「精品」高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.2.2直线与圆的位置关系对点训练理

2017高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.2.2 直线与圆的位置关系
对点训练 理
1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－2
3
C ．－54或－45
D ．－43或－34
答案 D
解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2
＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k
－
－2－2k －3|1＋k
2
＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2
＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－3
4
.故选D.
2.设直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,4)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
答案 D
解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l
的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝2x 0
y 1＋y 2＝2y 0.
又⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝4x 1
y 2
2＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2
y 0
.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝
y 0
x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5
＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 2
0<4x 0，即r 2
－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.
3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C
的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )
A ．2
B ．4 2
C ．6
D ．210
答案 C
解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2
＝|AC |2
－|BC |2
＝(－4－2)2
＋(－1－1)2
－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.
4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A.4π
5
B.3π4 C ．(6－25)π D.5π4
答案 A
解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝
45 .
∴圆C 面积的最小值为π×⎝
⎛⎭⎪⎫252＝4
5
π.故选A.
解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．
由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．
要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．
由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半．
因此，圆C 半径的最小值为r min ＝
4
5
×12＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝4π5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
答案 (x －1)2
＋y 2
＝2
解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝2.
6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2
＋y 2
＝1分成长度相等的四段弧，则a 2
＋b 2
＝________. 答案 2
解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，
|a |
2＝cos45°＝
22
，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2
＝2. 7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4截得的弦长为________． 答案
255
5
解析 圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为
d ＝
|2＋
－－3|12
＋2
2＝35
，所求弦长l ＝2r 2－d 2
＝2
4－95＝2555
. 8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2
＋(y －a )2
＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.
答案 4±15
|a ＋a －2|1＋a
2
＝3，即a 2
－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15. 9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2
＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．
(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝9
4.
故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2
＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －322＋y 2
＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫53＜x ≤3.
(3)联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝53
，⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＋y 2
＝94，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5
3
，
y ＝±253
.
不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5
3，－253，
设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝25
7
.
当直线L 与圆C 相切时，
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
32k －4k k 2＋1＝3
2
，解得k ＝±3
4.
故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。