵AD是直径∴∠AGD=90°，即AG⊥BD∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD∴DG=GB5∴DB5设BF=x，则AF=5-x∵2222AD AF DB BF -=-∴()(2222555x x --=-，解得x =2∴BF 的长为2【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、直径所对圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，掌握这些知识点是解答本题的关键．8．(1)见解析(2)2【分析】（1）根据切线性质得90ODE ∠=︒，再根据圆及角平分线的性质，证得//OD BC ，最后根据平行线的性质，证得结论．（2）连接OD 交AC 于点F ，证明四边形CEDF 是矩形，再设O 的半径r ，在Rt AOF 中运用勾股定理，建立关于r 的方程，求解即可．(1)证明：如图，连接OD ，DE 与O 相切于点D ，DE OD ∴⊥，90ODE ∴∠=︒，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠， BD 平分ABC ∠，OBD DBC ， ODB DBC ，//OD BC ∴，18090E ODE ∴∠=︒-∠=︒，DE BC ∴⊥．(2)解：如图，连接OD 交AC 于点F ，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，18090ECF ACB ∴∠=︒-∠=︒，90ECF E EDF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形CEDF 是矩形．90AFO CFD ∴∠=∠=︒，1DF CE ==，FO AC ∴⊥，3AF CF DE ∴===设O 的半径为r ，则OA OD r ==，222OA OF AF =+，1OF r =-，()22213r r ∴=-+， 解得2r =，O ∴的半径为2．【点评】本题考查了与圆有关的综合问题，灵活运用切线性质，勾股定理进行推理求值是解题的关键．9．(1)证明见解析 310【分析】（1）根据切线的性质可得90BAD CAE ∠+∠=︒，根据圆周角定理的推论可得90BAD ABD ∠+∠=︒，即得出CAE ABD ∠=∠．结合题意即可利用“AAS ”证明ACE BAD △△≌；（2）连接AF ．由垂径定理可得132AE ED AD ===．再根据全等三角形的性质可得6CE AD ==，3AE ED BD ===，利用勾股定理可求出35AC AB ==．再根据圆周角定理的推论结合等腰三角形“三线合一”的性质即可求出13102BF BC ==．(1)证明：∵CA 与O 相切于点A ，∴90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒．∵AB 为直径，∴90BDA ∠=︒，∴90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．∵AD OC ⊥，∴90AEC ADB ∠=∠=︒．又∵AB AC =，∴()ACE BAD AAS ≌△△；(2)如图，连接AF ．∵AD OC ⊥， ∴132AE ED AD ===． ∵ACE BAD △△≌，∴6CE AD ==，3AE ED BD ===∴在Rt AEC 中，22223635AC AE CE AB ++=， ∴2310BC ==∵AB 为直径，∴90AFB ∠=︒．∵AB =AC ， ∴13102BF BC ==． 【点评】本题为圆的综合题．考查切线的性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理．掌握与圆相关的知识点是解题关键．10．(1)相切；理由见解析(2)2π【分析】（1）连接OD，CD，再根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形斜边上的中线性质证明OD⊥DE即可；（2）根据DEC A∠=∠证明三角形DEC是等边三角形，即可得到DC的圆心角是120°，再根据弧长公式计算即可．(1)ED与⊙O相切．理由：连接OD，CD．∵AC是直径，∴∠ADC=90°，在Rt△BDC中，E为BC的中点，∴DE=EC，∴∠3=∠2，又∵OD=OC，∴∠1=∠4，∵∠1+∠2=90°，∴∠ODE=∠3+∠4=90°，∴ED与⊙O相切；(2)∵∠A+∠1=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，∵∠DEC=∠A，∴∠2=∠3=∠DEC=60°，∴∠A=60°，∴∠DOC=2∠A=120°，∴弧DC的长=12032 180ππ⨯=．【点评】本题考查圆的性质及弧长公式，熟记直径所对的圆周角是直角、切线的证明、弧长公式是解题的关键．11．(1)见解析；(2)5【分析】（1）连接OD、BD，根据切线的性质得到OD⊥DE，推出OD∥BC，证得∠ODB=∠CBD，由此推出∠OBD=∠CBD，根据AB为O的直径，得到∠ADB=∠CDB=90°，证得△ABD≌△CBD（ASA），即可得到AB=BC；（2）根据AB=BC，BD⊥AC，求出AD=CD=13102AC=CE=9，证得△CDE∽△CBD，求出CB，即可得到O的半径．(1)证明：连接OD、BD，∵DE是O的切线，∴OD⊥DE，∵DE BC⊥，∴OD∥BC，∴∠ODB=∠CBD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵AB为O的直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AB=BC；(2)∵AB=BC，BD⊥AC，∴AD=CD=1310 2AC=∵DE=3，∴()222293103 CE CD DE=--，∵∠C=∠C，∠CED=∠CDB=90°，∴△CDE∽△CBD，∴2CD CE CB=⋅，∴(22109310CDCBCE===，∴AB=CB=10，∴O的半径为5．【点评】此题考查了切线的性质定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．12．(1)见解析(2)37【分析】（1）根据OC=OE，可得∠OCE=∠E，再由OE BC，可得∠E=∠BCE，从而得到∠OCE=∠BCE，即可求证；（2）根据CD=CF，可得∠BCD=∠BCE=∠OCE，再由CD是⊙O的切线，可得∠BCD=30°，再证得∠A=∠BCD=30°，根据直角三角形的性质，即可求解．【解析】（1）证明：∵OC=OE，∴∠OCE=∠E，∵OE BC，∴∠E=∠BCE，∴∠OCE=∠BCE，∴CE平分∠ACB；（2）解：如图，∵CD=CF，∴∠BCD=∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠BCD=∠BCE=∠OCE，∵CD是⊙O的切线，∴∠ACD=90°，即∠BCD+∠ACB=90°，∴∠BCD=30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠A=∠BCD=30°，∵CD=6，∴AD=2CD=12，∴2263AC AD CD-=∴33OC=∴2237OD OC CD=+=【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．13．(1)见解析(2)AF=185．【分析】（1）根据圆周角定理可得AD⊥BC，再由等腰三角形的性质可得BD=CD，进而得出OD是三角形的中位线，由切线的性质可得OD∥FC，证出三角形DFC是等腰三角形即可；（2）在Rt△ODE中，根据锐角三角函数可求出半径OD，进而得出直径AB，在Rt△ABF 中，由锐角三角函数可求出AF．(1)证明：如图，连接OC，AD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABC=∠F，∴∠F=∠ACB，∴DF=DC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，又∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴FC⊥DE，∵DF=DC，∴DE是FC的垂直平分线，即点E为线段CF垂直平分线上一点；(2)解：连接BF，在Rt△ODE中，设OD=x，则OE=BE-OB=8-x，∵sin∠E=35=ODOE，∴8xx=35，解得x=3，经检验x=3是原方程的根，∴AB=2OD=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴DG∥BF，∴∠E=∠ABF，在Rt△ABF中，AB=6，sin∠ABF=sin∠E=35，∴AF =AB •sin ∠ABF =6×35=185． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的前提．14．(1)见解析(2)AB =10，周长16+45【分析】（1）根据AB 是⊙O 的直径，得∠C =90°，根据点D 是AC 的中点，得CA ⊥DF ，即有∠AEO =90°，则有BC DF ∥，即可得证；（2）先利用平行及圆周角定理证得∠DBF =∠BAC ，则根据正切值和勾股定理即可求出CB 、AB ，在Rt △AEO 中，利用勾股定理得OE =3，在Rt △AED 中，利用勾股定理，得AD 5则四边形的周长可得．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C =90°，∵点D 是AC 的中点，∴DO 垂直平分AC ，且AD =DC ，∴CA ⊥DF ，AE =EC ，∴∠AEO =90°，∴BC DF ∥，∵BF CD ∥，∴四边形BCDE 是平行四边形；（2）∵BC DF ∥，∴∠DBF =∠CDB ，又∵根据圆周角定理有∠CDB =∠BAC ，∴∠DBF =∠BAC ，即tan ∠BAC =34， ∵AC =8，∴CB =6，则在Rt △ACB 中，利用勾股定理可得AB =10，即AO =5=OD ，∵AE =EC =12AC ，∴AE=EC=4，在Rt△AEO中，利用勾股定理得OE=3，∴DE=OD-OE=5-3=2，在Rt△AED中，利用勾股定理，得AD5CD5∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD5545【点评】本题考查了平行四边的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、同弧所对的弦相等、勾股定理以及解直角三角形的知识，利用正切值以及同弧所对的圆周角相等是解答本题的关键．15．(1)见解析(2)1【分析】（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；（2）如图所示，连接BF，AD，先解直角三角形ACD求出AD的长，从而求出CD的长，然后分别解直角三角形BCF，直角三角形DCE，求出BF，DE，进而求出CF，CE，即可得到EF．（1）解：连接OD，如图：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠B=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE是切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；（2）解：如图所示，连接BF，AD，∵AB是圆O的直径，∴∠AFB=∠ADB=90°，∴∠BFC=90°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°∵AB=AC，∴BC=2CD，∠ABD=∠C，∴25 sin sinADABD CAC∠===∴2525 AD AC==∴225CD AC AD-∴5BC=∴sin2DE CD C=⋅=，sin=4BF BC C=⋅，∴221CE CD DE=-=，222CF BC BF=-=，∴EF=CF-CE=1．【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质与判定，解直角三角形、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．．16．(1)见解析(2)2π【分析】（1）先证明∠CEB=∠CBP＝90°，再由∠D+∠P=90°，∠CAB＋∠CBE＝90°，∠CAB=∠D，推出∠CBE=∠P，即可证明结论；（2）设CF=3k，CP=4k，先证明∠F AC=∠CAB，得到CE=CF=3k，再由相似三角形的性质得到BC2＝CE•CP；从而求出sin∠CBE323k∠CBE=60°，即可证明△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，据此求解即可．（1）解：∵CE⊥OB，CD为圆O的直径，∴∠CEB=∠DBC＝90°，∴∠CEB=∠CBP＝90°，∵PF是切线，∴∠DCP=90°，∴∠D+∠P=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∴∠CAB＋∠CBE＝90°，∵∠CAB=∠D，∴∠CBE=∠P，∴△CBE∽△CPB；（2）解：∵34 CFCP=，∴设CF=3k，CP=4k，∵PF是切线，∴OC⊥PF，∵AF⊥PF，∴AF∥OC．∴∠F AC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∴∠F AC=∠CAB，∴CE=CF=3k，∵△CBE∽△CPB，∴CB CE CP CB=，∴BC2＝CE•CP；∴BC =23k∴sin ∠CBE 323k= ∴∠CBE =60°，∵OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB =60°， ∵43AB =∴扇形COB 的面积260232360ππ⨯=（） 【点评】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形，扇形面积，等边三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据AB 为O 的直径，可得90ADB ACB ∠=∠=︒，由ACB ∠的角平分线交O 于点D ，可得45ACD BCD ∠=∠=︒，AD BD =，AD BD =，进而结论得证；（2）由CAB ∠的角平分线交CD 于点F ，得到CAF BAF ∠=∠，结合（1）可得ACD BAD ∠=∠，再由∠=∠+∠DFA CAF ACD ，∠=∠+∠DAF BAF BAD ，得到DFA DAF ∠=∠，从而说明DA DF =，最后再证明ADE CDA △∽△，利用相似三角形的性质即可得证．(1)证明：∵AB 为O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，∵ACB ∠的角平分线交O 于点D ，∴45ACD BCD ∠=∠=︒，∴AD BD =，∴AD BD =，∴ADB 为等腰直角三角形；(2)证明：∵CAB ∠的角平分线交CD 于点F ，∴CAF BAF ∠=∠，由（1）可知：45ACD ∠=︒，AD BD =，90ADB ∠=︒∴45BAD ABD ∠=∠=︒，∴ACD BAD ∠=∠，∵∠=∠+∠DFA CAF ACD ，∠=∠+∠DAF BAF BAD ，∴DFA DAF ∠=∠，∴DA DF =，在ADE 和CDA 中DAE DCA ADE CDA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴ADE CDA △∽△， ∴AD DE CD AD=， ∴2AD DE DC =⋅，∴2DF DE DC =⋅．【点评】本题考查的是圆和三角形的综合题，考查了直径所对的圆周角为90°，角平分线，圆周角，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键．18．(1)3AC =(2)见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，再根据勾股定理进行计算即可；（2）连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．根据切线的性质及平行四边形的性质可证明四边形OBCD 是菱形，即可得到结论．(1)∵AB 是圆O 的直径，∴90ACB ∠=︒∴2223AC AB BC =-=，∴3AC =．(2)连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．∵ED 与圆O 相切于D 点，∴OD ED ⊥，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴ED AC ∥， CD EA ∥，∴OD AC ⊥，90OFA ACB ∠=︒=∠，∴OD BC ∥，∵CD EB ∥，OD OB =，∴四边形OBCD 是菱形，∴BD 平分ABC ∠．【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、平行四边形的性质及菱形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的根据．19．(1)见解析 65【分析】（1）根据等角的余角相等，ABP CPO ∠=∠，进而证得APB ABP ∠=∠，最后结论得证；（2）作OH BC ⊥于H ，在Rt POC △中，求出OP ，PC ，OH ，CH 即可解决问题．（1）证明：∵OC OB =，∴OCB OBC ∠=∠，∵AB 是O 的切线，∴OB AB ⊥，∴90OBA ∠=︒，∴90ABP OBC ∠+∠=︒，∵OC AO ⊥，∴=90AOC ∠︒，∴90OCB CPO ∠+∠=︒，∴ABP CPO ∠=∠，∵APB CPO ∠=∠，∴APB ABP ∠=∠，∴AP AB =．（2）解：作OH BC ⊥于H ,在Rt OAB 中，∵4OB =，3AB =， ∴22345OA +，∵3AP AB ==，∴2PO =．在Rt POC △中，∵4OC OB == ∴2225PC OC OP =+=1122POC S PC OH OC OP ==△， ∴455OC OP OH PC == ∴2285CH OC OH =- ∵OH BC ⊥，∴CH BH =，∴1652BC CH = ∴165655PB BC PC =-=-=． 【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理等知识，学会添加适当的辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．20．(1)见解析(2)3DF =22【分析】（1）由题意得BAE DAE ∠=∠，且90ABE ︒∠=，即90BAE AEB ︒∠+∠=，根据AD BC ⊥得90DAE AFD ︒∠+∠=，即可得；（2）根据AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠得BEF BFE ∠=∠，即BE BF =，根据BAE DAF ∠=∠，90ABE ADF ︒∠=∠=得ΔΔABE ADF ∽，根据10AB =，5BF =得12BE AB =，设DF x =，则2AD x =，在Rt ABD ∆中，根据勾股定理， 即()()2221052x x =++，即可得；（3）根据点G 为AB 中点，点O 在DG 上得OG 是ABE ∆的中位线，即OG BE ∥，12OG BE =，根据90ABE ︒∠=得OD DF =，AEB ∠和ACB ∠是AB 所对的圆周角得AEB ACB ∠=∠，即ACB AFC ∠=∠，即有AC AF =，设BF a =，DF b =， 有11222BE OD a b DG BD BF DF a b ++===++，即可得． (1)解：∵直径AE 平分BAD ∠，∴BAE DAE ∠=∠，且90ABE ︒∠=，∴90BAE AEB ︒∠+∠=，∵AD BC ⊥，∴90DAE AFD ︒∠+∠=，∴AEB AFD ∠=∠．(2)解：∵AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠，∴BEF BFE ∠=∠，∴BE BF =，∵BAE DAF ∠=∠，90ABE ADF ︒∠=∠=，∴ΔΔABE ADF ∽，∵10AB =，5BF =， ∴51102BE BF DF AB AB AD ====， 设DF x =，则2AD x =，在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，222AB BD AD =+，即()()2221052x x =++，解得：13x =，25x =-，舍去负值，得到3DF =．(3)解：如图所示，∵点G 为AB 中点，点O 在DG 上，∴OG 是ABE ∆的中位线，∴OG BE ∥，12OG BE =， ∵90ABE ︒∠=，∴DG AB ⊥，ABD ∆是等腰直角三角形，AOG AEB AFD ∠=∠=∠，∴OD DF =，∵AEB ∠和ACB ∠是AB 所对的圆周角，∴AEB ACB ∠=∠，∴ACB AFC ∠=∠，即有AC AF =，∵AD CF ⊥，∴DF CD =．设BF a =，DF b =， 有11222BE OD a b DG BD BF DF a b ++===++， 解得2a b =， ∴::222BF FC a b ==．【点评】本题考查了圆与三角形，解题的关键是掌握垂径定理，相似三角形的判断与性质，中位线，勾股定理．。
初三圆的计算与证明练习题
初三圆的计算与证明练习题圆是几何学中的一个重要概念，初三学生需要掌握如何计算圆的各种属性，并能够运用所学知识进行相关证明。
本篇文章将为你提供一系列初三阶段的圆的计算与证明练习题，帮助你巩固知识并提升解题能力。
题目一：圆的周长计算已知一个圆的半径 r = 5 cm，请计算其周长。
解析：圆的周长（C）可以通过公式C = 2πr 计算，其中π 是一个常数，近似取 3.14。
将给定的半径代入公式，可得 C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4 cm。
题目二：圆的面积计算已知一个圆的直径 d = 8 cm，请计算其面积。
解析：圆的面积（A）可以通过公式A = πr² 计算，其中 r 为半径，可通过直径除以 2 得到。
将给定的直径代入公式，可得 r = 8 ÷ 2 = 4 cm。
将半径代入公式，可得 A = 3.14 × (4)² = 50.24 cm²。
题目三：证明圆的直径是其任意两点间的最短距离已知在坐标平面上，有圆心为 O 的圆，以 A、B 两点分别作为圆上的两个点，请证明直径 AB 是线段 AB 上所有线段中最短的。
解析：证明思路：设直径 AB 的中点为 M，连接 OA、OB，利用三角形距离的性质进行证明。
证明过程：1. 因为 AM = MB，所以△OAM 和△OBM 是等腰三角形。
2. 根据等腰三角形的定理，OA = OM，OB = OM。
3. 由于 OA = OB，根据等量代换的原理，可以得出△OAM ≌△OBM。
4. 根据三角形全等的定义，可以得出∠OAM = ∠OBM。
5. 因为直线 AB 是线段 AB 上所有线段中长度最长的，所以自然比△OAM 和△OBM 的底边长。
6. 根据同弧所对的圆周角相等的性质，可以得出∠OAM 和∠OBM 所对的弧的圆心角相等。
7. 综上所述，自然有∠OAM 的圆心角和∠OBM 的圆心角相等，即直径 AB 上的圆心角相等。
圆练习题及讲解高中
圆练习题及讲解高中### 圆的练习题及讲解#### 练习题一：圆的性质应用题目：在圆O中，弦AB和弦CD相交于点P，已知OP垂直于CD。
求证：AB=CD。
解答：根据圆的性质，弦AB和CD都是圆O的弦。
由于OP垂直于CD，根据垂径定理，OP是CD的垂直平分线。
因此，OP也是弦CD的中垂线，这意味着点P是弦CD的中点。
由于圆周角定理，圆心O与弦AB、CD所对的圆心角相等，因此弦AB和CD的长度相等。
即AB=CD。
#### 练习题二：圆的切线问题题目：点A在圆O的外部，PA是圆O的切线，PA与圆O相切于点P。
已知OP=10，求PA的长度。
解答：根据切线性质，切线与半径在切点处垂直。
因此，三角形OPA是一个直角三角形，其中OP为斜边，长度为10。
由于PA是圆O的切线，根据切线长定理，PA的长度等于半径的长度。
因此，PA=10。
#### 练习题三：圆与圆的位置关系题目：圆O1和圆O2的半径分别为r1和r2，两圆心之间的距离为d。
当两圆相交时，求d的范围。
解答：根据圆与圆的位置关系，当两圆相交时，圆心之间的距离d必须满足以下条件：|r1 - r2| < d < r1 + r2。
这个条件确保两圆至少有一个公共点。
如果d小于|r1 - r2|，则两圆相离；如果d大于r1 + r2，则两圆内含。
#### 练习题四：圆的面积和周长题目：已知圆的半径为r，求圆的面积A和周长C。
解答：圆的面积A可以通过公式A = πr²计算得出。
圆的周长C可以通过公式C = 2πr计算得出。
这两个公式是圆的基本性质，其中π是一个无理数，约等于3.14159。
#### 练习题五：圆的切线与弦的关系题目：在圆O中，弦AB与切线PA在点P处相切。
已知PA的长度为l，求弦AB的长度。
解答：根据切线性质，切线与半径在切点处垂直。
因此，三角形OPA是一个直角三角形，其中OP是半径，长度为r。
由于PA是圆O的切线，根据勾股定理，PA² = OP² + AP²。
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与圆的基本性质有关的计算与证明 专题练习题
1．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )
A ．60°
B ．45°
C ．35°
D ．30°
2．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB＝3∠ADB ，则( )
A ．DE ＝E
B B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB
3．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB ＝40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于( )
A ．40°，80°
B ．50°，100°
C ．50°，80°
D ．40°，100°
4．如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB ＝( )
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( )
A ．45°
B ．50°
C ．60°
D ．75°
6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，
连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是( )
A．120°B．135°C．150°D．165°
8．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．
9．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝_______度．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为_______．
11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是_________．12．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.
(1)求CD的长；
(2)现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC三边于点G，E，F.
(1)求证：F是BC的中点；
(2)判定∠A与∠GEF的大小关系，并说明理由．
14．(1)如图①，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB，AC于D，E，求证：△ODE是等边三角形；
(2)如图②，若∠A＝60°，AB≠AC，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
15.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.
(1)若∠BAC＝30°，求证：CD 平分OB ；
(2)若点E 为ADB ︵的中点，连接OE ，CE ，求证：CE 平分∠OCD；
(3)若⊙O 的半径为4，∠BAC ＝30°，则圆周上到直线AC 距离为3的点有多少个？请说明理由．
答案：
1---7 DDBBC BC
8. 23
9. 35
10. 8
11. AB ∥CD
12. 解：(1)∵直径AB ＝26(m )，∴OD ＝12AB ＝12×26＝13(m )，∵OE ⊥CD ，∴DE ＝12
CD ，∵OE ∶CD ＝5∶24，∴OE ∶ED ＝5∶12，∴设OE ＝5x ，ED ＝12x ，∴在Rt △ODE 中，(5x)2＋(12x)2＝132，解得x
＝1，∴CD ＝2DE ＝2×12×1＝24(m )
(2)由(1)得OE ＝1×5＝5(m )，延长OE 交圆O 于点F ，∴EF ＝OF －OE ＝13－5＝8(m )，∴84
＝2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满
13. 解：(1)连接DF ，∵∠ACB ＝90°，∴△ACB 是直角三角形，又∵D 是AB 的中点，∴BD ＝CD ＝AD ，又∵CD 是⊙O 的直径，∴DF ⊥BC ，∴BF ＝CF ，即F 是BC 的中点
(2)∠A ＝∠GEF.理由：∵D ，F 是AB ，BC 的中点，∴DF ∥AC ，∴∠A ＝∠BDF ，又∵∠BDF ＝∠GEF ，∴∠A ＝∠GEF
14. (1) 解：∵△BAC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°.∵OD ＝OB ＝OE ＝OC ，∴△OBD 和△OEC 都是等边三角形，∴∠BOD ＝∠COE ＝60°，∴∠DOE ＝60°，∴△ODE 是等边三角形
(2) 解：结论(1)仍成立．证明：连接CD ，∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°.∴∠ADC ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ACD ＝30°，∴∠DOE ＝2∠ACD ＝60°.∵OD ＝OE ，∴△ODE 是等边三角形
15. 解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝30°，∴∠B ＝60°，而OC ＝OB ，∴△OBC 为等边三角形，∵CD⊥OB ，∴CD 平分OB
(2)∵点E 为ADB ︵的中点，∴OE ⊥AB ，而CD⊥AB ，∴OE ∥CD ，∴∠OEC ＝∠ECD ，∵OC ＝OE ，∴
∠OEC ＝∠OCE ，∴∠OCE ＝∠ECD ，即CE 平分∠OCD
(3)圆周上到直线AC 距离为3的点有2个．理由如下：作OF⊥AC 于点F ，交⊙O 于点G ，∵OA
＝4，∠BAC ＝30°，∴OF ＝12
OA ＝2，∴GF ＝OG －OF ＝2，即在弧AC 上到AC 的最大距离为2，∴在弧AC 上没有一个点到AC 的距离为3，而在弧AEC 上到AC 的最大距离为6，∴在弧AEC 上有2个点
到AC的距离为3。