机械振动第2节简谐运动的描述讲义-人教版高中物理选修3-4讲义练习

第2节简谐运动的描述1.振幅A表示振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。

2．振子完成一次全振动的时间总是相等的，一次全振动中通过的总路程为4A。

3．相位是描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

4．简谐运动的表达式为：x＝A sin(ωt＋φ)。

位移随时间变化的关系满足x＝A sin(ωt＋φ)的运动是简谐运动。

一、描述简谐运动的物理量1．振幅(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。

(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。

2．全振动类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。

3．周期(T)和频率(f)4.相位描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

二、简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为x＝A sin(ωt＋φ)1．x表示振动物体相对于平衡位置的位移。

2．A表示简谐运动的振幅。

3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝2πT＝2πf 。

4．ωt ＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t ＝0时的相位，叫做初相。

1．自主思考——判一判 (1)振幅就是指振子的位移。

(×) (2)振幅就是指振子的路程。

(×)(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。

(×) (4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。

(√)(5)简谐运动表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。

(√)2．合作探究——议一议(1)两个简谐运动有相位差Δφ，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为32π，意味着什么？提示：两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同。

甲、乙两个简谐运动的相位差为32π，意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后34个周期或34次全振动。

(2)简谐运动的表达式一般表示为x ＝A sin(ωt ＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。

1．对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。

(2)全振动的四个特征：①物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。

②时间特征：历时一个周期。

③路程特征：振幅的4倍。

④相位特征：增加2π。

2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。

振幅越大，振动系统的能量越大。

(2)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。

在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(3)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。

其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。

(4)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

[典例] 如图所示，弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点之间做简谐运动。

BC 相距20 cm ，某时刻振子处于B 点。

经过0.5 s ，振子首次到达C 点。

求：(1)振子振动的周期和频率；(2)振子在5 s 内通过的路程及位移大小；(3)振子在B 点的加速度的大小与它距O 点4 cm 处P 点的加速度大小的比值。

[解析] (1)设振幅为A ，由题意BC ＝2A ＝20 cm ，所以A ＝10 cm 。

振子从B 到C 所用时间t ＝0.5 s ，为周期T 的一半，所以T ＝1.0 s ；f ＝1T＝1.0 Hz 。

(2)振子在1个周期内通过的路程为4A ，故在t ′＝5 s ＝5T 内通过的路程s ＝t ′T×4A ＝200 cm 。

5 s 内振子振动了5个周期，5 s 末振子仍处在B 点，所以它的位移大小为0。

(3)振子加速度a ＝－k mx ，a ∝x 。

所以a B ∶a P ＝x B ∶x P ＝10∶4＝5∶2。

[答案] (1)1.0 s 1.0 Hz (2)200 cm 0 (3)5∶2振动物体路程的计算方法(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n 个周期内通过的路程必为n ·4A 。

②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。

③振动物体在T4内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，T4内通过的路程才等于振幅。

(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。

1．如图所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间为1 s ，则下列说法正确的是( )A ．振子从B 经O 到C 完成一次全振动 B ．振动周期是1 s ，振幅是10 cmC ．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD ．从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm解析：选D 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm ，A 、B 错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动振子通过的路程为40 cm ，C 错误；3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm ，D 正确。

2．A 、B 两个完全一样的弹簧振子，把A 振子移到A 的平衡位置右边10 cm ，把B 振子移到B 的平衡位置右边 5 cm ，然后同时放手，那么( )A ．A 、B 运动的方向总是相同的 B ．A 、B 运动的方向总是相反的C ．A 、B 运动的方向有时相同、有时相反D ．无法判断A 、B 运动的方向的关系解析：选A 由题可知，两个振子同时开始做简谐运动，振幅分别为10 cm 和5 cm ，由于是完全相同的弹簧振子，它们振动的周期相同，所以A 、B 运动的方向总是相同的，故选项A 正确，选项B 、C 、D 错误。

3．一个质点做简谐运动，振幅是4 cm ，频率为2.5 Hz ，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5 s ，质点的位移和路程分别是( )A ．4 cm 、24 cmB ．－4 cm 、100 cmC ．0、100 cmD ．4 cm 、100 cm解析：选D 由f ＝1T 得T ＝1f ＝0.4 s ，Δt ＝2.5 s ＝614T 。

每个周期质点通过的路程为4×4cm ＝16 cm ，故质点的总路程s ＝614×16 cm＝100 cm ，质点0时刻从平衡位置向正向位移运动，经过14周期运动到正向最大位移处，即位移x ＝4 cm ，故D 项正确。

做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ)(1)x ：表示振动质点相对于平衡位置的位移。

(2)A ：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。

(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝2πT＝2πf 。

可见ω、T 、f 相当于一个量，描述的都是振动的快慢。

(4)ωt ＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。

它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。

(5)φ：表示t ＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。

(6)相位差：即某一时刻的相位之差。

两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1。

[典例] [多选]某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x ＝A sin ωt ，振动图像如图所示，则( )A ．弹簧在第1 s 末与第5 s 末的长度相同B ．简谐运动的频率为18HzC ．第3 s 末，弹簧振子的位移大小为22A D ．第3 s 末与第5 s 末弹簧振子的速度方向相同E ．第5 s 末，振子的加速度与速度方向相同[解析] 在水平方向上做简谐运动的弹簧振子，其位移x 的正、负表示弹簧被拉伸或压缩，所以弹簧在第1 s 末与第5 s 末时，虽然位移大小相同，但方向不同，弹簧长度不同，选项A 错误；由图像可知，T ＝8 s ，故频率f ＝18 Hz ，选项B 正确；ω＝2πT ＝π4 rad/s ，则将t ＝3 s 代入x ＝A sin π4t ，可得弹簧振子的位移大小x ＝22A ，选项C 正确；第3 s 末至第5 s 末弹簧振子沿同一方向经过关于平衡位置对称的两点，故速度方向相同，选项D 正确；第5 s 末加速度与速度反向，E 错误。

[答案] BCD用简谐运动表达式解答振动问题的方法应用简谐运动的表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝2πT＝2πf 确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。

1．[多选]某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t ＋π2cm ，则( )A ．质点的振幅为3 cmB ．质点振动的周期为3 sC ．质点振动的周期为2π3sD ．t ＝0.75 s 时刻，质点回到平衡位置 解析：选ABD 由x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋π2cm 可知，A ＝3 cm ，ω＝2π3，T ＝2πω＝3 s ，A 、B正确，C 错误；将t ＝0.75 s 代入表达式中可得x ＝0，故t ＝0.75 s 时，质点回到平衡位置，D 正确。

2．有一弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )A ．x ＝8×10－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt ＋π2mB ．x ＝8×10－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4πt －π2mC ．x ＝8×10－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋3π2mD ．x ＝8×10－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4t ＋π2m解析：选A 由题意知，A ＝0.8 cm ＝8×10－3m ，T ＝0.5 s ，ω＝2πT＝4π，t ＝0时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即t ＝0时，x ＝A ＝8×10－3m ，故A 选项正确。

3．[多选]某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π4t ，则质点( )A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同C ．第3 s 末与第5 s 末的位移相同D ．第3 s 末与第5 s 末的速度相同解析：选AD 根据x ＝A sin π4t 可求得该质点振动周期为T ＝8 s ，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s 末和第3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3 s 末和第5 s 末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确。