【湘教考】2016届高三数学(文)一轮复习课件：5.3等比数列及其前n项和
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高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项
则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3.① (1)由a3+b3=5得2d+q2=6.② 联立①和②解得
d 1, d 3, (舍去)或 q 2. q 0
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由①得d=8,则S3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
an1 表示,定义的表达式为 =q(n∈N*). an
2.等比数列的通项公式
等比数列{an}的通项公式为an=⑤ a1qn-1 .
3.等比中项
若⑥ G2=ab(ab≠0) ,则G叫做a与b的等比中项.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am· ⑦ qn-m (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则⑧ akal=aman .
考点突破
考点一 等比数列的基本运算
典例1 (2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等 比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式; (2)若T3=21,求S3.
解析 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
2 4
2.在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= ( B )
A.10 B.25 C.50 D.75
答案 B பைடு நூலகம்a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.
d 1, d 3, (舍去)或 q 2. q 0
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由①得d=8,则S3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
an1 表示,定义的表达式为 =q(n∈N*). an
2.等比数列的通项公式
等比数列{an}的通项公式为an=⑤ a1qn-1 .
3.等比中项
若⑥ G2=ab(ab≠0) ,则G叫做a与b的等比中项.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am· ⑦ qn-m (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则⑧ akal=aman .
考点突破
考点一 等比数列的基本运算
典例1 (2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等 比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式; (2)若T3=21,求S3.
解析 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
2 4
2.在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= ( B )
A.10 B.25 C.50 D.75
答案 B பைடு நூலகம்a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.
高中一轮复习文数课件：第六章第三节等比数列及其前n项和
当 n≥2 时，由 6Sn＋1＝9an，得 6Sn－1＋1＝9an－1， 两式相减得 6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)， 即 6an＝9(an－an－1)，所以 an＝3an－1. 1 所以数列{an}是首项为 ，公比为 3 的等比数列，其通项公式 3 1 为 an＝ ×3n－1＝3n－2. 3
01
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一 项的比等于 同一常数 (不为零 )，那么这个数列就叫做等比数 列．这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示，定
an＋1 ＝q a n 义的表达式为_________.
1＋q＋q2 1 2 ＝3，整理得 2q －q－1＝0，解得 q＝1 或 q＝－ . q2 2
[答案]
(1)4
1 (2)1 或－ 2
求通项或特定项
[例 2] (1)(2017· 全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足 a1＋a2＝
－1，a1－a3＝－3，则 a4＝________. (2)在等比数列{an}中，若公比 q＝4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an＝________.
求等比数列的前 n 项和
[例 3] 设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 6Sn＋1＝9an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若数列{bn}满足 bn＝a ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n 1 [解] (1)当 n＝1 时，由 6a1＋1＝9a1，得 a1＝ . 3
[例 1] (1)(2017· 无锡模拟)已知等比数列{an}单调递减，
5 若 a3＝1，a2＋a4＝ ，则 a1＝________. 2 (2)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公 比 q 的值为________．
01
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一 项的比等于 同一常数 (不为零 )，那么这个数列就叫做等比数 列．这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示，定
an＋1 ＝q a n 义的表达式为_________.
1＋q＋q2 1 2 ＝3，整理得 2q －q－1＝0，解得 q＝1 或 q＝－ . q2 2
[答案]
(1)4
1 (2)1 或－ 2
求通项或特定项
[例 2] (1)(2017· 全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足 a1＋a2＝
－1，a1－a3＝－3，则 a4＝________. (2)在等比数列{an}中，若公比 q＝4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an＝________.
求等比数列的前 n 项和
[例 3] 设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 6Sn＋1＝9an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若数列{bn}满足 bn＝a ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n 1 [解] (1)当 n＝1 时，由 6a1＋1＝9a1，得 a1＝ . 3
[例 1] (1)(2017· 无锡模拟)已知等比数列{an}单调递减，
5 若 a3＝1，a2＋a4＝ ，则 a1＝________. 2 (2)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公 比 q 的值为________．
2016届高三数学(北师大版)一轮复习课件：第5章-第3课时 等比数列及其前n项和
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第十二页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
考点突破 题型透析
考点一 等比数列的判定及证明
1．(2013·高考福建卷)已知等比数列{an}的公比为 q，记 bn＝am(n－1)＋1＋am(n －1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以 下结论一定正确的是( ) A．数列{bn}为等差数列，公差为 qm B．数列{bn}为等比数列，公比为 q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为 qmm
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考点突破 题型透析
考点一 等比数列的判定及证明
计算出 bn，cn，并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型． bn＝a1qm(n－1)＋a1qm(n－1)＋1＋…＋a1qm(n－1)＋m－1 ＝a1qm(n－1)(1＋q＋…＋qm－1)＝a1qm(n－1)·11－－qqm， ∴bbn＋n 1＝a1aq1mqmn－n·111·－1－1－－qqmqqm＝qm， ∴{bn}是等比数列，公比为 qm.
第三页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
教材梳理 基础自测
【知识梳理】
2(1.或等)等比aq比1>数<数10列列时的{，a性n}{质满an}足是递aq1>>减10数或列．a0<1<q0<1时，{an}是递增数列；满足a0<1>q0<1 (2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积 相等 ．特别地，若 项数为奇数时，还等于 中间项 的平方． (3)对任意正整数 m、n、p、q，若 m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地， 若 m＋n＝2p，则 ap2＝am·an .
第十二页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
考点突破 题型透析
考点一 等比数列的判定及证明
1．(2013·高考福建卷)已知等比数列{an}的公比为 q，记 bn＝am(n－1)＋1＋am(n －1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以 下结论一定正确的是( ) A．数列{bn}为等差数列，公差为 qm B．数列{bn}为等比数列，公比为 q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为 qmm
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考点突破 题型透析
考点一 等比数列的判定及证明
计算出 bn，cn，并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型． bn＝a1qm(n－1)＋a1qm(n－1)＋1＋…＋a1qm(n－1)＋m－1 ＝a1qm(n－1)(1＋q＋…＋qm－1)＝a1qm(n－1)·11－－qqm， ∴bbn＋n 1＝a1aq1mqmn－n·111·－1－1－－qqmqqm＝qm， ∴{bn}是等比数列，公比为 qm.
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【知识梳理】
2(1.或等)等比aq比1>数<数10列列时的{，a性n}{质满an}足是递aq1>>减10数或列．a0<1<q0<1时，{an}是递增数列；满足a0<1>q0<1 (2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积 相等 ．特别地，若 项数为奇数时，还等于 中间项 的平方． (3)对任意正整数 m、n、p、q，若 m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地， 若 m＋n＝2p，则 ap2＝am·an .
2016高考数学(新课标)一轮复习配套课件：第五章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和
栏目 第二十页，编辑于星期六：点 四十导六分引。
第五章 数列
(3)∵2an＋1＋an＝0，∴aan＋n 1＝－12. 又 a2＝1，∴a1＝－2，∴{an}是首项为－2，公比为 q＝－12 的等比数列，∴S10＝a1（11－－qq10）＝－2（11＋－212－10） ＝43(2－10－1)，故选 C.
栏目 第十六页，编辑于星期六：点 四十导六分引。
第五章 数列
[规律方法] 等比数列运算的通法：
与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想 和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式 an＝a1·qn－1
na1，q＝1 (a1q≠0)及前 n 项和公式 Sn＝a1（11－－qqn），q≠1中共有五
栏目 第十三页，编辑于星期六：点 四十导六分引。
第五章 数列
(2)设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，
∵a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，
∴a221（·1q＋8＝q2a）1·＝q59，q， ②
①
由①得 a1＝q，
由②知 q＝2 或 q＝12，
又数列{an}为递增数列，∴a1＝q＝2，从而 an＝2n.
(2)等比中项： 如果 a、G、b 成等比数列，那么__G_____叫做 a 与 b 的等比 中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列 ⇒__G_2_＝__a_b___．
栏目 第二页，编辑于星期六：点 四十六导分。引
第五章 数列
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a_1_q_n－__1 ___．
栏目 第六页，编辑于星期六：点 四十六导分。引
第五章 数列
2．等比数列的三种判定方法 (1)定义：aan＋n 1＝q(q 是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比 数列． (2)通项公式：an＝cqn－1(c、q 均是不为零的常数，n∈N*) ⇔{an}是等比数列． (3)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*) ⇔{an}是等比数列．
高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和课件
三 等比数列的判定与证明
• (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用 于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证 明存在连续三项不成等比数列即可．
• (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
【例 3】
数列 a 的前 n
1．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R 且 λ≠0)，若数列an－1是等比数 列，则 λ 的值等于( D )
A．1
B．－1
C．21
D．2
解析 由 an＋1＝λan－1，得 an＋1－1＝λan－2＝λan－2λ.由于数列{an－1}是等比数
列，所以2λ＝1，得 λ＝2.
• 解析 (1)错误．常数列0,0,0，…不是等比数列，故错误．
• (2)正确．由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项，故正 确．
• (3)错误．当q＝0时，{an}不是等比数列，故错误． • (4)错误．当G2＝ab＝0时，G不是a，b的等比中项，故错误．
• (5)错误．等比数列的通项公式为an＝a1qn－1，故错误． • (6)错误．当a＝1时，Sn＝n，故错误． • (7)错误．当q>1，a1<0时，等比数列递减，故错误． • (8)错误．若an＝1，a1·a3＝a4·a5＝1，但1＋3≠4＋5，故错误．
• 2数．列设，数3则4列a{1＋an}a的5＝前__n_项__和__S_n满. 足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差 • 解析 由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， • 即成等an＝差2数an列－1，(n所≥以2)．a1＋从a而3＝a22＝(a22a＋1，1)a，3＝所2以a2a＝1＋4a41a.又1＝因2为(2aa11＋，1a)2，＋1，a3
高考数学一轮复习 53 等比数列及其前n项和课件 文
a1>0，q>1或者a1<0,0<q<1 a1>0,0<q<1或者a1<0，q>1
a1≠0，q＝1 q<0
5.在性质(5)中，当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，… 不是等比数列．
6．在运用等比数列及其前n项和的性质时，要注意字母间的上标、 下标的对应关系．
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝41，则公比 q 等于(
列{ban}，{pan·qbn}和
(其中b，p，q是非零常
4．Sm＋n＝Sn＋ qn Sm＝Sm＋ qm Sn. 5．当 q≠－1，或 q＝－1 且 k 为 奇 数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，… 是等比数列．
6．若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，TT2nn，TT32nn，…成 等比 数列． 7．若数列{an}的项数为 2n，则SS偶 奇＝ q ；若项数为 2n＋1，则S奇S－偶a1 ＝ q.
等比数列的性质及应用(师生共研)
• 例2 (1)(2015年潍坊四县一区联考)设等比数列{an}中， 前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于 ()
解析：由等比数列的性质，得 a3＋a5＝(a2＋a4)q，解得 q＝aa32＋＋aa54＝2， 又∵a2＋a4＝a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2，∴Sn＝a111－－qqn＝2n＋1－2.
答案：2 2n＋1－2
等比数列的基本运算(自主探究)
• 例1 (1)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8， 则a1＋a10等于( )
)
A．－12
B．－2
C．2
D.12
解析：由题意知：q3＝aa52＝18，∴q＝12.
高考数学一轮复习 等比数列及其前n项和课件
＞50，即2n＋1－2＞50，∴2n＋1＞52，
又当n≤4时，2n＋1≤25＝32＜52，
当n≥5时，2n＋1≥26＝64＞52. 故使Sn＋n· 2n＋1＞50成立的正整数n的最小值为5.
2.设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2－2Sn，数列{an}为等差
还应善于运用整体代换思想简化运算的过程.
【注意】
在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公
比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求
和公式.
(2009· 临沂教学质量检查)已知单调递增的等比 数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中
项.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝ Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n· 2n
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的 连续三项不成等比即可.
已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝ bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数. (1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列.
＝－
(－1)n· (an－3n＋21)＝－
bn.
又λ≠－18，∴b1＝－(λ＋18)≠0.由上式知bn≠0， ∴ (n∈N*)． 为公比
故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项， 的等比数列.
1.(2009· 全国卷Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1， Sn
＋1＝4an＋2.
＋1＞50成立的正整数n的最小值.
由已知条件，列出关于a1、q的方程，求得a1、q，从 而得出an和bn，由bn求Sn时注意bn通项公式的特点.
高考数学一轮复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课件
A．a1，a3，a9 成等比数列
B．a2，a3，a6 成等比数列
C．a2，a4，a8 成等比数列
D．a3，a6，a9 成等比数列
(2)(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足 a1＝1，a列，并求{an}的通项公式；
②证明：a11＋a12＋…＋a1n<32.
归纳升华
解决等比数列有关问题的常见思想方法 1．方程的思想 等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列 方程(组)求关键量 a1 和 q，问题可迎刃而解． 2．数形结合的思想 通项 an＝a1qn－1 可化为 an＝aq1qn，因此 an 是关于 n 的函数，点(n，an)是 曲线 y＝aq1qx 上一群孤立的点．
②由①知a1n＝3n－2 1. 因为当 n≥1 时，3n－1≥2×3n－1，所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1 ＝321－31n<32.所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
跟踪训练
1.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn ＋2n(n∈N*)． (1)求 a2，a3 的值； (2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
示，公比的表达式为_a_an_＋n_1＝__q___.
2．5 等比中项
如果 a，G，b 成等比数列，那么G__叫做 a 与 b 的等比中项．即 G 是 a 与 b 的 等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒_G__2_＝___a. b
知识点 2 等比数列的有关公式
1．通项公式：an＝__a_1_q__n_－＝1amqn－m.
【答案】 B
2．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128. (1)求通项 an； (2)若 bn＝log2an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝360，求 n 的值．
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*
数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn+1=4an+2（n∈N ）. （1）设 bn=an+1-2an，求证：{bn}是等比数列； （2）设 cn=
*
an ，求证：{cn}是等比数列. 3n 1
1.等比数列{ a n }的公比为 q ，则“ q ＞1”是“对于任意正整数 n，都有 a n ＋1＞ a n ” 的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
【解析】当 a1 ＜0 时，条件与结论均不能由一方推出另一方. 【答案】 D
2
2.已知各项不为 0 的等差数列{ a n }，满足 2 a3 － a 7 ＋2 a11＝0，数列{ bn }是等比数 列，且 b7 ＝ a 7 ，则 b6b8 等于 ( )
【解析】∵{ an }是等比数列， ∴ an 2 ＋ an1 ＝6 an 可化为 a1q
n 1
＋ a1q ＝6 a1q
n
n 1
，∴ q q 6 0 .
2
1 (1 2 4 ) 4 1 a (1 q ) 2 15 ∵q＞0，∴ q＝ 2, a2 ＝ a1q ＝1，∴ a1 . ∴ S 4 1 . 2 1 q 1 2 2
【答案】
15 2
5．(2014·北京西城区期末)已知{an}是公比为 2 的 1 1 等比数列， 若 a3－a1＝6， 则 a1＝________； 2＋ 2＋… a1 a2 1 ＋ 2＝________． an
【解析】∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6， ∴4a1－a1＝6，即a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，∴
(q 1), na1 n Sn= a1 (1 q ) a1 an q 1 q 1 q (q 1).
2.等比数列的性质 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.
1 2 （1）数列{c·an}（c≠0）,{|an|}，{an·bn}（{bn}也是等比数列） ，{ an }， 等 an
【解析】由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
S9 于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝ 1 S3代入得 .
2
【答案】C
3 S3 4
4.等比数列{ a n }的公比 q＞0.已知 a 2 ＝1， a n 2 ＋ a n 1 ＝6 a n ，则{ a n }的前 4 项和 S 4 ＝_____.
1 1 1 2 即数列 a 是首项为 ，公比为 的等比数列， n 4 4
∴
1 1 2 an 4
n
1 1 1 n 1 1 1 4 4 1 1 ... 1 2 2 2 n 1 a1 a2 an 3 4 1 4
A.2 B.4 C.8 D.16 2 2 【解析】由题意可知， b6b8 ＝ b7 ＝ a 7 ＝2( a3 a11)＝4 a 7 .
2 2 ∵2 a3 － a 7 ＋2 a11＝0,4 a7 a 7 =0.∵ a 7 ≠0，∴ a 7 ＝4，∴ b6b8 =16.
【答案】D
3 ．设等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn ，若 S6 ∶ S3 ＝1∶2，则 S9∶S3＝( ) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3
1 1 1 n 3 4
【答案】2
等比数列的判定与证明
等比数列的判定方法 a a （1）定义法：若 n 1 =q（q 为非零常数）或 n =q（q 为非零常数且 n≥2） ，则{an} an an 1 是等比数列.
2 （2）中项公式法:若数列{an}中,an≠0 且 an an+2（n∈N ） ， 则数列{an}是等比数列. 1 =an· n （3）通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·q （c，q 均为不为 0 的常数，n∈ * N） ，则{an}是等比数列. （4）前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k· qn-k（k 为常数且 k≠0， q≠0， 1） ， 则{an}是等比数列. 【提醒】 （1） 前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、 填空中的判定. （2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可.
5.3 等比数列及其前n项和
1.等比数列的有关概念 （1）等比数列的定义 一般地, 如果一个数列从 第2项 起, 每一项与它的 前一项 的比等于 同一个 常数 ,那么这个 数列叫做等比数列 ,这个常数叫做等比数列的 公比 ,公比通常用字母 q （ q≠ 0）表示. （2）等比数列的通项公式 n 1 设等比数列 {an} 的首项为 a1,公比为 q, 则它的通项 an= a1q . （3）等比中项 如果三个数 a、 G、 b 成 等比数列 ， 则 G 叫做 a 和 b 的等比中项， 那么 G b ， 即 G2= ab . a G 【思考探究】 b2=ac 是 a, b, c 成等比数列的什么条件 ? 提示： b2= ac 是 a, b, c 成等比数列的必要不充分条件, ∵当 b=0,a,c 至少有一个为零时 ,b2=ac 成立 ,但 a, b, c 不成等比数列;反之 ,若 a,b,c 成等比数列, 则必有 b2=ac. （4）等比数列的前 n 项和公式
也是等比数列. （2）数列 am，am+k，am+2k，am+3k，…，仍是等比数列.
an a p · aq ， （3）若 m+n=p+q,则 am ·
2 a · a a m n p 特别地，若 m+n=2p，则
.
反之，若 am·an=ap·aq,不一定有 m+n=p+q. （4）a1an=a2an-1=…=aman-m+1. （5）数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…，仍是 等比 数列（此时{an}的公比 q≠-1）. （6）当 n 是偶数时,S 偶=S 奇·q；当 n 是奇数时，S 奇=a1+S 偶·q.
数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn+1=4an+2（n∈N ）. （1）设 bn=an+1-2an，求证：{bn}是等比数列； （2）设 cn=
*
an ，求证：{cn}是等比数列. 3n 1
1.等比数列{ a n }的公比为 q ，则“ q ＞1”是“对于任意正整数 n，都有 a n ＋1＞ a n ” 的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
【解析】当 a1 ＜0 时，条件与结论均不能由一方推出另一方. 【答案】 D
2
2.已知各项不为 0 的等差数列{ a n }，满足 2 a3 － a 7 ＋2 a11＝0，数列{ bn }是等比数 列，且 b7 ＝ a 7 ，则 b6b8 等于 ( )
【解析】∵{ an }是等比数列， ∴ an 2 ＋ an1 ＝6 an 可化为 a1q
n 1
＋ a1q ＝6 a1q
n
n 1
，∴ q q 6 0 .
2
1 (1 2 4 ) 4 1 a (1 q ) 2 15 ∵q＞0，∴ q＝ 2, a2 ＝ a1q ＝1，∴ a1 . ∴ S 4 1 . 2 1 q 1 2 2
【答案】
15 2
5．(2014·北京西城区期末)已知{an}是公比为 2 的 1 1 等比数列， 若 a3－a1＝6， 则 a1＝________； 2＋ 2＋… a1 a2 1 ＋ 2＝________． an
【解析】∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6， ∴4a1－a1＝6，即a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，∴
(q 1), na1 n Sn= a1 (1 q ) a1 an q 1 q 1 q (q 1).
2.等比数列的性质 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.
1 2 （1）数列{c·an}（c≠0）,{|an|}，{an·bn}（{bn}也是等比数列） ，{ an }， 等 an
【解析】由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
S9 于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝ 1 S3代入得 .
2
【答案】C
3 S3 4
4.等比数列{ a n }的公比 q＞0.已知 a 2 ＝1， a n 2 ＋ a n 1 ＝6 a n ，则{ a n }的前 4 项和 S 4 ＝_____.
1 1 1 2 即数列 a 是首项为 ，公比为 的等比数列， n 4 4
∴
1 1 2 an 4
n
1 1 1 n 1 1 1 4 4 1 1 ... 1 2 2 2 n 1 a1 a2 an 3 4 1 4
A.2 B.4 C.8 D.16 2 2 【解析】由题意可知， b6b8 ＝ b7 ＝ a 7 ＝2( a3 a11)＝4 a 7 .
2 2 ∵2 a3 － a 7 ＋2 a11＝0,4 a7 a 7 =0.∵ a 7 ≠0，∴ a 7 ＝4，∴ b6b8 =16.
【答案】D
3 ．设等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn ，若 S6 ∶ S3 ＝1∶2，则 S9∶S3＝( ) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3
1 1 1 n 3 4
【答案】2
等比数列的判定与证明
等比数列的判定方法 a a （1）定义法：若 n 1 =q（q 为非零常数）或 n =q（q 为非零常数且 n≥2） ，则{an} an an 1 是等比数列.
2 （2）中项公式法:若数列{an}中,an≠0 且 an an+2（n∈N ） ， 则数列{an}是等比数列. 1 =an· n （3）通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·q （c，q 均为不为 0 的常数，n∈ * N） ，则{an}是等比数列. （4）前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k· qn-k（k 为常数且 k≠0， q≠0， 1） ， 则{an}是等比数列. 【提醒】 （1） 前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、 填空中的判定. （2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可.
5.3 等比数列及其前n项和
1.等比数列的有关概念 （1）等比数列的定义 一般地, 如果一个数列从 第2项 起, 每一项与它的 前一项 的比等于 同一个 常数 ,那么这个 数列叫做等比数列 ,这个常数叫做等比数列的 公比 ,公比通常用字母 q （ q≠ 0）表示. （2）等比数列的通项公式 n 1 设等比数列 {an} 的首项为 a1,公比为 q, 则它的通项 an= a1q . （3）等比中项 如果三个数 a、 G、 b 成 等比数列 ， 则 G 叫做 a 和 b 的等比中项， 那么 G b ， 即 G2= ab . a G 【思考探究】 b2=ac 是 a, b, c 成等比数列的什么条件 ? 提示： b2= ac 是 a, b, c 成等比数列的必要不充分条件, ∵当 b=0,a,c 至少有一个为零时 ,b2=ac 成立 ,但 a, b, c 不成等比数列;反之 ,若 a,b,c 成等比数列, 则必有 b2=ac. （4）等比数列的前 n 项和公式
也是等比数列. （2）数列 am，am+k，am+2k，am+3k，…，仍是等比数列.
an a p · aq ， （3）若 m+n=p+q,则 am ·
2 a · a a m n p 特别地，若 m+n=2p，则
.
反之，若 am·an=ap·aq,不一定有 m+n=p+q. （4）a1an=a2an-1=…=aman-m+1. （5）数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…，仍是 等比 数列（此时{an}的公比 q≠-1）. （6）当 n 是偶数时,S 偶=S 奇·q；当 n 是奇数时，S 奇=a1+S 偶·q.